\documentclass[a4paper]{amsart}
\title {Domaca uloha c. 6}
\usepackage{fullpage}
\def\softt{{\leavevmode\setbox1=\hbox{t}\hbox to \wd1{t\kern-0.6ex{\char039}\hss}}}
\def\softl{l\kern-0.45ex\raise0.1ex\hbox{'}\kern-0.10ex}
\def\softd{{\leavevmode\setbox1=\hbox{d}\hbox to 1.05\wd1{d\kern-0.4ex{\char039}\hss}}}

\begin{document}
\noindent \Large{Numerick\'a line\'arna algebra II. -- \' Uloha \v c. 8}

\vskip15pt \normalsize \centerline {Term\'in odovzdania: 25. m\'aj 2026
 } \vskip10pt \hrule
\hfil \vskip10pt


\'Ulohy (strany a \v c\'islovanie) s\'u z knihy Lloyda N. Trefethena a Davida Baua, III  {\it
Numerical Linear Algebra}.\newline

{\bf 1.} (37.4) a) Nap\'i\v ste \v ses\softt riadkov\'y program v Matlab-e, ktor\'y vypo\v
c\'ita uzly a v\'ahy pre vzorec $n$-bodovej Gauss-Legendreovej kvadrat\'ury a pou\v zije
tieto hodnoty pre v\'ypo\v cet pribli\v znej hodnoty integr\'alu funkcie $f$.

b) Zober\'uc $f(x)=e^x$ a $n=4$ overte pr\'iklad spomenut\'y v predn\'a\v ske/texte. Potom
zn\'azornite $|I(e^x) - I_n(e^x)|$ na logaritmickej \v sk\'ale pre $n=1, 2, \dots , 40$ a
okomentujte v\'ysledok.

c) Uve\softd te podobn\'y graf pre $f(x)=e^{|x|}$ a okomentujte.
\\

{\bf 2.} (38.1) Na z\'aklade \v c\'isel podmienenosti $\kappa$ uveden\'ych v predn\'a\v
ske/texte ur\v cite r\'ychlos\softt \ konvergencie predpovedan\'u Vetou 38.5 pre matice $A$ z
Obr\'azka 38.1 pre $\tau = 0.01, 0.05, 0.1$. Nakreslite do Obr\'azku 38.1 \v ciary
porovn\'avaj\'uce predpove\softd \ s re\'alne dosiahnutou mierou konvergencie.
\\


{\bf 3.} (38.2) Nech $A$ matica typu $805 \times 805$ s vlastn\'ymi hodnotami $1.00, 1.01,
1.02, \dots, 8.98, 8.99, 9.00$ a $10, 12, 16, 24$. Ko\softl ko krokov itera\v cnej met\'ody
zdru\v zen\'ych gradientov treba spravi\softt, aby sa po\v ciato\v cn\'a chyba $\|e_0\|_A$
zn\'i\v zila o faktor $10^6$?
\\

{\bf 4.} (38.3) Pri pou\v zit\'i met\'ody zdru\v zen\'ych gradientov pre symetrick\'u kladne
definitn\'u maticu $A$ sa dosiahli hodnoty $\|e_0\|_A=1$ a $\|e_{10}\|_A= 2 \times 2^{-10}$.
Ako by ste na z\'aklade t\'ychto \'udajov

a) vedeli odhadn\'u\softt \ \v c\'islo podmienenosti $\kappa(A)$?

b) A ak\'e by bolo ohrani\v cenie $\|e_{20}\|_A$?
\\


\end{document}
