OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE

2.ročník

Fakulta matematiky, fyziky a informatiky

Univerzita Komenského

Contents

I. Obyčajné diferenciálne rovnice a systémy obyčajných

diferenciálnych rovníc 2 II. Vety o existencii, jednoznačnosti a globálnej existencii

riešení 2 III. Technika riešení niektorých typov diferenciálnych rovníc 4 IV. Lineárna homogénna diferenciálna rovnica v ℝ 4 V. Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica v ℝ 5 VI. Lineárna homogénna diferenciálna rovnica v ℝ^{n} 11 VII. Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica v ℝ^{n} 12 VIII. Lineárna diferenciálna rovnica n-teho rádu 13 IX. Systém lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými

koeficientmi 18

References

1. M.Medveď, Dynamické systémy.

2. Greguš,Švec,Šeda, Obyčajné diferenciálne rovnice.

3. Nagy J., Diferenciálne rovnice.

4. Bock,Marko, Diferenciálne rovnice.

5. Kurzweil, Obyčajné diferenciálne rovnice.

6. A.F.Filippov, Sbornik zadač po teorii obyknnavennych dif. urovnenij.

Typeset by AMS-TEX

I. Obyčajné diferenciálne rovnice a systémy obyčajných diferenciálnych rovníc

Definícia 1.1. Nech D⊂ℝ×ℝ^{n} je oblasť, tj. otvorená súvislá množina a f : D→ℝ^{n} (t, x)↦f(t, x), x∈ℝ^{n}. Obyčajná diferenciálna rovnica 1. rádu v D je rovnica tvaru:

(1)  \frac{dx}{dt}= f(t, x) (t, x)∈D

Niekedy píšeme ẋ miesto \frac{dx}{dt}, tj. ẋ= f(t, x), pričom x= (x_{1}, ⋯, x_{n}), ẋ= (ẋ_{1}, ⋯, ẋ_{n}). Nech f = (f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{n}), tj. f(t, x) = (f_{1}(t, x), ⋯, f_{n}(t, x)), kde f_{i} : D→ℝ (t, x)↦f_{i}(t, x). Rovnica (1) platí ⇔ ak ẋ_{1}= f_{1}(t, x_{1}, ⋯, x_{n}), ẋ_{2}= f_{2}(t, x_{1}, ⋯, x_{n}), ⋯, ẋ_{n}= f_{n}(t, x_{1}, ⋯, x_{n}) systém obyčajných diferenciálnych rovníc 1.rádu.

Príklad 1.1. D= ℝ^{2}, f : ℝ×ℝ^{2}→ℝ^{2}, f= (f_{1}, f_{2}), f_{1}(t, x)= x_{1}, f_{2}(t, x)= − x_{2} potom ẋ_{1}= x_{1}, ẋ_{2}= − x_{2}.

\begin{matrix}x_{1}(t)= c_{1}e^{λt} \\ x_{2}(t)= c_{2}e^{μt} \end{matrix} ⇔ \begin{matrix}ẋ_{1}= c_{1}λe^{λt}= c_{1}e^{λt} \\ ẋ_{2}= c_{2}μe^{μt}= c_{2}e^{μt} \end{matrix} ⇔ \begin{matrix}λ= 1 \\ μ= − 1 \end{matrix} \begin{matrix}x_{1}(t)= c_{1}e^{t} \\ x_{2}(t)= c_{2}e^{−t} \end{matrix}

Definícia 1.2. Nech f : D→ℝ^{n}, (t, x)↦f(t, x) je spojité zobrazenie. Riešenie diferenciálnej rovnice (1) na intervale I⊂ℝ je také spojite diferencovateľné zobrazenie φ : I→ℝ^{n}, pre ktoré platí:

1. (t, φ(t))∈D, pre ∀t∈I.

2. \frac{dφ(t)}{dt}= f(t, φ(t)) pre ∀t∈I, kde φ= (φ_{1}, ⋯, φ_{n}), \frac{dφ(t)}{dt}= (\frac{dφ_{1}(t)}{dt}, ⋯, \frac{dφ_{n}(t)}{dt}),

\frac{dφ_{i}(t)}{dt}= f_{i}(t, φ_{1}(t), ⋯, φ_{n}(t)) pre ∀t∈I, i= 1, ⋯, n.

Príklad 1.2. \frac{dx}{dt}= 1, x∈ℝ má nekonečne veľa riešení x(t)= t+ c. Ale \frac{dx}{dt}= 1, x(0)= 0 má jediné riešenie x(t)= t.

Cauchyho začiatočná úloha:

(2)  \{ \begin{matrix}ẋ= f(t, x) \\ x(t_{0})= x_{0} \end{matrix}

Pre dané (t_{0}, x_{0})∈D treba nájsť interval I⊂ℝ obsahujúci t_{0} tj. t_{0}∈I a riešenie x : I→ℝ^{n} diferenciálnej rovnice ẋ= f(t, x) ktoré splňuje tzv. začiatočnú podmienku ẋ(t_{0})= x_{0}. Hovoríme tiež, že riešenie x prechádza bodom (t_{0}, x_{0}).

II. Vety o existencii a jednoznačnosti a globálnej existencii riešení

Veta 2.1. Peanova o existencii Nech D⊂ℝ×ℝ^{n} je oblasť a f : D→ℝ^{n}, (t, x)↦f(t, x) je spojité zobrazenie. Potom pre každý bod (t_{0}, x_{0})∈D existuje otvorený interval I⊂ℝ obsahujúci t_{0} na ktorom je definované riešenie x : I→ℝ^{n} začiatočnej úlohy (2), tj. ẋ= f(t, x) x(t_{0})= x_{0}.

Definícia 2.1. Nech f : D→ℝ^{n}, (t, x)↦f(t, x), D je oblasť v ℝ×ℝ^{n}. Hovoríme, že zobrazenie f spĺňa v D Lipschitzovu podmienku vzhľadom na premennú x (hovoríme tiež, že f je lipschitzovské v D vzhľadom na x), ak existuje taká konštanta L>0, že platí ∥f(t, x)−f(t, y)∥≤L∥x−y∥ pre ∀(t, x), (t, y)∈D, kde ∥ · ∥ je norma v ℝ^{n} (napr. euklidovská norma).

Definícia 2.2. Hovoríme, že zobrazenie f : D→ℝ^{n}, (t, x)↦f(t, x), je lokálne lipschitzovské na D vzhľadom na x, ak je splnená podmienka: ∀(t_{0}, x_{0})∈D existujú čísla a>0, b>0 také, že G= {(t, x)∈ℝ×ℝ^{n}; |t−t_{0}|<a, ∥x−x_{0}∥<b}⊂D a ∥f(t, x)−f(t, y)∥≤L∥x−y∥, pre ∀(t, x), (t, y)∈G, kde L>0 je konštanta.

Veta 2.2. o lokálnej existencii a jednoznačnosti Nech D⊂ℝ×ℝ^{n} je oblasť, f : D→ℝ^{n}, (t, x)↦f(t, x) je spojité zobrazenie a lokálne lipschitzovské na D vzhľadom na x. Potom pre každý bod (t_{0}, x_{0})∈D existuje číslo δ>0 také, že na intervale I_{δ}= (t_{0}−δ, t_{0}+ δ) je definované práve jedno riešenie začiatočnej úlohy: ẋ= f(t, x), x(t_{0})= x_{0}.

Otázka: Ako sa nájde lipschitzova konštanta?

Tvrdenie 2.1. Nech f= (f_{1}, ⋯, f_{n}) : D= (a, b)×H→ℝ^{n} je spojité zobrazenie, kde −∞<a<b<∞ a H⊂ℝ^{n} je konvexná oblasť pričom funkcia f_{i} (i= 1, ⋯, n) má spo-

jité parciálne derivácie \frac{∂f_{i}(x)}{∂x_{j}}, (j= 1, ⋯, n), (t, x)∈(a, b)×H.

K= sup_{\begin{matrix}(t,u)∈(a,b)×H \\ i,j= 1,··· ,n \end{matrix}} |\frac{∂f_{i}(t, u)}{∂x_{j}} | <∞

Potom ∥f(t, x)−f(t, y)∥≤L∥x−y∥, pre ∀(t, x), (t, y)∈(a, b)×H, kde L= K·n a ∥ · ∥ je euklidovská norma.

Dôkaz.

Nech (t, x), (t, y)∈(a, b)×H. Potom ∥f(t, x)−f(t, y)∥= [∑_{i=1}^{n}(f_{i}(t, x)−f_{i}(t, y))^{2}]^{1/2}.

f_{i}(t, x)−f_{i}(t, y) =^{MVT} ∑_{j=1}^{n} \frac{∂f_{i}(t, c_{j})}{∂x_{j}}(x_{j}−y_{j})= ⟨u⃗, v⃗⟩

kde u⃗= (\frac{∂f_{i}(t, c_{1})}{∂x_{1}}, ⋯, \frac{∂f_{i}(t, c_{n})}{∂x_{n}}); v⃗= x−y.

|f_{i}(t, x)−f_{i}(t, y)| ≤^{CSB} [∑_{j=1}^{n} (\underbrace{\frac{∂f_{i}(t, c_{j})}{∂x_{j}}}_{≤K})^{2} ]^{1/2} ·∥x−y∥≤\sqrt{n}K∥x−y∥

∥f(t, x)−f(t, y)∥= [∑_{i=1}^{n} \underbrace{(f_{i}(t, x)−f_{i}(t, y))^{2}}_{≤nK^{2}}]^{\frac{1}{2}} ∥x−y∥≤(n^{2}K^{2})^{\frac{1}{2}} ∥x−y∥= \underbrace{nK}_{= L} ∥x−y∥

MVT= Mean value theorem= Veta o strednej hodnote CSB= nerovnosť Cauchyho-Schwarzova-Bunjakovského Definícia 2.3. Nech I⊂ℝ je interval (otvorený) a x : I→ℝ^{n} je riešenie diferenciálnej rovnice ẋ= f(t, x). Riešenie y : J→ℝ^{n} diferenciálnej rovnice ẋ= f(t, x), kde J⊂ℝ je interval sa nazýva predĺžením riešenia x, ak I⊂J a x(t)= y(t) pre ∀t∈I. Ak I≠ J, I⊂J potom sa y(t) nazýva vlastným predĺžením riešenia x(t). Riešenie x : I→ℝ^{n} sa nazýva úplné, ak neexistuje žiadne jeho vlastné predĺženie. Vtedy I sa nazýva maximálny interval existencie. Riešenie x diferenciálnej rovnice ẋ= f(t, x) sa nazýva globálne, ak I= (−∞, ∞)– maximálny interval existencie.

Veta 2.3. o globálnej existencii Nech f : ℝ×ℝ^{n}→ℝ^{n} je spojité zobrazenie splňujúce podmienku, že ∥f(t, x)∥≤Φ(t)ω(∥x∥) pre ∀(t, x)∈ℝ×ℝ^{n}, kde Φ : ℝ→ℝ^{+} , ω : ℝ^{+} →ℝ^{+} ; ∫_{v_{0}}^{∞}[ω(σ)]^{−1}dσ= ∞, v_{0}>0.

III. Technika riešení niektorých typov diferenciálnych rovníc

1. Triviálne diferenciálne rovnice: ẋ= f(t), x(t_{0})= x_{0}, kde f(t) nezávisí od x. Potom x(t)= ∫_{t_{0}}^{t} f(s)ds+ x_{0}, kde f= (f_{1}, ⋯, f_{n}), x= (x_{1}, ⋯, x_{n}) a x(t)= (∫_{t_{0}}^{t} f_{1}(s)ds+ ⋯ + ∫_{t_{0}}^{t} f_{n}(s)ds)+ x_{0}.

2. Separované a separovateľné diferenciálne rovnice: Separovaná: ẋ= f_{1}(t)f_{2}(x), x∈ℝ. Separovateľné: ktoré sa dajú transformovať do separovaných. Formálny výpočet:

\frac{dx}{dt}= f_{1}(t)f_{2}(x) ⇔ \frac{dx}{f_{2}(x)}= f_{1}(t)dt ⇔ ∫_{x_{0}}^{x} \frac{dx}{f_{2}(x)}= ∫_{t_{0}}^{t} f_{1}ds+ k ⇔

⇔ x_{k}= F^{−1}(∫_{t_{0}}^{t} f_{1}(s)ds+ k)

Veta 3.1. Nech f_{1} : (a, b)→ℝ, f_{2} : (c, d)→ℝ sú spojité funkcie, t_{0}∈(a, b), x_{0}∈(c, d). Potom platí:

1. Ak f_{2}(x_{0})= 0 potom je x : (a, b)→ℝ, x(t_{0})≡x_{0} je riešením začiatočnej úlohy ẋ= f_{1}(t)f_{2}(x) , x(t_{0})= ẋ_{0}. (pozn. x(t)≡x_{0} je singulárne riešenie.)

2. Ak f_{2}(x_{0})≠ 0 pre všetky x∈(c, d) potom pre každé x_{0}∈(c, d) existuje riešenie x : (α, β)→ℝ začiatočnej úlohy: x= f_{1}(t)f_{2}(x), x(t_{0})= x_{0}, kde t_{0}∈(α, β), x_{0}∈(c, d), (α, β)⊂(a, b) a toto má tvar:

x(t)= F^{−1}(G(t)+ k), kde G(t)= ∫_{t_{0}}^{t} f_{1}(s)ds, F (x)= ∫_{x_{0}}^{x} \frac{ds}{f_{2}(s)}, F (x_{0})= k

IV. Lineárna homogénna diferenciálna rovnica (v ℝ)

(1)  \frac{dx}{dt}= p(t)x, x∈ℝ

p : (a, b)→ℝ, (−∞≤a≤b≤∞) spojitá funkcia.

Veta 4.1. ⋆ Nech p(t) je spojitá na intervale I= (a, b). Potom platí:

1. Každé riešenie x(t) diferenciálnej rovnice (1) má tvar x(t)= e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds}c, t∈I, t_{0}∈I, c∈ℝ. (Toto riešenie sa nazýva všeobecné)

2. Pre každé t_{0}∈I a každé x_{0}∈ℝ má začiatočná úloha: \frac{dx}{dt}= p(t)x, x(t_{0})= x_{0} práve

jedno riešenie a toto riešenie x(t) má tvar x(t)= e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds}x_{0}.

Dôkaz. Separácia premenných \frac{dx}{x}= p(t)dt ⇔ ∫ \frac{dx}{x}= ∫ p(t)dt ⇔ ln|x|= ∫ p(t)dt=

= ∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds+ ln|c| ⇔ ln |\frac{x}{c}| = ∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds ⇔ |x(t)|= e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds}|c| ⊛

x(t)≠ 0 ⇒ ∀t∈I. Ak by ∃τ∈ℝ : x(τ)= 0, potom by \frac{dx}{dt}= p(t)x, x(τ)= 0 mala 2 rôzne riešenia, a to x(t) a x_{0}(t)≡0 spor s jednoznačnosťou. ⊛ Ak x(t)>0, tak |x(t)|= x(t) ∀t ⇒ x(t)= e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds}|c| Ak x(t)<0, tak |x(t)|= − x(t) ⇒ x(t)= −e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds}(−|c|).

2. x(t)= e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds}c; x(t_{0})= x_{0} ⇒ x_{0}= x(t_{0})= c.

V. Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica (v ℝ)

\frac{dx}{dt}= p(t)x+ f(t) f(t), p(t) sú spojité na I

Veta 5.1. Pre každé t_{0}∈I= (a, b) a každé x_{0}∈ℝ má začiatočná úloha

\frac{dx}{dt}= p(t)x+ f(t), x(t_{0})= x_{0} práve jedno riešenie x(t) a toto riešenie má tvar:

x(t)= \underbrace{e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds}x_{0}}_{x_{h}(t)}+ \underbrace{e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds} ∫_{t_{0}}^{t} e^{− ∫_{t_{0}}^{τ} p(s)ds}f(τ)dτ}_{x_{p}(t)}

x_{h}(t)–riešenie homogénnej rovnice splňujúce x(t_{0})= x_{0}. x_{p}(t)–partikulárne riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice. x(t)= x_{p}(t)+ x_{h}(t) ⟶ princíp superpozície riešení.

Dôkaz. \underline{Metóda variácie konštanty}:

Hľadajme riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice v tvare x(t)= e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds}c(t), kde c(t) je spojite diferencovateľná na I= (a, b). Dosaďme x(t) do rovnice:

\frac{dx(t)}{dt}= p(t) \underbrace{e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds}c(t)}_{x(t)}+ e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds} \frac{dc(t)}{dt}= p(t)x(t)+ f(t) ⇔

e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds} \frac{dc(t)}{dt}= f(t) \frac{dc(t)}{dt}= e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds}f(t) triviálna diferenciálna rovnica pre c

c(t)= ∫_{t_{0}}^{t} e^{∫_{t_{0}}^{τ} p(s)ds}f(τ)dτ+ K

⇒ x(t)= e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds}c(t)= e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds}· [∫_{t_{0}}^{t} e^{− ∫_{t_{0}}^{τ} p(s)ds}f(τ)dτ+ K] x_{0}= x(t_{0})= K

x(t)= \underbrace{e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds}x_{0}}_{x_{h}(t)}+ \underbrace{e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds} ∫_{t_{0}}^{t} e^{− ∫_{t_{0}}^{τ} p(s)ds}f(τ)dτ}_{x_{p}(t)}

Dôkaz vety ⋆.

a) Metódou postupných aproximácií: f : D⊂ℝ×ℝ^{n}→ℝ^{n}. Z predpokladu existuje a, b>0 také, že f splňuje lipschitzovskú podmienku v oblasti G= {(t, x)∈ℝ×ℝ^{n};

|t−t_{0}|≤a, ∥x−x_{0}∥≤b\}⊂D. Nech M= max_{(t,x)∈Ḡ} ∥f(t, x)∥, nech α= min\{a, \frac{b}{M} \}.

Budeme konštruovať postupnosť {x_{k}}_{k=0}^{∞} , x_{k} : ⟨t_{0}−α, t_{0}+ α⟩→ℝ^{n} takú, že x_{k}(t) ⇉ x(t) na I_{α}, kde x(t) je riešenie začiatočnej úlohy. (pokr.)

Tvrdenie 5.1. x(t) je riešením začiatočnej úlohy \frac{dx}{dt}= f(t, x), x(t_{0})= x_{0} na inter-

vale I_{α} ⇔ x(t) je spojitá na I_{α} a x(t)= x_{0}+ ∫_{t_{0}}^{t} f(s, x(s))ds pre ∀t∈I_{α}.

Dôkaz.

⇒ :

\underbrace{∫_{t_{0}}^{t} \frac{dx(s)}{dt}ds}_{x(t)−x(t_{0} )}= x(t)−x_{0}= ∫_{t_{0}}^{t} f(s, x(s))ds ⇒ x(t)= x_{0}+ ∫_{t_{0}}^{t} f(s, x(s))ds ∀t∈I_{α}

⇐ : Nech x(t)= x_{0}+ ∫_{t_{0}}^{t} f(s, x(s))ds a x(t) je spojitá na I_{α}. Potom t↦f(t, x(t)) je spojité. ⇒ t↦ ∫_{t_{0}}^{t} f(s, x(s))ds je spojite diferencovateľná na I_{α} ⇒ x(t) je spojite

diferencovateľná na I_{α} ⇒ \frac{dx(t)}{dt}= f(t, x(t)) ∀t∈I_{α} a x(t_{0})= x_{0}.

Okrajová úloha je ekvivalentná riešeniu tzv. integrálnej rovnice

x(t)= x_{0}+ ∫_{t_{0}}^{t} f(s, x(s))ds t∈I_{α}

Pokračujeme v dôkaze vety 4.1⋆: Začiatočnú úlohu stačí riešiť pre t_{0}= 0, lebo po transformácií t= t_{0}+ τ : y(τ)= x(t_{0}+ τ)

\frac{dy(τ)}{dτ}= \frac{dx(τ+ t_{0})}{dt}= f(τ+ t_{0}, x(τ+ t_{0})):= F (τ, y(τ)) \frac{dy}{dτ} = F (τ, y) y(0)= x(t_{0})= x_{0}

Túto začiatočnú úlohu stačí riešiť pre τ≥0, lebo po transformácií τ= −s dostávame

pre z(s)= y(−s) rovnicu: \frac{dz(s)}{ds}= \frac{dy(−s)}{dτ}·(−1)= −F (−s, \underbrace{y(−s)}_{z(s)}) s≥0 ⇔ τ≤0.

Picardova metóda postupných aproximácií:

x(t)= x_{0}+ ∫_{0}^{t} f(s)x(s)ds , t∈I_{k}= ⟨0, b⟩

0-tá aproximácia: x_{0}(t)≡x_{0}.

1. aproximácia: x_{1}(t)= x_{0}+ ∫_{0}^{t} f(s)x(s)ds. k. aproximácia: x_{k}(t)= x_{k−1}(t)+ ∫_{0}^{t} f(s)x(s)ds. Najskôr dokážeme, že (t, x_{k}(t))∈G pre ∀t∈I_{k}, k= 1, 2, · · ·. ∥x_{k+1} (t) − x_{0}∥ = ∥ ∫_{0}^{t} f(s, x_{k}(s))ds∥ ≤ ∫_{0}^{t} ∥f(s, x_{k}(s))∥ds ≤ ≤ Mb < Mα ≤ M min\{a, \frac{b}{M} \} ≤ M \frac{b}{M} = b. Teda (t, x_{k+1} (t))∈G pre ∀t∈I_{k}, k= 0, 1, · · ·. Teraz dokážeme, že x_{k} ⇉ x na I_{k}. (x_{k}, x sú spojité.) x_{k}(t)= x_{0}(t)+ [x_{1}(t)−x_{0}(t)]+ ⋯ + [x_{k}(t)−x_{k−1}(t)] ∥x_{1}(t)−x_{0}(t)∥= ∥ ∫_{0}^{t} f(s, x_{0}(s))ds∥≤M·t≤M·h ∥x_{2}(t)−x_{1}(t)∥= ∥ ∫_{0}^{t} f(s, x_{1}(s))−f(s, x_{0}(s))ds∥≤ ∫_{0}^{t} ∥f(s, x_{1}(s))−f(s, x_{0}(s))∥ds≤

≤ ∫_{0}^{t} L·∥x_{1}(s)−x_{0}(s)∥ds= L ∫_{0}^{t} Msds= LM \frac{t^{2}}{2} , t∈I_{k}.

∥x_{3}(t)−x_{2}(t)∥≤L ∫_{0}^{t} ∥x_{2}(s)−x_{1}(s)∥ds≤L ∫_{0}^{t} LM \frac{s^{2}}{2} ds= L^{2}M \frac{t^{3}}{3!} atď.

∥x_{k+1} (t)−x_{k}(t)∥= L^{k}·M \frac{t^{k+1}}{(k+ 1)!}≤L^{k}M \frac{h^{k+1}}{(k+ 1)!}

∥x_{0}∥+ ∥x_{1}(t)−x_{0}(t)∥+ ⋯ + ∥x_{k}(t)−x_{k−1}(t)∥≤∥x_{0}∥+ Mh+ LM \frac{h^{2}}{2!} + L^{2}M \frac{h^{3}}{3!} + ⋯ +

+ L^{k−1}M \frac{h^{k}}{k!}= ∥x_{0}∥+ \frac{M}{L} [Lh+ \frac{(Lh)^{2}}{2!} + ⋯ + \frac{(Lh)^{k}}{k!}] ≤∥x_{0}∥+ \frac{M}{L} e^{Lh} ⇒ x_{k}(t) ⇉ x(t)

na intervale I_{k}.

\underbrace{x_{k+1} (t)}_{⇉x(t)}= x_{0}+ ∫_{0}^{t} f(s, \underbrace{x_{k}(s)}_{⇉x(s)})ds ⇒ x(t)= x_{0}+ ∫_{0}^{t} f(s, x(s))ds ∀t∈I_{k} ⇔

⇔ ẋ(t)= f(t, x(t)), x(0)= x_{0} ∀t∈I_{k}

Jednoznačnosť: Nech u_{1}(t), u_{2}(t) sú riešenia na I_{h}, u_{1}(t)≠ u_{2}(t) ⇒

∥u_{1}(t)−u_{2}(t)∥= ∥ ∫_{0}^{t}[f(s, u_{1}(s))−f(s, u_{2}(s))]ds∥≤ ∫_{0}^{t} ∥f(s, u_{1}(s))−f(s, u_{2}(s))∥ds≤

≤L ∫_{0}^{t} ∥u_{1}(s)−u_{2}(s)∥ds≤Lh \underbrace{max_{0≤τ≤h} ∥u_{1}(τ)−u_{2}(τ)∥}_{=ρ} ⇒ ∥u_{1}(t)−u_{2}(t)∥≤Lhρ ∀t∈I_{h}

⇒ max_{0≤τ≤h} ∥u_{1}(τ)−u_{2}(τ)∥≤Lhρ ⇔ ρ≤Lhρ

Ak h>0 je také, že Lh<1, tj. 0<h<\frac{1}{L}, potom 0<ρ≤Lh<ρ –spor. Odhad chyby: n>m, ∥x_{n}(t)−x_{m}(t)∥= ∥[x_{n}(t)−x_{n−1}(t)]+ ⋯ + [x_{m+1} (t)−x_{m}(t)]∥≤

≤∥x_{n}(t)−x_{n−1}(t)∥+ ⋯ + ∥x_{m+1} (t)−x_{m}(t)∥≤L^{n−1}M \frac{h^{n}}{n!}+ L^{n−2}M \frac{h^{n−1}}{(n−1)!}+ ⋯ +

+ L^{m}M \frac{h^{m+1}}{(m+ 1)!}≤\frac{M}{L} (Lh)^{m+1} e^{Lh} n→∞ : ∥x(t)−x_{m}(t)∥≤\frac{M}{L} (Lh)^{n+1} e^{Lh}.

Nech Lh<1 a ε>0. Treba nájsť najmenšie m také , aby ∥x(t)−x_{m}(t)∥<ε ∀t∈I_{h}.

Stačí aby \frac{M}{L} (Lh)^{m+ 1}e^{Lh}<ε ⇔ log_{Lh} \frac{M}{L} + m+ 1+ Lh log_{Lh} e> log_{Lh} ε ⇔

⇔ m+ 1> log_{Lh} \frac{ε}{e^{Lh} \frac{M}{L}}

Tvrdenie 5.2. Nech C_{k}= C(I_{k}, ℝ^{n}) je množina spojitých zobrazení z intervalu I_{k}= ⟨0, k⟩ do ℝ^{n}. Potom platí:

1. Ak L>0, r>0 tak d_{r}(f, g)= max_{t∈I_{k}}{e^{−rk}∥f(t)−g(t)∥} je metrika na c_{k}.

2. (C_{k}, d_{r}) je úplný metrický priestor.

Banachova veta. Nech (X, d) je úplný metrický priestor a F : X→X je kontraktívne zobrazenie také, že d(F (x), F (y))≤kd(x, y) pre ∀x, y∈X. Potom F má práve jeden pevný bod u taký, že F (u)= u.

Dôkaz. u_{0}∈X, u_{k+1} = F (u_{k}), u_{k}→u tj. d(u_{k}, u)= 0 pre k→∞.

d(u_{n}, u_{m})≤\frac{k^{n}}{1−k}d(u_{1}, u) ∀m≥n m→∞ d(u, u_{n})≤\frac{k^{n}}{1−k}d(u_{1}, u)

2.dôkaz vety 4.1⋆ metódou pevného bodu x= C_{k}; d= d_{L}; r= L; F : C_{k}→C_{k}, F (x)(t)= x_{0}+ ∫_{0}^{t} f(s, x(s))ds. Hľadám x∈C_{k}: F (x)= x. x, y∈C_{k} :

d(F (x), F (y))= max_{t∈I_{k}}\{e^{−Lt}∥F (x)(t)−F (y)(t)∥\}= max_{t∈I_{k}}\{e^{−Lt}∥[\underbrace{x_{0}+ ∫_{0}^{t} f(s, x(s))ds}_{F (x)(t)}]−

−[\underbrace{x_{0}+ ∫_{0}^{t} f(s, y(s))ds}_{F (y)(t)}]∥\}≤ max_{t∈I_{k}}\{e^{−Lt} ∫_{0}^{t} ∥f(s, x(s))−f(s, y(s))∥ds\}=

= max_{t∈I_{k}}{e^{−Lt}L ∫_{0}^{t} e^{Ls}e^{−Ls}∥x(s)−y(s)∥ds}≤ max_{t∈I_{k}}{e^{−Lt}Ld_{L}(x, y) ∫_{0}^{t} e^{Ls}ds}=

= max_{t∈I_{k}}\{e^{−Lt}Ld_{L}(x, y)\frac{1}{L}(e^{Lt}−1)\}= max_{t∈I_{k}}\{1−e^{−Lt}\}d_{L}(x, y)= (1−e^{−Lh})d_{L}(x, y) ⇒

⇒ d_{L}(F (x), F (y))≤(1−e^{−Lh})d_{L}(x, y) ⇒ F je kontraktívne zobrazenie ⇒

⇒ F má jediný pevný bod F (x)= x.

\underbrace{F (x)(t)}_{x(t)}= x_{0}+ ∫_{0}^{t} f(s, x(s))ds ∀t∈I_{h}; x∈C(\underbrace{⟨a, b⟩}_{I_{h}}, ℝ^{n}) ⇔ \{ \begin{matrix}ẋ= f(t, x) \\ x(0)= x_{0} \end{matrix}

Odhad chyby: x= x(t) -pevné riešenie. x_{m}= x_{m}(t) –m-tá aproximácia. m>n,

d_{L}(x_{m}, x_{n})≤\frac{(1−e^{−Lh})^{m}}{e^{−Lh}} d(x_{1}, x_{0}) ⇒ d(x_{m}, x)≤\frac{(1−e^{−Lh})^{m}}{e^{−Lh}} d_{L}(x_{1}, x_{0})=

= \frac{k^{m}}{1−k}d_{L}(x_{1}, x_{0}), kde k= 1−e^{−Lh}.

Prípravné úvahy ku dôkazu Peanovej vety.

x(t)= x_{0}+ ∫_{0}^{t} f(s, x(s))ds, t∈I_{h}= ⟨0, h⟩ G= {(t, x)∈ℝ×ℝ^{n}; |t|≤a, |x−x_{0}|≤b}

f : G→ℝ^{n}, f je spojitá, ale nemusí spĺňať lipschitzovskosť. Kedy možno z postupnosti {x_{k}}_{k=1}^{∞} , x_{k}∈A⊂C_{b}= C(I_{h}, ℝ^{n}); I_{h}= ⟨0, h⟩ vybrať konvergentnú podpostupnosť vzhľadom na d(f, g)= max_{t∈I_{h}} ∥f(t)−g(t)∥.

Definícia 5.1. Nech (X, d) je metrický priestor. Množina A⊂X sa nazýva relatívne kompaktná, ak Ā= A∪A′ je kompaktná.

Kritérium pre relatívnu kompaktnosť množiny A⊂C_{h}= C(I_{h}, ℝ^{n}).

Definícia 5.2. Hovoríme, že množina zobrazení A⊂C(I, ℝ^{n}), (I= ⟨a, b⟩⊂ℝ) je rovnomerne ohraničená, ak existuje konštanta k>0 taká, že ∥f(t)∥≤k ∀t∈I ∀f∈A.

Definícia 5.3. Hovoríme, že A⊂C(I, ℝ^{n}) je rovnomocne spojitá, ak ∀ε>0 ∃δ= δ(ε)>0 taká, že platí: |t_{1}−t_{2}|<δ, t_{1}, t_{2}∈I ⇒ ∥f(t_{1})−f(t_{2})∥<ε, ∀f∈A.

Arzelova-Ascoliho Lema:. Nech A⊂C(I, ℝ^{n}) je nekonečná množina, ktorá je rovnomerne ohraničená a rovnomocne spojitá, potom je A relatívne kompaktná.

ε-približné riešenie:

Definícia 5.4. Nech f : D→ℝ^{n} (D⊂ℝ×ℝ^{n} je oblasť), ε>0, I⊂ℝ je interval. Spojité zobrazenie x : I→ℝ^{n} sa nazýva ε -približné riešenie diferenciálnej rovnice ẋ= f(t, x), ak platí:

1. (t, x(t))∈D ∀t∈I.

2. x= x(t) je spojite diferencovateľné zobrazenie na I\S, kde S⊂I pozostáva z ko-

nečného počtu bodov v ktorých má deriváciu ẋ(t)= \frac{dx(t)}{dt} body nespojitosti také,

že ak t_{0}∈S, potom lim_{t→t_{0}^{−}} \frac{dx(t)}{dt} aj lim_{t→t_{0}^{+}} \frac{dx(t)}{dt} existujú, ale sú rôzne.

3. ∥\frac{dx(t)}{dt}−f(t, x(t))∥<ε ∀t∈I\S.

Eulerove polygóny: (na intervale I_{α}= ⟨t_{0}, t_{0}+ α⟩, α>0 pre ẋ(t)= f(t, x), x(t_{0})= x_{0}. 0-tý Eulerov polygón: x−x_{0}= f(t_{0}, x_{0})·(x−x_{0}), ẋ(t_{0})= f(t_{0}, x(t_{0}))= f(t_{0}, x_{0}), x_{0}(t)= x_{0}+ f(t_{0}, x_{0})(t−t_{0}). Nech δ_{m} : t_{0}<t_{1}< ⋯ <t_{m}= t_{0}+ α.

1. Eulerov polygón: m= 2: t_{0}<t_{1}<t_{2}= t_{0}+ α. x_{1}(t)= x_{0}+ f(t_{0}, x_{0})(t−t_{0}) pre t_{0}≤t≤t_{1}. x_{2}(t)= x_{1}+ f(t_{0}, x_{0})(t_{1}−t)+ f(t_{1}, x_{1})(t−t_{1}) pre t_{1}≤t≤t_{0}+ α. kde X_{1}= x_{1}(t_{1})= x_{0}+ f(t_{0}, x_{0})(t_{1}−x_{0}). m-tý Eulerov polygón: (pri delení δ_{m}) X_{m}(t)= x_{m}(t_{k−1})+ f(t_{k−1}, x_{m}(t_{k−1}))(t−t_{k−1}) pre t_{k−1}≤t≤t_{k} k= 1, ⋯, n.

Veta 5.2. Nech G= {(t, x)∈ℝ×ℝ^{n}, |t−t_{0}|≤a, ∥x−x_{0}∥≤b}, a, b>0, (t_{0}, x_{0})∈ℝ×ℝ^{n} a f : G→ℝ^{n} je spojité zobrazenie. Potom pre ∀ε>0 existuje ε-približné riešenie začia-

točnej úlohy \frac{dx}{dt}= f(t, x), x(t_{0})= x_{0} na intervale I_{α}= ⟨t_{0}, t_{0}+ α⟩, kde α= min\{a, \frac{b}{M} \},

M= max_{(t,x)∈G} ∥f(t, x)∥.

Dôkaz. f spojité na kompakte G, potom f je rovnomerne spojité na G. Ak ε>0 je dané, tak ku nemu existuje δ= δ(ε)>0 také, že (t, u), (s, v)∈G, |t−s|<δ(ε), ∥u−v∥<δ(ε) ⇒ ∥f(t, u)−f(t, v)∥<ε. Zvoľme delenie δ_{0} : t_{0}<t_{0}+ α; δ_{m} : t_{0}<t_{1}< ⋯ <t_{m}= t_{0}+ α, m>0. δ_{0} ⟶ X_{0}(t) 0-tý Eulerov polygón; δ_{m} ⟶ X_{m}(t) m-tý Eulerov polygón. Dokážeme, že (t, x_{m}(t))∈G ∀t∈I_{α}= ⟨t_{0}, t_{0}+ α⟩. Nech t_{0}≤t≤t_{1}. ∥x_{m}(t)−x_{0}∥= = ∥f(t_{0}, x_{0})(t−t_{0})∥= (t−t_{0})∥f(t_{0}, x_{0})∥≤M(t−t_{0})≤Mα≤M \frac{b}{M} = b. Nech t_{1}≤t≤t_{2} ⇒ X_{m}(t)= x_{m}(t)+ f(t_{1}, x_{m}(t_{1}))(t−t_{1})= x_{0}+ f(t_{0}, x_{0})(t_{1}−t_{0})+ f(t_{1}, x_{m}(t_{1}))(t−t_{1}) ⇒ ⇒ ∥x_{m}(t)−x_{0}(t)∥= ∥f(t_{0}, x_{0})(t_{1}−t_{0})+ f(t_{1}, x_{m}(t_{1}))∥≤M(t_{1}−t_{0})+ M(t−t_{1})= = M(t−t_{0})≤Mα≤b atď. indukciou.

Platí:

1. x_{m}(t) je spojité zobrazenie na I_{α} a derivácia existuje až na konečný počet bodov z I_{α}.

2. ∥\frac{dx_{m}(t)}{dt}−f(t, x_{m}(t))∥<ε ∀t∈I_{α} až na konečný počet bodov z I_{α}.

Nech k∈\{1, 2, ⋯, n\}, t_{k−1}≤t≤t_{k} a delenie také, že max_{k}\{t_{k}−t_{k−1}\}≤ min\{δ(ε), \frac{δ(ε)}{M}\}

Potom ∥x_{m}(t)−x_{m}(t_{k−1})∥= ∥f(t_{k−1}, x_{m}(t_{k−1}))∥(t−t_{k−1})≤M(t−t_{k−1})≤M \frac{δ(ε)}{M}=

= δ(ε) ⇒ ∥\frac{dx_{m}(t)}{dt}−f(t, x_{m}(t))∥= ∥f(t_{k−1}, x_{m}(t_{k−1}))−f(t, x_{m}(t))∥≤ε ak existuje

\frac{dx_{m}(t)}{dt} ⇒ x_{m}(t) je ε-približné riešenie.

Dôkaz Peanovej vety. Nech \{ε_{m}\}^{∞}, lim_{m→∞} ε_{m}= 0 (napr. ε_{m}= \frac{1}{m}). X_{m}(t) je ε-približné riešenie na I_{α}= ⟨t_{0}, t_{0}+ α⟩. Ukázali sme, že ∥x_{m}(t)−x_{0}∥≤b ∀m ⇒ ⇒ ∥x_{m}(t)∥≤K= b+ ∥x_{0}∥ ∀m>0 (K nezávisí od m) ⇒ množina A= {x_{m}∈C; m>0; C(I_{α}, ℝ^{n})} je rovnomerne ohraničená. Ukážeme, že A je rovnomocne spojitá. Nech t, s∈I_{α}= ⟨t_{0}, t_{0}+ α⟩. δ_{m} : t_{0}<t_{1}< ⋯ <t_{m}= t_{0}+ α. Nech s<t. Potom s∈⟨t_{j}, t_{j+1} ⟩, t∈⟨t_{i}, t_{i+1} ⟩, i>j. ∥x_{m}(t)−x_{m}(s)∥= ∥[x_{m}(t)−x_{m}(t_{i})]+ [x_{m}(t_{i})−x_{m}(t_{i−1})]+ ⋯ + [x_{m}(t_{j+1} )−x_{m}(s)]∥≤ ≤∥x_{m}(t)−x_{m}(t_{i})∥+ ∥x_{m}(t_{i})−x_{m}(t_{i−1})∥+ ⋯ + ∥x_{m}(t_{j+1} )−x_{m}(s)∥≤M(t−t_{i})+ + M(t_{i}−t_{i−1})+ ⋯ + M(t_{j+1} −s)= M(t−s) ⇒ ∀ε>0 ∃δ= δ(ε)>0 také, že |t−s|<δ ⇒ ∥x_{m}(t)−x_{m}(s)∥<ε ∀x_{m}∈A ⇒ A je rovnomocne spojitá. Z Ascoli-Arzelovej lemy vyplýva, že existuje podpostupnosť {x_{m_{k}}}_{k=1}^{∞} taká, že x_{m_{k}}⇉x∈C(I_{α}, ℝ^{n}) na I_{α}. g_{k}(t)= x_{m_{k}}(t), {g_{k}}, g_{k}⇉x, g_{k}(t)= x_{0}+ ∫_{t_{0}}^{t} f(s, g_{k}(s))+ △_{k}(s)ds.

△_{k}(t)= \frac{dg_{k}(t)}{dt}−f(t, g_{k}(t)) ak t je také, že existuje \frac{dg_{k}(t)}{dt}, inde 0. Vieme, že

∥△_{k}(t)∥≤ε_{m_{k}} ⟶^{k→∞} 0 ⇒ △_{k}⇉0 ⇒ g_{k}(t)⇉x ⇒ x(t)= x_{0}+ ∫_{t_{0}}^{t} f(s, x(s))ds, t∈I_{α} ⇒

je riešenie.

Veta o predĺžiteľnosti riešení. Nech f : D→ℝ^{n} (D⊂ℝ×ℝ^{n} je oblasť) je spojité, ohraničené zobrazenie. Nech x(t) je riešenie začiatočnej úlohy ẋ= f(t, x) x(t_{0})= x_{0}, kde (t_{0}, x_{0})∈D na intervale I= ⟨a, b⟩. Potom existuje x(a+ )= lim_{t→a+} x(t) a

lim_{t→b−} x(t)= x(b−). Naviac, ak (b, x(b))∈D (analogicky (a, x(a))∈D.) potom existuje

β>0 a riešenie y(t), t∈(α−β, b+ β) také, že y(t)= x(t) pre t∈(a, b). ( y(t)–spojité predĺženie x(t) na intervale (a−β, b+ β).)

Dôkaz. x(t)= x_{1}+ ∫_{t_{0}}^{t} f(s, x(s))ds, t∈(a, b). Nech M= max_{(t,x)∈D} ∥f(t, x)∥. Nech

a<u<v<b. Potom x(v)−x(u)= ∫_{u}^{v} f(s, x(s))ds ⇒ ∥x(v)−x(u)∥≤M(v−u) ⇒ ⇒ lim_{u,v→b−}[x(v)−x(u)]= 0. Z Cauchyho konvergenčného kritéria ⇒ lim_{t→b−} x(t) exis-

tuje. Označme ju x(b−). Analogicky existuje lim_{t→a+} x(t)= x(a+ ). Predpokladajme,

že (b, x(b−))∈D. Definujme z(t)= \{ \begin{matrix}x(t); t∈(a, b) \\ x(b−); ak t= b \end{matrix} . Zrejme z(t) je spojitá na (a, b⟩.

A možno riešiť začiatočnú úlohu ẋ= f(t, x); x(b)= x(b−). lim_{t→a+} x(t)= x(a+ ) existuje

z Peanovej vety ⇒ ∃β>0 také, že začiatočná úloha má riešenie x(t), t∈⟨a, b+ β). Analogicky naľavo od a.

VI. Lineárna homogénna diferenciálna rovnica v ℝ^{n}

(1) \frac{dx}{dt}= A(t)·x, x∈ℝ^{n} A(t)= (a_{ij}(t))∈𝔐_{nn}(ℝ) a_{ij}(t) sú spojité na I= ℝ

Algebraická štruktúra riešení diferenciálnej rovnice (1):

Veta 6.1. Množina M riešení diferenciálnej rovnice (1) je n-rozmerný vektorový priestor nad ℝ.

Dôkaz. Nech x_{1}(t), x_{2}(t) sú riešenia, k_{1}, k_{2}∈ℝ. x(t)= k_{1}x_{1}(t)+ k_{2}x_{2}(t). ẋ(t)= k_{1} ẋ_{1}(t)+ k_{2} ẋ_{2}(t)= k_{1}A(t)x_{1}(t)+ k_{2}A(t)x_{2}(t)= A(t)[k_{1}x_{1}(t)+ k_{2}x_{2}(t)]. Ukázali sme, že x_{1}, x_{2}∈M ⇒ x= k_{1}x_{1}+ k_{2}x_{2}∈M ⇒ M je vektorový priestor nad ℝ^{n}. Dokážeme, že dim(M)= n. Nech {e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n}} je báza jednotkových vektorov v ℝ^{n}. Nech x_{i}(t) je riešenie diferenciálnej rovnice (1) splňujúce začiatočnú podmienku x_{i}(0)= e⃗_{i}, i= 1, 2, ⋯, n. x_{1}(t), x_{2}(t) ⋯, x_{n}(t) sú lineárne nezávislé, tj. neexistujú c_{1}, ⋯, c_{n}∈ℝ také, že ∑ c_{i}^{2}≠ 0 a c_{1}x_{1}(t)+ ⋯ + c_{n}x_{n}(t)= 0 ∀t∈I. Nech také konštanty existujú. Potom pre t= 0 je c_{1}x_{1}(0)+ ⋯ + c_{n}x_{n}(0)= 0 ⇒ c⃗= (c_{1}, c_{2} ⋯, c_{n})= = (0, ⋯, 0) ⇔ ∀c_{i}= 0 ⇒ dim(M)≥n. Nech y(t) je ľubovoľné riešenie tj. y∈M. Nech y(0)= v= (v_{1}, ⋯, v_{n})^{T}∈ℝ^{n}. Nech u(t)= v_{1}x_{1}(t)+ ⋯ + v_{n}x_{n}(t). Zrejme u∈M a platí: y(0)= v= u(0), lebo x_{1}(0)= e⃗_{i}, i= 1, ⋯, n. Z vety o existencii a jednoznačnosti riešení ⇒ u(t)= y(t) ∀t∈I u(t)= v_{1}x_{1}(t)+ ⋯ + v_{n}x_{n}(t) ⇒ dim(M)≤n, ale vieme, že dim(M)≥n ⇒ dim(M)= n a {x_{1}, ⋯, x_{n}} je báza v M.

Definícia 6.1. Každú množinu φ_{1}(t), φ_{2}(t), ⋯, φ_{n}(t) lineárne nezávislých riešení diferenciálnej rovnice (1) nazývame fundamentálnym systémom riešení diferenciálnej rovnice (1).

Definícia 6.2. Nech φ_{1}(t), ⋯, φ_{n}(t) je fundamentálny systém riešení a φ_{1}(t)= [φ_{11}(t), ⋯, φ_{1n}(t)]^{T}, ⋯, φ_{n}(t)= [φ_{n1}, ⋯, φ_{nn}]^{T}. Potom sa matica Φ(t)= [φ_{1}(t), ⋯, φ_{n}(t)]= (φ_{ij}(t)) nazýva fundamentálnou maticou diferenciálnej rovnice (1).

Tvrdenie 6.1. Fundamentálna matica Φ(t) je maticovým riešením diferenciálnej

rovnice Ẋ= \frac{dX}{dt} = A(t)X, tj. Φ̇(t)= \frac{dΦ(t)}{dt} = A(t)Φ(t), kde Φ̇(t)= (φ̇_{1}(t), ⋯, φ̇_{n}(t)).

Dôkaz. Φ̇(t)= [φ̇_{1}(t), ⋯, φ̇_{n}(t)]= [A(t)φ_{1}(t), ⋯, A(t)φ_{n}(t)]= A(t)Φ(t) .

Príklad 6.1. Ẋ= ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) X= AX. e^{Bt}= I_{n}+ \frac{1}{1!}Bt+ \frac{1}{2!}B^{2}t^{2}+ ⋯

\frac{d}{dt}e^{At} = A+ \frac{1}{1!}A^{2}t+ \frac{1}{2!}A^{3}t^{2}+ ⋯ = A(1+ \frac{1}{1!}A+ ⋯)= Ae^{At}. Φ(t)= e^{At} tak je to maticové riešenie diferenciálnej rovnice (1). Φ(0)= I. Dokážte, že Φ(t)= e^{At} = ( \begin{matrix}cos t & sin t \\ − sin t & cos t \end{matrix} ).

Tvrdenie 6.2. Liouvilleova formula Nech Φ(t) je maticové riešenie diferenciálnej rovnice Ẋ= A(t)X. Potom pre každé t_{0}∈ℝ je detΦ(t)= detΦ(t_{0})·e^{∫_{t_{0}}^{t} T rA(s)ds} , kde T rA(s)= a_{11}(s)+ ⋯ + a_{nn}(s), A(s)= (a_{ij}(s)).

Dôkaz (náznak). \frac{d}{dt} det(Φ(t))= det[φ̇_{1}(t), ⋯, φ_{n}(t)]+ ⋯ + det[φ_{1}(t), ⋯, φ̇_{n}(t)]=

= A(t)φ_{1}(t)+ ⋯ + A(t)φ_{n}(t)= T rA(t) detΦ(t), φ_{i}(t) sú stĺpce matice Φ(t).

\frac{d}{dt} \underbrace{det(Φ(t))}_{x(t)}= \underbrace{T rA(t)}_{p(t)} \underbrace{detΦ(t)}_{x(t)} ẋ= p(t)x ⇒ x(t)= e^{∫_{t_{0}}^{t} p(s)ds}x(t_{0})

Dôsledok. detΦ(t_{0})≠ 0 ⇒ detΦ(t)≠ 0 ∀t∈ℝ. Ak detΦ(t_{0})= 0 ⇒ detΦ(t)≡0.

Veta 6.2. Začiatočná úloha ẋ= A(t)x x(t_{0})= x_{0} má riešenie tvaru x(t)= Φ(t)Φ^{−1}(t_{0})x_{0}, kde Φ(t) je fundamentálna matica diferenciálnej rovnice ẋ= A(t)x.

Dôkaz. ẋ(t)= Φ̇(t)Φ^{−1}(t_{0})x_{0}= A(t)Φ(t)Φ^{−1}(t_{0})= A(t)x(t), x(t_{0})= Φ(t_{0})Φ^{−1}(t_{0})x_{0}= x_{0}.

VII. Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica v ℝ^{n}

ẋ= A(t)x+ f(t) A(t)= (a_{ij}(t)) f(t)= (f_{1}(t), ⋯, f_{n}(t))^{T} spojité na ℝ

Veta 7.1. Riešenie začiatočnej úlohy x= A(t)x+ f(t), x(t_{0})= x_{0} má tvar:

x(t)= Φ(t)Φ^{−1}(t_{0})x_{0}+ Φ(t) ∫_{t_{0}}^{t} Φ^{−1}(s)f(s)ds

Dôkaz. Metóda variácie konštanty: Hľadáme riešenie v tvare x(t)= Φ(t)c(t), kde c(t) je spojite diferencovateľná. ẋ(t)= Φ̇(t)c(t)+ Φ(t)ċ(t)= A(t) \underbrace{Φ(t)c(t)}_{x(t)}+ f(t). Dostávame rovnicu pre c(t):

A(t)Φ(t)c(t)+ Φ(t)c(t)+ Φ(t)ċ(t)= A(t) \underbrace{Φ(t)c(t)}_{x}+ f(t) ⇔ Φ(t)ċ(t)= f(t) ⇔

⇔ c(t)= Φ^{−1}(t)f(t) ⇒ c(t)= ∫_{t_{0}}^{t} Φ^{−1}(s)f(s)ds+ K, kde K je konštantný vektor. Máme: x(t)= Φ(t)c(t)= Φ(t)[K+ ∫_{t_{0}}^{t} Φ^{−1}(s)f(s)ds]= Φ(t)K+ Φ(t) ∫_{t_{0}}^{t} Φ^{−1}(s)f(s)ds. x_{0}= Φ(t_{0})K ⇒ K= Φ^{−1}(t_{0})x_{0} ⇒ x(t)= Φ(t)Φ^{−1}(t_{0})x_{0}+ Φ(t) ∫_{t_{0}}^{t} Φ^{−1}(s)f(s)ds.

Príklad 7.1(skúškový!!!).

ẋ= ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) x+ \underbrace{( \begin{matrix}4 \\ 1 \end{matrix})}_{f(t)} x(0)= x⃗_{0}= (2, 1)^{T}

Riešenie: x(t)= ( \begin{matrix}cos t & sin t \\ − sin t & cos t \end{matrix} ) γ+ y(t). Hľadajme partikulárne riešenie v tvare:

y(t)≡α= (α_{1}, α_{2})^{T} –konštantný. Dosadíme: 0= Aα+ f ⇒ α= −A^{−1}f= (1, −4)^{T}. x_{0}= x(0)= γ+ α= γ+ (1, −4)^{T} ⇒ γ= x_{0}−(1, −4)^{T}= (2, 1)^{T}−(1, −4)^{T}= (1, 5)^{T},

x(t)= ( \begin{matrix}cost & sint \\ − sint & cost \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 \\ 5 \end{matrix}) + ( \begin{matrix}1 \\ −4 \end{matrix})

VIII. Lineárna diferenciálna rovnica n-teho rádu

Homogénna: L_{n}u= 0, nehomogénna: L_{n}u= f(t), kde

L_{n}u= a_{0}(t)\frac{d^{n}u}{dt^{n}}+ a_{1}(t)\frac{d^{n−1}u}{dt^{n−1}}+ ⋯ + a_{n−1}(t)\frac{du}{dt}+ a_{n}(t)u

a_{0}(t), a_{1}(t), ⋯, a_{n}(t), f(t) sú spojité skalárne funkcie na ℝ. Ak a_{0}(t_{0})= 0 pre nejaké t_{0}∈ℝ –singulárna diferenciálna rovnica; ak a_{0}(t)≠ 0 pre ∀t∈ℝ tak regulárna diferenciálna rovnica. Budeme predpokladať, že a_{0}(t)≠ 0 pre ∀t∈ℝ. Potom bez ujmy na obecnosti prepokladajme, že a_{0}(t)≡1. Využijeme teóriu lineárnych diferenciálnych rovníc v ℝ^{n}. Uvažujme diferenciálnu rovnicu L_{n}u= f(t). Napíšeme diferen-

ciálnu rovnicu ako systém: Ozn. x_{1}= u, x_{2}= u̇= \frac{du}{dt}, ⋯, x_{n}= \frac{d^{n−1}u}{dt^{n−1}} ⇒ ẋ_{1}= u̇= x_{2},

ẋ_{2}= \frac{d^{2}u}{dt^{2}}= x_{3}, …, ẋ_{n−1}= \frac{d^{n−1}u}{dt^{n−1}}= x_{n}, ẋ_{n}= \frac{d^{n}u}{dt^{n}}= −a_{1} \frac{d^{n−1}u}{dt^{n−1}}− ⋯ −a_{n}u+ f=

= −a_{1}x_{n}− ⋯ −a_{n}x_{1}+ f.

ẋ= (ẋ_{1}, ⋯, ẋ_{n})^{T}= ( x_{2} ; x_{3} ; ⋮ ; x_{n} ; −a_{1}x_{n}−a_{2}x_{n−1}− ⋯ −a_{n}x_{1}+ f )

ẋ= ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & 1 \\ −a_{n} & −a_{n−1} & a_{n−2} & ⋯ & −a_{1} \end{matrix} ) ( x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n−1} ; x_{n} ) + ( 0 ; 0 ; ⋮ ; 0 ; f ) = A(t)x+ f̂(t)

(1)  ẋ= A(t)x+ f̂(t)

(2)  L_{n}u= 0

Tvrdenie 8.1.

1. x(t)= (x_{1}(t), ⋯, x_{n}(t))^{T} je riešením diferenciálnej rovnice (1) ⇔ x_{2}(t)= ẋ_{1}(t),

x_{3}(t)= \frac{d^{2}x_{1}(t)}{dt^{2}}, …, x_{n}(t)= \frac{d^{n−1}u}{dt^{n−1}} a x_{1}(t) je riešením diferenciálnej rovnice (2).

2. Ak x_{1}(t), x_{2}(t), ⋯, x_{n}(t) sú riešenia diferenciálnej rovnice (2) ⇒ maticové riešenie diferenciálnej rovnice ẋ= A(t)x je

Φ(t)= [ \begin{matrix}x_{1}(t) & ⋯ & x_{n}(t) \\ \frac{dx_{1}(t)}{dt} & ⋯ & \frac{dx_{n}(t)}{dt} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{d^{n−1}x_{1}(t)}{dt^{n−1}} & ⋯ & \frac{d^{n−1}x_{n}(t)}{dt^{n−1}} \end{matrix} ]

Definícia 8.1. W (x_{1}, ⋯, x_{n}):= detΦ(t) –Wronského determinant (wronskián).

Riešiť Cauchyho úlohu: ẋ= A(t)x+ f̂(t); x(t_{0})= ξ= ( ξ_{0} ; ⋮ ; ξ_{n−1} ) je to isté ako riešiť

začiatočnú úlohu L_{n}u= f(t); u(t_{0})= ξ_{0}, u̇(t_{0})= ξ_{1}, ü(t_{0})= ξ_{2}, …, u^{(n−1)}(t_{0})= ξ_{n−1},

lebo x= ( u(t) ; u̇(t) ; ⋮ ; u^{(n−1)}(t) ) je riešením diferenciálnej rovnice ẋ= A(t)x+ f̂(t) ⇔ u(t) je

riešením diferenciálnej rovnice L_{n}u= f.

Definícia 8.2. Množina x_{1}(t), ⋯, x_{n}(t) lineárne nezávislých riešení diferenciálnej rovnice L_{n}u= 0 sa nazýva fundamentálny systém.

Veta 8.1. Riešenia x_{1}(t), x_{2}(t), ⋯, x_{n}(t) diferenciálnej rovnice L_{n}u= 0 sú lineárne nezávislé ⇔ ak W (x_{1}, ⋯, x_{n})(t)≠ 0 pre ∀t∈ℝ.

Dôkaz. ⇒ : Nech x_{1}(t), ⋯, x_{n}(t) sú lineárne nezávislé riešenia, ale W (x_{1}, ⋯, x_{n})(t_{0})= 0 pre nejaké t_{0}∈ℝ. Z Liouvilleovej formuly: W (x_{1}, ⋯, x_{n})(t)= W (x_{1}, ⋯, x_{n})(t_{0})·e^{− ∫_{t_{0}}^{t} a_{1} (s)ds} ⇒ W (x_{1}, ⋯, x_{n})(t)≡0 ⇒ ⇒ ∃c_{1}, ⋯, c_{n}∈ℝ ∑ c_{i}^{2}≠ 0 také, že c_{1}x_{1}(t)+ ⋯ + c_{n}x_{n}(t)= 0 pre ∀t∈ℝ. Spor s lineárnou nezávislosťou. ⇐ : Nech W (x_{1}, ⋯, x_{n})(t)≠ 0 pre ∀t∈ℝ, ale x_{1}(t), ⋯, x_{n}(t) sú lineárne závislé. Potom ∃c_{1}, ⋯, c_{n}∈ℝ ∑ c_{i}^{2}≠ 0 také, že c_{1}x_{1}(t)+ ⋯ + c_{n}x_{n}(t)= 0 pre ∀t∈ℝ ⇒ ⇒ c_{1} ẋ_{1}(t)+ ⋯ + c_{n}ẋ_{n}(t_{=} 0, …, c_{1}x_{1}^{(n−1)}(t)+ ⋯ + c_{n}x_{n}^{(n−1)} (t)= 0 pre ∀t∈ℝ. Homogénny systém algebraických rovníc pre neznáme c_{1}, ⋯, c_{n}. Ak jeho determinant (=Wronskián) je nenulový ⇒ c_{1}= 0, ⋯, c_{n}= 0 –spor.

Veta 8.2. Nech x_{1}(t), ⋯, x_{n}(t) je fundamentálny systém riešení homogénnej diferenciálnej rovnice L_{n}u= u^{(n)}+ a_{1}(t)u^{(n−1)}+ ⋯ + a_{n−1}(t)u̇+ a_{n}(t)u= 0. Potom riešenie x(t) Cauchyho úlohy L_{n}x= f(t), x(t_{0})= ξ_{0}, ẋ(t_{0})= ξ_{1}, ⋯, x^{(n−1)}= ξ_{n−1} má tvar

x(t)= u(t)+ ∑_{k=1}^{n}x_{k}(t) ∫_{t_{0}}^{t} \frac{W_{k}(x_{1}, ⋯, x_{n})(s)}{W (x_{1}, ⋯, x_{n})(s)}f(s)ds

kde W (x_{1}, ⋯, x_{n}) je wronskián riešení x_{1}(t), ⋯, x_{n}(t). W_{k}(x_{1}, ⋯, x_{n})(t) je definované takto:

W_{1}(x_{1}, ⋯, x_{n})(t)= det [ \begin{matrix}0 & x_{2}(t) & ⋯ & x_{n}(t) \\ 0 & ẋ_{2}(t) & ⋯ & ẋ_{n}(t) \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & x_{2}^{(n−2)}(t) & ⋯ & x_{n}^{(n−2)} \\ 1 & x_{2}^{(n−1)} & ⋯ & x_{n}^{(n−1)} \end{matrix} ] , ⋯,

W_{n}(x_{1}, ⋯, x_{n})(t)= det [ \begin{matrix}x_{1}(t) & x_{2}(t) & ⋯ & 0 \\ ẋ_{1}(t) & ẋ_{2}(t) & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ x_{1}^{(n−2)} & x_{2}^{(n−2)}(t) & ⋯ & 0 \\ x_{1}^{(n−1)} & x_{2}^{(n−1)} & ⋯ & 1 \end{matrix} ]

u(t) je riešením Cauchyho začiatočnej úlohy L_{n}u= 0, u(t_{0})= ξ_{0}, … u^{(n−1)}(t_{0})= ξ_{n−1}

Dôkaz. ẋ= A(t)x+ f̂(t), x_{1}(t), ⋯, x_{n}(t) fundamentálny systém pre diferenciálnu rovnicu L_{n}u= 0. Potom

Φ(t)= [ \begin{matrix}x_{1}(t) & ⋯ & x_{n}(t) \\ ẋ_{1}(t) & ⋯ & ẋ_{n}(t) \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ x_{1}^{(n−1)}(t) & ⋯ & x_{n}^{(n−1)} (t) \end{matrix} ]

fundamentálna matica pre ẋ= A(t)x+ f̂(t). Nech z(t) je riešenie diferenciálnej rovni-

ce L_{n}u= 0. Potom v(t)= [ z(t) ; ż(t) ; ⋮ ; z^{(n−1)}(t) ] riešenie začiatočnej úlohy pre systém

v(t)= Φ(t)Φ^{−1}(t_{0})ξ+ Φ(t) ∫_{t_{0}}^{t} Φ^{−1}(s)f(s)ds. Φ(t)= (φ_{ij})= (x_{j}^{(i−1)} (t)). X_{ij}-algebra-ický doplnok.

Φ^{−1}(t)= diag(X_{11}(t), ⋯, X_{nn}(t)) v(t)= Φ(t)Φ^{−1}(t_{0})ξ+ w(t)

w(t)= [(x_{j}^{(i−1)} (t))] ∫_{t_{0}}^{t} \frac{1}{W (x_{1}, ⋯, x_{n})(s)} [ \begin{matrix}X_{11}(s) & ⋯ & X_{n1}(s) \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ X_{1n}(s) & ⋯ & X_{nn} \end{matrix} ] [ 0 ; ⋮ ; 0 ; f(s) ] ds=

= ( \begin{matrix}x_{1}(t) & ⋯ & x_{n}(t) \\ ẋ_{1}(t) & ⋯ & ẋ_{n}(t) \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ x_{1}^{(n−1)}(t) & ⋯ & x_{n}^{(n−1)} \end{matrix} ) ∫_{t_{0}}^{t} \frac{1}{W (x_{1}, ⋯, x_{n})(s)} ( X_{n1}(s)f(s) ; X_{n2}(s)f(s) ; ⋮ ; X_{nn}(s)f(s) ) ds ⇒

⇒ w(t)= ∑_{k=1}^{n}x_{k}(t) ∫_{t_{0}}^{t} \frac{W_{k}(x_{1}, ⋯, x_{n})(s)}{W (x_{1}, ⋯, x_{n})(s)}f(s)ds

Metóda variácie konštánt:

L_{2}u= ü+ a_{1}(t)u̇+ a_{2}(t)u= f(t) homogénna: ẍ+ a_{1}(t)ẋ+ a_{2}(t)x= 0

Nech x_{1}(t), x_{2}(t) sú riešenia. Všeobecné riešenie homogénnej rovnice: x(t)= c_{1}x_{1}(t)+ c_{2}x_{2}(t) c_{1}, c_{2}∈ℝ. Hľadáme riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice v tvare: u(t)= α_{1}(t)x_{1}(t)+ α_{2}(t)x_{2}(t), α_{1}(t), α_{2}(t) sú spojite diferencovateľné, zatiaľ neznáme. u̇= α̇_{1}(t)x_{1}+ α_{1}(t)ẋ_{1}(t)+ α̇_{2}(t)x_{2}(t)+ α_{2}(t)ẋ_{2}(t). Zvoľme α_{1}(t), α_{2}(t) tak, že α̇_{1}(t)x_{1}(t)+ α̇_{2}x_{2}(t)= 0 pre ∀t∈ℝ. ü= α̇_{1} ẋ_{1}+ α_{2} ẍ_{2}+ α̇_{2} ẋ_{2}. Za ẍ_{1} a ẍ_{2} dosadíme z homogénnej diferenciálnej rovnice:

L_{n}u= f ⇒ α̇_{1}(t)ẋ_{1}(t)+ α̇_{2}(t)ẋ_{2}(t)= f(t) ⇒ \{ \begin{matrix}α̇_{1}x_{1}+ α̇_{2}x_{2}= 0 \\ α̇_{1} ẋ_{1}+ α̇_{2} ẋ_{2}= f \end{matrix}

α̇_{1}(t)= \frac{1}{W (x_{1}, x_{2})(t)}· | \begin{matrix}0 & x_{2}(t) \\ f(t) & ẋ_{2}(t) \end{matrix} | = −\frac{x_{2}(t)f(t)}{W (x_{1}, x_{2})(t)}

α̇_{2}(t)= \frac{1}{W (x_{1}, x_{2})(t)}· | \begin{matrix}x_{1}(t) & 0 \\ ẋ_{1}(t) & f(t) \end{matrix} | = \frac{x_{1}(t)f(t)}{W (x_{1}, x_{2})(t)}

⇒ α_{1}(t)= c_{1}− ∫_{t_{0}}^{t} \frac{x_{2}(s)f(s)}{W (x_{1}, x_{2})(s)}ds α_{2}(t)= c_{2}+ ∫_{t_{0}}^{t} \frac{x_{1}(s)f(s)}{W (x_{1}, x_{2})(s)}ds

u(t)= α_{1}(t)x_{1}(t)+ α_{2}(t)x_{2}(t)= \underbrace{c_{1}x_{1}(t)+ c_{2}x_{2}(t)}_{vš. rieš. L_{2} u= 0}+

+ x_{1}(t) ∫_{t_{0}}^{t} \frac{−x_{2}(s)f(s)}{W (x_{1}, x_{2})(s)}ds+ x_{2}(t) ∫_{t_{0}}^{t} \frac{x_{1}(s)f(s)}{W (x_{1}, x_{2})(s)}ds

Ak by sme mali začiatočnú podmienku u(t_{0})= ξ_{0}, u̇(t_{0})= ξ_{1}, tak c_{1}x_{1}(t_{0})+ + c_{2}x_{2}(t_{0})= ξ_{0}. Zderivovaním u̇(t) dostaneme: c_{1} ẋ_{1}(t_{0})+ c_{2} ẋ_{2}(t_{0})= ξ_{1}.

Lineárne diferenciálne rovnice n-teho rádu s konštantnými koeficientami.

(1)  L_{n}u= u^{(n)}+ a_{1}u^{(n−1)}+ ⋯ + a_{n−1} u̇+ a_{n}u= 0  a_{i}∈ℝ resp.ℂ

Poznámka. Pod komplexným riešením diferenciálnej rovnice (1) rozumieme funkcie u(t)= u_{1}(t)+ iu_{2}(t) (s hodnotami v ℂ). u_{1}(t), u_{2}(t) sú reálne riešenia diferenciálnej rovnice (1).

Platí. Ak φ(t)= φ_{1}(t)+ iφ_{2}(t) s hodnotami v ℝ, potom L_{n}φ= L_{n}φ_{1}+ iL_{n}φ_{2} ⇒ ⇒ L_{n}φ= 0 ⇔ L_{n}φ_{1}= 0= L_{n}φ_{2} tj. φ je komplexným riešením diferenciálnej rovnice (1) ⇔ ak φ_{1}, φ_{2} sú reálne riešenia diferenciálnej rovnice (1).

Leibnizova formula. Ak u(t), v(t) sú n-krát diferencovateľné, potom:

(uv)^{(n)}= u^{(n)}v+ \binom{n}{1}u^{(n−1)} v̇+ \binom{n}{2}u^{(n−2)} v̈+ ⋯ + \binom{n}{n−1}u̇v^{(n−1)}+ uv^{(n)}

Definícia 8.3. Polynóm P (λ)= λ^{n}+ a_{1}λ^{n−1}+ ⋯ + a_{n−1}λ+ a_{n} sa nazýva charakteristický polynóm diferenciálnej rovnice (1).

Z Leibnizovej formuly:

L_{n}(e^{λt}v(t))= [e^{λt}v(t)]^{(n)}+ a_{1}(e^{λt}v(t))^{(n−1)}+ ⋯ + a_{n−1}(e^{λt}v(t))′+ a_{n}e^{λt}v(t)=

= e^{λt} [P (λ)v(t)+ \frac{P^{[1]}(λ)}{1!}v′(t)+ ⋯ + \frac{P^{[n−1]}(λ)}{(n−1)!}v^{(n−1)}(t)\frac{P^{[n]}(λ)}{n!}v^{(n)}(t)]

kde \frac{d^{i}v(t)}{dt^{i}} = v^{(i)}(t) a p^{[i]}(λ)= \frac{d^{i}P (λ)}{dλ^{i}}.

L_{2}(e^{λt}v(t))= (e^{λt}v(t))^{(2)}+ a_{1}(e^{λt}v(t))^{(1)}+ a_{2}(e^{λt}v(t))=
= (e^{λt})^{(2)}v(t)+ 2(e^{λt})′v′(t)+ e^{λt}v′′(t)+ a_{1}(e^{λt})′v(t)+ a_{1}e^{λt}v′(t)+ a_{2}e^{λt}v(t)=
= λ^{2}e^{λt}v(t)+ 2λe^{λt}v′(t)+ v′′(t)e^{λt}+ a_{1}λe^{λt}v(t)+ a_{1}e^{λt}v′(t)+ a_{2}e^{λt}v(t)=
= e^{λt}[(λ^{2}+ a_{1}λ+ a_{2})v(t)+ (2λ+ a_{1})v′(t)+ v′′(t)]

Veta 8.3. Nech λ_{1}, λ_{2}, ⋯, λ_{s} sú navzájom rôzne korene charakteristického polynómu P (λ)= λ^{n}+ a_{1}λ^{n−1}+ ⋯ + a_{n−1}λ+ a_{n}. Pričom násobnosť koreňa λ_{i} je m_{i}.

∑_{i=1}^{s}m_{i}= n. Potom fundamentálny systém riešení (vo všeobecnosti komplexných)

diferenciálnej rovnice (1) je:

x_{1}(t)= e^{tλ_{1}}; x_{2}(t)= te^{tλ_{1}}, ⋯, x_{m_{1}}(t)= t^{m_{1} −1}e^{tλ_{1}}
x_{m_{1} + 1}(t)= e^{tλ_{2}}; ⋯; x_{m_{1} + m_{2}}(t)= t^{m_{2} −1}e^{tλ_{2}}
⋮
x_{m_{1} + ···+ m_{s−1} + 1}(t)= e^{tλ_{s}}; ⋯; x_{m_{1} + ···+ m_{s}}(t)= t^{m_{s}−1}e^{tλ_{s}}

Dôkaz. Najskôr ukážeme, že ak η je koreň P (λ) násobnosti k, potom sú funkcie e^{ηt}, te^{ηt}, …, t^{k−1}e^{ηt} riešeniami diferenciálnej rovnice (1). Nech 0≤i≤k−1, potom

L_{n}(t^{i}e^{ηt})= e^{ηt} [\underbrace{P (η)}_{=0}·t^{i}+ \frac{1}{1!} \underbrace{P^{[1]}(η)}_{=0}(t^{i})′+ ⋯ + \frac{1}{i!} \underbrace{P^{[i]}(η)}_{=0}(t^{i})^{(i)}+

+ \frac{P^{[i+1]} (η)}{(i+ 1)!} \underbrace{(t^{i})^{(i+1)}}_{=0}+ ⋯ + \frac{P^{[n]}(η)}{n!} \underbrace{(t^{i})^{(n)}}_{=0}] = 0

Dokážeme, že x_{1}(t), ⋯, x_{n}(t) sú lineárne nezávislé. Stačí dokázať, že ich wronskián W (x_{1}, ⋯, x_{n})(t)≠ 0 pre t= 0. Nech:

W (x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n})(0)= | \begin{matrix}x_{1}(0) & ⋯ & x_{n}(0) \\ x_{1}^{(1)}(0) & ⋯ & x_{n}^{(1)} (0) \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ x_{1}^{(n−1)}(0) & ⋯ & x_{n}^{(n−1)} (0) \end{matrix} | = 0 ⇒

Potom existujú konštanty b_{0}, ⋯, b_{n−1}∈ℝ nie všetky nulové také, že b_{0}x_{j}(0)+ b_{1}x_{j}^{(1)} (0)+ ⋯ + b_{n−1}x_{j}^{(n−1)} (0)= 0 pre j= 1, 2. · · · , n. Definujme Q(λ):= b_{0}+ b_{1}λ+ ⋯ + b_{n−1}λ^{n−1}, degQ= n−1 a polynóm Q(λ) má n koreňov (vrátane ich násobnosti) –spor. Iný dôkaz: Nech sú x_{1}(t), ⋯, x_{n}(t) sú lineárne závislé; potom existujú konštanty c_{11}, ⋯, c_{1m_{1} −1}, c_{21}, ⋯, c_{2m_{2} −1}, ⋯, c_{s1}, ⋯, c_{sm_{s}−1} nie všetky nulové také, že

c_{11}e^{λ_{1} t}+ c_{12}te^{λ_{1} t}+ ⋯ + c_{1m_{1} −1}t^{m_{1} −1}e^{λ_{1} t}+ ⋯ + c_{sm_{s}−1}t^{m_{s}−1}e^{λ_{s}t} ⇔
⇔ P_{1}(t)e^{λ_{1} t}+ P_{2}(t)e^{λ_{2} t}+ ⋯ + P_{s}(t)e^{λ_{s}t}= 0 degP_{i}(t)= m_{i}−1

Nie všetky P_{i} sú ≡0. Bez ujmy na obecnosti predpokladajme, že P_{s}(t)≠ 0.

P_{1}(t)+ P_{2}(t)e^{(λ_{2} −λ_{1} )t}+ ⋯ + P_{s}(t)e^{(λ_{s}−λ_{1} )t}≡0

Derivujme m_{1}-krát:

P_{21}(t)e^{(λ_{2} −λ_{1} )t}+ ⋯ + P_{s1}(t)e^{(λ_{s}−λ_{1} )t}≡0 degP_{i1}= m_{i}−1

Po s takýchto procedúr dostávame, že P_{ss}(t)e^{(λ_{s}−λ_{1} −···−λ_{s−1} )t}≡0. Spor, lebo degP_{ss}= m_{s}−1.

Veta 8.4. Nech λ_{1}, ⋯, λ_{s} sú (1≤s≤n) korene charakteristického polynómu P (λ) diferenciálnej rovnice (1), λ_{i} má násobnosť m_{i}. ∑ m_{i}= n. Nech λ_{1}, ⋯, λ_{k} sú reálne a λ_{k+1} = α_{k+1} + iβ_{k+1} , ⋯, λ_{s}= α_{s}+ iβ_{s} sú komplexné. Potom fundamentálny systém reálnych riešení je: e^{tλ_{i}}, te^{tλ_{i}}, ⋯, t^{m_{i}−1}e^{tλ_{i}}, (i= 1, 2, ⋯, k), e^{tα_{j}} cos(β_{j}t), ⋯,

t^{m_{j}−1}e^{tα_{j}} cos(β_{j}t), e^{tα_{j}} sin(β_{j}t), ⋯, t^{m_{j}−1}e^{tα_{j}} sin(β_{j}t), j= k+ 1, ⋯, \frac{s+ k}{2}.

Príklad. n= 2 λ= α+ iβ, β≠ 0, λ̄= α−iβ. Komplexné riešenia: u(t)= e^{λt}= e^{αt}(cosβt+ i sint), v(t)= e^{λ̄t}= e^{αt}(cosβt−i sinβt),

reálne riešenia: u_{1}(t)= e^{αt} cosβt, u_{2}(t)= e^{αt} sinβt, u_{1}(t)= \frac{u+ v}{2}, u_{2}(t)= \frac{u−v}{2i}.

0≠ | \begin{matrix}u & v \\ u′ & v′ \end{matrix} | = 2 | \begin{matrix}\frac{u+ v}{2} & v \\ \frac{u′+ v′}{2} & v′ \end{matrix} | = 4i | \begin{matrix}\frac{u+ v}{2} & \frac{u−v}{2i} \\ \frac{u′+ v′}{2} & \frac{u′−v′}{2i} \end{matrix} | = 4i | \begin{matrix}u_{1} & u_{2} \\ u′_{1} & u′_{2} \end{matrix} |

IX. Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientami

(2)  ẋ_{1} = a_{11}x_{1}+ ⋯ + a_{1n}x_{n} ; ⋮ ; ẋ_{n} = a_{n1}x_{1}+ ⋯ + a_{nn}x_{n} Označme A= [(a_{ij})] ⇒ ẋ= Ax x= ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} )

Lineárna transformácia: y= t^{−1}x, kde T∈𝔐_{nn} je regulárna matica. x= x(t) riešenie ẋ= Ax ⇒ y= y(t)= T^{−1}x : ẏ= T^{−1} ẋ= T^{−1}Ax= (T^{−1}AT)y ⇒

(3)  ẏ= By, kde B:= T^{−1}AT

Definícia 9.1. Hovoríme, že systémy (2), (3) sú ekvivalentné.

Veta 9.1. Systém ẋ= Ax je ekvivalentný so systémom ẏ= By, kde B= T^{−1}AT je Jordanova forma matice A tj.

B= J(A)= [ D 0 ; 0 S_{1} ; ... ; S_{k} ] = diag(D, S_{1}, ⋯, S_{k})

kde S_{j}= [ \begin{matrix}λ_{m_{j}} & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & λ_{m_{j}} & 1 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & λ_{m_{j}} & 1 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & λ_{m_{j}} \end{matrix} ] ∈𝔐_{m_{j}m_{j}} D= [ \begin{matrix}λ_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & λ_{2} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & λ_{m} \end{matrix} ]

j= 1, 2, ⋯, k a m+ m_{1}+ ⋯ + m_{k}= n. λ_{i} sú vlastné hodnoty matice A. Teda systém ẏ= By má tvar ẏ_{1} = λ_{1}y_{1}, ⋯, ẏ_{m} = λ_{m}y_{m}. Výpočet matice T ak A má všetky vlastné hodnoty navzájom rôzne. V tomto prípade

B= T^{−1}AT= ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & λ_{2} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & λ_{n} \end{matrix} ) = diag(λ_{1}, ⋯, λ_{n})

T= [T_{1}, T_{2}, ⋯, T_{n}]= ? (T_{i} sú stĺpce). B= T^{−1}AT ⇔ TB= AT. TB= [λ_{1}T_{1}, ⋯, λ_{n}T_{n}] , AT= [AT_{1}, ⋯, AT_{n}]. Rovnosť AT= TB nastáva práve vtedy, keď AT_{i}= λ_{i}T_{i} pre ∀i. detT≠ 0 ⇒ T_{i}≠ 0 pre ∀i= 1, 2, ⋯, n.

Tvrdenie 9.1. Pre všetky i= 1, 2, ⋯, n je T_{i} vlastný vektor matice A zodpovedajúci vlastnému číslu λ_{i}.

Riešme Cauchyho úlohu ẋ= Ax, x(t_{0})= x_{0}. y= T^{−1}x, B= T^{−1}AT= J(A)= diag(λ_{1}, ⋯, λ_{n}) ⇒ ẋ= By, y(t_{0})= T^{−1}x_{0}= :y_{0}.

y(t)= e^{Bt}y_{0}= (I+ Bt+ \frac{1}{2!}(Bt)^{2}+ ⋯)y_{0}= (∑_{k=0}^{∞}(Bt)^{k} \frac{1}{k!}) y_{0}=

= ( \begin{matrix}e^{λ_{1} t} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & e^{λ_{2} t} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & e^{λ_{n}t} \end{matrix} ) y_{0}= diag(e^{λ_{1} t}, ⋯, e^{λ_{n}t})y_{0} ⇒

⇒ \underline{x(t)= Ty(t)= Te^{Bt}T^{−1}x_{0}}

Poznámka. e^{Bt}= e^{(T^{−1} AT)t} = T^{−1}e^{At} T.

Príklad. ẋ= ( \begin{matrix}1 & −3 \\ 4 & 6 \end{matrix} ) x, x_{0}= x(0)= ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ).

Riešenie: Vlastné hodnoty λ_{1}= −2, λ_{2}= −3 ⇒ vlastné vektory T_{1}, T_{2}, T_{1}= (1, 1)^{T},

T_{2}= (3, 4)^{T} ⇒ T= ( \begin{matrix}1 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix} ), T^{−1}= ( \begin{matrix}4 & −3 \\ −1 & 1 \end{matrix} ). x(t)= T·diag(e^{−2t}, e^{−3t})T^{−1}. Hľadáme

riešenie v tvare x(t)= e^{λt}γ, kde λ∈ℂ je parameter a γ je nenulový vektor.

ẋ= λe^{λt}γ= A(e^{λt}γ) (∀t∈ℝ) ⇔ e^{λt}[λI−A]γ= 0 ∀t ⇔ (λI−A)γ= 0

tj. algebraická rovnica (λI−A)x= 0 má netriviálne riešenie γ. To platí práve vtedy, keď P (λ)= det(λI−A)= 0 –charakteristická rovnica pre diferenciálnu rovnicu ẋ= Ax. Teda Aγ= λγ, tj. γ je vlastný vektor patriaci k λ.

Veta 9.2. Nech λ_{1}, ⋯, λ_{n} sú navzájom rôzne vlastné hodnoty matice A, (λ_{i}∈ℂ) a γ_{i}≠ 0 je vlastný vektor zodpovedajúci vlastnej hodnote λ_{i}, pričom γ_{1}, ⋯, γ_{n} sú lineárne nezávislé. Potom fundamentálny systém riešení (vo všeobecnosti komplexných) diferenciálnej rovnice ẋ= Ax je: x_{1}(t)= e^{λ_{1} t}γ_{1}, ⋯, x_{n}(t)= e^{λ_{n}t}γ_{n}.

Dôkaz. Ukázali sme, že x_{1}(t), ⋯, x_{n}(t) sú riešenia. Lineárna nezávislosť je triviálna:

det[\underbrace{e^{λ_{1} t}γ_{1}}_{stĺpce}, ⋯, e^{λ_{n}t}γ_{n}]= e^{(λ_{1} + ···+ λ_{n})t} det[γ_{1}, ⋯, γ_{n}]≠ 0 ∀t lebo det[γ_{1}, ⋯, γ_{n}]≠ 0

Výpočet reálnych riešení z komplexných e^{λt}γ -komplexné riešenie. λ= σ+ iω, ω≠ 0, γ= g+ ih, h≠ 0. e^{λt}γ= e^{(σ+ iω)t}(g+ ih)= = e^{σt}(cosωt+ i sinωt)(g+ ih)= e^{σt}[(g cosωt−h sinωt)+ i(h cosωt+ g sinωt)]. Reálne riešenia: u(t)= ℜ(e^{λt}γ)= e^{σt}(g cosωt−h sinωt); v(t)= ℑ(e^{λt}γ)= e^{σt}(h cosωt+ + g sinωt).

Veta 9.3. Nech λ= σ+ iω, ω≠ 0 je k-násobný koreň charakteristickej rovnice pre diferenciálnu rovnicu ẋ= Ax, tj. polynóm P (λ)= det(λI−A), pričom k nemu existuje k lineárne nezávislých vlastných vektorov: ξ_{1}= g_{1}+ ih_{1}, ⋯, ξ_{k}= g_{k}+ ih_{k}. Potom množina riešení tvaru u(t)= (a cosωt+ b sinωt)e^{σt}, (kde t∈ℝ, a, b sú vektory) je vektorový podpriestor množiny všetkých riešení dimenzie 2k, pričom jej báza je u_{1}(t)= (g_{1} cosωt−h_{1} sinωt)e^{σt}; ⋯; u_{k}(t)= (g_{k} cosωt−h_{k} sinωt)e^{σt}; v_{1}(t)= (h_{1} cosωt+ g_{1} sinωt)e^{σt}; ⋯; v_{k}(t)= (h_{k} cosωt+ g_{k} sinωt)e^{σt}.

Dôkaz. u_{1}, ⋯, u_{k}, v_{1}, ⋯, v_{k} sú riešenia to je jasné. Lineárna nezávislosť: Nech existujú c_{1}, ⋯, c_{k}, d_{1}, ⋯, d_{k}∈ℝ; ∑(c_{i}^{2}+ d_{i}^{2}≠ 0): c_{1}u_{1}(t)+ ⋯ + c_{k}u_{k}(t)+ d_{1}v_{1}(t)+ ⋯ + d_{k}v_{k}(t)= 0 ⇔ (c_{1}g_{1}+ ⋯ + c_{k}g_{k}+ d_{1}h_{1}+ ⋯ + + d_{k}h_{k})e^{σt} cosωt−i(c_{1}h_{1}+ ⋯ + c_{k}h_{k}−d_{1}g_{1}− ⋯ −d_{k}g_{k})e^{σt} sinωt= 0 ⇔ (c_{1}g_{1}+ ⋯ + + c_{k}g_{k}+ d_{1}h_{1}+ ⋯ + d_{k}h_{k})e^{σt} cosωt= 0 ∧ (c_{1}h_{1}+ ⋯ + c_{k}h_{k}−d_{1}g_{1}− ⋯ −d_{k}g_{k})e^{σt}·

· sinωt= 0 ⇔ t= \frac{π}{2ω} ∧ t= 0 ⇒ (c_{1}−id_{1})(\underbrace{g_{1}+ ih_{1}}_{ξ_{1}})+ ⋯ + (c_{k}−id_{k})(\underbrace{g_{k}+ ih_{k}}_{ξ_{k}})= 0.

Spor s lineárnou nezávislosťou ξ_{1}, ⋯, ξ_{k}.

Riešenie pomocou zovšeobecnených vlastných vektorov:

Definícia 9.2. Vektor v sa nazýva zovšeobecnený vlastný vektor rádu p matice A prislúchajúci vlastnému číslu λ matice A ak platí: (A−λI)^{p}v= 0 a (A−λI)^{p−1}v≠ 0.

Označme: v_{1}= (A−λI)^{p−1}v, v_{2}= (A−λI)^{p−2}v, ⋯, v_{p−1}= (A−λI)v, v_{p}= v. Platí: (A−λI)v_{1}= 0, (A−λI)v_{2}= v_{1}, ⋯, (A−λI)v_{p−1}= v_{p−2}, (A−λI)v_{p}= v_{p−1}, kde v_{1} je vlastný vektor.

Definícia 9.3. Usporiadanú p-ticu (v_{1}, v_{2}, ⋯, v_{p}) nazývame reťazec zovšeobecnených vlastných vektorov rádu (dĺžky) p matice A vytvorený vektorom v; (A−λI)^{p}v= 0; (A−λI)^{p−1}v≠ 0.

Veta 9.4. Nech (v_{1}, ⋯, v_{m}) je reťazec zovšeobecnených vlastných vektorov matice A zodpovedajúce vlastnému číslu λ matice A vytvorený vlastným vektorom v= v_{1}. Potom vektorové funkcie (vo všeobecnosti komplexné) w_{1}(t)= v_{1}e^{λt},

w_{2}(t)= (v_{2}+ v_{1}t)e^{λt}, ⋯, w_{k}(t)= (v_{k}+ \frac{1}{1!}v_{k−1}t+ ⋯ + \frac{1}{(k−1)!}v_{1}t^{k−1})e^{λt}, ⋯,

w_{m}(t)= (∑_{i=1}^{m} \frac{1}{i!}v_{i}t^{m−i}) e^{λt} sú riešeniami diferenciálnej rovnice ẋ= Ax, ktoré sú

lineárne nezávislé.

Dôkaz. Lineárna nezávislosť v_{1}, ⋯, v_{m}: m= 2: Nech v_{1}, v_{2} sú lineárne závislé. Potom c_{1}v_{1}+ c_{2}v_{2}= 0, c_{1}, c_{2}∈ℝ a c_{1}^{2}+ c_{2}^{2}≠ 0. Potom c_{1} \underbrace{(A−λI)v_{1}}_{= 0}+ c_{2} \underbrace{(A−λI)v_{2}}_{= v_{1}}= 0 ⇒ c_{2}= 0 ⇒ c_{1}= 0 –spor.

m= 3: c_{1}v_{1}+ c_{2}v_{2}+ c_{3}v_{3}= 0, ∑ c_{i}^{2}≠ 0.

c_{1} \underbrace{(A−λI)v_{1}}_{0}+ c_{2} \underbrace{(A−λI)v_{2}}_{v_{1}}+ c_{3} \underbrace{(A−λI)v_{3}}_{v_{2}}= 0 ⇒ c_{2}v_{1}+ c_{3}v_{2}= 0 ⇔

⇔ c_{2}(A−λI)v_{1}+ c_{3}(A−λI)v_{2}= 0 ⇒ c_{3}= 0 ⇒ c_{2}= 0 ⇒ c_{1}= 0. Lineárna nezávislosť funkcií w_{1}(t), ⋯, w_{m}(t) vyplýva z toho, že w_{i}(0)= v_{i} pre ∀i. Dokážeme, že w_{1}(t), ⋯, w_{m}(t) sú riešenia diferenciálnej rovnice ẋ= Ax. Platí: ẇ_{1} (t)= λv_{1}e^{λt}= λw_{1}(t)= Aw_{1}(t), lebo v_{1} je vlastný vektor. ẇ_{2} (t)= v_{1}e^{λt}+ (v_{2}+ v_{1}t)λe^{λt} ⇒ ẇ_{2} (t)= λw_{2}+ w_{1} atď. ẇ_{m}= λw_{m}+ w_{m−1}. Aw_{2}= A[(v_{2}+ v_{1}t)e^{λt}]= e^{λt}Av_{2}+ e^{λt}Av_{1}t= e^{λt}(λv_{2}+ v_{1})+ e^{λt}tλv_{1}= λe^{λt}v_{2}+ e^{λt}v_{1}+ + λv_{2}te^{λt}= λ(v_{2}+ v_{1}t)e^{λt}+ v_{1}e^{λt}, Aw_{2}= λw_{2}+ w_{1} ⇒ ẇ_{2} = Aw_{2}. Ak w_{k}(t) je komplexné riešenie, tak reálne riešenia sú: x_{k}(t)= ℜ(w_{k}(t)), y_{k}(t)= ℑ(w_{k}(t)).

Poznámka. ẋ= Ax, x∈ℝ^{n}, Φ(t)= e^{At} = I_{m}+ \frac{1}{1!}(At)+ ⋯ + \frac{1}{k!}(At)^{k}+ · · ·.

P (λ)= det(A−λI_{n})= (−1)^{n}(λ^{n}+ c_{1}λ^{n−1}+ ⋯ + c_{n−1}λ+ c_{n})= 0. Podľa Cayley-Hamil-tonovej vety ⇒ A^{n}= −c_{1}A^{n−1}− ⋯ −c_{n−1}A+ c_{n}. Potom A^{k} pre k≥n možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu matíc I, A, A^{2}, ⋯, A^{n−1}, teda existujú funkcie (s hodnotami v ℝ) b_{0}(t), b_{1}(t), ⋯, b_{n−1}(t) také, že Φ(t)= e^{At} = b_{0}(t)I_{n}+ b_{1}(t)A+ + ⋯ + b_{n−1}(t)A^{n−1} ∀t∈ℝ.

1. Nech λ_{1}, ⋯, λ_{n} sú navzájom rôzne vlastné čísla matice A. TAT^{−1} = B = = diag(λ_{1}, ⋯, λ_{n}). Potom e^{Bt}= Te^{At} T^{−1}= T[b_{0}(t)+ ⋯ + b_{n−1}(t)A^{n−1}]T^{−1}=

= b_{0}(t)I_{n}+ ⋯ + b_{n−1}(t) \underbrace{TA^{n−1}T^{−1}}_{B^{n−1}}.

( \begin{matrix}e^{λ_{1} t} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & ⋯ & e^{λ_{n}t} \end{matrix} ) = ∑_{i=0}^{n−1} ( \begin{matrix}b_{0}(t)λ_{1}^{i} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & ⋯ & b_{n}(t)λ_{n}^{i} \end{matrix} ) ⇔

⇔ e^{λ_{i}t}= b_{0}(t)+ b_{1}(t)λ_{i}+ ⋯ + b_{n−1}(t)λ_{i}^{n−1} i= 1, 2, ⋯, n

systém lineárnych algebraických rovníc o neznámich b_{0}(t), ⋯, b_{n−1}(t). Jeho determinant je Vandermondov determinant a ten je nenulový.

2. Ak λ je k-násobný koreň charakteristického polynómu. Máme jednu rovnicu: b_{0}(t)+ b_{1}(t)λ+ ⋯ + b_{n−1}(t)λ^{n−1}= e^{λt}. Derivujme podľa λ: b_{1}(t)+ 2b_{2}(t)λ+ ⋯ + (n−1)b_{n−1}(t)λ^{n−2}= te^{λt}, …, (k−1)!b_{k−1}(t)+ ⋯ + (n−k) ⋯ (n−1)b_{n−1}(t)·λ^{n−k−1}= t^{k−1}e^{λt}. Ak to urobíme pre každé vlastné číslo matice A, tak dostaneme n rovníc o neznámich b_{0}(t), ⋯, b_{n−1}(t).