LINEÁRNA ALGEBRA

I.ročník

Fakulta matematiky, fyziky a informatiky

Univerzita Komenského

Contents

I. Zobrazenia medzi množinami 2 II. Okruh, teleso, pole 9 III. Vektorové priestory 10 IV. Systémy lineárnych rovníc 13 V. Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov 15 VI. Lineárne a direktné súčty 19 VII. Matice 20 VIII. Lineárne zobrazenie 24 IX. Systémy lineárnych rovníc 2 32 X. Euklidovský vektorový priestor 42 XI. Afinný priestor (nad ℝ) 48 XII. Lineárne transformácia vektorových priestorov 69 XIII. Kvadratické formy 81 XIV. Homogénne bilineárne formy 86 XV. Krivky 2.rádu 89 XVI. Duálny vektorový priestor a základy multilineárnej algeb-

ry 91

References

1. M.Hejný, V.Zaťko, P.Kršňák, Geometria 1, SPN, Bratislava, 1985.

2. T.Katriňák, M. Gavalec, E.Gedeonová, J.Smítal, Algebra a teoretická aritmetika, Univerzita Komenského, Bratislava, 1999.

3. G.Birkhoff, S.MacLane, Prehľad modernej algebry, ALFA, Bratislava, 1979.

4. A.I.Kostrikin, Y.I.Manin, Linear Algebra and Geometry, Gordon & Breach, New York, 1989.

5. A.K.Faddejev, J.S.Sominskij, Zbierka úloh z vyššej algebry, ALFA, Bratislava, 1968.

6. I.V.Proskurjakov, Problems in Linear Algebra, Mir, Moscow, 1978.

7. A.I.Kostrikin, Exercises in Algebra; A Collection of Exercises in Algebra; Linear Algebra and Geometry, Gordon & Breach, New York, 1996.

Typeset by AMS-TEX

I. ZOBRAZENIA MEDZI MNOŽINAMI

Definícia 1.1. Nech A, B sú množiny. Zobrazenie z A do B je predpis, ktorý každému prvku z A priradí práve jeden prvok z B. Ak tento predpis označíme f, tak hovoríme f : A → B. f(a) = b znamená, že sme priradili prvku a∈A → b∈B. a je tzv. vzor prvku b. f : a→b. f(A)= obraz zobrazenia f. Im(f) je obraz množiny A pri zobrazení Im(f) = {y∈B ∃x∈A : f(x)= y}

Definícia 1.2. Zobrazenia f : A→B, g : A→B sa rovnajú (f= g), ak pre ∀a∈A je f(a)= g(a). f, g : ℕ→ℕ; f(x)= x+ x; g(x)= 2x

Definícia 1.3. Nech f : A→B je zobrazenie a nech Á ⊂ A. Predpis, ktorý každému prvku a∈Á priradí f(a) sa nazýva zúženie zobrazenia f na podmnožinu Á. Označenie: f ↾Á: Á→B a f ↾Á (x)= f(x)

Definícia 1.4. f : A→B sa nazýva surjektívne ak f(A)= B. Zobrazenie f : A→B je surjektívne ⟺ ∀y∈B ∃x∈A : f(x)= y.

Definícia 1.5. Zobrazenie f: A→B sa nazýva injektívne ak z toho, že f(a)= f(á) vyplýva, že a= á

Definícia 1.6. Zobrazenie f : A→B sa nazýva bijekcia ak je surjektívne aj injektívne.

Definícia 1.7. Nech f : A→B, g : B→C sú dve zobrazenia, potom predpis x∈A → g(f(x)) definuje zobrazenie A→C označíme ho g∘f:A→C, g∘f(x)= g(f(x)) pre ∀x∈A. Zobrazenie g∘f : A→C sa nazýva zobrazenie zložené z f a g resp. kompozícia zobrazení f a g.

Tvrdenie 1.1. 1._{)} Ak f : A→B, g : B→C sú injekcie, tak aj g∘f : A→C je injekcia. 2._{)} Ak f : A→B, g : B→C sú surjekcie, tak aj g∘f : A→C je surjekcia.

Dôkaz. Predpokladajme, že g∘f(a)= g∘f(á). Chceme ukázať, že a= á. Ale g(f(a))= g(f(á)), lebo g je injektívne. Z toho: f(a)= f(á). Ale aj f je injektívne ⇒ a= á.

Tvrdenie 1.2. Ak f : A→B, g : B→C, h : C→D sú zobrazenia, tak h∘(g∘f)= (h∘g)∘f. To je tzv. asociatívnosť skladania zobrazení.

Dôkaz. h∘(g∘f)(x) = h((g∘f)(x))= h(g(f(x))); (h∘g)∘f(x)= (h∘g)(f(x))= h(g(f(x)) : ∀x∈A

Veta 1.1 a Definícia 1.8. Nech f : A→B je bijekcia. Potom existuje zobrazenie B→A, ktoré každému prvku b∈B priradí len jediný prvok a∈A, pre ktorý f(a)= b. Toto je inverzné zobrazenie k f, označíme ho f^{−1}. Teda f^{−1}(b)= a ⇔ f(a)= b . Zobrazenie f^{−1} : B→A je tiež bijektívne a platí: f^{−1}∘f= id_{A}, f∘f^{−1}= id_{B}.

Dôkaz. 1._{)}f^{−1} je injekcia: nech a= f^{−1}(b)= f^{−1}(b́) Potom f(a)= b a f(a)= b́ ⇒ b= b́. f^{−1} je injekcia. 2._{)}f^{−1} je surjekcia: ľubovoľné a∈A, f^{−1}(f(a))= a, f^{−1} je bijekcia.

Tvrdenie 1.3. Ak f : A→B, g : B→A sú zobrazenia také, že g∘f= id_{A}, tak f je injekcia a g je surjekcia.

Dôkaz. f je injekcia: Predpokladajme, že f(a) = f(á) ⇒ g(f(a)) = g(f(á)) = (g ∘ f)(á) = = id_{A}(á) = á. g je surjekcia: ľubovoľné a∈A ⇒ f(a)∈B, a= g(f(a)) ⇒ f(a) je vzor k prvku a pri zobrazení g.

Veta 1.2. Zobrazenie f : A→B je bijektívne ⇔ keď existuje g : B→A také, že g∘f= id_{A} a f∘g= id_{B}

Dôkaz. Predpokladajme, že f je bijektívne. Potom vieme, že ∃f^{−1} : B→A s tým, že f^{−1}∘f= id_{A}. Predpokladajme, že ∃g : B→A : g∘f= id_{A} a f∘g= id_{B}. Z tvrdenia 1.3 dostávame, že f je injektívne aj surjektívne ⇒ bijektívne.

Binárne operácie.

Definícia 1.9. Binárna operácia na množine M≠ ∅ je zobrazenie M×M→M. Binárne operácie označujeme rôznymi spôsobmi. Obraz dvojice (a, b)∈M×M potom označujeme obyčajne a+ b= + (a, b) ⋯

Definícia 1.10. Nech ∗ : M×M→M je binárna operácia na M. Prvok e∈M taký, že m∗e= m= e∗m pre ∀m∈M sa nazýva neutrálny prvok operácie ∗.

Pozn.. Binárna operácia nemusí mať neutrálny prvok.

Tvrdenie 1.4. Ak binárna operácia ∗ : M×M→M má neutrálny prvok, tak ho má jediný.

Dôkaz. Keby e_{1}, e_{2}∈M boli neutrálne, tak e_{1}= e_{1}∗e_{2}= e_{2} ⇒ e_{1}= e_{2}.

Definícia 1.11. Nech ∗ : M×M→M je binárna operácia a nech má neutrálny prvok e∈M. Ak pre nejaké x∈M : ∃y∈M také, že x∗y= y∗x= e, tak y sa volá inverzný prvok k x.

Označenie. Inverzný prvok k prvku x z predchádzajúcej definície označíme x^{−1}.

Definícia 1.12. Binárna operácia je asociatívna, ak pre všetky a, b, c∈M máme: a∗(b∗c)= (a∗b)∗c

Tvrdenie 1.5. Nech • : M×M→M je asociatívna binárna operácia a nech e∈M je neutr. prvok tejto operácie. Potom ak pre x∈M existuje inverzný prvok, tak je jediný.

Dôkaz. Nech pre x∈M by inverzné prvky boli dva: a∈M, b∈M. Teda: ax= xa= e, bx= xb= e. Chceme ukázať, že a= b. Takto: a= ae= a(xb)= (ax)b= eb= b.

Definícia 1.13. Nech G≠ ∅ je množina a nech ∗ : G×G→G je binárna operácia na G s týmito vlastnosťami: 1._{)} binárna operácia ∗ je asociatívna 2._{)} v G existuje neutrálny prvok operácie ∗, označíme ho e, teda pre každé x∈G: e∗x= x∗e= x 3._{)} ∀x∈G existuje v G inverzný prvok, vieme už, že to je jediný prvok x^{−1}∈G taký, že x∗x^{−1}= x^{−1}∗x= e.

Potom hovoríme, že dvojica (G, ∗) je grupa. (alebo G s operáciou ∗ je grupa). Ak je operácia ∗ jasná, niekedy hovoríme, že G je grupa.

Príklad. Nech m∈ℕ je pevne zvolené. Označme ℤ_{m} množinu zvyškov po delení celých čísel číslom m. Teda ℤ_{m}= {0, 1, ⋯, m − 1}. Definujme pre x, y∈ℤ_{m}: x⊕y je zvyšok po vydelení x+ y číslom m. Potom ⊕ je binárna operácia na ℤ_{m}. Je asociatívna, neutrálny prvok je 0, inverzný prvok k x∈ℤ_{m} je zvyšok po vydelení čísla m−x číslom m. (ℤ_{m}, ⊕) je grupa.

Definícia 1.14. Binárna operácia ∗:M×M→M na množine M≠ ∅ je komutatívna, ak pre ∀a, b∈M : a∗b= b∗a. Ak túto vlastnosť nemá tak je nekomutatívna.

Definícia 1.15. Ak (G, ∗) je grupa a operácia ∗ je komutatívna, tak grupa G sa nazýva komutatívna (alebo tiež Abelovská).

Príklady. 1._{)}(ℝ \ {0}, ·) je komutatívna grupa. 2._{)}G= {e}, e∗e= e to je tzv. triviálna grupa. 3._{)}(ℤ, +), (ℤ_{m}, ⊕) sú komutatívne grupy. 4._{)} Nech M≠ ∅ je množina. Označme S_{M}:= množinu všetkých bijekcií M→M. Skladanie zobrazení definuje binárnu operáciu ∗ na S_{M}, tj. f∗g= g∘f pre ∀f, g∈S_{M}. Potom (S_{M}, ∗) je grupa. Nie je komutatívna. 5._{)} Ak M z 4._{)} je M= {1, 2, ⋯, n} čo je vlastne S_{M}? S_{{1,2,··· ,n}} je vlastne množina permutácií prvkov 1, 2, ⋯, n množiny {1, 2, ⋯, n}. Permutáciu

f : \{1, 2, ⋯, n\}→\{1, 2, ⋯, n\} môžeme prehľadne zapísať ako f= ( \begin{matrix}1 & 2 & ... & n \\ f(1) & f(2) & ... & f(n) \end{matrix} )

Napr. pre S_{{1,2,3}} je (S_{{1,2,3}}, ∗) grupa, ktorá má 6 prvkov.

Napr.:( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix} ) ∗ ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} ) kým ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} ) ∗ ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} ).

S_{{1,2,3}} je komutatívna grupa.

Veta 1.3. Nech (G, •) je grupa. Potom: 1._{)}(x^{−1})^{−1}= x pre ∀x∈G 2._{)} (x•y)^{−1}= y^{−1}•x^{−1} pre ∀x, y∈G

Dôkaz. 1._{)} (x^{−1})^{−1} je inverzný prvok k x^{−1}. Ale máme x•x^{−1}= x^{−1}•x= 1 a teda inverzný prvok k x^{−1} je x. Pretože inverzný prvok je jediný máme: (x^{−1})^{−1}= x. 2._{)} Rátajme (x•y)•(y^{−1}•x^{−1})= x•(y•y^{−1})•x^{−1}= x•1•x^{−1}= 1 Podobne (y^{−1}•x^{−1})•(x•y)= y^{−1}•(x^{−1}•x)•y= y^{−1}•1•y= 1 ⇒ 2._{)}

Podgrupa.

Definícia 1.16. Nech (G, •) je grupa. Nech U≠ ∅ je podmnožina v G s binárnou operáciou ∗ : U×U→U takou, že pre každé x, y∈U platí x∗y= x•y. Ak (U, ∗) je grupa, tak hovoríme, že (U, ∗) je podgrupa grupy (G, •). Voľnejšie tiež hovoríme, že grupa U je podgrupou grupy G. Teda ak (U, ∗) je podgrupou v (G, •) tak zobrazenie • |_{U×U}: U×U→G je vlastne U teda (trochu nepresne) môžeme povedať, že v tejto situácii je binárna operácia ∗ podgrupy U zúžením binárnej operácie • grupy G.

Veta 1.4. (kritérium podgrupy). Nech U≠ ∅ je podmnožina množiny G, pričom nech (G, •) je grupa. Potom U je podgrupou grupy G práve vtedy, keď platí ktorákoľvek z nasledujúcich dvoch ekvivalentných podmienok: (I): pre ∀x, y∈U je x•y^{−1}∈U (II): pre ∀x, y∈U je x•y∈U a y^{−1}∈U.

Dôkaz. U je podgrupa potom (I) ∧ (II) Najskôr ukážeme, že (U, ∗) je podgrupa v (G, •). Označme 1_{U} neutrálny prvok grupy U, 1 je neutrálny prvok grupy G. Máme: 1_{U}∗1_{U}= 1_{U}= 1_{U}•1_{U}= 1_{U}•1 . Vynásobením rovnosti zľava prvkom 1_{U}^{−1} dostávame: 1_{U}= 1. Teraz pre ľubovoľný prvok y∈U označme y_{U}^{−1} k nemu inverzný prvok v podgrupe (U, ∗). (y^{−1} je inverzný prvok k y v grupe (G, •)). Máme: y_{U}∗y_{U}^{−1}= \underline{y_{U}•y_{U}^{−1}}= 1_{U}= \underline{1}= y_{U}^{−1}∗y_{U}= \underline{y_{U}^{−1}•y_{U}}. Teda z toho, čo je podčiarknuté vidíme, že k y je v G inverzný prvok y_{U}^{−1}. Ale tiež je to y^{−1}. Keďže inverzný prvok k prvku grupy je práve jeden, dostávame: y_{U}^{−1}= y^{−1}. Teda pre x, y∈U máme aj x, y^{−1}∈U. Pretože (U, ∗) je podgrupa, máme x∗y^{−1}= x•y^{−1}∈U. To je práve (I). Analogicky sa dokáže, že ak (U, ∗) je podgrupa, tak platí (II). Teraz predpokladajme, že je splnená podmienka (I). Chceme ukázať , že potom (U, ∗) je podgrupa. Pretože U≠ ∅ máme ďalej prvok a∈U. Z (I) potom dostávame, že a•a^{−1}= 1∈U Ďalej, ak y∈U je ľubovoľné, tak z podmienky (I) vyplýva 1•y^{−1}= y^{−1}∈U. Teraz pre ľubovoľné x, y∈U bude tiež x, y^{−1}∈U. Z (I) potom máme, že aj x•(y^{−1})^{−1}= x•y∈U. Ináč povedané, predpis x∗y= x•y pre ľubovoľné (x, y)∈U×U definuje binárnu operáciu ∗ : U×U→U. Operácia ∗ je asociatívna (lebo • je taká), neutrálny prvok je, inverzný prvok y_{U}^{−1}= y^{−1}, teda (U, ∗) je grupa. Je to podgrupa v (G, •).

Homomorfizmy grúp.

Definícia 1.17. Nech (G, •), (H, ∗) sú grupy. Homomorfizmus z (G, •) do (H, ∗) je zobrazenie f : G→H také, že f(x•y)= f(x)∗f(y) pre všetky x, y∈G.

Veta 1.5. Nech f : (G, •) → (H, ∗) je homomorfizmus grúp. Potom 1._{)} f(1)= 1. 2._{)} f(x^{−1})= (f(x))^{−1}.

Dôkaz. 1._{)}1∗f(1)= f(1•1)= f(1)∗f(1) ⇔ f^{−1}(1)∗1∗f(1)= f^{−1}(1)∗f(1)∗f(1) ⇔ f(1)= 1 2._{)} Nech x∈G je ľubovoľné. Potom x∗x^{−1}= x^{−1}∗x= 1. Pretože f je homomorfizmus a platí f(1)= 1 máme, že f(x•x^{−1})= f(x)∗f(x^{−1})= f(x^{−1})∗f(x)= f(1)= 1 z čoho (f(x))^{−1}= f(x^{−1}).

Veta 1.6. Nech f : (G, •) → (H, ∗) je homomorfizmus grúp. Ak S≠ ∅ je podgrupa grupy G tak f(S) je podgrupa grupy H.

Dôkaz. Pretože S je podgrupa vieme, že 1∈S. Potom f(1)= 1∈S, teda f(S)≠ ∅. Ďalej overíme (napr.) podmienku (I) z kritéria podgrupy pre f(S). Nech x, y∈f(S) sú ľubovoľné . Teda x= f(a) a y= f(b) pre a, b∈S. Potom y^{−1}= (f(b))^{−1}= f(b^{−1}) z predchádzajúcej vety. Z toho x∗y^{−1}= f(a)∗f(b^{−1})= f(a•b^{−1})∈f(S) totiž a•b^{−1}∈S keďže a, b∈S a S je podgrupa. Podmienka (I) je splnená a teda f(S) je podgrupa.

Definícia 1.18. Majme zobrazenie f : M→N a nech A⊂N. Vzor množiny A pri zobrazení f označíme f^{−1}(A) pritom f^{−1}(A)= {x∈M; f(x)∈A} Veta 1.7. Nech f : (G, •)→(H, •) je homomorfizmus grúp a nech S⊂H je podgrupa grupy H. Potom f^{−1}(S) je podgrupa grupy G.

Dôkaz. Vieme, že f(1)= 1 pritom 1∈S, lebo S je podgrupa. Teda 1∈f^{−1}(S) a preto f^{−1}≠ ∅. Teraz použijeme kritérium podgrupy. Nech x, y∈f^{−1}(S) sú ľubovoľné. Chceme ukázať, že x•y^{−1}∈f^{−1}(S). Takto: pretože x, y∈f^{−1}(S) máme f(x)∈S, f(y)∈S. Pretože S je podgrupa, potom aj f(x)•(f(y))^{−1}∈S. Pritom však vieme, že f(y^{−1})= (f(y))^{−1}. Teda máme f(x)•f(y^{−1})∈S ⇒ f(x•y^{−1})∈S. To znamená, že x•y^{−1}∈f^{−1}(S). □

Definícia 1.19. Nech f : (G, •)→(H, •) je homomorfizmus grúp. Vieme, že {1}⊂H je podgrupa grupy H. Podgrupu f^{−1}({1}) grupy G nazývame jadro homomorfizmu f, označuje sa Ker(f). Teda Ker(f)= {x∈G; f(x)= 1}

Veta 1.8. Nech f : (G, •)→(H, •) je homomorfizmus grúp. Potom f je injekcia ⇔ Ker(f)= {1}

Dôkaz. ⇒ : Nech f je injektívne zobrazenie. Chceme ukázať, že Ker(f)= {1}. Takto: máme f(1)= 1, a teda zrejme {1}⊂Ker(f). Ak x∈Ker(f), tak f(x)= 1= f(1). Z injektívnosti f vyplýva, že x= 1. Teda tiež Ker(f)⊂{1}. Vcelku: Ker(f)= {1}. ⇐ : Predpokladajme, že Ker(f) = 1. Chceme ukázať, že f je injektívne. Takto: nech f(x) = f(y) pre dáke x, y∈G. Potrebujeme ukázať, že x = y. Z toho, že f(x)= f(y) dostávame f(x)•(f(y))^{−1}= 1. Ale vieme, že f(y^{−1})= (f(y))^{−1}. Teda platí: f(x)•f(y^{−1})= 1. Pretože f je homomorfizmus, z toho dostaneme: f(x•y^{−1})= 1. Teda: x•y^{−1}∈Ker(f)= {1}. To znamená, že x•y^{−1}= 1. Z toho dostaneme, že x= y.

Definícia 1.20. Injektívny homomorfizmus grúp sa nazýva monomorfizmus. Surjektívny homomorfizmus grúp sa nazýva epimorfizmus. Homomorfizmus grúp, ktorý je bijektívny sa volá izomorfizmus. Ak (G, •) a (H, •) sú grupy a existuje izomorfizmus f : (G, •)→(H, •) tak hovoríme, že grupy G a H sú izomorfné. Vtedy stručne píšeme: f : G ⟶^{≅} H, alebo G≅H.

Veta 1.9. Nech f : (G, •)→(H, •) je izomorfizmus grúp. Potom aj inverzné zobrazenie f^{−1} : (H, •)→(G, •) je izomorfizmus grúp.

Dôkaz. Vieme, že f^{−1} : H→G existuje a že je bijekcia. Ešte treba ukázať, že f^{−1} je aj homomorfizmus grúp. Takto: nech x, y∈H sú ľubovoľné. Potom existujú jednoznačne určené a, b∈G také, že f(a)= x, f(b)= y. Keďže f je homomorfizmus máme f(a)•f(b)= f(a•b)= x•y; z toho: f^{−1}(x•y)= a•b= f^{−1}(x)•f^{−1}(y).

Veta 1.10. Zloženie dvoch homomorfizmov grúp je znova homomorfizmus grúp. Zloženie dvoch izomorfizmov grúp je znova izomorfizmus.

Dôkaz. Nech f: (G, •)→(H, •), t: (T, •)→(S, •) sú homomorfizmy grúp. Potom pre ∀x, y∈G je t∘f(x•y)= t(f(x•y))= t(f(x)•f(y))= t(f(x))•t(f(y))= (t∘f(x))•(t∘f(y)).

Relácie na množinách a faktorové grupy komutatívnych grúp.

Definícia 1.21. Relácia na množine M≠ ∅ je hocijaká podmnožina R⊂M×M.

Definícia 1.22. Relácia R na množine M≠ ∅ sa volá relácia ekvivalencie ak má tieto vlastnosti: 1._{)}(x, x)∈R ∀x∈M (reflexívnosť relácie R) 2._{)} ak (x, y)∈R tak aj (y, x)∈R (symetrickosť) 3._{)} ak (x, y)∈R a (y, z)∈R tak aj (x, z)∈R (tranzitívnosť)

Definícia 1.23. Nech ∼ je relácia ekvivalencie na množine M≠ ∅. Potom pre ľubovoľné y∈M označíme [y]= {x∈M; x∼y}. [y] sa volá trieda ekvivalencie určená (reprezentovaná) prvkom y, y sa volá reprezentant triedy ekvivalencie [y].

Veta 1.11. Nech ∼ je relácia ekvivalencie na množine M≠ ∅ a nech [y] pre y∈M znamená triedu reprezentovanú prvkom y. Potom: 1._{)}[y]≠ ∅ ∀y∈M 2._{)}[x]= [y] ⇔ x∼y ∀x, y∈M 3._{)} ak [x]≠ [y], tak [x]∩[y]= ∅

4._{)} ⋃_{x∈M}[x]= M

Dôkaz. 1._{)}y∼y a vtedy y∈M. 2._{)} ⇐ : Nech x∼y. Chceme ukázať, že [x]= [y]. Nech a∈[x]. Potom a∼x, ale x∼y, preto a∼y, a teda a∈[y]. Teda [x]⊂[y]. Analogicky sa dokáže [y]⊂[x], teda [x]= [y]. ⇒ : Predpokladajme, že [x]= [y]. Potom x∈[x]= [y], teda x∈[y], preto x∼y. 3._{)} Predpokladajme, že [x]∩[y]≠ ∅. Teda existuje a∈[x]∩[y]. Potom a∼x a a∼y, teda x∼y. 4._{)} Je zrejmé, že ⋃_{x∈M}[x]⊂M. Nech teraz x∈M. Potom x∈[x], teda x∈ ⋃_{x∈M}[x],

ukázali sme tiež, že M⊂ ⋃_{x∈M}[x]. Teda M= ⋃_{x∈M}[x].

Veta 1.12. Nech (G, +) je komutatívna grupa a nech H je jej podgrupa. Definujme reláciu ∼ na G takto: pre x, y∈G platí x∼y ⇔ x−y∈H. Potom ∼ je relácia ekvivalencie.

Dôkaz. Reflexívnosť: x−x= 0∈H, teda x∼x ∀x∈G Symetrickosť: nech x∼y. Potom x−y∈H. Ale H je podgrupa a preto aj −(x−y)∈H teda y∼x. Tranzitívnosť: nech x∼y a y∼z. Potom: x−y∈H a y−z∈H. Pretože H je podgrupa máme, že (x−y)+ (y−z)∈H. Teda x∼z.

Označenie. Množinu tried ekvivalencie na grupe G vzhľadom na reláciu ekvivalencie z predchádzajúcej vety označíme G/H.(G podľa H)

Tvrdenie 1.5. Nech pre [x]∈G/H a [y]∈G/H je [x]⊕[y]= [x+ y]. Potom ⊕ : G/H×G/H→G/H je dobre definované zobrazenie a teda ⊕ je binárna operácia na množine G/H.

Dôkaz. Treba ukázať, že [x+ y] nezávisí od výberu reprezentant tried [x] resp. [y]. Nech [x]= [a], [y]= [b]. Chceme ukázať, že [a+ b]= [x+ y]. Takto: z toho, že [x]= [a], [y]= [b] vieme, že x∼a, y∼b. Teda x−a∈H, y−b∈H. Pretože H je podgrupa grupy G, máme tiež (x−a)+ (y−b)∈H ⇔ (x+ y)−(a+ b)∈H. Z toho x+ y∼a+ b, teda [x+ y]= [a+ b].

Veta 1.13 a Definícia 1.24. Nech G je komutatívna grupa a H je jej podgrupa. Na množine G/H definujme binárnu operáciu ⊕ ako v predchádzajúcom tvrdení. Potom (G/H; ⊕) je komutatívna grupa. Táto grupa sa volá faktorová grupa grupy G podľa podgrupy H.

Dôkaz. G/H≠ ∅, lebo [0]∈G/H. Asociatívnosť operácie ⊕: [x]⊕([y]⊕[z])= [x+ (y+ + z)]= [(x+ y)+ z]= [x+ y]⊕[z]= ([x]⊕[y])⊕[z] pre ∀[x], [y], [z]∈G/H. Existencia neutrálneho prvku: pre každé [x]∈G/H máme [x]⊕[0]= [x+ 0]= [x]= [0+ x]= [0]⊕[x] Teda [0] je neutrálny prvok operácie ⊕. Existencia inverzného prvku: nech [x]∈G/H je ľubovoľné, potom: [x]⊕[−x]= [x−x]= [0]= [−x]⊕[x], teda inverzný prvok k [x]∈G/H je [−x]∈G/H. (G/H, ⊕) je komutatívna grupa: [x]⊕[y]= [x+ y]= [y+ x]= [y]⊕[x].

Príklad. Nech m∈ℕ je pevne zvolené. Zoberme G= ℤ s operáciou sčitovania a H= mℤ. ℤ/mℤ= {[0], [1], ⋯, [m−1]}, [x]⊕[y]= [x+ y] ∀x, y∈ℤ, (ℤ/mℤ, ⊕) je komutatívna grupa.

Tvrdenie 1.6. Nech H≠ {0} je podgrupa grupy (ℤ, +). Potom ∃m∈ℕ také, že H= mℤ.

Dôkaz.

Nech m je najmenšie celé číslo patriace do H. Potom aj k·m= \overbrace{m+ ⋯ + m}^{k−krát} ∈H pre ∀k∈ℕ \ {0}. Pretože H je podgrupa, máme tiež k·m∈H pre ∀k∈ℤ. Teda mℤ⊂H. Ešte ukážeme, že H⊂mℤ. Nech x∈H je ľubovoľný kladný prvok z H, ukážeme, že x∈mℤ (to stačí). Vieme, že x= q·m+ r, pre jednoznačne určené q, r pričom 0≤r<m. Z toho: r= x−q·m∈H. Keby r>0, tak by r bolo kladné číslo z H, menšie ako najmenší kladný prvok z H –to je nemožné. Preto r= 0, a teda x= q·m tj. x∈mℤ. Tým sme ukázali, že aj H⊂mℤ. Vcelku: H= mℤ.

Veta 1.14. (o faktorovom izomorfizme): Nech (G, +) a (H, +) sú komutatívne grupy a nech f : G→H je homomorfizmus grúp. Potom G/Ker(f)≅Im(f). Špeciálne, ak f je epimorfizmus, tak G/Ker(f)≅H.

Dôkaz. Predpis, ktorý ľubovoľnému [x]∈G/Ker(f) priradí f(x)∈Im(f)= f(G), dobre definuje zobrazenie f̄:G/Ker(f)→Im(f). Treba ukázať, že ak [x]= [a], tak aj f(x)= f(a). Takto: ak [x]= [a], tak x∼a, teda x−a∈Ker(f). Z toho f(x−a)= 0∈H tj. f(x) − f(a) = 0, a teda f(x) = f(a). Ukázali sme, že f̄: G/Ker(f) → Im(f); f̄([x]) = f(x) je dobre definované zobrazenie. f̄ je aj homomorfizmus grúp: f̄([x] + [y]) = f̄([x + y]) = f(x + y) = f(x) + f(y) = f̄([x]) + f̄([y]) pre všetky [x], [y] ∈ G/Ker(f). f̄ je monomorfizmus grúp: Nech f̄([x]) = f̄([y]). Potom f(x)= f(y), a teda f(x)−f(y)= 0, tj. f(x−y)= 0 tj. x−y∈Ker(f). Teda x∼y, preto [x]= [y]. f̄ je epimorfizmus grúp: pre ľubovoľné b∈Im(f) máme x∈G : f(x)= b. Potom f̄([x])= f(x)= b ⇒ f je izomorfizmus grúp.

Príklad. m∈ℕ pevne zvolené. Zobrazenie φ_{m} : ℤ→ℤ_{m}. φ_{m}(x)= zvyšok po vydelení x číslom m. φ_{m} je epimorfizmus z grupy (ℤ, +) na (ℤ_{m}, ⊕). Ker(φ_{m})= {x∈ℤ; m|x}= mℤ. Z vety o faktorovom izomorfizme: ℤ/mℤ≅ℤ_{m}.

II. OKRUH,TELESO,POLE

Definícia 2.1. Nech R je množina v ktorej sú aspoň dva prvky. Nech sú na R definované dve binárne operácie: + : R×R→R (”sčitovanie ”) a • : R×R→R (”násobenie”). Hovoríme, že (R, +, •) je okruh, ak: 1._{)}(R, +) je komutatívna grupa. 2._{)}• je asociatívna: x•(y•z)= (x•y)•z ∀x, y, z∈R 3._{)}• je distributívna vzhľadom na sčitovanie: x•(y+ z)= x•y+ x•z (x+ y)•z= x•z+ y•z Ak • je komutatívna, potom (R, +, •) s vlastnosťami 1._{)}, 2._{)}, 3._{)} je komutatívny okruh. Ak • má neutrálny prvok, hovoríme o okruhu s 1, (R, +, •, 1).

Definícia 2.2. Okruh (R, +, •), v ktorom operácia • je komutatívna sa volá komutatívny okruh.

Definícia 2.3. Nech (R, +, •) je okruh s 1, ak • |_{R^{∗}}, kde R^{∗}= R \ {0} nadobúda hodnoty v R, tj. ak • |_{R^{∗}} definuje binárnu operáciu v R^{∗}, a R^{∗} s touto operáciou je grupa, tak (R, +, •, 1) sa nazýva teleso. Komutatívny okruh, ktorý je telesom sa nazýva pole.

Veta 2.1. Nech (R, +, ·) je ľubovoľný okruh. Potom v ňom platia tieto pravidlá pre rátanie: 1._{)}0·x= x·0 pre ∀x∈R 2._{)}(−x)·y= x·(−y)= −(x·y) pre ∀x, y∈R 3._{)} Ak R má 1, tak 1≠ 0. 4._{)} Ak R je teleso, tak z toho, že x·y= 0 vyplýva, že x= 0 ∨ y= 0. 5._{)} Ak R je teleso, tak x^{2}= 1 ⇔ x= 1 ∨ x= −1.

Dôkaz. 1._{)}0·x= (0+ 0)·x= 0·x+ 0·x ⇔ 0= 0·x. 2._{)}(x+ (−x))·y= 0·y= 0 x·y+ (−x)·y= 0 ⇔ −(x·y)= (−x)·y. 3._{)} Pretože R má aspoň 2 prvky, existuje x∈R, x≠ 0. Ak R má 1, tak x·0= 0 podľa 1._{)} a x·1= 1, keďže x≠ 0 ⇒ 1≠ 0. 4._{)} Ak x≠ 0 a y≠ 0, tak treba dokázať x·y≠ 0. Takto: x≠ 0,y≠ 0, tak x∈R^{∗} a y∈R^{∗}, ale R^{∗} je grupa ( vzhľadom na · |_{R^{∗}}) a preto x·y∈R^{∗} tj. x·y≠ 0.

5._{)} ⇒ : Predpokladajme, že x^{2}= 1. Teda x^{2}−1= 0, tj.(x−1)(x+ 1)= 0 ⇒^{4._{)}} x+ 1= 0 ∨ x−1= 0 ⇔ x= −1 ∨ x= 1.

⇐ Pomocou 2._{)}. □

Lema 2.1. Nech p, q∈ℕ. Potom množina {p·x+ q·y∈ℤ; x, y∈ℤ} je podgrupou v (ℤ, +), pričom {p·x+ q·y∈ℤ; x, y∈ℤ}= rℤ, kde r je najväčší spoločný deliteľ čísel p, q.

Dôkaz. {p·x+ q·y∈ℤ}≠ ∅. Kritérium podgrupy: p·x + q·y − (p·x́ + q·ý) = p·(x − x́)+ + q·(y−ý)∈{p·x+ q·y, x, y∈ℤ}. V (ℤ, +) sú všetky podgrupy tvaru: kℤ, (pre nejaké k∈ℕ). Teda {p·x+ q·y; x, y∈ℤ}= rℤ. Treba ešte ukázať, že r je najväčší spoločný deliteľ čisel p, q. p∈{p·x+ q·y; x, y∈ℤ}, p= r·k, teda r|p. q∈{p·x+ q·y; x, y∈ℤ}, q= r·l, teda r|q. Nech c je nejaký spoločný deliteľ čísel p, q. Chceme ukázať, že c|r. Ak c|p a c|q, tak c|p·x+ q·y pre ∀x, y∈ℤ, a teda c je deliteľom každého prvku z {p·x+ q·y; x, y∈ℤ}= rℤ, teda c|r·1 t.j. c|r.

Veta 2.2. Nech m∈ℕ, m≥2. Potom (ℤ/mℤ, ⊕, ⊙) je pole ⇔ m je prvočíslo.

Dôkaz. ⇒ : Predpokladajme, že ℤ/mℤ je pole. (To znamená, že nenulové prvky tvoria grupu.) Keby m nebolo prvočíslo, tak by m= m_{1}·m_{2}, kde m_{1}, m_{2}∈N, 1<m_{1}<m 1<m_{2}<m. Potom [m_{1}]≠ 0, [m_{2}]≠ 0, ale [m_{1}]·[m_{2}]= [m_{1}·m_{2}]= [m]= [0]= 0. Je to spor s tým, že (ℤ/mℤ)^{∗} je grupa. ⇐ : Predpokladajme, že m je prvočíslo. Chceme ukázať, že (ℤ/mℤ, ⊙) je grupa. Na to stačí ukázať, že pre ľubovoľné nenulové 0≠ x∈ℤ/mℤ existuje v (ℤ/mℤ)^{∗} inverzný prvok vzhľadom na násobenie. Takto: pre [x]∈(ℤ/mℤ)^{∗} máme m∤x, z toho: najväčší spoločný deliteľ m, x je 1. Potom z Lemy 2.1 vieme, že 1= a·x+ b·y pre dáke a, b∈ℤ. Z toho [1]= 1= [a·x+ b·y]= [a·x]+ [b·y]= [a]·[x]+ [0] ⇔ [1]= [a]⊙[x] tj. inverzný prvok k [x] vzhľadom na násobenie je [a]∈(ℤ/mℤ)^{∗}.

III. VEKTOROVÉ PRIESTORY

Definícia 3.1. Nech V ≠ ∅ je množina, jej prvky budeme označovať: a⃗, ⋯, x⃗. Nech R je pole. Nech na V je definovaná binárna operácia + : V ×V →V (budeme jej hovoriť sčitovanie prvkov z V) a nech okrem toho je dané zobrazenie R×V →V: (α, x⃗) ↦ α·x⃗ (hovoríme mu násobenie prvkov z V prvkami z R.) V sa nazýva vektorový priestor nad poľom R ak spĺňa axiómy: 1._{)}(V, +) je komutatívna grupa. 2._{)}α(x⃗+ y⃗)= αx⃗+ αy⃗ pre všetky α∈R, x⃗, y⃗∈V. 3._{)}(α+ β)x⃗= αx⃗+ βy⃗ pre ∀α, β∈R a ∀x⃗∈V 4._{)}α(βx⃗)= (αβ)x⃗ pre ∀α, β∈R, ∀x⃗∈V. 5._{)}1·x⃗= x⃗, pre ∀x⃗∈V. Ak V je vektorový priestor, prvky z V sa volajú vektory, prvky z R sa volajú skaláry.

Poznámka. Neutrálny prvok vo vektorovom priestore (V, +) sa nazýva nulový vektor, ozn.: 0. Ak α∈R, x⃗∈V, tak α·x⃗ nazývame α-násobok vektora x⃗∈V.

Veta 3.1. Nech V je vektorový priestor nad poľom R. Potom ∀x⃗∈V, ∀α∈R: 1._{)}0·x⃗= 0. 2._{)}(−1)·x⃗= −x⃗. 3._{)}α·0= 0

Dôkaz. 1._{)}x⃗= 1·x⃗= (1+ 0)x⃗= 1x⃗+ 0x⃗= x⃗+ 0x⃗ ⇔ 0x⃗= 0. 2._{)}(1+ (−1))x⃗= 0x⃗= 0. 1x⃗+ (−1)x⃗= x⃗+ (−1)x⃗. Teda x⃗+ (−1)x⃗= 0, z čoho −x⃗= (−1)x⃗. 3._{)}α0= α(x⃗+ (−x⃗))= α(1x⃗+ (−1)x⃗)= α(1+ (−1))x⃗= α0x⃗= 0x⃗= 0.

Definícia 3.2. Nech V je vektorový priestor nad poľom R a nech D≠ ∅ je podmnožina vo V. D je vektorový podpriestor priestoru V, ak D je vektorový priestor nad R, pričom sčitovanie v D a násobenie prvkov z D skalármi z R je zúžením sčitovania vo V resp. násobenia prvkov z V skalármi z R.

Veta 3.2. (kritérium podpriestoru): Nech V je vektorový priestor nad poľom R a nech D≠ ∅, D⊂V. D je vektorový podpriestor priestoru V práve vtedy, keď je splnená hociktorá z týchto dvoch ekvivalentných podmienok: (I.) ∀x⃗, y⃗∈D : x⃗+ y⃗∈D a pre ľubovoľné α∈ R, x⃗∈D je αx⃗∈D. (II.) ∀x⃗, y⃗∈D a ∀α, β∈R je αx⃗+ βy⃗∈D.

Dôkaz. Predpokladajme, že D je vektorový podpriestor. Potom (I) je splnená (z definície vektorového podpriestoru). Teraz predpokladajme, že je splnená (I). + z V je zúžené na D definuje na D binárnu operáciu +. Podľa (I) : 0x⃗= 0 patrí do D. 0 je neutrálny prvok operácie + na D. Pre x⃗∈D podľa (I) tiež (−1)x⃗= −x⃗∈D. + je asociatívne, komutatívne, vcelku (D, +) je komutatívna grupa. Okrem toho z (I) vyplýva, že máme definované zobrazenie R×D→D. Operácia + a násobenie prvkov z D prvkami z R majú potrebné vlastnosti (zdedené z V); D je teda vektorový podpriestor priestoru V. Na ukončenie dôkazu vety stačí ukázať

(I) ⇔ (II). Nech platí (I), nech α, β∈R a x⃗, y⃗∈D. Potom αx⃗∈D a βy⃗∈D ⇒^{(I)} αx⃗+ βy⃗∈D. Teda (I) ⇒ (II). Nech platí (II). Potom pre ∀x⃗, y⃗∈D máme, že 1x⃗+ 1y⃗= x⃗+ y⃗∈D. Pre ľubovoľné α∈R a ľubovoľné x⃗∈D, podľa (II) : αx⃗+ 0x⃗= αx⃗∈D tj. aj (II) ⇒ (I).

Veta 3.3. Nech S, T sú vektorové podpriestory vektorového priestoru V nad poľom R. Potom S∩T je takisto vektorový podpriestor priestoru V.

Dôkaz. S∩T ≠ ∅, lebo 0∈S∩T. Ukážeme, že S∩T spĺňa podmienku (II). Nech α, β∈R, pre ∀x⃗, y⃗ ∈ S ∩ T sú ľubovoľné. Potom αx⃗ + βy⃗ ∈ S a αx⃗ + βy⃗ ∈ T ⇒ ⇒ αx⃗ + βy⃗ ∈ S ∩ T. Čiže S aj T spĺňajú podmienku (II).

Veta 3.4. Nech {S_{α}, α∈A} (A indexová množina.) je ľubovoľný systém vektorových podpriestorov vektorového priestoru V nad poľom R. Potom ⋂_{α∈A} S_{α} je

vektorový podpriestor priestoru V.

Dôkaz. Podobne ako vo V ete 3.3.

Definícia 3.3. Nech V je vektorový priestor nad poľom R a nech A≠ ∅ je podmnožina vo V. Najmenší vektorový podpriestor priestoru V obsahujúci A je vektorový podpriestor S taký, že: 1._{)}A⊂S. 2._{)} Ak T je vektorový podpriestor vo V taký, že A⊂T, tak S⊂T.

Veta 3.5. Nech V je vektorový priestor nad poľom R a nech A je podmnožina vo V. Potom najmenší vektorový podpriestor vo V obsahujúci A existuje a je jediný.

Dôkaz. Jednoznačnosť: Nech by S a T boli najmenšie podpriestory obsahujúce A. Potom T ⊂S a S⊂T, teda S= T. Existencia: Nech φ je systém všetkých vektorových podpriestorov obsahujúcich A. φ≠ ∅, lebo V ∈φ. Potom ⋂_{S∈φ} S je najmenší podpriestor vo V obsahujúci A, lebo:

∀S∈φ máme A⊂S, a preto A⊂ ⋂_{S∈φ} S, tj. je splnená aj podmienka 2._{)} z Def 3.3.

Teda S_{A}= ⋂_{S∈φ} S.

Definícia 3.4. Nech x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} sú vektory z vektorového priestoru V nad poľom R, nech α_{1}, ⋯, α_{k}∈R. Potom α_{1} · x⃗_{1}+ ⋯ + α_{k} · x⃗_{k} sa nazýva lineárna kombinácia vektorov x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} s koeficientmi α_{1}, ⋯, α_{k}. Ak α_{1}= ⋯ = α_{k}= 0, táto lineárna kombinácia sa nazýva triviálna (a je to 0). Ak niektoré α_{i}≠ 0, tak lineárna kombinácia je netriviálna.

Veta 3.6. Nech x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} sú vektory z vektorového priestoru V nad R. Potom M = {α_{1}x⃗_{1}+ ⋯ + α_{k}x⃗_{k}∈V, α_{i}∈R} je vektorový podpriestor vo V.

Dôkaz. Daná množina je neprázdna, lebo 0∈M. Ďaľej kritérium vektorového podpriestoru. Nech α, β∈R, α_{1}x⃗_{1}+ ⋯ + α_{k}x⃗_{k}, β_{1}x⃗_{1}+ ⋯ + β_{k}x⃗_{k} sú z tej množiny. Po-

tom α · ∑_{i=1}^{k}α_{i}x⃗_{i}+ β · ∑_{i=1}^{k}β_{i}x⃗_{i}= ∑_{i=1}^{k}(αα_{i}+ ββ_{i})x⃗_{i}∈M, lebo αα_{i}+ ββ_{i}∈R.

Označenie. V situácii z predchádzajúcej vety označíme: [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}]= {α_{1}x⃗_{1}+⋯ + +α_{k}x⃗_{k}∈V; α_{i}∈R}.

Veta 3.7. Nech x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} sú vektory z vektorového priestoru V nad R a nech T ⊂V je vektorového podpriestor taký, že {x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}}⊂T. Potom aj [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}]⊂T.

Dôkaz. Indukcia vzhľadom na maximálny počet nenulových koeficientov lineárnej kombinácie vektorov x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}. Ak lineárna kombinácia α_{1}x⃗_{1}+ ⋯ + α_{k}x⃗_{k} má maximálny počet nenulových koeficientov, tak patrí do T, lebo je to buď 0, alebo nenulový násobok spomedzi x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}, v každom prípade táto lineárna kombinácia patrí do T. Predpokladajme, že každá lineárna kombinácia vektorov x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} s maximálne s − 1 (≤ k − 1) nenulovými koeficientmi patrí do T. Nech β_{1}x⃗_{1}+ + ⋯ + β_{s}x⃗_{s} je lineárna kombinácia s maximálne s nenulovými koeficientmi. Potom β_{1}x⃗_{1}+ ⋯ + β_{s}x⃗_{s}= (β_{1}x⃗_{1}+ ⋯ + β_{s−1}x⃗_{s−1})+ β_{s}x⃗_{s}∈T; T je vektorový podpriestor.

Veta 3.8. Nech V je vektorový priestor nad R a nech {x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}} je ľubovoľná konečná podmnožina vo V. Potom najmenší vektorový podpriestor je S_{{x⃗_{1} ,··· ,x⃗_{k}}}= [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}].

Dôkaz. Stačí ukázať, že [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}] má obidve vlastnosti najmenšieho vektorového podpriestoru obsahujúceho množinu {x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}}.

1. {x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}}⊂[x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}].

2. Ak T ⊂V je ľubovoľný podpriestor vo V obsahujúci {x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}}, tak [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}]⊂T platí podľa V ety 3.7. Z jednoznačnej určenosti vlastnosťami 1._{)}, 2._{)} vyplýva, že naozaj S_{{x⃗_{1} ,··· ,x⃗_{k}}}= [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}].

Definícia 3.5. Nech V je vektorový priestor nad R a nech {x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}}⊂V. Potom vektorový priestor [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}]⊂V sa nazýva lineárny (vektorový) obal množiny {x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}}. Vektory x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} sa nazývajú generátory vektorového priestoru [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}].

Veta 3.9. Nech V je vektorový priestor nad R a nech [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}, a⃗]∈V. Potom [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}, a⃗]= [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}] práve vtedy, keď a⃗ je lineárna kombinácia vektorov x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}.

Dôkaz. ⇒ : Predpokladajme, že [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}] = [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}, a⃗]. Potom [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}, a⃗] ⊂ [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}] teda a⃗ je lineárna kombinácia vektorov x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}. ⇐ : Predpokladajme, že a⃗ je lineárnou kombináciou x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}. Chceme ukázať, že [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}] = [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}, a⃗]. Je zrejmé, že {x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}} ⊂ [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}, a⃗] a [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}] ⊂ [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}, a⃗]. Okrem toho, pretože a⃗ je lineárna kombinácia x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} máme, že {x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}, a⃗}⊂[x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}], teda [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}, a⃗]⊂[x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}]. Vcelku: [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}, a⃗]= [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}]. Z toho vyplýva, že najjednoduchší zápis lineárneho obalu [y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{k}] dostaneme postupným vynechávaním tých vektorov, ktoré sú lineárnou kombináciou ostatných.

IV. SYSTÉMY LINEÁRNYCH ROVNÍC

Definícia 4.1. Systém rovníc S:

a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋮
a_{s1}x_{1} + ⋯ + a_{sn}x_{n} = b_{s}

(všetky rovnice musia byť splnené súčasne) je systém s lineárnych rovníc s n neznámymi x_{1}, ⋯, x_{n}, ak a_{ij}∈R (i∈[1, s], j∈[1, n]) a b_{i}∈R, kde R je dané pole. Prvky poľa a_{ij} sa nazývajú koeficienty, b_{1}, ⋯, b_{n} sa nazývajú absolútne členy systému S.

Definícia 4.2. Usporiadaná n-tica (r_{1}, ⋯, r_{n})∈R^{n} je riešenie systému S, ak r_{1}, ⋯, r_{k} po dosadení x_{i}= r_{i} vyhovuje všetkým rovniciam S. Vyriešiť systém znamená nájsť všetky jeho riešenia. Ak žiadna n-tica z R^{n} nie je riešením systému S, hovoríme, že je neriešiteľný.

Definícia 4.3. Dva systémy lineárnych rovníc sú ekvivalentné ak majú tú istú množinu riešení. Vyriešiť daný lineárny systém potom znamená vyriešiť hocijaký s ním ekvivalentný systém.

Definícia 4.4. Ekvivalentné úpravy sú také, ktoré nemenia množinu riešení.

Veta 4.1. Nasledujúce úpravy sú ekvivalentné: 1._{)} Vzájomná výmena dvoch rovníc systému. 2._{)} Vynásobenie ľubovoľnej rovnice v S prvkom α≠ 0, α∈R. 3._{)} Pripočítanie ľubovoľnej rovnici v S inej rovnici v S.

Dôkaz. triviálny.

Zámer pri riešení systému S. : Pomocou ekvivalentných úprav ho prevedieme na jednoduchý ekvivalentný systém, ktorý už nie je problém vyriešiť.

Gaussova eliminačná metóda.

Predpokladajme, že niektorý z koeficientov pri x_{1} v S je nenulový. Môžeme priamo predpokladať, že a_{11} ≠ 0.

1.krok. Pomocou prvej rovnice vylúčime x_{1} z druhej ⋯, s-tej rovnice. Takto: k druhej rovnici prirátame −(a_{11}^{−1}a_{21})-násobok prvej rovnice, ⋯ atď, až k s-tej rovnici prirátame −(a_{11}^{−1}a_{s1})-násobok prvej rovnice. Dostaneme ekvivalentný systém S^{∗} tvaru:

a_{11}x_{1}+ a_{12}x_{2}+ ⋯ + a_{1n}x_{n}= b_{1}
ā_{22}x_{2}+ ⋯ + ā_{2n}x_{n}= b_{2}
⋮
ā_{s2}x_{2}+ ⋯ + ā_{sn}x_{n}= b_{n}

V S^{∗} môžu byť rovnice s ľavou aj pravou stranou nulovou, tie vynecháme. V S^{∗} sa môže vyskytnúť rovnica s ľavou stranou nulovou, kým jej pravá strana je nenulová. Ak sa stane takéto niečo, potom systém S^{∗} a teda aj S je neriešiteľný. Po konečnom počte opakovaní prvého kroku dostaneme systém V tvaru:

c_{11}y_{1}+ c_{12}y_{2}+ ⋯ + c_{1k}y_{k}+ ⋯ + c_{1n}y_{n}= d_{1}
c_{22}y_{2}+ ⋯ + c_{2k}y_{k}+ ⋯ + c_{2n}y_{n}= d_{2}
⋮
c_{kk}y_{k}+ ⋯ + c_{kn}y_{n}= d_{k}

Kde y_{1}, ⋯, y_{n} vznikli (príp. viacnásobným) premenovaním neznámych x_{1}, ⋯, x_{n}, pritom k≤s a k≤n. Navyše c_{11} ≠ 0, ⋯, c_{ii}≠ 0, ⋯, c_{kk}≠ 0. Ak k= n, tak V vyzerá takto:

c_{11}y_{1}+ ⋯ + c_{1n}y_{n}= d_{1}
c_{21}y_{2}+ ⋯ + c_{2n}y_{n}= d_{2}
⋮
c_{n−1,n−1}y_{n−1}+ c_{n−1,n}y_{n}= d_{n−1}
c_{nn}y_{n}= d_{n}

a teda vyrátame z poslednej rovnice y_{n}= d_{n}c_{nn}^{−1}, dosadíme do predposlednej, z nej vyrátame y_{n−1}, ⋯ atď, až napokon y_{1}. Vtedy V má práve jedno riešenie. Spätným premenovaním dostaneme tú jedninú n-ticu v R, ktorá je riešením systému S. Ak k<n, tak y_{1}, ⋯, y_{k} sú viazané rovnicami systému V, kým neznáme y_{k+1} , ⋯, y_{n} považujeme za tzv. voľné neznáme (parametre), nadobúdajú ľubovoľné hodnoty z R. Zo systému V potom postupne, počnúc od poslednej rovnice, vyrátame y_{k}, y_{k−1}, ⋯, y_{1} pomocou parametrov y_{k+1} , ⋯, y_{n}. Takto dostaneme všeobecné vyjadrenie riešenia systému V pomocou parametrov y_{k+1} , ⋯, y_{n}. Spätným premenovaním neznámych dostaneme z toho všeobecné vyjadrenie riešenia systému S pomocou n−k parametrov.

V. LINEÁRNA ZÁVISLOSŤ A NEZÁVISLOSŤ VEKTOROV

Definícia 5.1. Nech V je vektorový priestor nad R a nech x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}∈V sú dané vektory. Hovoríme, že x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} sú lineárne závislé, ak 0 sa dá vyjadriť ako netriviálna lineárna kombinácia vektorov x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}. Vektory x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} sa nazývajú lineárne nezávislé ak nie sú lineárne závislé.

Veta 5.1. Nech x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} sú navzájom rôzne nenulové vektory vektorového priestoru V nad R, nech k ≥ 2. Potom platí: x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} sú lineárne závislé ⇔ niektorý z nich je lineárna kombinácia ostatných.

Dôkaz. Predpokladajme, že x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} sú lineárne závislé. Teda existujú α_{1}, ⋯, α_{k}∈R nie

všetky nulové, také, že 0 = ∑_{i=1}^{k}α_{i}·x⃗_{i}. Povedzme, že α_{i} ≠ 0, teda α_{1}x⃗_{1}+ ⋯ + α_{i}x⃗_{i}+

+ ⋯ + α_{k}x⃗_{k}= 0. Z toho: α_{i}x⃗_{i}= −α_{1}x⃗_{1}− ⋯ −α_{i−1}x⃗_{i−1}−α_{i+ 1}x⃗_{i+ 1}− ⋯ −α_{k}x⃗_{k}, teda:

x_{i}= −α_{i}^{−1}· ∑_{j= 1,j≠ i}^{k} α_{j}x⃗_{j}.

Opačne: Predpokladajme, že napr. x⃗_{i} je lineárnou kombináciou ostatných.

Teda x⃗_{i}= ∑_{j= 1,j≠ i}^{k} β_{j}x⃗_{j} ⇒ β_{1}x⃗_{1}+ ⋯ + β_{i−1}x⃗_{i−1}−β_{i}x⃗_{i}+ β_{i+ 1}x⃗_{i+ 1}+ ⋯ + β_{k}x⃗_{k}= 0.

Teda x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} sú lineárne závislé.

Veta 5.2. Nech V je vektorový priestor nad R, nech {x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}}⊂V −{0}. Potom x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} sú lineárne závislé práve vtedy, keď niektorý z týchto vektorov je lineárnou kombináciou tých, čo sú napísané pred ním.

Dôkaz. Predpokladajme, že x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} sú lineárne závislé. Teda existujú α_{1}, ⋯, α_{k}∈R nie

všetky nulové také, že 0= ∑_{i= 1}^{k}α_{i}x⃗_{i}. Nech j je najvyšší index taký, že α_{j}≠ 0. Teda

0= ∑_{i= 1}^{j}α_{i}x⃗_{i}. pričom α_{j}≠ 0. Potom j≥2, lebo keby j= 1, tak by sme mali α_{1}x⃗_{1}= 0,

α_{1}≠ 0, teda x⃗_{1}= 0 –spor. Opačne: Nech niektorý z x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} je lineárnou kombináciou tých, čo sú napísané pred ním. Potom je lineárnou kombináciou aj ostatných, lebo stačí tie, čo sú za ním zobrať s koeficientom 0. Z V ety 5.1 sú lineárne závislé.

Dôsledok. Nech V je vektorový priestor nad R, nech {x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}}⊂V − {0}. Potom x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} sú lineárne závislé práve vtedy, keď existuje j∈{1, 2, ⋯, k}, že [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}]= [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{j−1}, x⃗_{j+ 1}, ⋯, x⃗_{k}].

Dôkaz. Zrejmý.

Poznámka. Z dôsledku vyplýva návod na hľadanie najkratšieho zápisu lineárneho obalu. Ak x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} sú lineárne nezávislé, tak zápis [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}] je najkratší. Ak x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} sú lineárne závislé, tak niektorý z nich je lineárnou kombináciou ostatných, ten vynecháme, pričom lineárny obal zvyšných: [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}], ak tie zvyšné vektory sú lineárne nezávislé, tak sme skončili; ak sú lineárne závislé tak opakujeme predchádzajúci krok. Po konečnom počte krokov dostaneme vyjadrenie [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}] pomocou lineárne nezávislej podmnožiny množiny {x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}}.

Steinitzova veta. Nech vektorový priestor V ≠ {0}, V = [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}]. Nech {y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{j}}⊂V je lineárne nezávislá podmnožina. Potom platia: 1^{∘} j≤k 2^{∘} Spomedzi x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} existuje k−j vektorov, ktoré spolu s y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{j} generujú celý priestor V.

Dôkaz. Indukcia vzhľadom na j. 1^{∘} Pre j= 1: y⃗_{1} je lineárne nezávislý práve vtedy, keď y⃗_{1}≠ 0, pretože V ≠ {0}, máme j= 1≤k. Teda 1^{∘} platí. Máme V = [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}], ale y⃗_{1}∈V tj. y⃗_{1} je lineárna kombinácia x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}, teda množina {y⃗_{1}, x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}} je lineárne závislá. Potom V = [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}]= [y⃗_{1}, x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}]. Vektory y⃗_{1}, x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} sú lineárne závislé, teda niektorý z nich je lineárna kombinácia tých, čo sú napísané pred ním. y⃗_{1} to nemôže byť, teda je to niektorý spomedzi x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}. Povedzme, že to je x⃗_{k}. Potom V = [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}]= [y⃗_{1}, x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k−1}]. Tým sme overili, že platí 2^{∘}. 2^{∘} Predpokladajme, že veta platí pre j= s−1. Nech teraz {y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{s}} je ľubovoľná lineárne nezávislá podmnožina vo V. Chceme ukázať, že veta platí aj pre j= s. Aj množina {y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{s−1}} je lineárne nezávislá. Podľa indukčného predpokladu 1^{∘} platí: s−1≤k a 2^{∘} y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{s−1} sa dajú k−(s−1) vektormi spomedzi x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} doplniť tak, že spolu generujú celý priestor V. Povedzme, že tie ”doplňujúce” vektory sú x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k−s+ 1}. Teda V = [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}]= [y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{s−1}, x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k−s+ 1}]. Chceme ukázať, že s≤k. Ukážeme, že s−1<k. Keby s−1= k tak by sme mali, že V = [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}]= [y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{s−1}]. Ale y⃗_{s}∈V, teda by mal byť lineárnou kombináciou vektorov y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{s−1}, to je spor s tým, že y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{s} sú lineárne nezávislé. Ďalej: V = [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}]= [y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{s}, x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k−s+ 1}]. Teraz y⃗_{s}∈V, teda y⃗_{s} je lineárna kombinácia vektorov y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{s−1}, x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k−s+ 1}. Teda y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{s}, x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k−s+ 1} sú lineárne závislé. Z vety vieme, že niektorý z nich je lineárna kombinácia tých, čo sú pred ním. Nemôže to byť žiadny spomedzi y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{s}, lebo sú lineárne nezávislé a teda je to miektorý spomedzi x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k−s+ 1}, povedzme, že to je posledný x⃗_{k−s+ 1}. Ten môžeme vynechať a podľa vety 5.2: V = [y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{s}, x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k−s}]. Teda aj 2^{∘} je pre y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{s} v poriadku.

Báza a dimenzia.

V = [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}]. Dá sa každý vektorový priestor napísať ako lineárny obal konečnej množiny vektorov? (tj. dá sa generovať konečnou množinou) Odpoveď: NIE.

Príklad. ℝ[t] všetky polynómy. p(t)= ∑_{i= 0}^{∞}a_{i}t^{i} iba konečne veľa a_{i} je nenulový. ℝ[t]

je vektorový priestor nad ℝ. Stupeň ∑_{i= 0}^{∞}a_{i}t^{i} je s, ak s≠ 0, ale a_{s+ 1}, ⋯ sú nuly. Keby

existovali polynómy q_{1}(t), ⋯, q_{k}(t)∈ℝ[t] také, že ℝ[t]= [q_{1}(t), ⋯, q_{k}(t)], tak potom pre n> max{deg(q_{1}(t)), ⋯, deg(q_{k}(t))} by polynóm t^{n}∉ℝ[t]. Teda vektorový priestor ℝ[t] sa nedá generovať konečnou množinou.

Definícia 5.2. Vektorový priestor V sa nazýva konečne generovaný ak existuje konečná množina {x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}}⊂V taká, že V = [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}]. Ak V nie je konečne generovaný, hovoríme, že je nekonečne generovaný.

Definícia 5.3. Nech V ≠ {0} je konečne generovaný vektorový priestor nad R. Potom usporiadaná množina (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{k}) vektorov z V sa nazýva báza priestoru V, ak: 1^{∘}: V = [a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{k}]. 2^{∘}: a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{k} sú lineárne nezávislé.

Veta 5.3. Každý konečne generovaný vektorový priestor V ≠ {0} nad R má bázu.

Dôkaz. Keďže V je konečne generovaný, existuje konečná množina {x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{p}}⊂V, pre ktorú [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{p}]= V. Ak x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{p} sú lineárne nezávislé, tak tvoria bázu. Ak nie, tak niektorý z nich je lineárna kombinácia zvyšných, potom lineárny obal zvyšných = V. Ak tie zvyšné sú lineárne nezávislé, tak tieto tvoria bázu priestoru V, ak sú lineárne závislé, tak zas zopakujeme predchádzajúcu úvahu. Po konečnom počte krokov dostaneme podmnožinu množiny {x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{p}}, ktorá už je lineárne nezávislá a jej lineárny obal je celé V. Tá je báza priestoru V.

Príklad. ℝ^{n} má bázu: [(1, 0, ⋯, 0), (0, 1, ⋯, 0), ⋯, (0, 0, ⋯, 1)] = [e⃗_{1}, e⃗_{2}, ⋯, e⃗_{n}]. To je tzv. štandardná báza v ℝ^{n}.

Veta 5.4. Všetky bázy nenulového konečne generovaného vektorového priestoru majú rovnaký počet prvkov.

Dôkaz. Nech (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{s}), (b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{q}) sú dve bázy takého vektorového priestoru. Potom zo Steinitzovej vety: s≤q a q≤s a teda s= q.

Definícia 5.4. Počet prvkov (ľubovoľnej) bázy konečne generovaného nenulového vektorového priestoru V nad R sa nazýva dimenzia priestoru V nad poľom R, ozn: dim_{R}(V) (alebo dim(V) ak je R jasné z kontextu).

Dimenzia nulového priestoru je 0. dim({0})= 0 Dimenzia priestoru, ktorý je nekonečne generovaný je ∞. dim(V)= ∞.

Príklady.

1. dim_{ℂ} ℂ= 1

2. dim_{ℝ} ℂ= 2

3. dimℝ^{n}= n

4. dimℝ[t]= ∞

Veta 5.5. Každú lineárne nezávislú množinu nenulového konečne generovaného vektorového priestoru môžeme doplniť na jeho bázu.

Dôkaz. Nech V je taký priestor, nech {y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{j}}⊂V je lineárne nezávislá. Keďže V je konečne generovaný, existujú x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}∈V. (x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}) je báza vo V. Zo Steinitzovej vety : j≤k, y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{j} sa dajú doplniť k−j vektormi spomedzi x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k} tak, že týchto k vektorov generuje celé V. Tieto vektory však musia byť aj lineárne nezávislé. (Keby boli lineárne závislé, tak by V mal bázu s nanajvýš k−1 prvkami. Spor s dimenziou.) Teda y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{j} spolu s tými, doplňujúcimi vektormi tvoria bázu priestoru V.

Veta 5.6. Ak dim(V)= n, tak n+ 1 vektorov z V je vždy lineárne závislých.

Dôkaz. dim(V)= n, teda vo V existuje n−prvková báza (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}). Keby ľubovoľná n+ 1-prvková množina lineárne nezávislá, tak podľa Steinitzovej vety by bolo n+ 1≤n, čo je spor.

Veta 5.7. Nech dim(V)= n. Potom:

1. usporiadaná množina (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) n vektorov z V je bázou vo V práve vtedy, keď {a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{k}} je lineárne nezávislá.

2. (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) je bázou vo V práve vtedy, keď V = [a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}].

Dôkaz. 1.⇒: jasné. ⇐: Predpokladajme, že {a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}} je lineárne nezávislá. Podľa vety 5.5 túto množinu môžeme doplniť n−n= 0 vektormi z V na bázu vo V. tj.už (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) je báza. 2.⇒: jasné ⇐: Predpokladajme, že V = [a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}]. Chceme ukázať, že a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n} sú aj lineárne nezávislé. Keby boli lineárne závislé, postupným vynechávaním tých, ktoré sú lineárnou kombináciou zvyšných by sme dostali bázu, ktorá by mala nanajvýš n−1 prvkov. Spor s tým, že dim(V)= n. Teda všetky bázy majú n prvkov.

Veta 5.8 a Definícia 5.5. Nech V ≠ {0} je konečne generovaný vektorový priestor nad R. Potom množina (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) je bázou vo V práve vtedy, keď každý vektor z V sa dá jediným spôsobom vyjadriť ako lineárna kombinácia vektorov a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}. Ak (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) je báza vo V a pre x⃗∈V máme x⃗= x_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + x_{n}a⃗_{n}. Tak usporiadaná n-tica (x_{1}, ⋯, x_{n})∈ℝ^{n} sa nazýva n-tica súradníc vektora x⃗ vzhľadom na bázu (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}).

Dôkaz. ⇒ : Predpokladajme, že (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) je báza v priestore V. Teda V = [a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}] tj. pre ľubovoľný vektor x⃗∈V ∃x_{1}, ⋯, x_{n}∈R také, že x⃗= x_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + x_{n}a⃗_{n}. Keby x⃗= x′_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + x′_{n}a⃗_{n} bolo iné také vyjadrenie, tak x_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + x_{n}a⃗_{n}= x′_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + + x′_{n}a⃗_{n} ⇔ (x_{1}−x′_{1})a⃗_{1}+ ⋯ + (x_{n}−x′_{n})a⃗_{n}= 0. Ale a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n} tvoria bázu, sú aj lineárne nezávislé, preto x_{1}−x′_{1}= 0, ⋯, x_{n}−x′_{n}= 0 ⇔ x_{i}= x′_{i}. čsmd. ⇐ : Predpokladajme, že každý vektor z V sa dá jediným spôsobom vyjadriť ako lineárna kombinácia a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}. Teda V ⊂[a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}]. Ešte ukážeme, že a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n} sú lineárne nezávislé. Nech α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}a⃗_{n}= 0. Tiež: 0a⃗_{1}+ ⋯ + 0a⃗_{n}= 0, keďže vyjadrenie 0 ako lineárna kombinácia vektorov a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n} je podľa predpokladu jediné, tak máme: α_{1}= ⋯ = α_{n}= 0.

VI. LINEÁRNE A DIREKTNÉ SÚČTY VEKTOROVÝCH PRIESTOROV

Ak S, T sú vektorové podpriestory vektorového priestoru V, tak S∪T nemusí byť vektorový podpriestor vo V. Aký je najmenší podpriestor vo V, obsahujúci S∪T?

Veta 6.1 a Definícia 6.1. Nech S, T ⊂V sú vektorové podpriestory. Potom {s⃗+ t⃗∈V, s⃗∈S, t⃗∈T } je vektorový podpriestor vo V, nazýva sa lineárny súčet S a T, ozn. S+ T.

Dôkaz. 0∈{s⃗+ t⃗∈V, s⃗∈S, t⃗∈T }≠ ∅, lebo 0+ 0= 0. Ak x⃗, y⃗∈{s⃗+ t⃗, s⃗∈S, t⃗∈T }, tak

x⃗= s⃗_{1}+ t⃗_{1}, y⃗= s⃗_{2}+ t⃗_{2}, potom αx⃗+ βy⃗= α(s⃗_{1}+ t⃗_{1})+ β(s⃗_{2}+ t⃗_{2})= \underbrace{(αs⃗_{1}+ βs⃗_{2})}_{∈S} + \underbrace{(αt⃗_{1}+ βt⃗_{2})}_{∈T},

teda αx⃗+ βy⃗∈{s⃗+ t⃗, s⃗∈S, t⃗∈T }.

Tvrdenie. S+ T je najmenší podpriestor obsahujúci S∪T.

Lema 6.1. Ak P je vektorový podpriestor konečne generovaného vektorového priestoru V, tak aj P je konečne generovaný.

Dôkaz. : dú.

Veta 6.2. Predpokladajme, že V je konečne generovaný vektorový priestor nad R, nech S, T sú jeho podpriestory. Potom dim(S+ T)= dim(S)+ dim(T)− dim(S∩T).

Dôkaz.

1. Predpokladajme, že S∩T = {0}. Nech x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{s} je báza v S, (y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{t}) je báza v T. Potom S+ T = [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{s}, y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{t}]. Navyše (x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{s}, y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{t}) je báza v S+ T. Stačí ukázať ich lineárna nezávislosť. Keby boli lineárne závislé, potom jeden z nich by bol lineárna kombináciou tých, čo sú pred ním. Nemôže byť žiadny z x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{s}, lebo tie tvoria bázu v S. Teda musí to byť dajaké y⃗_{i}:

y⃗_{i}= a_{1}x⃗_{1}+ ⋯ + a_{s}x⃗_{s}+ b_{1}y⃗_{1}+ ⋯ + b_{i−1}y⃗_{i−1}, z toho \underbrace{y⃗_{i}−b_{1}y⃗_{1}− ⋯ −b_{i−1}y⃗_{i−1}}_{≠ 0,∈T ∩S= \{0\}, spor}= α_{1}x⃗_{1}+

+ ⋯ + α_{s}x⃗_{s}. dim(S+ T)= s+ t= dim(S)+ dim(T).

2. S∩T ≠ {0}: Nech (z⃗_{1}, ⋯, z⃗_{r}) je báza v S∩T. S∩T je podpriestor v S aj v T. Podľa Steinitzovej vety doplňme (z⃗_{1}, ⋯, z⃗_{r}) na bázu (z⃗_{1}, ⋯, z⃗_{r}, x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{s}) v S resp. na bázu (z⃗_{1}, ⋯, z⃗_{r}, y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{t}) v T. Teda dim(S)= r+ s, dim(T)= r+ t. Máme S+ T = [z⃗_{1}, ⋯, z⃗_{r}, x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{s}, y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{t}]. Navyše z⃗_{1}, ⋯, z⃗_{r}, x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{s}, y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{t} sú lineárne nezávislé, teda tvoria bázu v S+ T. Nech by boli lineárne závislé. Teda niektorý je lineárna kombinácia tých, čo sú pred ním. Nemôže to byť žiadny spomedzi z⃗_{1}, ⋯, z⃗_{r}, x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{s} lebo tvoria bázu v S. Teda existuje i:

(∗) y⃗_{i}= γ_{i}z⃗_{1}+ ⋯ + γ_{r}z⃗_{r}+ α_{1}x⃗_{1}+ ⋯ + α_{s}x⃗_{s}+ β_{1}y⃗_{1}+ ⋯ + β_{i−1}y⃗_{i−1}.

Z toho \underbrace{y⃗_{i}−β_{1}y⃗_{1}− ⋯ −β_{i−1}y⃗_{i−1}}_{∈T} = \underbrace{γ_{1}z⃗_{1}+ ⋯ + γ_{r}z⃗_{r}+ α_{1}x⃗_{1}+ ⋯ + α_{s}x⃗_{s}}_{∈S} ∈S∩T ⇒

⇒ γ_{1}z⃗_{1}+ ⋯ + γ_{r}z⃗_{r}+ α_{1}x⃗_{1}+ ⋯ + α_{s}x⃗_{s} = δ_{1}z⃗_{1}+ ⋯ + δ_{r}z⃗_{r} ⇔ (γ_{1}−δ_{1})z⃗_{1}+ ⋯ + (γ_{r}− −δ_{r})z⃗_{r}+ α_{1}x⃗_{1}+ ⋯ + α_{s}x⃗_{s}= 0. Z toho, že z⃗_{1}, ⋯, z⃗_{r}, x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{s} sú lineárne nezávislé máme, že α_{1}= ⋯ = α_{s}= 0. Teda z (∗): y⃗_{i}= γ_{1}z⃗_{1}+ ⋯ + γ_{r}z⃗_{r}+ β_{1} y⃗_{1}+ ⋯ + β_{i−1}y⃗_{i−1} spor s tým, že (z⃗_{1}, ⋯, z⃗_{r}, y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{t}) je báza. Teda naozaj (z⃗_{1}, ⋯, z⃗_{r}, y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{t}, x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{s}) je báza v S+ T. Teda dim(S +T) = r+s+t = dim(S)+r+t−r = dim(S)+ + dim(T)− dim(S∩T).

Definícia 6.2. Ak S, T sú vektorové podpriestory priestoru V a S∩T = {0}, tak vektorový podpriestor S+ T sa nazýva direktný súčet vektorových podpriestorov S a T. ozn. S⊕T.

Dôsledok formuly dimenzie: Ak S, T sú podpriestory konečne generovaného vektorového priestoru V a S∩T = {0}, tak dim(S⊕T)= dim(S)+ dim(T). Teraz vieme, že ak (x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{s}) je báza v S, a (y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{t}) je báza v T, tak (x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{s}, y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{t}) je báza pre (S⊕T).

Veta 6.3. Nech S, T, P sú vektorové podpriestory priestoru V. Potom P je direktným súčtom S a T (P = S⊕T) práve vtedy, keď každý vektor z P sa dá jediným spôsobom vyjadriť ako súčet vektora z S a vektora z T.

Dôkaz. ⇒ : Predpokladajme, že P = S⊕T. Potom je samozrejme pravda, že každý vektor z P je súčet vektora z S a vektora z T. Nech by existovali dve takéto vyjadrenia x⃗∈P : x⃗= s⃗_{1}+ t⃗_{1}= s⃗_{2}+ t⃗_{2}, s⃗_{1}, s⃗_{2}∈S, t⃗_{1}, t⃗_{2}∈T. Potom s⃗_{2}−s⃗_{1}= t⃗_{1}−t⃗_{2}∈(S∩T)= {0} ⇒ s⃗_{1}= s⃗_{2} a t⃗_{1}= t⃗_{2}. ⇐ : Predpokladajme, že každý vektor z P má jediné vyjadrenie v tvare ”vektor z S + vektor z T ”. Teda P = S+ T. Teraz nech a⃗∈S∩T. Potom a⃗= \underbrace{a⃗}_{∈S} + \underbrace{0}_{∈T} =

= \underbrace{0}_{∈S} + \underbrace{a⃗}_{∈T}, keďže takéto vyjadrenie je jediné, máme a⃗= 0. Dokázali sme, že

S∩T = {0}. Vcelku: P = S⊕T.

VII. MATICE

Definícia 7.1. Matica typu k×s nad poľom R je tabuľka (obdĺžniková), v ktorej k·s prvkov z R rozmiestňujeme do k riadkov a s stĺpcov. Všeobecný zápis:

( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1s} \\ a_{21} & ⋯ & a_{2s} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{k1} & ⋯ & a_{ks} \end{matrix} )

a_{ij}∈R, i−riadkový index, j−stĺpcový index. Matice označujeme: A, B, · · ·. Stručnejší všeobecný zápis: A= (a_{ij})_{k,s} alebo len A= (a_{ij}) ak k, s je jasné z kontextu. Ak A= (a_{ij})_{k,s} kde k= s, tak A sa volá štvorcová matica stupňa k. Jednotková matica stupňa n:

I_{n}= ( \begin{matrix}1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 \end{matrix} )

Definícia 7.2. Dve matice toho istého typu nad tým istým poľom sa rovnajú, ak na všetkých zodpovedajúcich miestach majú rovnaké prvky. A= (a_{ij})_{k,s}, B= (b_{uv})_{m,n} obidve nad ℝ. A= B znamená, že k= m, s= n, a_{ij}= b_{ij} pre všetky i= 1, ⋯, k a j= 1, ⋯, s.

Označenie. Množina všetkých matíc typu k×s nad ℝ označíme: 𝔐_{k,s}(ℝ).

Definícia 7.3. Ak A, B∈𝔐_{k,s}(ℝ), tak definujeme ich súčet ako maticu, ktorú ozn. A+ B; je typu k×s; jej prvok i−teho riadku a j−teho stĺpca je súčet a_{ij}+ b_{ij}.

Veta 7.1. (𝔐_{k,s}, +) je komutatívna grupa.

Dôkaz. Asociatívnosť operácie + vyplýva z asociatívnosti operácie + v poli ℝ. Neutrálny prvok je matica, ktorej všetky prvky sú 0∈ℝ tj. tzv. nulová matica. Inverzný prvok k matici A= (a_{ij}) je matica −A= (−a_{ij}). Komutatívnosť vyplýva z komutatívnosti operácie + v poli ℝ .

Definícia 7.4. Pre α∈ℝ, A= (a_{ij})∈𝔐_{k,s}(ℝ) definujme α-násobok matice A ako maticu, ktorú označíme αA= (αa_{ij})∈𝔐_{k,s}(ℝ)

Veta 7.2. 𝔐_{k,s}(ℝ) s vyššie definovaným sčitovaním resp. násobením je vektorový priestor nad ℝ. α(A+ B)= α((a_{ij})+ (b_{ij}))= (α(a_{ij}))+ (α(b_{ij}))= α(a_{ij})+ α(b_{ij}).

Tvrdenie 7.1. Ak definujeme E_{ij}∈𝔐_{k,s}(ℝ) ako maticu, ktorá má v i-tom riadku a j-tom stĺpci 1 a všetky ostatné prvky nulové, tak 𝔐_{k,s}(ℝ) je generovaný takýmito maticami E_{ij}, i= 1, ⋯, k j= 1, ⋯, s. Navyše E_{ij}, i= 1, ⋯, k j= 1, ⋯, s sú lineárne nezávislé a teda tvoria bázu priestoru 𝔐_{k,s}(ℝ). Z toho: dim(𝔐_{k,s}(ℝ))= = k·s.

Dôkaz. Nech A= ( ⋮ ... ⋮_{a_{k1} ··· a_{ks}}^{a_{11} ··· a_{1s}} ) ∈𝔐_{k,s}(ℝ). Potom A= ∑_{\begin{matrix}1≤i≤k \\ 1≤j≤s \end{matrix}} a_{ij}E_{ij}. Teda E_{ij} ge-

nerujú 𝔐_{k,s}(ℝ). Nech ( ⋮ ... ⋮_{α_{k1} ··· α_{ks}}^{α_{11} ··· α_{1s}} ) = ∑_{\begin{matrix}1≤i≤k \\ 1≤j≤s \end{matrix}} α_{ij}E_{ij}= ( ⋮ ... ⋮_{0 ··· 0}^{0 ··· 0} ) a teda α_{11}= ⋯ =

= α_{ks} = 0.

Definícia 7.5. Nech A= (a_{ij}) je matica typu 𝔐_{k,s}(ℝ). Riadky matice A chápme teraz ako prvky z ℝ^{s}. Označíme S_{A} vektorový podpriestor ℝ^{s} generovaný riadkami matice A. S_{A}= [(a_{11}, ⋯, a_{1s}), ⋯, (a_{k1}, ⋯, a_{ks})].

Definícia 7.6. Elementárna riadková operácia na matici je každá z týchto úprav (ERO):

1. Vzájomná výmena dvoch riadkov v matici.

2. Vynásobenie ľubovoľného riadku nenulovým skalárom.

3. Prirátanie ľubovoľného násobku riadku k inému riadku.

Definícia 7.7. Nech A, B∈𝔐_{k,s}(ℝ). Hovoríme, že matica B je riadkovo ekvivalentná s A (píšeme A≈B) ak B vznikne z A konečným počtom ERO.

Veta 7.3. Relácia riadkovej ekvivalentnosti ≈ je relácia ekvivalencie na 𝔐_{k,s}(ℝ).

Dôkaz. 1.Reflexívnosť: A≈A triviálne. 2.Symetrickosť: Nech A≈B. Každá ERO sa dá vrátiť naspäť (má inverznú). B≈A. 3.Tranzitívnosť: A≈B, B≈C ⇒ A≈C z definície jasné.

Veta 7.4. Nech A, B∈𝔐_{k,s}(ℝ). Ak A≈B tak S_{A}= S_{B}.

Dôkaz. Stačí dokázať pre prípad, že matica B vznikla z A vykonaním práve jedinej ERO. 1.Nech B vznikla z A vzájomnou výmenou i-teho a j-teho riadku (i≤j). Riadky v A označme x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}. Teda S_{B}= [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{i−1}, x⃗_{j}, x⃗_{i+1} , ⋯, x⃗_{j−1}, x⃗_{i}, x⃗_{j+1} , ⋯, x⃗_{k}]. Je jasné, že je to to isté ako lineárny obal [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}].

2. Nech B vznikla z A tak, že sme i-tý riadok x⃗_{i} vynásobili α≠ 0, α∈ℝ. Teda S_{B}= [x⃗_{1}, ⋯, αx⃗_{i}, ⋯, x⃗_{k}]. To je to isté ako [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{i}, ⋯, x⃗_{k}]= S_{A}.

3. B vznikla z A pripočítaním α-násobok prvého riadku k druhému. tj. αx⃗_{1}+ x⃗_{2}. Teda S_{B}= [x⃗_{1}, αx⃗_{1}+ x⃗_{2}, x⃗_{3}, ⋯, x⃗_{k}]. Ale [x⃗_{1}, αx⃗_{1} + x⃗_{2}, x⃗_{3}, ⋯, x⃗_{k}]= [x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}] = = S_{A}. Naozaj: inklúzia ⊂ je zrejmá. Majme ľubovoľnú lineárnu kombináciu: α_{1}x⃗_{1}+ ⋯ + α_{k}x⃗_{k}= α_{1}x⃗_{1}+ α_{2}(x⃗_{2}+ αx⃗_{1})−αα_{2}x⃗_{1}+ α_{3}x⃗_{3}+ ⋯ + α_{k}x⃗_{k}= (α_{1}−αα_{2})x⃗_{1}+ + α_{2}(x⃗_{2}+ αx⃗_{1})+ α_{3}x⃗_{3}+ ⋯ + α_{k}x⃗_{k}∈[x⃗_{1}, x⃗_{2}+ αx⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}].

Otázka. Platí aj obrátené tvrdenie vo vete 7.4 ? Odpoveď: Áno.

Definícia 7.8. Hovoríme, že matica A= (a_{ij})∈𝔐_{k,s}(ℝ) je v redukovanom trojuholníkovom tvare, ak:

1. Prvý nenulový prvok (tzv. vedúci prvok) každého nenulového riadku je 1.

2. V stĺpci obsahujúcom vedúci prvok niektorého riadku sú ostatné prvky nulové.

3. Ak a_{ij} a a_{pq} sú vedúce prvky i-teho a p-teho riadku a pritom i<p, tak potom j<q.

4. Nulové riadky (ak existujú) sú pod všetkými nenulovými.

Príklad.

1. Matica ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) nie je v RTM (redukovaná trojuholníková matica).

2.Matica ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) je v RTM.

Poznámka. Ak A spĺňa len podmienky 3.,4. tak je to matica v tzv. trojuholníkovom tvare. Redukovaná trojuholníková matica typu k×k je buď nulová, alebo ak neobsahuje nulové riadky, tak je jednotková matica I_{k}.

Veta 7.5. Nech A∈𝔐_{k,s}(ℝ) je RTM. Potom jej nenulové riadky sú lineárne nezávislé. (platí to už o trojuholníkových maticiach).

Dôkaz. Nech A je RTM a nech jej nenulové riadky sú x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{r}∈R^{s}. Vedúce prvky týchto riadkov nech sú v stĺpcoch t_{1}<t_{2}< ⋯ <t_{r}. Nech by boli x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{r} lineárne závislé. Teda existuje i∈{x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{r}} : x⃗_{i}= α_{1}x⃗_{1}+ ⋯ + α_{i−1}x⃗_{i−1}. Ale t_{i}-tá zložka v x⃗_{i} je 1, kým x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{i−1} majú t_{i}-tú zložku nulovú. Teda má platiť 1= 0 spor.

Príklad.

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & −1 \\ 1 & 1 & −1 & 1 \\ 2 & −1 & 1 & 0 \end{matrix} ) ≈ ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & −1 \\ 0 & −1 & −4 & 2 \\ 0 & −5 & −5 & 2 \end{matrix} ) ≈ ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & −1 \\ 0 & 1 & 4 & −2 \\ 0 & 0 & 15 & −8 \end{matrix} ) ≈

≈ ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & −1 \\ 0 & 1 & 4 & −2 \\ 0 & 0 & 1 & −\frac{8}{15} \end{matrix} ) ≈ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{15} \\ 0 & 0 & 1 & −\frac{8}{15} \end{matrix} )

Veta 7.6. Každá matica je riadkovo ekvivalentná s nejakou RTM-ou.

Dôkaz. Indukcia vzhľadom na počet riadkov v matici. 1^{∘} Ak A má jeden riadok, tak ak je nulový tak OK. Keď nenulový: (0, ⋯, 0, c ≠ 0, ⋯)≈(0, ⋯, 0, 1, ⋯) RTM. 2^{∘} Predpokladajme, že veta platí pre všetky matice, ktoré majú k riadkov. Nech A je matica, ktorá má k+ 1 riadkov. Ak A je nulová, tak OK. Nech A≠ 0. Nech jej prvý

nenulový stĺpec je p-tý. A= ( \begin{matrix}0 & ··· & 0 & ··· \\ ⋮ & ... & ⋮ & ··· \\ 0 & ··· & a_{ip}≠ 0 & ··· \\ ⋮ & ... & ⋮ & ··· \\ 0 & ··· & · & ··· \end{matrix} ). Je jasné, že A≈B= ( 0 ... ⋮ ···_{0 ··· · ···}^{0 ··· b_{1p} ···} ) ≈

≈ ( \begin{matrix}0 & ··· & 1 & c_{1,p+1} & ··· & c_{1s} \\ 0 & ··· & 0 & c_{2,p+1} & ··· & c_{2s} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & ··· & 0 & c_{k+1,p+1} & ··· & c_{k+1,s} \end{matrix} ) = C. Ozn. C′= ( ⋮ ... ⋮_{c_{k+1,p+1} ··· c_{k+1,s}}^{c_{2,p+1} ··· c_{2s}} ). Matica C′ má

iba k riadkov, konečným počtom ERO sa upraví na RTM ozn. ju D′. Teda:

D= ( \begin{matrix}0 & ··· & 0 & 1 & d_{1,p+1} & d_{1,p+2} & ··· & d_{1,s−1} & d_{1s} \\ 0 & ··· & 0 & 0 & d′_{2,p+1} & d′_{2,p+2} & ··· & d′_{2,s−1} & d′_{2s} \\ 0 & ··· & 0 & 0 & 0 & d′_{3,p+2} & ··· & d′_{3,s−1} & d′_{3s} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & ··· & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & d′_{k,s−1} & d′_{ks} \\ 0 & ··· & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 & d′_{k+1,s} \end{matrix} ).

Definícia 7.9. Nech A∈𝔐_{k,s}(ℝ). Potom číslo dim(S_{A}) sa nazýva hodnosť matice A, ozn. h(A)= dim(S_{A}).

Platí. : h(A) = počet lineárne nezávislých riadkov matice A.

Tvrdenie 7.2. Ak A≈B, tak h(A)= h(B).

Dôkaz. Keďže každú maticu A môžeme konečným počtom ERO upraviť na RTM A′≈A, tak h(A)= h(A′)= počet nenulových riadkov v A′.

Príklad. Výpočet hodnosti:

1. A= ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ −1 & 1 & 2 \end{matrix} ) ≈ ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 5 \end{matrix} ) h(A)= 2.

2. B= ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{matrix} ) ≈ ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) h(B)= 1.

Veta 7.7. Nech A, B∈𝔐_{k,s}(R) sú RTM. Ak S_{A}= S_{B}, tak A= B.

Dôkaz. Máme h(A)= h(B)= r. Nech a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{r} resp. b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{r} sú nenulové riadky v A resp. v B. Nech teraz s_{1}<s_{2}< ⋯ <s_{r} sú stĺpcové indexy vedúcich prvkov riadkov a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{r} , podobne nech t_{1}<t_{2}< ⋯ <t_{r} sú stĺpcové indexy vedúcich prvkov riadkov b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{r}. Keďže S_{A}= S_{B}, máme [a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{r}]= [b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{r}]∈ℝ^{s}. Každé b_{j} má jediné vyjadrenie v tvare b⃗_{j}= α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{r}a⃗_{r}. Pre b⃗_{j} nech q je najmenšie také, že α_{q}≠ 0. Teda b⃗_{j}= α_{q}a⃗_{q}+ ⋯ + α_{r}a⃗_{r}. b_{j} má prvú nenulovú zložku (t_{j})-tú. Vektor vpravo má prvú nenulovú zložku (= α_{q}) s_{q}-tú. Z rovnosti dostávame, že 1= α_{q}, t_{j}= s_{q}. Pre s_{1}<s_{2}< ⋯ <s_{r}, t_{1}<t_{2}< ⋯ <t_{r} máme, že každé s_{i} sa rovná dákému t_{v}. To je možné iba tak, že s_{1}= t_{1}, ⋯, s_{r}= t_{r}. Teda máme, že b⃗_{j}= a_{q}+ α_{q+1} a⃗_{q+1} + ⋯ + α_{r}a⃗_{r}. V RTM sú v stĺpci obsahujúcom vedúci prvok riadku ostatné prvky 0, preto: 1·α_{q+1} = 0 ⇒ α_{q+1} = 0. Podobne pre ostatné, tj. α_{q+2} = ⋯ = α_{r}= 0. Teda pre ∀q : b⃗_{q}= a⃗_{q}. Záver A= B.

Dôsledok. Každá matica je riadkovo ekvivalentná s jedinou RTM.

Dôkaz. Nech A je ľubovoľná matica. Vieme, že existuje RTM A′: A≈A′. Nech by aj B′ bola RTM, B′≈A. Potom A′≈A≈B′,teda A′≈B′, teda S_{A′}= S_{B′}. Z predchádzajúcej vety vieme, že A′= B′.

Veta 7.8. Nech A, B∈𝔐_{k,s}(R) sú ľubovoľné. Potom platí: A≈B ⇔ S_{A}= S_{B}.

Dôkaz. ⇒: V eta 7.7 ⇐: Predpokladajme, že S_{A}= S_{B}. Nech A′ je RTM taká, že A≈A′. Nech B′ je RTM taká, že B≈B′. Potom S_{A′}= S_{A}= S_{B}= S_{B′}. Teda S_{A′}= S_{B′}. Ale A′, B′ sú RTM, teda z V ety 7.7: A′= B′. A≈A′= B′≈B, teda A≈B.

Tvrdenie 7.4. Nech A, B∈𝔐_{k,s}(R). Potom A≈B ⇔ A, B sa dajú konečným počtom ERO upraviť na tú istú RTM.

Dôkaz. ⇒: Predpokladajme, že A≈B. Nech A′ je RTM, B′ je RTM, A≈A′ a B≈B′. Potom S_{A′}= S_{A}= S_{B}= S_{B′}. Keďže A′, B′ sú RTM, máme že A′= B′. ⇐: Predpokladajme, že A, B: A≈A′, B≈A′ kde A′ je RTM. Z toho: A≈A′≈B ⇔ A≈B.

Príklad. Rozhodnite, či reálne matice ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) a ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) sú riadkovo ekvivalentné.

( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) ≈ ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ≈ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ). ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) ≈ ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & −2 \end{matrix} ) ≈ ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ≈ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ). Sú riadkovo ekviva-

lentné.

VIII. LINEÁRNE ZOBRAZENIE

Definícia 8.1. Nech V, W sú vektorové priestory nad poľom ℝ. Potom lineárne zobrazenie z V do W je zobrazenie f : V →W také, že f(αx⃗+ βy⃗)= αf(x⃗)+ βf(y⃗) pre ∀α, β∈ℝ a ∀x⃗, y⃗∈V.

Tvrdenie 8.1. Ak f : V →W je lineárne zobrazenie, tak f(0)= 0.

Dôkaz. f(0)= f(0+ 0)= f(0)+ f(0) z toho: f(0)= 0.

Príklady.

1. f : ℝ^{2}→ℝ^{3}, f(a, b)= (2a + b, a + b − 1, a + 2b) nie je lineárne zobrazenie, lebo f(0)= f(0, 0)= (0, −1, 0)≠ 0.

2. p_{1} : ℝ^{3}→ℝ, f(x_{1}, x_{2}, x_{3})= x_{1} je lineárne zobrazenie. (Nazýva sa projekcia na prvú zložku). p_{1}(α(x_{1}, x_{2}, x_{3})+ β(y_{1}, y_{2}, y_{3}))= p_{1}(αx_{1}+ βy_{1}, αx_{2}+ βy_{2}, αx_{3}+ βy_{3})= = αx_{1}+ βy_{1}= αp_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3})+ βp_{1}(y_{1}, y_{2}, y_{3}).

3. O : V →W, O(v⃗)= 0∈W pre všetky v⃗∈V je lineárne zobrazenie.

4. id_{V} : V →V, id_{V} (x⃗)= x⃗ je lineárne zobrazenie.

5. g : ℝ^{2}→ℝ^{2}, g(x, y)= (2x, 3x − y) je lineárne zobrazenie.

Veta 8.1. Nech f : V →W je lineárne zobrazenie.

1. Ak S⊂V je vektorový podpriestor, tak f(S)⊂W je vektorový podpriestor vo W. (Špeciálne: Im(f)= f(V) je vektorový podpriestor vo W.)

2. Ak P ⊂W je vektorový podpriestor vo W, tak jeho vzor pri zobrazení f je vektorový podpriestor. tj.: f^{−1}(P)= {a⃗∈V, f(a⃗)∈P }⊂V. (Špec. f^{−1}({0})= {x⃗∈V, f(x⃗)= 0}= Ker(f), tj. jadro lineárneho zobrazenia je vektorový podpriestor vo V.)

Dôkaz.

1. f(0)= 0∈f(S) ⇒ f(S)≠ ∅. Kritérium vektorového podpriestoru: Nech a⃗, b⃗∈f(S), α, β∈ℝ chceme ukázať, že αa⃗+ βb⃗∈f(S). Máme a⃗= f(x⃗), b⃗= f(y⃗) pre dáke x⃗, y⃗∈S. Potom f(\underbrace{αa⃗+ βb⃗}_{∈S})= αf(x⃗)+ βf(y⃗)= αa⃗+ βb⃗. A teda αa⃗+ βb⃗∈f(S). Ukázali sme, že

f(S) je vektorový podpriestor.

2. 0∈P, pričom f(0)= 0∈P ⇒ 0∈f^{−1}(P), preto f^{−1}(P)≠ ∅. Použijeme kritérium vektorového podpriestoru: Nech x⃗, y⃗ ∈ f^{−1}(P), α, β ∈ ℝ. Chceme ukázať, že

αx⃗+ βy⃗∈f^{−1}(P). Rátajme: f(αx⃗+ βy⃗)= α \underbrace{f(x⃗)}_{∈P} + β \underbrace{f(y⃗)}_{∈P}, preto αx⃗+ βy⃗∈f^{−1}(P).

Veta 8.2. Lineárne zobrazenie f : V →W je injektívne ⇔ Ker(f)= {0}. f je surjektívne ⇔ Im(f)= W.

Dôkaz. Podobne ako pre grupy.

Definícia 8.2. Lineárne zobrazenie f : V →W sa nazýva lineárny izomorfizmus ak f je bijektívne. Ak pre dané vektorový priestory V, W existuje lineárny izomorfizmus g : V →W, tak hovoríme, že vektorový priestor V je lineárne izomorfný s vektorovým priestorom W. Píšeme: V ≅W

Veta 8.3. Ak f : V →W je lineárny izomorfizmus, tak aj f^{−1} : W →V je lineárny izomorfizmus.

Dôkaz. Vieme, že f^{−1} : W →V existuje a je bijekcia. Chceme ukázať, že je aj lineárne. Nech a⃗, b⃗∈W, α, β∈ℝ. Nech x⃗∈V je ten jediný, pre ktorý f(x⃗)= a⃗, podobne y⃗∈V jediný, pre ktorý f(y⃗)= b⃗. Potom: f(αx⃗+ βy⃗)= αf(x⃗)+ βf(y⃗)= αa⃗+βb⃗. Z toho: f^{−1}(αa⃗+ βb⃗)= αf^{−1}(a⃗)+ βf^{−1}(b⃗).

Poznámka. Teda ak V ≅W, tak aj W ≅V.

Veta 8.4. Ak f : V →W, g : W →S sú lineárna zobrazenia, tak aj g∘f : V →S je lineárne zobrazenie. Špeciálne zloženie dvoch lineárnych izomorfizmov je lineárny izomorfizmus.

Dôkaz. g∘f(αx⃗+ βy⃗)= g(αf(x⃗)+ βf(y⃗))= α·g∘f(x⃗)+ β·g∘f(y⃗).

Príklad. V =vektorový priestor orientovaných úsečiek v O_{xy} so začiatkom v O. f : V →ℝ^{2}. f(orient. úsečky)= (1.súr. konc.bodu, 2.súr.konc. bodu). f : V →ℝ^{2} je lineárny izomorfizmus.

Nech S je vektorový podpriestor priestoru V (ℝ). Už vieme, že V/S je komutatívna grupa, s operáciou + : [x⃗]+ [y⃗]= [x⃗+ y⃗]. Definujme zobrazenie ℝ×V/S→V/S, (α, [x⃗])↦α[x⃗], kde α[x⃗]= [αx⃗]. Je to dobrá definícia, lebo ak [x⃗]= [y⃗], tak vieme, že x⃗−y⃗∈S. Potom, keďže S je vektorový podpriestor, máme pre ∀α∈ℝ: α(x⃗−y⃗) = αx⃗−αy⃗∈S. Teda [αx⃗] = [αy⃗]. Potom V/S je vektorový podpriestor nad ℝ. (napr. overme α([x⃗]+ [y⃗])= α[x⃗+ y⃗]= [α(x⃗+ y⃗)]= [αx⃗+ αy⃗]= [αx⃗]+ [αy⃗]= α[x⃗]+ α[y⃗], podobne sa overia ostatné axiómy vektorový podpriestoru.)

Príklady.

1. V/V = {0}

2. Nech f : V →W je lineárne zobrazenie. Vieme, že Ker(f) je vektorový podpriestor vo V, máme priestor V/Ker(f).

Definícia 8.3. Ak V je vektorový priestor nad R a S⊂V je vektorový podpriestor, tak V/S sa nazýva faktorový vektorový priestor.

Veta 8.5. Nech V je konečne generovaný vektorový priestor nad R a nech S⊂V je vektorový podpriestor. Potom dim(V/S)= dim(V)− dim(S).

Dôkaz. Nech (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{r}) je báza v S. Doplňme ju na bázu (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{r}, b⃗_{r+1} , ⋯, b⃗_{n}) priestoru V. Potom vektorový priestor V/S je generovaný vektormi [[b⃗_{r+ 1}], ⋯, [b⃗_{n}]]. Pre ľubovoľný [x⃗]∈V/S. Máme x⃗∈V, teda x⃗= α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{r}a⃗_{r}+ β_{r+1} b⃗_{r+1} + + ⋯ + β_{n}b⃗_{n} pre α_{i}, β_{i} ∈ R. Z toho: [x⃗] = [α_{1}a⃗_{1}]+ ⋯ + [α_{r}a⃗_{r}]+ [β_{r+ 1}b⃗_{r+ 1}]+ ⋯ + + [β_{n}b⃗_{n}] = α_{1}[a⃗_{1}] + ⋯ + α_{r}[a⃗_{r}] + β_{r+ 1}[b⃗_{r+ 1}] + ⋯ + β_{n}[b⃗_{n}], teda 0 ∈ V/S, [x⃗] = = β_{r+ 1}[b⃗_{r+ 1}]+ ⋯ + β_{n}[b⃗_{n}]. Teda V/S⊂[[b⃗_{r+ 1}], ⋯, [b⃗_{n}]], obrátená inklúzia je zrejmá. Navyše [b⃗_{r+ 1}], ⋯, [b⃗_{n}]∈V/S sú lineárne nezávislé, lebo nech δ_{r+1} [b⃗_{r+1} ]+ ⋯ + + δ_{n}[b⃗_{n}]= 0∈V/S. Potom [δ_{r+1} b⃗_{r+1} + ⋯ + δ_{n}b⃗_{n}]= [0], teda δ_{r+ 1}b⃗_{r+ 1}+ ⋯ + δ_{n}b⃗_{n}∈S. Potom δ_{r+ 1}b⃗_{r+ 1}+ ⋯ + δ_{n}b⃗_{n}= γ_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + γ_{r}a⃗_{r}, z toho: δ_{r+1} b⃗_{r+1} + ⋯ + δ_{n}b⃗_{n}−γ_{1}a⃗_{1}− − ⋯ −γ_{r}a⃗_{r}= 0∈V. Ale a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{r}, b⃗_{r+ 1}, ⋯, b⃗_{n} sú nezávislé, preto δ_{r+ 1}= ⋯ = δ_{n}= 0. Ukázali sme, že ([b⃗_{r+ 1}], ⋯, [b⃗_{n}]) je báza vo V/S, teda dim(V/S)= n−r.

Veta o faktorovom izomorfizme. Nech f : V →W je surjektívne lineárne zobrazenie. Potom V/Ker(f)≅W.

Dôkaz. Definujme φ : V/Ker(f)→W, φ([x⃗])= f(x⃗). Z vety o faktorovom izomorfizme pre grupy vieme, že φ je dobre definovaný homomorfizmus abelovských grúp; tiež φ je bijkecia. Aby sme ukázali, že φ je aj lineárny izomorfizmus, stačí ukázať, že φ(α[x⃗]) pre α∈R, [x⃗]∈V/Ker(f). Takto: φ(α[x⃗])= φ([αx⃗])= f(αx⃗)= αf(x⃗)= αφ([x⃗]). Zistili sme, že φ je lineárny izomorfizmus medzi V/Ker(f)≅W.

Príklad. p_{1} : ℝ^{3} → ℝ, p_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1} je lineárne zobrazenie, je aj surjektívne. Ker(p_{1}) = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3}, x_{1} = 0} = {(0, x_{2}, x_{3}), x_{2}, x_{3} ∈ ℝ}. Z vety: ℝ^{3}/{(0, x_{2}, x_{3})∈ℝ^{3}, x_{2}, x_{3}∈ℝ}≅ℝ

Veta 8.6. (základná veta o lineárnych zobrazeniach) Nech V je konečne generovaný vektorový priestor nad poľom R a nech W je vektorový priestor nad R. Potom existuje jediné lineárne zobrazenie f : V →W také, že f zobrazí bázové vektory a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n} priestoru V na predpísané obrazy b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{n}∈W, teda také, že f(a⃗_{1})= b⃗_{1}, ⋯, f(a⃗_{n})= b⃗_{n}. Zobrazenie f funguje takto: ak x⃗= α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}a⃗_{n}, tak f(x⃗)= α_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}b⃗_{n}.

Dôkaz. Jednoznačnosť: Ak také f existuje, tak jediné: nech by f, g : V →W boli dve také lineárne zobrazenia. Teda f(a⃗_{1})= b⃗_{1}, ⋯, f(a⃗_{n})= b⃗_{n}, g(a⃗_{1})= b⃗_{1}, ⋯, g(a⃗_{n})= b⃗_{n}. Ľubovoľný x∈V má jednoznačné vyjadrenie: x⃗= α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}a⃗_{n}. Z lineárnosti f a g: f(x⃗)= f(α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}a⃗_{n})= α_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}b⃗_{n} a g(x⃗)= g(α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}a⃗_{n})= = α_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}b⃗_{n}. Teda f= g. Existencia: Videli sme, že ak také f existuje, tak pre ∀x∈V, x⃗= α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}a⃗_{n} musí byť f(x⃗)= α_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}b⃗_{n}. Teda definujme f : V →W takto: f(x⃗)= α_{1}b⃗_{1}+ + ⋯ + α_{n}b⃗_{n}, ak x⃗= α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}a⃗_{n}. Potom f(a⃗_{1})= b⃗_{1}, ⋯, f(a⃗_{n})= b⃗_{n}; treba už len overiť lineárnosť f : x⃗, y⃗∈V, α, β∈R, x⃗= α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}a⃗_{n}, y⃗= β_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + β_{n}a⃗_{n} ⇒ f(αx⃗+ βy⃗)= f(α(α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}a⃗_{n})+ β(β_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + β_{n}b⃗_{n})= f((αα_{1}+ ββ_{1})a⃗_{1}+ ⋯ + + (αα_{n}+ ββ_{n})a⃗_{n})= (αα_{1}+ ββ_{1})b⃗_{1}+ ⋯ + (αα_{n}+ ββ_{n})b⃗_{n}= α(α_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}b⃗_{n})+ + β(β_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + β_{n}b⃗_{n})= αf(x⃗)+ βf(y⃗).

Lineárne zobrazenia R^{k} → R^{s}, kde R je pole.

Definícia 8.4. Nech f:R^{k}→R^{s} je lineárne zobrazenie. Zo základnej vety o lineárnych zobrazeniach vieme, že f je úplne určené obrazmi bázových vektorov. Špeciálne: obrazmi štandardných bázových vektorov e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{k}∈R^{k}. Ak tieto obrazy ( tj. f(e⃗_{1}), ⋯, f(e⃗_{n})∈R^{s}) zapíšeme (poradie zachováme) do matice, tak dostaneme maticu typu k × s nad poľom R. Ozn.:M_{f}. Matica M_{f} sa nazýva matica lineárneho zobrazenia f. f(1, 0, ⋯, 0)= (a_{11}, ⋯, a_{1s})∈R^{s}, ⋯, f(0, 0, ⋯, 1)=

= (a_{k1}, ⋯, a_{ks}) ⇒ M_{f}= ( ⋮ ... ⋮_{a_{k1} ··· a_{ks}}^{a_{11} ··· a_{1s}} ) ∈𝔐_{k,s}(R).

Príklad. g : ℝ^{2}→ℝ^{2}, g(x_{1}, x_{2})= (2x_{1}−x_{2}, x_{1}+ x_{2}), M_{g}= ( \begin{matrix}g(1,0) \\ g(0,1) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ).

Definícia 8.5. Nech je daná matica A∈𝔐_{k,s}(R). Potom zo základnej vety o lineárnych zobrazeniach vieme, že existuje jediné zobrazenie R^{k}→R^{s},ktoré e⃗_{1}∈R^{k} zobrazí na prvý riadok matice A, atď, e⃗_{k} na k-tý riadok matice A. Toto lineárne zobrazenie označíme f_{A} : R^{k}→R^{s}; nazýva sa lineárne zobrazenie patriace k matici A.

Príklad.

B= ( \begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix} ) ∈M_{2,3}(ℝ), g_{B} : ℝ^{2}→ℝ^{3}, g_{B}(1, 0)= (1, −1, 2), g_{B}(0, 1)= (1, 1, 3).

g_{B}(x_{1}, x_{2})= g_{B}((1, 0)x_{1}+ (0, 1)x_{2})= x_{1}(1, −1, 2)+ x_{2}(1, 1, 3)= (x_{1}+ x_{2}, −x_{1}+ x_{2}, 2x_{1}+ + 3x_{2}). Je jasné: M_{g_{B}}= B

Veta 8.7. Priradenie matice lineárnemu zobrazeniu R^{k}→R^{s} definuje bijektívnu korešpondenciu medzi množinou všetkých lineárnych zobrazení R^{k}→R^{s} a množinou matíc 𝔐_{k,s}(R).

Dôkaz. Jasné!

Nech f : ℝ^{2}→ℝ^{2}, g : ℝ^{2}→ℝ^{3} sú lineárne zobrazenia. Potom g∘f : ℝ^{2}→ℝ^{3} je tiež lineárne zobrazenie. Nech M_{f}= ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) a M_{g}= ( \begin{matrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{matrix} ). Aký je vzťah medzi M_{g∘f} na jednej strane a maticami M_{g}, M_{f} na druhej strane? Rátame: f(1, 0)= (a_{11}, a_{12}), f(0, 1)= (a_{21}, a_{22}), g(1, 0)= (b_{11}, b_{12}, b_{13}), g(0, 1)= (b_{21}, b_{22}, b_{23}), g∘f(1, 0) = g(a_{11}(1, 0)+ a_{12}(1, 0)) = a_{11}(b_{11}, b_{12}, b_{13})+ a_{12}(b_{21}, b_{22}, b_{23}) = = (a_{11}b_{11}+ a_{12}b_{21}, a_{11}b_{12}+ a_{12}b_{22}, a_{11}b_{13}+ a_{12}b_{23}), g∘f(0, 1)= g(a_{21}(0, 1)+ a_{22}(0, 1))= = ⋯ = (a_{21}b_{11}+ a_{22}b_{21}, a_{21}b_{12}+ a_{22}b_{22}, a_{21}b_{13}+ a_{22}b_{23}), M_{g∘f}= M_{f}·M_{g}.

Tvrdenie 8.2. Ak f:R^{k}→R^{s} je lineárne zobrazenie s maticou M_{f}= (a_{ij})∈𝔐_{k,s}(R) a g : R^{s}→R^{t} je lineárne zobrazenie s maticou M_{g}= (b_{ij})∈𝔐_{s,t}(R), tak lineárne zobrazenie g∘f : R^{k}→R^{t} má maticu M_{g∘f}∈𝔐_{k,t}(R), ktorej prvok i-teho riadku a j-teho stĺpca dostaneme ako skalárny súčin i-teho riadku z M_{f} a j-teho stĺpca z M_{g}.

Definícia 8.6. Nech A∈𝔐_{k,s}(R), B∈𝔐_{s,t}(R); potom súčin matíc A a B ozn. AB sa definuje takto: AB= C= (c_{ij})∈𝔐_{k,t}(R), kde c_{ij}= a_{i1}b_{1j}+ ⋯ + a_{is}b_{sj}.

Tvrdenie 8.3. Ak f : R^{k}→R^{s} je lineárne zobrazenie s maticou M_{f} a g : R^{s}→R^{t} je lineárne zobrazenie s maticou M_{g}, tak M_{g∘f}= M_{f}·M_{g}

Príklad.

( \begin{matrix}1 & −2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}3 \\ 0 \end{matrix} )

Niektoré vlastnosti súčinu matíc.

1. A∈𝔐_{k,s}(R) I_{n}= ( \begin{matrix}1 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 1 & ··· & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ··· & 1 \end{matrix} ) ∈𝔐_{n,n}(R) ⇒ I_{k}A= A= AI_{s} kde I_{s}= M_{id(R^{s})}.

2.A∈𝔐_{k,s}, B∈𝔐_{s,t}, C∈𝔐_{t,z} potom (AB)C= A(BC). Dôkaz: A= M_{f_{A}}, B= M_{f_{B}}, C= M_{f_{C}}. Potom A(BC)= M_{f_{A}}(M_{f_{B}}M_{f_{C}})= M_{f_{A}}(M_{f_{C}∘f_{B}})= M_{(f_{C}∘f_{B})∘f_{A}}= = M_{f_{C}(f_{B}∘f_{A})}= M_{f_{B}∘f_{A}}M_{f_{C}} = (M_{f_{A}}M_{f_{B}})M_{f_{C}}.

3. distributivita: A(B+ C)= AB+ AC, keď to má zmysel, (A+ B)C= AC+ BC.

4. AB≠ BA napr.: ( \begin{matrix}1 & 2 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 & 3 \\ −2 & 0 \end{matrix} ), ale ( \begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 3 \\ −2 & −1 \end{matrix} ).

(𝔐_{n,n}(R), +, •, 1= I_{n}) je okruh s 1.

Definícia 8.7. Elementárna matica stupňa k patriaca k danej ERO je matica, ktorú z I_{k} dostaneme tak, že na I_{k} urobíme túto ERO.

Príklad. ERO- prirátanie α-násobku druhého riadku k prvému. Príslušná elemen-

tárna matica stupňa 3 je: E = ( \begin{matrix}1 & α & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ).

Veta 8.8. Nech B∈𝔐_{k,s}(R) vznikne z A∈𝔐_{k,s}(R) vykonaním práve jednej ERO. Potom ak E je elementárna matica stupňa k patriaca k tejto ERO, tak B= EA.

Dôkaz. Ak C∈𝔐_{a,b}(R) je ľubovoľná matica, tak i-tý riadok matice C sa rovná

(0, ⋯, 0, 1, 0, ⋯, 0)C= e⃗_{i}C, (0, ⋯, 0, 1, 0, ⋯, 0) · ( \begin{matrix}c_{11} & ··· & c_{1b} \\ · & ··· & · \\ c_{i1} & ··· & c_{ib} \\ · & ··· & · \\ c_{a1} & ··· & c_{ab} \end{matrix} ) = (c_{i1}, ⋯, c_{ib}).

A= (a_{ij})_{k,s}. Nech napr. ERO spočíva v tom, že α-násobok j-teho riadku prirátame

k prvému. Teda: B = ( \begin{matrix}a_{11} +αa_{j1} & ··· & a_{1s} +α_{js} \\ a_{21} & ··· & a_{2s} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{k1} & ··· & a_{ks} \end{matrix} ). Elementárna matica E vznikne z I_{k}

vykonaním tej istej ERO. Teda riadky matice E budú e⃗_{1}+ αe⃗_{j}, e⃗_{2}, ⋯, e⃗_{k}. Prvý riadok v EA je e⃗_{1}(EA)= (e⃗_{1}E)A= (e⃗_{1}+ αe⃗_{j})A= e⃗_{1}A+ αe⃗_{j}A= (a_{11}, ⋯, a_{1s})+ α(a_{j1}, ⋯, a_{js})= (a_{11}+ αa_{j1}, ⋯, a_{1s}+ αa_{js})= prvý riadok v B. Druhý riadok v EA je e⃗_{2}(EA)= (e⃗_{2}E)A= e⃗_{2}A= (a_{21}, ⋯, a_{2s})= druhý riadok v B. … podobne všetky ostatné. Teda B= EA.

Príklad. A= ( \begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) ∈𝔐_{2,2}(ℝ). K druhému riadku prirátame prvý.

B= ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} )  E= ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} )  EA= ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) = B.

Tvrdenie 8.4. Nech A∈𝔐_{k,s}(R), nech f_{A} : R^{k}→R^{s} je lineárne zobrazenie maticou A. Potom f_{A} (x_{1}, ⋯, x_{k})= (x_{1}, ⋯, x_{k})·A pre všetky (x_{1}, ⋯, x_{k})∈R^{k}. Pre lineárne zobrazenie g : R^{k}→R^{s} máme: g(x_{1}, ⋯, x_{k})= (x_{1}, ⋯, x_{k})·M_{g} pre všetky (x_{1}, ⋯, x_{k})∈R^{k}.

Dôkaz. Zo základnej vety o lineárnych zobrazeniach vieme, že g je úplne určené obrazmi: e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{k}. Predpis h(x_{1}, ⋯, x_{k})= (x_{1}, ⋯, x_{k})·M_{g} definuje lineárne zobrazenie z R^{k}→R^{s}. h(α(x_{1}, ⋯, x_{k})+ β(y_{1}, ⋯, y_{k}))·M_{g}= α(x_{1}, ⋯, x_{k})·M_{g}+ + β(y_{1}, ⋯, y_{k})·M_{g}= αh(x_{1}, ⋯, x_{k})+ βh(y_{1}, ⋯, y_{k}). g(e⃗_{1})= 1. riadok matice M_{g}. h(e⃗_{1})= e⃗_{1}·M_{g}= 1.riadok v M_{g}. Všeobecne: g(e⃗_{i})= i-tý riadok v M_{g}. h(e⃗_{i})= e⃗_{i}M_{g} pre i= 1, ⋯, k. Z toho: h= g, a teda g(x_{1}, ⋯, x_{k})= (x_{1}, ⋯, x_{k})·M_{g}.

Príklad. f : ℝ^{2}→ℝ^{2}, f(x_{1}, x_{2})= (−x_{1}+ x_{2}, −x_{1}), M_{f} = ( \begin{matrix}f(1,0) \\ f(0,1) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ),

(x_{1}, x_{2}) ( \begin{matrix}−1 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) = (−x_{1}+ x_{2}, −x_{1}).

Poznámka. Prvky z R^{k} chápme ako riadky. Ale niekedy sa prvky z R^{k} chápu aj ako stĺpce. Potom pri takom chápaní sa matica lineárneho zobrazenia f : R^{k}→R^{s}

definuje ako matica M̃_{f} je typu s×k nad R, ktorej i-tý stĺpec je f ( \begin{matrix}0 \\ ··· \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ ··· \\ 0 \end{matrix} ).

g : R^{k}→R^{s}, g ( ⋮_{x_{k}}^{x_{1}} ) = g(x_{1}, ⋯, x_{k})= M̃_{f}· ( ⋮_{x_{k}}^{x_{1}} ).

Definícia 8.8. A= (a_{ij})∈𝔐_{k,s}(R) k nej transponovaná matica je matica A^{T}∈𝔐_{s,k}(R) pričom (a_{ij}^{T})= a_{ji}. Teda A^{T} dostaneme z A tak, že ”vymeníme riadky za stĺpce”.

Príklad. A= ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} ) A^{T}= ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{matrix} ).

Tvrdenie 8.5. Ak A= (a_{ij})∈𝔐_{k,s}, B= (b_{ij})∈𝔐_{s,t}(R), tak (AB)^{T}= B^{T}A^{T}.

Dôkaz. Prvok i-teho riadku a j-teho stĺpca v B^{T}A^{T} je ∑_{p=1}^{s}b_{ip}^{T}a_{pj}^{T}= ∑_{p=1}^{s}a_{jp}b_{pi}.

Prvok z i-teho riadku a j-teho stĺpca v (AB)^{T}= prvok j-teho riadku a i-teho stĺpca

v AB, teda ∑_{p=1}^{s}a_{jp}b_{pi}.

Poznámka. (A^{T})^{T}= A.

Injektívnosť a surjektívnosť lineárnych zobrazení.

f : V →W vieme, že f je injektívne ⇔ Ker(f)= {0}, f je surjektívne ⇔ Im(f)= = f(V)= W.

Veta 8.9. Nech f : V →W je lineárne zobrazenie a nech (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{k}) je báza vo V. Potom:

1. f je injektívne ⇔ f(a⃗_{1}, ⋯, f(a⃗_{n}) sú lineárne nezávislé.

2. f je surjektívne ⇔ [f(a⃗_{1}), ⋯, f(a⃗_{n})]= W.

Dôkaz.

1. ⇒ f: je injektívne. Nech α_{1}f(a⃗_{1})+ ⋯ + α_{n}f(a⃗_{n})= 0. Chceme ukázať, že α_{i}= 0. Z toho: f(α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}a⃗_{n})= f(0). Podľa predpokladu: α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}a⃗_{n}= 0, z lineárnej nezávislosti a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n} ⇒ ∀α_{i}= 0. ⇐: Nech ∀f(a⃗_{i}) sú lineárne nezávislé. Nech x⃗∈Ker(f). Teda f(x⃗)= 0. Máme jednoznačne x⃗= β_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + β_{n}a⃗_{n}. Potom f(x⃗)= β_{1}f(a⃗_{1})+ ⋯ + β_{n}a⃗_{n}, keďže: f(x⃗)= 0 : f(a⃗_{1}), ⋯, f(a⃗_{n}) sú lineárne nezávislé máme, že β_{1}= ⋯ β_{n}= 0 a teda x⃗= 0. Preto Ker(f)= {0}, teda f je injektívne.

2. ⇒: Predpokladajme, že f je surjektívne. Nech y⃗∈W je ľubovoľný. Zo surjektívnosti: existuje x⃗∈V : f(x⃗)= y⃗. Máme, x⃗= α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}a⃗_{n}, teda f(α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + + α_{n}a⃗_{n}) = y⃗ ⇒ α_{1}f(a⃗_{1}) + ⋯ + α_{n}f(a⃗_{n}). Takže y⃗ ∈ [f(a⃗_{1}), ⋯, f(a⃗_{n})] máme W ⊂[f(a⃗_{1}), ⋯, f(a⃗_{n})]. Obrátená inklúzia je zrejmá. ⇐: Predpokladajme, že W = [f(a⃗_{1}), ⋯, f(a⃗_{n})]. Nech b⃗∈W je ľubovoľný, potom

b⃗= β_{1}f(a⃗_{1})+ ⋯ + β_{n}f(a⃗_{n})= f(\underbrace{β_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + β_{n}a⃗_{n}}_{∈V}). b⃗ má vzor f je surjektívne.

Dôsledok. Ak V a W sú konečne generované vektorový priestory nad R, tak lineárne zobrazenie f : V →W je lineárny izomorfizmus ⇔ f zobrazuje bázu priestoru V na bázu priestoru W.

Poznámka. Ak V ≅W, tak dim(V)= dim(W).

Dôsledok. Každý n-rozmerný (n≥1) vektorový priestor nad ℝ je lineárne izomorfný s ℝ^{n}.

Dôkaz. Nech V ≠ {0} má nejakú bázu (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}). V ℝ^{n} zoberme štandardnú bázu (e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n}). Zo základnej vety o lineárnych zobrazeniach vieme, že existuje práve jedno lineárne zobrazenie f : V →ℝ^{n} také, že f(a⃗_{i})= e⃗_{i}, i= 1, 2, ⋯, n. Podľa predchádzajúceho dôsledku f je lineárny izomorfizmus, teda V ≅ℝ^{n}.

Veta 8.10. Nech f : R^{k}→R^{s} je lineárne zobrazenie. Potom:

1. f je injektívne ⇔ h(M_{f})= k.

2. f je surjektívne ⇔ h(M_{f})= s.

3. f je lineárny izomorfizmus ⇔ k= s a h(M_{f})= k.

Dôkaz. M_{f}∈𝔐_{k,s}(R) má riadky f(e⃗_{1}), ⋯, f(e⃗_{k}). To znamená, že f : R^{k}→Im(f) je surjekcia, teda z vety 8.9 vyplýva, že priestor Im(f) je generovaný Im(f) = = [f(e⃗_{1}), ⋯, f(e⃗_{k})]. Teda dim(Im(f))= dim[f(e⃗_{1}), ⋯, f(e⃗_{k})]= h(M_{f}). Z vety o faktorovom izomorfizme: R^{k}/Ker(f) ≅ Im(f). Teda k − dim(Ker(f)) = = dim(Im(f)) = h(M_{f}).

1. f je injektívne ⇔ Ker(f)= {0} ⇔ dim{Ker(f)}= 0 ⇔ h(M_{f})= k.

2. f je surjektívne ⇔ Im(f)= R^{s} ⇔ [f(e⃗_{1}), ⋯, f(e⃗_{n})]= R^{s} ⇔ dim[f(e⃗_{1}), ⋯, f(e⃗_{k})] = s = h(M_{f}).

Lema 8.1. Nech S je vektorový podpriestor priestoru V. Potom S= V ⇔ dim(S)= dim(V).

Dôkaz. ⇒: Ak S= V, tak dim(S)= dim(V) ⇐: Predpokladajme, že dim(S)= dim(V). Nech teraz S≠ V. Nech (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{p}) je báza v S. Existuje x⃗∈V −S. Potom vektory a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{p}, x⃗ sú lineárne nezávislé, a teda dim(V) je aspoň p+ 1, kým dim(S)= p; spor s tým, že dim(S)= dim(V).

Definícia 8.9. Lineárne zobrazenie f : R^{k}→R^{k} sa volá transformácia priestoru R^{k}. Lineárna transformácia f : R^{k}→R^{k} sa nazýva regulárna, ak f je lineárny izomorfizmus.

Veta 8.11. Lineárna transformácia f : R^{k}→R^{k} je regulárna ⇔ h(M_{f})= k.

Dôkaz. Vyplýva to z vety 8.10

Definícia 8.10. Matica A∈𝔐_{k,k}(R) sa nazýva regulárna, ak h(A) = k.

Potom Veta 8.11 znie takto: Lineárna transformácia f : R^{k}→R^{k} je regulárna ⇔ jej matica M_{f} je regulárna.

Definícia 8.11. Inverzná matica k danej matici A∈𝔐_{k,k}(R) je taká matica B∈𝔐_{k,k}(R), že platí AB= BA= I_{k}. Pretože binárna operácia • na 𝔐_{k,k}(R) je asociatívna a I_{k} je neutrálny prvok vieme, že ak taká matica B existuje, tak je jediný. Označíme ju A^{−1}.

Pre aké matice A∈𝔐_{k,k}(R) existuje A^{−1} ? Nutná podmienka: ak A^{−1} existuje, tak AA^{−1}= A^{−1}A= I_{k}. Z toho potom vieme, že f_{AA^{−1}} :R^{k}→R^{k}, f_{AA^{−1}} (x_{1}, ⋯, x_{k})= (x_{1}, ⋯, x_{k})AA^{−1}= ((x_{1}, ⋯, x_{k})A)A^{−1}= = f_{A^{−1}} ((x_{1}, ⋯, x_{k})A)= f_{A^{−1}} f_{A} (x_{1}, ⋯, x_{k})= f_{A^{−1}} ∘f_{A} (x_{1}, ⋯, x_{k}) ⇒ f_{AA^{−1}} = = f_{A^{−1}} ∘f_{A} . Podobne f_{A^{−1} A} = f_{A} ∘f_{A^{−1}} , teda f_{A} ∘f_{A^{−1}} = f_{A^{−1} A} = f_{I_{k}} = id_{R^{k}} = = f_{A^{−1}} ∘f_{A} . To znamená, že (f_{A} )^{−1}= f_{A^{−1}} .

Veta 8.12. K matici A∈𝔐_{k,k}(R) existuje inverzná ⇔ A je regulárna.

Dôkaz. ⇒ už máme. ⇐ Predpokladajme, že A je regulárna. Teda f_{A} : R^{k}→R^{k} je regulárna lineárna transformácia, tj. f_{A} je lineárny izomorfizmus. Potom existuje k nemu inverzný lineárny izomorfizmus g : R^{k}→R^{k}. Teda g∘f_{A}= f_{A}∘g= id_{R^{k}}. Pritom g= f_{M_{g}}. To znamená, že f_{M_{g}}∘f_{A}= f_{A}∘f_{M_{g}}= id_{R^{k}}. To je to isté ako: f_{AM_{g}} = f_{M_{g}A}= f_{I_{k}}. Z korešpondencie: AM_{g}= M_{g}A= I_{k}, teda M_{g}= A^{−1}. Zároveň máme:A^{−1}= M_{(f_{A})^{−1}} .

Definícia 8.12. Ak matica nie je regulárna, tak je singulárna. A∈𝔐_{k,k}(R), A je singulárna ⇔ h(A)<k.

Nech A∈𝔐_{k,k}(ℝ) je regulárna matica. Ako vypočítať A^{−1}? A= ( ⋮ ... ⋮_{a_{k1} ··· a_{kk}}^{a_{11} ··· a_{1k}} ).

f_{A}(1, 0, ⋯, 0)= (a_{11}, ⋯, a_{1k}), ⋯, f_{A}(0, 0, ⋯, 1)= (a_{k1}, ⋯, a_{kk}). Treba nájsť inverzné zobrazenie f_{A}^{−1}. Pretože f_{A} : ℝ^{k}→ℝ^{k} je lineárny izomorfizmus ((a_{11}, ⋯, a_{1k}), ⋯, (a_{k1}, ⋯, a_{kk})) je tiež báza v ℝ^{k}. Preto zobrazenie (f_{A}^{−1}) : ℝ^{k}→ℝ^{k} je úplne určené tým, že (f_{A}^{−1})(a_{11}, ⋯, a_{1k})= (1, 0, ⋯, 0) až (f_{A}^{−1})(a_{k1}, ⋯, a_{kk})= = (0, ⋯, 0, 1). Aby sme dostali maticu zobrazenia f_{A}^{−1}, potrebujeme vyrátať, na

čo f_{A}^{−1} zobrazí e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{k}. ( ⋮ ... ⋮ ⋮ ... ⋮_{a_{k1} ··· a_{kk} 0 ··· 1}^{a_{11} ··· a_{1k} 1 ··· 0} ) ∼ ( ⋮ ... ⋮ ⋮ ... ⋮_{0 ··· 1 b_{k1} ··· b_{kk}}^{1 ··· 0 b_{11} ··· b_{1k}} ). Stručne:

(A|I_{k})∼(I_{k}|A^{−1}).

Príklad. A^{−1} =? ak A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) ∈𝔐_{k,k}(ℝ)

( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 \\ −1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∼ ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \end{matrix} ) ∼ ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{matrix} ) ∼ ( \begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{3} & − \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{matrix} ) ⇒ A^{−1}= ( \frac{1}{3} − \frac{2}{3}_{\frac{1}{3} \frac{1}{3}} ).

( \begin{matrix}1 & 2 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) ( \frac{1}{3} − \frac{2}{3}_{\frac{1}{3} \frac{1}{3}} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \frac{1}{3} − \frac{2}{3}_{\frac{1}{3} \frac{1}{3}} ) ( \begin{matrix}1 & 2 \\ −1 & 1 \end{matrix} ).

IX. SYSTÉMY LINEÁRNYCH ROVNÍC

Majme systém S s rovníc s n neznámymi nad R: (S)\{ \begin{matrix}a_{11}x_{1}+ ⋯ + a_{1n}x_{n}= b_{1} \\ ⋯ \\ a_{s1}x_{1}+ ⋯ + a_{sn}x_{n}= b_{s} \end{matrix} .

Matica A= ( ⋮ ... ⋮_{a_{s1} ··· a_{sn}}^{a_{11} ··· a_{1n}} ) ∈𝔐_{s,n}(ℝ) sa nazýva matica systému (S). Matica

A′= ( ⋮ ... ⋮ ⋮_{a_{s1} ··· a_{sn} b_{s}}^{a_{11} ··· a_{1n} b_{1}} ) ∈𝔐_{s,n+1} (ℝ) sa nazýva rozšírená matica systému (S). Oz-

načme ďalej B= ( \begin{matrix}b_{1} \\ ··· \\ b_{s} \end{matrix} ), to je tzv. matica pravých strán. Potom systém (S) môžeme

napísať takto: A·( \begin{matrix}x_{1} \\ ··· \\ x_{n} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}b_{1} \\ ··· \\ b_{s} \end{matrix} ). tj. ak označíme X= ( \begin{matrix}x_{1} \\ ··· \\ x_{n} \end{matrix} ) máme: AX= B. Toto

je maticový zápis systému (S). Riešením systému AX= B je každé K= (k_{1}, ⋯, k_{n}) také, že AK^{T}= B. Ak matica A′′ vznikla z rozšírenej matice A′ systému (S) konečným počtom ERO, tak systém, ktorého rozšírená matica je A′′ je ekvivalentná so systémom (S). AX= B ⇔ (AX)^{T}= B^{T} ⇔ X^{T}A^{T}= B^{T} ⇔ f_{A^{T}} (X^{T})= B^{T}, kde f_{A^{T}} : ℝ^{n}→ℝ^{s} je lineárne zobrazenie s maticou A^{T}. Teda systém AX= B je riešiteľný ⇔ keď B^{T}∈Im(f_{A^{T}} ). Množina riešení systému AX= B je vlastne (f_{A^{T}} )^{−1}({B^{T}}).

Napríklad: \{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = 1 \\ x_{1} − x_{2} = 0 \end{matrix} A= ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) A′= ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 0 \end{matrix} ) X= ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) B= ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} )

( \begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ). Riešenia sú také (x_{1}, x_{2})∈ℝ^{2}, pre ktoré f_{A} ·(x_{1}, x_{2})= (1, 0).

Riešenie je napr. (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}). Iné riešenie nemôže mať, lebo matica A je regulárna, teda lineárna transformácia f_{A} : ℝ^{2}→ℝ^{2} je lineárny izomorfizmus.

Homogénne lineárne systémy.

Definícia 9.1. Systém (H){ a_{11}x_{1}+ ⋯ + a_{1n}x_{n}= 0 ; ⋮ ; a_{s1}x_{1}+ ⋯ + a_{sn}x_{n}= 0 sa volá homogénny, jeho ma-

ticový zápis je AX= 0, kde A je matica toho systému.

Veta 9.1. Množina všetkých riešení homogénneho lineárneho systému (H) je vektorový priestor v ℝ^{n}.

Dôkaz. Označme S= množinu riešení (H). Potom S≠ ∅, lebo (0, ⋯, 0)∈S. Použijeme kritérium vektorového podpriestoru. Nech α, β∈ℝ, K, L∈S sú ľubovoľné. Chceme ukázať, že αK+ βL∈S. Vieme, že AK^{T}= 0, AL^{T}= 0. Potom A(αK^{T}+ + βL^{T})= αAK^{T}+ βAL^{T}= α0+ β0= 0. Teda naozaj αK^{T}+ βL^{T}∈S. Iný dôkaz: AX= 0 ⇔ X^{T}A^{T}= 0^{T}= 0 ⇔ f_{A^{T}} (X^{T})= 0 ⇔ X^{T}∈Ker(f_{A^{T}} ). Teda S= Ker(f_{A^{T}} ), f_{A^{T}} : ℝ^{n}→ℝ^{s}. Vieme, že [Ker(f_{A^{T}} )] jadro lineárneho zobrazenia je vektorový podpriestor.

Nech h(A)= r. Vieme, že konečným počtom ERO sa tá matica A upraví na RTM, ktorá má r nenulových riadkov. Povedzme, že tá RTM má vedúce prvky v stĺpcoch t_{1}<t_{2}< ⋯ <t_{r}. Premenovaním neznámych y_{1}= x_{t_{1}}, ⋯, y_{r}= x_{t_{r}}, y_{i}= x_{i} v ostatných

prípadoch, dostaneme lineárny systém (H′){ y_{1} + c_{1,r+1} y_{r+1} + ⋯ + c_{1n}y_{n} = 0 ; ⋮ ; y_{r} + c_{r,r+1} y_{r+1} + ⋯ + c_{rn}y_{n} = 0 .

Spätným preznačením neznámych sa od (H′) dostaneme k systému s neznámymi x_{1}, ⋯, x_{n}, ktorého vektorový priestor riešení je priestor riešení systému (H). Vektorový priestor riešení systému (H′) je lineárne izomorfný s vektorovým priestorom riešení systému (H). (Lineárny izomorfizmus g : S′ → S, g(y_{1}, ⋯, y_{n}) = (x_{t_{1}}, ⋯, x_{t_{r}}, x_{r+1} , ⋯, x_{n}).) Teda dim(S′)= dim(S). Teda stačí určiť dim(S). V (H′) máme viazané neznáme y_{1}, ⋯, y_{r}, kým y_{r+1} , ⋯, y_{n} sú voľné (nadobúdajú ľubovoľné hodnoty z ℝ). Pre y_{r+1} = 1, y_{r+2} = ⋯ = y_{n}= 0 dostaneme riešenie systému (H′). d_{r+1} = (−c_{1,r+ 1}, ⋯, −c_{r,r+ 1}, 1, 0, ⋯, 0) atď. Pre y_{r+1} = ⋯ = y_{n−1}= 0, y_{n}= 1 dostaneme riešenie d_{n}= (−c_{1n}, ⋯, −c_{rn}, 0, ⋯, 0, 1). Takto sme dostali n−r riešení systému (H′).

Tvrdenie 9.1. (d_{r+1} , ⋯, d_{n}) je báza priestoru (S′), ktorý je priestorom riešení systému (H′). Teda dim(S′) = dim(S) = n−r.

Dôkaz. d_{r+1} , ⋯, d_{n} sú zrejme lineárne nezávislé. Zostáva ukázať, že d_{r+1} , ⋯, d_{n} generujú priestor (S′). Nech s= (s_{1}, ⋯, s_{n})∈S′ je ľubovoľné riešenie systému (H′). Chceme ukázať, že s je lineárnou kombináciou d_{r+1} , ⋯, d_{n}. Takto: (s_{1}, ⋯, s_{n})= = s_{r+1} d_{r+1} + ⋯ + s_{n}d_{n}. s_{1}= (−c_{1,r+ 1}s_{r+ 1}− ⋯ −c_{1n}s_{n}). 1.zložka vpravo: −s_{r+1} c_{1,r+ 1}− ⋯ −s_{n}c_{1n}. 1.zložka vľavo: −c_{1,r+ 1}s_{r+ 1}− ⋯ −c_{1n}s_{n}. Podobne pre ostatné zložky. Dimenzia priestoru riešení homogénneho lineárneho systému = počet neznámych − hodnosť matice systému.

Príklad. Nad ℝ vyriešte: \{ \begin{matrix}4x_{1} + 5x_{2} + 6x_{3} − 3x_{4} + 3x_{5} = 0 \\ x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + 4x_{4} + 5x_{5} = 0 \\ 2x_{1} + 3x_{2} + 4x_{3} + 5x_{4} + x_{5} = 0 \\ 3x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} + x_{4} + 2x_{5} = 0 \\ x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} + 12x_{4} + 9x_{5} = 0 \end{matrix}

A= ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 5 & 12 & 9 \\ 4 & 5 & 6 & −3 & 3 \end{matrix} ) ∼ ⋯ ∼ ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ). RTM ekvivalentná s A: ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 & 0 & −15 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Teda daný systém je ekvivalentný s týmto: \{ \begin{matrix}x_{1} − x_{3} − 15x_{5} = 0 \\ x_{2} + 2x_{3} + 12x_{5} = 0 \\ x_{4} − x_{5} = 0 \end{matrix}

x_{3}, x_{5} sú voľné. x_{3}= s∈ℝ, x_{5}= t∈ℝ. Pomocou nich vyjadríme x_{1}, x_{2}, x_{4} : x_{4}= t, x_{2}= −2s−12t, x_{1}= s+ 15t. Teda vektorový priestor všetkých riešení je S= {(s+ 15t, −2s−12t, s, t, t)}s, t∈ℝ. Báza priestoru S pre s= 1, t= 0 : (1, −2, 1, 0, 0), pre s= 0, t= 1 : (15, −12, 0, 1, 1). Báza priestoru S je ((1, −2, 1, 0, 0), (15, −12, 0, 1, 1)).

Veta 9.2. Pre ľubovoľnú maticu A∈𝔐_{k,t}(ℝ) : h(A^{T})= h(A).

Dôkaz. Nech h(A)= r. Uvažujme o lineárnom systéme AX= 0. Vektorový priestor riešení je Ker(f_{A^{T}} ). f_{A^{T}} : ℝ^{t}→Im(f_{A^{T}} ), ℝ^{t}/Ker(f_{A^{T}} )≅Im(f_{A^{T}} ). t− dim(Ker(f_{A^{T}} ))= dim(Im(f_{A^{T}} )). t−(t−h(A))= h(A^{T}) ⇔ h(A)= h(A^{T}).

Nehomogénny systém lineárnych rovníc.

(N){ a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1} ; ⋮ ; a_{s1}x_{1} + ⋯ + a_{sn}x_{n} = b_{s}

Aspoň jedno b_{i}≠ 0, tak nehomogénny systém s lineárnych rovníc s n neznámymi.

Veta 9.3. (Frobeniova, Kroneckerova − Capelliho) Nehomogénny systém lineárnych rovníc je riešiteľný ⇔ hodnosť matice systému sa rovná hodnosti rozšírenej matice systému.

Dôkaz. Maticový zápis: B = ( \begin{matrix}b_{1} \\ ··· \\ b_{s} \end{matrix} ) X = ( \begin{matrix}x_{1} \\ ··· \\ x_{n} \end{matrix} ) A = ( ⋮ ... ⋮_{a_{s1} ··· a_{sn}}^{a_{11} ··· a_{1n}} ) AX= B ⇔

X^{T}A^{T}= B^{T} ⇔ f_{A^{T}} (X^{T})= B^{T}. Z toho je jasné, že systém (N) je riešiteľný ⇔ keď B^{T}∈Im(f_{A^{T}} ). Označme a_{i} i-tý stĺpec matice A. Potom A^{T} má riadky a_{1}^{T}, ⋯, a_{n}^{T} . Systém (N) je riešiteľný ⇔B^{T}∈Im(f_{A^{T}} ) ⇔ B^{T}∈[a_{1}^{T}, ⋯, a_{n}^{T} ]= = [a_{1}^{T}, ⋯, a_{n}^{T} , B^{T}] ⇔ dim[a_{1}^{T}, ⋯, a_{n}^{T} ]= dim[a_{1}^{T}, ⋯, a_{n}^{T} , B^{T}] ⇔ dimenzia priestoru generovaného riadkami matice A^{T}= dimenzia priestoru generovaného riadkami matice (A|B)^{T} ⇔ h(A^{T})= h((A|B)^{T}) ⇔ h(A)= h(A|B).

Príklad. \{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = 1 \\ x_{1} + x_{2} = 4 \end{matrix} nad ℝ nie je riešiteľný, lebo h ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) = 1 ale h ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix} ) = 2

Veta 9.4. Uvažujme o nehomogénnom systéme (N). Nech P je množina všetkých jeho riešení. Potom: ak d∈P je nejaké riešenie systému (N), tak každé riešenie systému (N) je tvaru d+ c pre vhodné c z vektorového priestoru riešení príslušneho homogénneho systému AX= 0. Obrátene, d+ c– kde c je riešením príslušneho homogénneho systému– je riešením systému (N). Teda ak S je vektorový priestor riešení príslušneho homogénneho systému, tak P = d+ S

Dôkaz. Ak p∈P je ľubovoľné, tak p= d+ (p−d). (p−d)∈S. [Ap^{T}= B, Ad^{T}= B ⇒ A(p−d)^{T}= A(p^{T}−d^{T})= Ap^{T}−Ad^{T}= B−B= 0]. Teda P ⊂d+ S. Ľubovoľné d+ S, kde s∈S, tak d+ s∈P, lebo A(d+ s)^{T}= Ad^{T}+ As^{T}= B+ 0= B. Teda tiež d+ S⊂P. Vcelku: P = d+ S.

Príklad. Systém nad ℝ: \{ \begin{matrix}x_{1} + 5x_{2} + 4x_{3} + 3x_{4} = 1 \\ 2x_{1} − x_{2} + 2x_{3} − x_{4} = 0 \\ 5x_{1} + 3x_{2} + 8x_{3} + x_{4} = 1 \end{matrix} .

( \begin{matrix}1 & 5 & 4 & 3 & 1 \\ 2 & −1 & 2 & −1 & 0 \\ 5 & 3 & 8 & 1 & 1 \end{matrix} ) ∼ ( \begin{matrix}1 & 5 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 11 & 6 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Viazané: x_{1}, x_{2}, voľné: x_{3}= u, x_{4}= v.

P = \{(\frac{1}{11} − \frac{14}{11}u + \frac{2}{11}v, \frac{2}{11} − \frac{6}{11}u − \frac{7}{11}v, u, v)∈ℝ^{4}, u, v∈ℝ\} =

= (\frac{1}{11}, \frac{2}{11}, 0, 0) + \{(−\frac{14}{11}u + \frac{2}{11}v, −\frac{6}{11}u − \frac{7}{11}v, u, v)∈ℝ^{4}, u, v∈ℝ\}

kde \{(−\frac{14}{11}u + \frac{2}{11}v, −\frac{6}{11}u − \frac{7}{11}v, u, v)∈ℝ^{4} u, v∈ℝ\} je vektorový priestor riešení

príslušneho homogénneho systému.

Poznámka. Po úprave rozšírenej matice nehomogénneho systému na trojuholníkový tvar považujeme za viazané tie neznáme, ktoré zodpovedá vedúcim prvkom nenulových riadkov rozšírenej matice (v trojuholníkovom tvare). Ostatné sú voľné.

Determinanty.

{1, 2, ⋯, n} permutácia tejto množiny je každá bijekcia φ : {1, 2, ⋯, n} →

\{1, 2, ⋯, n\}. φ = ( \begin{matrix}1 & 2 & ··· & n \\ φ(1) & φ(2) & ··· & φ(n) \end{matrix} ).

Napr.: ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} ) je permutácia množiny \{1, 2, 3\}.

Definícia 9.2. S_{{1,2,··· ,n}} = množina všetkých permutácií množiny {1, 2, ⋯, n}.

Ak φ= ( \begin{matrix}1 & 2 & ··· & n \\ φ(1) & φ(2) & ··· & φ(n) \end{matrix} ) ∈S_{\{1,2,··· ,n\}}, tak hovoríme, že dvojica (φ(i), φ(j)) tvorí

inverziu vo φ, ak i<j, ale φ(i)>φ(j).

Príklad. V permutácii ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} ) sú 2 a 1 v inverzii.

Definícia 9.3. Počet inverzií v permutácii φ∈S_{{1,··· ,n}} označíme s(φ). Permutácia φ je párna, ak (−1)^{s(φ)}= 1 a φ je nepárna, ak (−1)^{s(φ)}= − 1.

Definícia 9.4. Nech A∈𝔐_{nn}(R), kde R je hocijaké pole. Determinant matice A je prvok poľa R, definovaný takto: det(A)= ∑_{φ∈{1,2,··· ,n}}(−1)^{s(φ)}a_{1φ(1)} ⋯ a_{nφ(n)}.

Príklady.

1. A= (a_{11})∈𝔐_{11}(R) : det(A)= a_{11}.

2. A= ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ), det(A) = (−1)^{s( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} )}a_{11}a_{22} + (−1)^{s( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} )}a_{12}a_{21} = a_{11}a_{22} +

(−1)^{1}a_{12}a_{21} = a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21}.

3. A= ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} ), potom det(A) = ⋯ = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}−

−a_{11}a_{23}a_{32} − a_{12}a_{21}a_{33} − a_{13}a_{22}a_{31}.

Definícia 9.5. Vyňatím prvkov i-teho riadku (i= 1, 2, ⋯, n) dostaneme det(A)= a_{i1} · \underbrace{(súčty súčinov bez a_{i1})}_{A_{i1}}+ ⋯ + a_{in} · \underbrace{(súčty súčinov bez a_{in})}_{A_{in}})

A_{ij} sa nazýva algebraický doplnok k prvku a_{ij}.

Uvidíme, že A_{ij} sa dá vyjadriť pomocou determinantu vhodnej matice stupňa n−1 odvodenej z A. Lema 9.1. Ak φ, ψ∈S_{{1,··· ,n}} tak platí, že (−1)^{s(φ∘ψ)}= (−1)^{s(φ)+ s(ψ)} . Z toho máme, že: (−1)^{s(φ)}= (−1)^{s(φ^{−1} )}. Dôkaz. Pevne zvoľme x_{1}, ⋯, x_{n}∈R navzájom rôzne. Označme P = ∏_{i<j}(x_{i} − x_{j}).

Pre φ∈S_{{1,··· ,n}} a ľubovoľné k∈ℤ definujme ((−1)^{k}P)_{φ}= (−1)^{k} ∏_{1≤i<j≤n}(x_{φ(i)}−x_{φ(j)})

Je jasné, že (−1)^{k}(−1)^{s(φ)}P = ((−1)^{k}P). Pre φ, ψ∈S_{{1,··· ,n}} : P_{φ∘ψ} = (P_{φ})_{ψ} = = ((−1)^{s(φ)}P)_{ψ}= (−1)^{s(φ)}(−1)^{s(ψ)}P = (−1)^{s(φ)+ s(ψ)} P ⇒ (−1)^{s(φ∘ψ)}= (−1)^{s(φ)+ s(ψ)} . Vlastnosť 1. Pre každú maticu A∈𝔐_{nn}(R) máme det(A)= det(A^{T}). Dôkaz. Prvok i-teho riadku a j-teho stĺpca v A^{T} bude a_{ij}^{T}= a_{ji}. Podľa definície determinantu vieme, že det(A) = ∑_{φ∈S}(−1)^{s(φ)}a_{1φ(1)} a_{2φ(2)} ⋯ a_{nφ(n)} =

= ∑_{φ∈S}(−1)^{s(φ)}a_{φ^{−1} (1)φ^{−1} (φ^{−1} (1))} ⋯ a_{φ^{−1} (n)φ^{−1} (φ^{−1} (n))} =

= ∑_{φ∈S}(−1)^{s(φ)}a_{φ^{−1} (1)} ⋯ a_{φ^{−1} (n)n} = ∑_{φ^{−1} ∈S}(−1)^{s(φ)}a_{1φ^{−1} (1)}^{T} ⋯a_{nφ^{−1} (n)}^{T}=

= ∑_{φ^{−1} ∈S}(−1)^{s(φ^{−1} )}a_{1φ^{−1} (1)}^{T} ⋯a_{nφ^{−1} (n)}^{T}= det(A^{T}).

Vlastnosť 2. Ak matica B∈𝔐_{nn}(R) vznikne z matice A∈𝔐_{nn}(R) jednou vzájomnou výmenou ľubovoľných dvoch riadkov, tak det(B)= − det(A). Dôkaz. Napr. nech B vznikne z A vzájomnou výmenou prvého a druhého riadku.

Teda, ak A= ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ··· & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ··· & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & ··· & a_{nn} \end{matrix} ), tak B= ( \begin{matrix}a_{21} & a_{22} & ··· & a_{2n} \\ a_{11} & a_{12} & ··· & a_{1n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & ··· & a_{nn} \end{matrix} ). Označme

ψ= ( \begin{matrix}1 & 2 & ··· & n \\ 2 & 1 & ··· & n \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 & ··· & n \\ φ(1) & φ(2) & ··· & φ(n) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 & ··· & n \\ φ(2) & φ(1) & ··· & φ(n) \end{matrix} ),

(−1)^{s(ψ)}= (−1)^{( \begin{matrix}1 & 2 & ··· & n \\ φ(2) & φ(1) & ··· & φ(n) \end{matrix} )}(−1)^{s(φ)} = −(−1)^{s(φ)}. Z definície determinantu:

det(B)= ∑_{φ∈S}(−1)^{s(φ)}b_{1φ(1)} b_{2φ(2)} ⋯ b_{nφ(n)}= ∑_{φ∈S}(−1)^{s(φ)}a_{2φ(1)} a_{1φ(2)} ⋯ a_{nφ(n)} =

= ∑_{φ∈S}(−1)^{s(φ)}a_{1φ(2)} a_{2φ(1)} ⋯ a_{nφ(n)} = ∑_{ψ∈S}(−1)^{s(φ)}a_{1ψ(1)} a_{2ψ(2)} ⋯ a_{nψ(n)} =

= − ∑_{ψ∈S}(−1)^{s(ψ)}a_{1ψ(1)} a_{2ψ(2)} ⋯ a_{nψ(n)}= − det(A).

Vlastnosť 3. Nech A= a_{ij}∈𝔐_{nn}(R). Potom pre ľubovoľné r, s∈{1, ⋯, n} algebraický doplnok k prvku a_{rs} je A_{rs}= (−1)^{r+s} det(M_{rs}). Kde matica M_{rs} je matica typu r−1×s−1, ktorá vznikne vynechaním r-teho riadku a s-teho stĺpca z matice A.

Príklad. A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} ) A_{23} = (−1)^{5} det( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} )

Dôkaz. Z definície determinantu: det(A)= ∑_{φ∈S}(−1)^{s(φ)} ∏_{i=1}^{n}a_{iφ(i)} =

= ∑_{φ∈S}^{φ(1)=1} (−1)^{s(φ)}a_{11}a_{2φ(2)} ⋯ a_{nφ(n)}+ ∑_{φ∈s}^{φ(1)≠ 1} (−1)^{s(φ)}a_{1φ(1)} a_{2φ(2)} ⋯ a_{nφ(n)}.

Z toho: A_{11}= ∑_{φ∈S}^{φ(1)=1} (−1)^{s(φ)}a_{2φ(2)} ⋯ a_{nφ(n)}= ∑_{ψ∈S′}(−1)^{s(ψ)}a_{2ψ(2)} ⋯ a_{nψ(n)} =

= det( ⋮ ... ⋮_{a_{n2} ··· a_{nn}}^{a_{22} ··· a_{2n}} ) = det(M_{11}) = (−1)^{1+1} det(M_{11}).

Teraz rátame A_{rs} pre ľubovoľné r, s∈{1, ⋯, n} :

A = ( \begin{matrix}a_{11} & & & ⋯ & & & a_{1s−1} & & & a_{1s} & & & a_{1s+ 1} & & & ⋯ & & & a_{1n} \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ a_{r−11} & & & ⋯ & & & a_{r−1s−1} & & & a_{r−1s} & & & a_{r−1s+ 1} & & & ⋯ & & & a_{r−1n} \\ a_{r1} & & & ⋯ & & & a_{rs−1} & & & a_{rs} & & & a_{rs+ 1} & & & ⋯ & & & a_{rn} \\ a_{r+ 11} & & & ⋯ & & & a_{r+ 1s−1} & & & a_{r+ 1s} & & & a_{r+ 1s+ 1} & & & ⋯ & & & a_{r+ 1n} \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ a_{n1} & & & ⋯ & & & a_{ns−1} & & & a_{ns} & & & a_{ns+ 1} & & & ⋯ & & & a_{nn} \end{matrix} )

Vzájomná výmena r−1 riadkov:

B = ( \begin{matrix}a_{r1} & & & ⋯ & & & a_{rs−1} & & & a_{rs} & & & a_{rs+ 1} & & & ⋯ & & & a_{rn} \\ a_{11} & & & ⋯ & & & a_{1s−1} & & & a_{1s} & & & a_{1s+ 1} & & & ⋯ & & & a_{1n} \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ a_{r−11} & & & ⋯ & & & a_{r−1s−1} & & & a_{r−1s} & & & a_{r−1s+ 1} & & & ⋯ & & & a_{r−1n} \\ a_{r+ 11} & & & ⋯ & & & a_{r+ 1s−1} & & & a_{r+ 1s} & & & a_{r+ 1s+ 1} & & & ⋯ & & & a_{r+ 1n} \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ a_{n1} & & & ⋯ & & & a_{ns−1} & & & a_{ns} & & & a_{ns+ 1} & & & ⋯ & & & a_{nn} \end{matrix} )

Vzájomná výmena s−1 stĺpcov:

C = ( \begin{matrix}a_{rs} & & & a_{r1} & & & ⋯ & & & a_{rs−1} & & & a_{rs+ 1} & & & ⋯ & & & a_{rn} \\ a_{1s} & & & a_{11} & & & ⋯ & & & a_{1s−1} & & & a_{1s+ 1} & & & ⋯ & & & a_{1n} \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ a_{r−1s} & & & a_{r−11} & & & ⋯ & & & a_{r−1s−1} & & & a_{r−1s+ 1} & & & ⋯ & & & a_{r−1n} \\ a_{r+ 1s} & & & a_{r+ 11} & & & ⋯ & & & a_{r+ 1s−1} & & & a_{r+ 1s+ 1} & & & ⋯ & & & a_{r+ 1n} \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ a_{ns} & & & a_{n1} & & & ⋯ & & & a_{ns−1} & & & a_{ns+ 1} & & & ⋯ & & & a_{nn} \end{matrix} )

Z toho čo sme dokázali vieme, že det(C)= a_{rs} det(M_{rs})+ členy bez a_{rs}. Z 1. a 2. vlastnosti: (−1)^{s−1} det(B)[= det(C)]= (−1)^{s−1}·(−1)^{r−1} det(A)= (−1)^{r+ s} det(A). det(A)= a_{rs}(−1)^{r+ s} det(M_{rs}) + (−1)^{r+ s} · členy bez a_{rs} ⇒ A_{rs}= (−1)^{r+ s} det(M_{rs}).

Veta 9.5. (Laplaceova o rozvoji determinantoch) Pre A∈𝔐_{nn}(R) máme: det(A)= a_{i1}(−1)^{i+1} det(M_{i1})+ ⋯ + a_{in}(−1)^{i+n} det(M_{in}). Toto vyjadrenie sa nazýva Laplaceov rozvoj determinantu matice A podľa i-teho riadku. Tiež: det(A)= a_{1j}(−1)^{j+1} det(M_{1j})+⋯+a_{nj}(−1)^{n+j} det(M_{nj}) pre všetky j∈{1, ⋯, n} tzv. rozvoj podľa j-teho stĺpca.

Dôkaz. Dôsledok vlastnosti 3. Máme det(A)= a_{i1}A_{i1}+ ⋯ + a_{in}A_{in}. Z vlastnosti 3 dosadíme vyjadrenia A_{ik}= (−1)^{i+k} det(M_{ik}). S využitím vlastnosti 1 stĺpcový rozvoj. (tj. det(A^{T})= det(A).)

Príklad. det( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} ) = 1· det( \begin{matrix}−1 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} ) + 0= − 4.

Vlastnosť 4. Ak sú v matici A∈𝔐_{nn}(R) dva riadky rovnaké (príp. dva stĺpce), tak det(A)= 0.

Dôkaz. Indukcia vzhľadom na n. Pre n= 2: det( \begin{matrix}a & b \\ a & b \end{matrix} ) = ab − ab= 0. Indukčný predpoklad: Predpokladajme, že tvrdenie platí pre také matice typu n−1×n−1. Nech A∈𝔐_{nn}(R). Nech r-tý a s-tý riadok (r<s) v A sú rovnaké. Rozviňme determinant matice A podľa i-teho riadku, kde i≠ r, i≠ s. Potom det(A)= a_{i1}(−1)^{i+1} (M_{i1})+ ⋯ + a_{in}(−1)^{i+n} M_{in}. M_{ij} sú matice stupňa n−1, ktoré majú dva rovnaké riadky. Potom z indukčného predpokladu: det(A)= 0.

Vlastnosť 5. Nech B∈𝔐_{nn}(R) vznikne z A∈𝔐_{nn}(R) prirátaním ľubovoľného násobku ľubovoľného riadku v A k inému riadku v A. Potom det(A)= det(B).

Dôkaz. Nech napríklad B vznikne z A tak, že k 1.riadku prirátame α-násobok 2.riadku. Rozviňme determinant B podľa prvého riadku: det(B)= (a_{11}+ αa_{21})(−1)^{1+1} det(M_{11})+ ⋯ + (a_{1n}+ αa_{2n})(−1)^{1+n} det(M_{1n})= = a_{11}(−1)^{2} det(M_{11})+ ⋯ + a_{1n}(−1)^{1+n} det(M_{1n})+ α(a_{21}(−1)^{2} det(M_{11})+ ⋯ + + a_{2n}(−1)^{1+n} det(M_{1n}))= det(A)+ α det(matice, ktorá má rovnaký 1. a 2.riadok) = det(A).

Vlastnosť 6. Nech B vznikne z A∈𝔐_{nn}(R) tak, že i-tý riadok (iba tento) vynásobíme α∈R − {0}. Potom det(B)= α det(A).

Dôkaz. Rozvinieme determinant matice B podľa i-teho riadku: det(B) = αa_{i1}(−1)^{i+1} det(M_{i1}) + ⋯ + αa_{in}(−1)^{i+n} det(M_{in}) = = α[a_{i1}(−1)^{i+1} det(M_{i1}) + ⋯ + a_{in}(−1)^{i+n} det(M_{in})] = α det(A).

Vlastnosť 7.

det ( a⃗_{1} ; ··· ; a⃗_{i−1} ; a⃗_{i}+b⃗_{i} ; ··· ; a⃗_{n} ) = det ( a⃗_{1} ; ··· ; a⃗_{i−1} ; a⃗_{i} ; ··· ; a⃗_{n} ) + det ( a⃗_{1} ; ··· ; a⃗_{i−1} ; b⃗_{i} ; ··· ; a⃗_{n} )

Dôkaz. Rozvoj podľa i-teho riadku.

Vlastnosť 8. Ak matica A∈𝔐_{nn}(R) má nulový riadok, tak det(A)= 0.

Dôkaz. Priamo z definície.

Ak maticu A∈𝔐_{nn}(R) upravíme pomocou ERO na trojuholníkovú maticu:

T= ( \begin{matrix}t_{11} & t_{12} & ⋯ & t_{1n} \\ 0 & t_{22} & ⋯ & t_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & t_{nn} \end{matrix} )

tak buď niektorý z prvkov t_{11}, ⋯, t_{nn} je 0 (to je vtedy, keď h(T)<n tj. ak T je singulárna), alebo všetky t_{11}, ⋯, t_{nn} sú nenulové (to je vtedy, keď h(A)= n). Z Laplaceovej vety o rozvoji determinantu (ale aj priamo z definície) je jasné, že det(T)= t_{11}·t_{22}⋯t_{nn}.

Príklad. Jedna z metód výpočtu det(A): A postupne upravujeme na trojuhoníkovú maticu, ak zohľadníme vplyv jednotlivých ERO na determinant a fakt, že determinant trojuholníkovej matice je súčin prvkov hlavnej diagonály, tak ľahko vyrátame det(A).

det( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ −1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & −1 \end{matrix} ) = det( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & −2 \end{matrix} ) = − det( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 0 & 2 & −2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) = − 4· det( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) = − 4.

Tvrdenie 9.2. Matica A∈𝔐_{nn}(R) je regulárna ⇔ det(A)≠ 0.

Dôkaz. Vieme, že A je regulárna ⇔ je riadkovo ekvivalentná s nejakou trojuhol-

níkovou maticou T, pričom t_{ii}≠ 0 čiže ∏_{k=1}^{n} ≠ 0. Z toho aký vplyv majú jednotlivé

ERO na determinant vieme, že musí existovať α∈R−{0} také, že det(A)= α· det(T). Vcelku máme, že A je regulárna ⇔ det(T)≠ 0 ⇔ det(A)≠ 0.

Príklad. Reálna matica ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ −1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & −1 \end{matrix} ) je regulárna, lebo jej determinant je nenulový.

Príklad.

det ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & ⋯ & 1 \\ 1 & 0 & 1 & ⋯ & 1 \\ 1 & 1 & 0 & ⋯ & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & ⋯ & 0 \end{matrix} ) = det ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & ⋯ & 1 \\ 0 & −1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & −1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & −1 \end{matrix} ) = (−1)^{n−1}

Príklad. Vandermondov determinant

det( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} & d^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} & d^{3} \end{matrix} ) = det( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & b−a & c−a & d−a \\ 0 & b^{2} −a^{2} & c^{2} −a^{2} & d^{2} −a^{2} \\ 0 & b^{3} −a^{3} & c^{3} −a^{3} & d^{3} −a^{3} \end{matrix} ) = det( \begin{matrix}b−a & c−a & d−a \\ b^{2} −a^{2} & c^{2} −a^{2} & d^{2} −a^{2} \\ b^{3} −a^{3} & c^{3} −a^{3} & d^{3} −a^{3} \end{matrix} ) =

= det( \begin{matrix}b−a & c−a & d−a \\ b^{2} −ab & c^{2} −ac & d^{2} −ad \\ b^{3} −a^{2} b & c^{3} −a^{2} c & d^{3} −a^{2} d \end{matrix} ) = (b−a)(c−a)(d−a)· det( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ b & c & d \\ b^{2} + ab & c^{2} + ac & d^{2} + ad \end{matrix} ) =

= (b−a)(c−a)(d−a)· det( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ b & c & d \\ b^{2} & c^{2} & d^{2} \end{matrix} ) = (b−a)(c−a)(d−a)· det( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & c−b & d−b \\ 0 & c^{2} −b^{2} & d^{2} −b^{2} \end{matrix} ) =

= (b−a)(c−a)(d−a)· det( \begin{matrix}c−b & d−b \\ c^{2} −b^{2} & d^{2} −b^{2} \end{matrix} ) = (b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b)(d−c).

Veta 9.6. Pre ľubovoľné A, B∈𝔐_{nn}(R) : det(AB)= det(A) det(B).

Dôkaz. Ak A, alebo B je singulárna, tak veta zrejme platí. f_{AB} : ℝ^{n}→ℝ^{n} je lineárny izomorfizmus s maticou AB. Vieme, že f_{AB} = f_{B}∘f_{A} . Ak A je singulárna, tak f_{A} zobrazí nejaký vektor a⃗∈ℝ^{n}, a⃗≠ 0 na nulový. Teda f_{A} (a⃗)= 0. Potom f_{B}∘f_{A} (a⃗)= 0= f_{AB} (a⃗) a teda AB je singulárna, teda det(AB)= 0. Podobne ak B je singulárna a A je regulárna. Ak A aj B sú singulárne, tak tiež platí. Ďalej: Predpokladajme, že A aj B sú regulárne. Keďže A je regulárna, dá sa

konečným počtom ERO upraviť na trojuholníkovú maticu T= ( \begin{matrix}t_{11} & ··· & t_{1n} \\ ··· & t_{ii} & t_{in} \\ 0 & ··· & t_{nn} \end{matrix} ), pričom

t_{ii}≠ 0. Každá ERO sa dá realizovať tak, že danú maticu zľava vynásobíme takzvanou elementárnou maticou, ktorá prislúcha k tej ERO. Teda: E_{1}·E_{2} ⋯ E_{k}·A= T, kde E_{i} sú elementárne matice prislúchajuce k použitým ERO. Pretože A je regulárna, na jej úpravu na T stačí použiť iba prirátavanie násobkov riadkov k iným riadkom. Teda det(A)= det(E_{k}A)= det(E_{k−1}E_{k}A)= ⋯ = det(E_{1} ⋯ E_{k}A)= T. Analogicky ako ERO sa definujú aj ESO, k nim prislúchajú elementárne matice (taká matica vznikne z jednotkovej tak, že na nej urobíme tú ESO). Matica B sa konečným počtom ESO (zas vystačíme iba s prirátavaním násobkov stĺpcov k iným

stĺpcom, keďže B je regulárna) upraví na trojuholníkovú maticu T′= ( ⋮ ... ⋮_{0 ··· t′_{nn}}^{t′_{11} ··· t′_{1n}} )

pričom ∏ t′_{ii}≠ 0. Urobiť nejaké ESO je to isté, ako danú maticu sprava vynásobiť príslušnou elementárnou maticou. Teda: BF_{1} ⋯ F_{p}= T′, kde F_{i} sú príslušné elementárne matice. Pritom F_{1}, ⋯ F_{p} zodpovedajú iba prirátavaním násobku stĺpca k inému stĺpcu. Potom: det(B)= det(BF_{1})= ⋯ = det(BF_{1} ⋯ F_{p})= det(T′). Teraz

det(TT′)= det (( \begin{matrix}t_{11} & t_{12} & ⋯ & t_{1n} \\ 0 & t_{21} & ⋯ & t_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & t_{nn} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}t′_{11} & t′_{12} & ⋯ & t′_{1n} \\ 0 & t′_{22} & ⋯ & t′_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & t′_{nn} \end{matrix} )) =

= det ( \begin{matrix}t_{11}t′_{11} & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ 0 & t_{22}t′_{22} & ⋯ & ⋯ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & t_{nn}t′_{nn} \end{matrix} ) = t_{11}t′_{11} ⋯ t_{nn}t′_{nn}= t_{11} ⋯ t_{nn}t′_{11} ⋯ t′_{nn}=

= det(T)· det(T′). Potom det(A·B) = det(E_{1} ⋯ E_{k}A · B) = = det(E_{1} ⋯ E_{k}A · BF_{1} ⋯ F_{p})= det(TT′)= det(T) det(T′)= det(A) det(B).

Iverzná matica pomocou determinantu.

Nech A= (a_{ij})∈𝔐_{nn}(R) je regulárna. Vieme, že existuje inverzná matica A^{−1}. Definujme tzv. adjungovanú maticu k A ako maticu:

adj(A)= ( \begin{matrix}A_{11} & A_{21} & ⋯ & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & ⋯ & A_{n2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ A_{1n} & A_{2n} & ⋯ & A_{nn} \end{matrix} )

Nech A_{ij} je algebraický doplnok k prvku a_{ij}. Teda A_{ij}= (−1)^{i+j} det(M_{ij}).

Veta 9.7. Ak A= (a_{ij})∈𝔐_{nn}(R) je regulárna, tak A^{−1}= \frac{adj(A)}{det(A)} .

Dôkaz. Rátajme C= A·\frac{adj(A)}{det(A)} =^{?} I_{n}. Matica \frac{1}{det(A)} ·A·adj(A) má na hlavnej

diagonále prvky: c_{ii}= \frac{1}{det(A)} ·(\underbrace{a_{i1}A_{i1}+ ⋯ + a_{in}A_{in}}_{det(A)})= 1 a mimo hlavnej diagonály

prvky (tj. pre i≠ j) c_{ij}= \frac{1}{det(A)} (a_{i1}A_{j1}+ ⋯ + a_{in}A_{jn})= 0. Teda C= I_{n}.

Príklad. A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ −1 & 1 \end{matrix} )  adj(A) = ( \begin{matrix}1 & −2 \\ 1 & 1 \end{matrix} )  A^{−1} = \frac{1}{3} · ( \begin{matrix}1 & −2 \\ 1 & 1 \end{matrix} )

Systémy n rovníc s n neznámymi.

Fredholmova alternatíva.

Nech AX= B je systém n lineárnych rovníc s n neznámymi. Potom sú dve možnosti:

1. Systém AX= B má jediné riešenie bez ohľadu na to, aká je pravá strana B (to nastane vtedy, keď h(A)= n, tj. vtedy, keď det(A)≠ 0) a zároveň príslušný homogénny systém AX= 0 má iba triviálne riešenie.

2. Nehomogénny systém AX= B je riešiteľný už nie pre všetky B, ale iba pre také, pre ktoré h(A | B)= h(A), to sa stane vtedy, keď h(A)<n tj. det(A)= 0, a zároveň príslušný homogénny lineárny systém má aspoň jedno triviálne riešenie.

Cramerovo pravidlo. Majme nehomogénny lineárny systém n rovníc s n nezná-

mymi nad R: AX= B, kde A= ( ⋮ ... ⋮_{a_{n1} ··· a_{nn}}^{a_{11} ··· a_{1n}} )  X = ( ⋮_{x_{n}}^{x_{1}} )  B = ( ⋮_{b_{n}}^{b_{1}} ).

Predpokladajme, že A je regulárna. Potom systém AX= B má jediné riešenie: X= A^{−1}B.

( ⋮_{x_{n}}^{x_{1}} ) = \frac{1}{det(A)} ( ⋮ ... ⋮_{A_{1n} ··· A_{nn}}^{A_{11} ··· A_{n1}} ) ( ⋮_{b_{n}}^{b_{1}} ), teda x_{i}= \frac{1}{det(A)} (A_{1i}b_{1}+ ⋯ + A_{ni}b_{n})=

= \frac{1}{det(A)} det(matice, ktorá vznikne tak, že i-tý stĺpec nahradíme( ⋮_{b_{n}}^{b_{1}} ).

Označme A_{i} = ( ⋮ ... ⋮ ⋮ ⋮ ... ⋮_{a_{n1} ··· a_{ni−1} b_{n} a_{ni+1} ··· a_{nn}}^{a_{11} ··· a_{1i−1} b_{1} a_{1i+1} ··· a_{1n}} ), tak potom jediné riešenie systému

AX = B je (\frac{det(A_{1})}{det(A)} ; ⋯; \frac{det(A_{n})}{det(A)} ).

Príklad. Lineárny systém nad ℤ_{5}:

\{ \begin{matrix}3x_{1} + 4x_{2} = 1 \\ x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 1 \\ 3x_{1} + 4x_{2} + x_{3} = 0 \end{matrix}  ( \begin{matrix}3 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )

det(A)= 4, det(A_{1})= 4, det(A_{2})= 3, det(A_{3})= 1. Jediné riešenie systému daného je: (4·4^{−1}, 3·4^{−1}, 1·4^{−1}) = (1, 2, 4)∈ℤ_{5}.

Príklad. Využitím Cramerovho pravidla riešte:

\{ \begin{matrix}x_{1} + 5x_{2} + 4x_{3} + 3x_{4} = 1 \\ 2x_{1} − x_{2} + 2x_{3} − x_{4} = 0 \end{matrix} det( \begin{matrix}1 & 5 \\ 2 & −1 \end{matrix}) = −11 ≠ 0

Rovnice sú lineárne nezávislé, x_{1}, x_{2} budú viazané x_{3}, x_{4} budú voľné neznáme.

\{ \begin{matrix}x_{1} + 5x_{2} = 1 − 4u − 3v \\ 2x_{1} − x_{2} = −2u + v \end{matrix} ⇒ det(A) = ( \begin{matrix}1−4u−3v & 5 \\ −2u+ v & −1 \end{matrix}) = − 1+ 14u−2v

det(A_{2}) = ( \begin{matrix}1 & 1 − 4u − 3v \\ 2 & −2u + v \end{matrix} ) = −2 + 6u + 7v

Potom všeobecné riešenie daného systému je:

(\frac{1}{11} − \frac{14}{11}u + \frac{2}{11}v; \frac{2}{11} − \frac{6}{11}u − \frac{7}{11}v; u; v)

X. EUKLIDOVSKÝ VEKTOROVÝ PRIESTOR

Definícia 10.1. Nech V je vektorový priestor nad R. Potom skalárny súčin na V je zobrazenie g : V ×V →R pre ktoré platia tieto podmienky:

1. g(x⃗ + y⃗, z⃗)= g(x⃗, z⃗) + g(y⃗, z⃗) pre ∀x⃗, y⃗, z⃗∈V.

2. g(y⃗, x⃗)= g(x⃗, y⃗) pre ∀x⃗, y⃗∈V.

3. g(αx⃗, y⃗)= αg(x⃗, y⃗) pre ∀x⃗, y⃗∈V, α∈R.

4. Ak x⃗≠ 0, tak g(x⃗, x⃗)>0. Ak g je nejaký skalárny súčin na V, tak V sa nazýva euklidovský vektorový priestor (presnejšie je to euklidovský vektorový priestor (V, g)).

Poznámka. Ak g je skalárny súčin na V, tak namiesto g(x⃗, y⃗) sa často píše ⟨x⃗, y⃗⟩. ⟨ , ⟩ : V ×V →R. Potom vlastnosti skalárneho súčinu sa prepíšu takto:

1. ⟨x⃗ + y⃗, z⃗⟩= ⟨x⃗, z⃗⟩ + ⟨y⃗, z⃗⟩.

2. ⟨y⃗, x⃗⟩= ⟨x⃗, y⃗⟩.

3. ⟨αx⃗, y⃗⟩= α⟨x⃗, y⃗⟩.

4. Ak x⃗∈V −{0}, tak ⟨x⃗, x⃗⟩>0.

Príklad. Pre ℝ^{n} zoberme zobrazenie ⟨ , ⟩ : ℝ^{n}×ℝ^{n}→ℝ, ⟨(x_{1}, ⋯, x_{n}), (y_{1}, ⋯, y_{n})⟩= x_{1}y_{1}+ ⋯ + x_{n}y_{n}.

1. ⟨(x_{1}, ⋯, x_{n})+ (z_{1}, ⋯, z_{n}), (y_{1}, ⋯, y_{n})⟩= ⟨(x_{1}+ z_{1}, ⋯, x_{n}+ z_{n}), (y_{1}, ⋯, y_{n})⟩ = = (x_{1}+ z_{1})y_{1}+ ⋯ + (x_{n}+ z_{n})y_{n}= ⟨(x_{1}, ⋯, x_{n}), (y_{1}, ⋯, y_{n})⟩+ ⟨(z_{1}, ⋯, z_{n}), (y_{1}, ⋯, y_{n})⟩= ⟨x⃗, y⃗⟩+ ⟨z⃗, y⃗⟩. Zistili sme, že vyššie definované zobrazenie ⟨ , ⟩ : ℝ^{n}×ℝ^{n}→ℝ, ⟨(x_{1}, ⋯, x_{n}), (y_{1}, ⋯, y_{n})⟩= x_{1}y_{1}+ ⋯ + x_{n}y_{n} je tzv. štandardný skalárny súčin na ℝ^{n}. (Existujú aj iné skalárne súčiny.)

Príklad. Euklidovský priestor nemusí byť konečne generovaný. V = C(⟨0, 1⟩)= priestor spojitých funkcií na ⟨0, 1⟩. Definujme zobrazenie: ⟨ , ⟩ :V ×V →ℝ takto: ⟨f, g⟩= ∫_{0}^{1} f(x)g(x)dx. (C⟨0, 1⟩, ⟨ , ⟩) je euklidovský vektorový priestor nie konečne generovaný.

Poznámka. Nech V je vektorový priestor nad ℂ. Skalárny súčin na V je zobrazenie ⟨ , ⟩ : V ×V →ℂ, ktoré spĺňa:

1. ⟨x⃗ + y⃗, z⃗⟩= ⟨x⃗, z⃗⟩+ ⟨y⃗, z⃗⟩.

2. ⟨y⃗, x⃗⟩= \overline{⟨x⃗, y⃗⟩}. (komplexne združené)

3. ⟨αx⃗, y⃗⟩= α⟨x⃗, y⃗⟩.

4. Ak x⃗∈V −{ 0}, tak ⟨x⃗, x⃗⟩>0.

Príklad. V = ℂ^{n} (n≤1). Definujme: ⟨ , ⟩ : ℂ^{n}×ℂ^{n}→ℂ ⟨(x_{1}, ⋯, z_{n}), (w_{1}, ⋯, w_{n})⟩= z_{1} w̄_{1}+ ⋯ + z_{n}w̄_{n}. Ak V je vektorový priestor nad ℂ a ⟨ , ⟩ : V ×V →ℂ je skalárny súčin, tak (V, ⟨ , ⟩) sa volá unitárny (alebo hermitovský) priestor.

V ďaľšom už iba reálne euklidovské priestory uvažujeme!

Definícia 10.2. Nech (V, ⟨ , ⟩) je euklidovský vektorový priestor. Potom dĺžka ľubovoľného vektora x⃗∈V sa definuje ako reálne číslo: |x⃗|= \sqrt{⟨x⃗, x⃗⟩}.

Príklad. V ℝ^{3} so štandardným skalárnym súčinom: |(1, 1, 1)|= \sqrt{1^{2}+ 1^{2}+ 1^{2}}= \sqrt{3}.

Veta 10.1. Nech (V, ⟨ , ⟩) je euklidovský priestor. Potom:

1. |α · x⃗|= |α| · |x⃗| pre ∀α∈ℝ, ∀x⃗∈V.

2. |x⃗|= 0 ⇔ x⃗= 0.

3. |⟨x⃗, y⃗⟩|≤|x⃗||y⃗|. (Cauchyho-Schwarzova-Bunjakovského nerovnosť).

4. |x⃗+ y⃗|≤|x⃗| + |y⃗| pre ľubovoľné x⃗, y⃗∈V (trojuholníkova nerovnosť).

Dôkaz.

1. |αx⃗|= \sqrt{⟨αx⃗, αx⃗⟩}= \sqrt{α^{2}⟨x⃗, x⃗⟩}= |α|\sqrt{⟨x⃗, x⃗⟩}= |α||x⃗|.

2. Ak x⃗= 0, tak |x⃗|= |0 · x⃗|= 0 · |x⃗|= 0; ak by x⃗≠ 0, tak by sme mali |x⃗|= \sqrt{⟨x⃗, x⃗⟩}>0 –spor s predpokladom.

3. x⃗, y⃗ ľubovoľné pevne zvolené. Pre ľubovoľné α∈ℝ utvorme vektor αx⃗−y⃗. Potom ⟨αx⃗−y⃗, αx⃗−y⃗⟩≥0 ⇒ ⟨αx⃗, αx⃗⟩−⟨y⃗, αx⃗⟩−⟨αx⃗, y⃗⟩+ ⟨y⃗, y⃗⟩= α^{2}⟨x⃗, x⃗⟩−α⟨y⃗, x⃗⟩−α⟨x⃗, y⃗⟩+ + ⟨y⃗, y⃗⟩= α^{2}⟨x⃗, x⃗⟩−2α⟨x⃗, y⃗⟩+ ⟨y⃗, y⃗⟩≥0. Zistili sme, že pre všetky α∈ℝ je ⟨x⃗, x⃗⟩α^{2}−2α⟨x⃗, x⃗⟩+ ⟨y⃗, y⃗⟩≥0 kvadratický člen v premennej α. Graf tohto trojčlena leží v nezápornej polrovine (x_{2}≥0) pričom nepretína os x_{1}. Teda tento trojčlen nemá dva rôzne reálne korene. Preto diskriminant D= 4⟨x⃗, y⃗⟩^{2}−4⟨x⃗, x⃗⟩ · ⟨y⃗, y⃗⟩≤0. Z toho: 4 · ⟨x⃗, y⃗⟩^{2}≤4⟨x⃗, x⃗⟩ · ⟨y⃗, y⃗⟩ tj. |⟨x⃗, y⃗⟩|≤|x⃗| · |y⃗|. 4._{)} |x⃗+ y⃗|^{2}= ⟨x⃗+ y⃗, x⃗+ y⃗⟩= ⟨x⃗, x⃗⟩+ ⟨x⃗, y⃗⟩+ ⟨y⃗, x⃗⟩+ ⟨y⃗, y⃗⟩= ⟨x⃗, x⃗⟩+ 2⟨x⃗, y⃗⟩+ ⟨y⃗, y⃗⟩= = |x⃗|^{2}+ 2⟨x⃗, y⃗⟩+ |y⃗|^{2}≤|x⃗|^{2}+ 2|x⃗|·|y⃗|+ |y⃗|^{2}= (|x⃗|+ |y⃗|)^{2}. Z toho |x⃗+ y⃗|≤|x⃗|+ |y⃗|.

Z 3.vlastnosti z vety 10.1. máme: ak x⃗≠ 0≠ y⃗, tak −1≤\frac{⟨x⃗, y⃗⟩}{|x⃗|·|y⃗|}≤1.

Definícia 10.3. Ak (V, ⟨ , ⟩) je euklidovský vektorový priestor a x⃗, y⃗∈V −{0}, tak

uhol vektorov x⃗, y⃗ definujeme ako také α∈⟨0, π⟩ pre ktoré cosα= \frac{⟨x⃗, y⃗⟩}{|x⃗|·|y⃗|}. Ak x⃗= 0,

alebo y⃗= 0, tak definujeme uhol vektorov x⃗, y⃗ ako \frac{π}{2}.

Definícia 10.4. Nech (V, ⟨ , ⟩) je euklidovský vektorový priestor. Hovoríme, že x⃗, y⃗∈V sú na seba kolmé, ak ∡(x⃗, y⃗)= \frac{π}{2}. (ortogonálne).

Tvrdenie 10.1. Ak (V, ⟨ , ⟩) je euklidovský vektorový priestor, tak ∠(x⃗, y⃗)= \frac{π}{2} ⇔ ⟨x⃗, y⃗⟩= 0.

Dôkaz. ∠(x⃗, y⃗)= \frac{π}{2} ⇔ x⃗= 0 alebo y⃗= 0 alebo x⃗, y⃗∈V −0 a ⟨x⃗, y⃗⟩= 0.

Príklady.

1. Nech ℝ^{3} je euklidovský vektorový priestor so štandardným skalárnym súčinom. Potom e⃗_{1}= (1, 0, 0), e⃗_{2}= (0, 1, 0), e⃗_{3}= (0, 0, 1) sú navzájom ortogonálne.

2. V ℝ^{2} so štandardným skalárnym súčinom. Na (a, b)∈ℝ^{2} je vektor (−b, a) kolmý.

Veta 10.2. Nech (V, ⟨ , ⟩) je euklidovský vektorový priestor a nech vektory a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n} sú nenulové a navzájom kolmé vektory. Potom sú aj lineárne nezávislé.

Dôkaz. Nech α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}a⃗_{n}= 0. Chceme ukázať, že α_{1} = ⋯ = α_{n} = 0.

⟨a⃗_{1}, α_{1}a⃗_{1} +⋯+α_{n}a⃗_{n}⟩ = α_{1} \underbrace{⟨a⃗_{1}, a⃗_{1}⟩}_{>0}+α_{2} \underbrace{⟨a⃗_{1}, a⃗_{2}⟩}_{=0}+ ⋯+α_{n} \underbrace{⟨a⃗_{1}, a⃗_{n}⟩}_{= 0} = 0 = ⟨0, a⃗_{1}⟩ ⇒

⇒ α_{1}= 0. Podobne všeobecne 0= ⟨α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}a⃗_{n}, a⃗_{i}⟩= α_{i}|a⃗_{i}|^{2} ⇒ α_{i}= 0.

Dôsledok. Ak (V, ⟨ , ⟩) je n-rozmerný euklidovský vektorový priestor a vektory a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}∈V −{0} sú navzájom kolmé, tak (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) je báza priestoru V.

Definícia 10.5. Ak (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) je báza euklidovského vektorového priestoru V taká, že a⃗_{i} ⊥ a⃗_{j} pre ∀i≠ j, tak tá báza sa nazýva ortogonálna báza. Ak naviac |a⃗_{i}|= 1 pre i= 1, ⋯, n, tak tá báza sa nazýva ortonormálna.

Príklad. (e⃗_{1}, e⃗_{2}, e⃗_{3}) je ortogonálna a ortonormálna báza euklidovského vektorového priestoru (ℝ^{3}, ⟨ , ⟩).

Veta 10.3. Nech (V, ⟨ , ⟩) je ľubovoľný euklidovský vektorový priestor a nech S je ľubovoľný jeho vektorový podpriestor (nenulový). Ak V je konečne generovaný, tak v S existuje ortonormálna báza.

Dôkaz. Nech dim(V)= n, nech (x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{k}) (k≤n) je dajaká báza v S. Veta bude dokázaná, ak dokážeme, že existujú nenulové vektory y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{k}∈S také, že pre ne platí: y⃗_{1} = x⃗_{1}, y⃗_{2} = x⃗_{2}+ β_{21} x⃗_{1}, y⃗_{3} = x⃗_{3}+ β_{31} x⃗_{1}+ β_{32} x⃗_{2}, ⋯, y⃗_{k} = x⃗_{k}+ β_{k1}x⃗_{1}+ ⋯ + + β_{kk−1}x⃗_{k−1}, pričom y⃗_{i} ⊥ y⃗_{j} pre i≠ j. Je jasné, že potom y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{k} sú v S sú lineárne nezávislé. Keďže dim(S)= k, tak (y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{k}) je báza, a je ortogonálna.

Potom ortonormálna báza v S bude takáto: (\frac{y⃗_{1}}{|y⃗_{1}|}, ⋯, \frac{y⃗_{k}}{|y⃗_{k}|}).

⟨\frac{y⃗_{i}}{|y⃗_{i}|}, \frac{y⃗_{j}}{|y⃗_{j}|}⟩= \frac{1}{|y⃗_{i}||y⃗_{j}|}·⟨y⃗_{i}, y⃗_{j}⟩= 0. Existenciu vektorov y⃗_{i} dokážeme indukciou:

Ak k= 1: S má bázu (x⃗_{1}), ortonormálna bude: (\frac{x⃗_{1}}{|x⃗_{1}|}). Predpokladajme, že veta

platí pre k= s−1. A teraz nech S má bázu (x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{s}). Teda máme systém y⃗_{1}= x⃗_{1}, ⋯, y⃗_{s−1}= x⃗_{s}+ ⋯ + β_{s−1s−2} x⃗_{s−2}. Podľa indukčného predpokladu máme vektory y⃗_{1}, ⋯, y⃗_{s−1} potrebného tvaru. Treba už len ukázať, ako vyrátať vektor y⃗_{s}≠ 0 potrebného tvaru a taký, že ⟨y⃗_{s}, y⃗_{i}⟩= 0 pre všetky i≤s−1. Hľadajme y⃗_{s} v tvare: y⃗_{s} = x⃗_{s}+ δ_{s1}y⃗_{1}+ ⋯ + δ_{ss−1}y⃗_{s−1}. Má byť: 0 = ⟨y⃗_{s}, y⃗_{1}⟩ = ⟨x⃗_{s}, x⃗_{1}⟩+ δ_{s1}⟨x⃗_{1}, x⃗_{1}⟩+

+ δ_{s2} \underbrace{⟨y⃗_{2}, x⃗_{1}⟩}_{= 0}+ ⋯ + δ_{ss−1} \underbrace{⟨y⃗_{s−1}, x⃗_{1}⟩}_{= 0} ⇒ ⟨x⃗_{s}, x⃗_{1}⟩+ δ_{s1}⟨x⃗_{1}, x⃗_{1}⟩= 0 ⇒ δ_{s1}= −\frac{⟨x⃗_{s}, x⃗_{1}⟩}{⟨x⃗_{1}, x⃗_{1}⟩}.

Z toho, že ⟨y⃗_{s}, y⃗_{2}⟩= 0 vyrátame δ_{s2} atď.

Poznámka. Metóda dôkazu je konštruktívna; ukazuje induktívny postup na hľadanie ortogonálnej, ortonormálnej bázy. Je to tzv. Gramov − Schmidtov ortogonalizačný proces.

Príklad. Nech S je podpriestor v ℝ^{4} so štandardným skalárnym súčinom. Treba nájsť ortonormálnu bázu podpriestoru S. S= [x⃗_{1}, x⃗_{2}, x⃗_{3}]= [(1, −1, 0, −1), (0, 1, 0, 2), (0, 0, 1, −2)]. Najskôr ortogonálnu bázu: y⃗_{1} = x⃗_{1} = (1, −1, 0, −1), y⃗_{2} = x⃗_{2} + αy⃗_{1}; ⟨y⃗_{1}, y⃗_{2}⟩ = 0 ⇒ α = 1, y⃗_{2}= (1, 0, 0, 1); y⃗_{3}= (0, 0, 1, 2)+ δ_{1}(1, −1, 0, −1)+ δ_{2}(1, 0, 0, 1). Potom: ⟨y⃗_{3}, y⃗_{1}⟩= 0 ∧ ⟨y⃗_{2}, y⃗_{1}⟩= 0 ⇒ 0= ⟨(δ_{1}+ δ_{2}, −δ_{1}, 1, −2−δ_{1}+ δ_{2}), (1, −1, 0, −1)⟩= δ_{1}+ δ_{2}+ δ_{1}+ 2+ δ_{1}−δ_{2}= 0 ⋯ ⇒

⇒ δ_{1}= − \frac{2}{3}, δ_{2}= 1 ⇒ y⃗_{3}= (0, 0, 1, 2)−\frac{2}{3}(1, −1, 0, −1)+ (1, 0, 0, 1)= (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, −\frac{1}{3}).

Ortonormálna báza: ((\frac{1}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}, 0, −\frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}), \begin{matrix}√ & \overline{3} \\ √ & \overline{5} \end{matrix}(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, −\frac{1}{3})).

Definícia 10.6. Nech (V, ⟨ , ⟩) je euklidovský vektorový priestor a nech M⊂V, M≠ ∅. (M nemusí byť podpriestor). Potom ortogonálny doplnok (komplement) množiny M vo V je množina M^{⊥} : = {x⃗∈V; ⟨x⃗, m⃗⟩= 0 ∀x⃗∈M}

Veta 10.4. Nech (V, ⟨ , ⟩) je euklidovský vektorový priestor. Potom:

1. M≠ ∅, M⊂V ⇒ M^{⊥} je vektorový podpriestor priestoru V.

2. Ak M, N≠ ∅ M, N⊂V a M⊂N tak N^{⊥}⊂M^{⊥}.

3. Ak S, T sú vektorové podpriestory vo V, tak (S+ T)^{⊥}= S^{⊥}∩T^{⊥}.

Dôkaz.

1. M^{⊥}≠ ∅, lebo 0∈M^{⊥}. Kritérium vektorového podpriestoru: pre ∀x⃗, y⃗∈M^{⊥},

∀α, β∈ℝ. Potom pre ľubovoľné m⃗∈M: ⟨αx⃗+ βy⃗, m⃗⟩= α \underbrace{⟨x⃗, m⃗⟩}_{= 0}+ β \underbrace{⟨y⃗, m⃗⟩}_{= 0}= 0. Teda

αx⃗+ βy⃗∈M^{⊥}. Z toho M^{⊥} je vektorový podpriestor vo V.

2. M⊂N. Ak x⃗∈N^{⊥}, tak ⟨x⃗, n⃗⟩= 0 pre všetky n⃗∈N a teda tiež ⟨x⃗, m⃗⟩= 0 pre všetky m⃗∈M. Teda x⃗∈M^{⊥}.

3. Nech x⃗∈(S+ T)^{⊥}. Teda ⟨x⃗, s⃗+ t⃗⟩= 0 pre všetky s⃗∈S, t⃗∈T. Špeciálne ⟨x⃗, s⃗+ 0⟩= = ⟨x⃗,0⟩ = 0 pre ľubovoľný s⃗ ∈ S. Takisto ⟨x⃗, t⃗⟩ = 0 pre ∀t⃗ ∈ T. To znamená, že x⃗∈S^{⊥}∩T^{⊥}. Teda máme: (S+ T)^{⊥}⊂S^{⊥}∩T^{⊥}. Obrátene: nech x⃗∈S^{⊥}∩T^{⊥}. Potom ⟨x⃗, s⃗⟩= 0 pre všetky s⃗∈S; ⟨x⃗, t⃗⟩= 0 pre všetky t∈T; potom ⟨x⃗, s⃗+ t⃗⟩= 0 pre všetky s⃗∈S, t⃗∈T. Teda x⃗∈(S+ T)^{⊥} tj. S^{⊥}∩T^{⊥}⊂(S+ T)^{⊥}. Vcelku: S^{⊥}∩T^{⊥}= (S+ T)^{⊥}.

Veta 10.5. Nech (V, ⟨ , ⟩) je euklidovský vektorový priestor, nech S⊂V je vektorový podpriestor. (V je konečne generovaný). Potom každý vektor z V sa dá jediným spôsobom vyjadriť ako súčet vektora z S a vektora z S^{⊥}. To znamená, že V = S⊕S^{⊥}.

Dôkaz. Existencia vyjadrenia: Pre S = {0} jasné. Predpokladajme, že S ≠ {0}. Nech (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{k}) je ortonormálna báza v S (taká existuje – proces Gramov-Schmidtov). Doplňme ju na bázu (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{k}, b⃗_{k+1} , ⋯, b⃗_{n}) priestoru V. Gramovým-Schmidto-vým procesom prejdeme k ortonormálnej báze (\underbrace{a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{k}}_{∈S},\underbrace{a⃗_{k+1} , ⋯, a⃗_{n}}_{∈S^{⊥}}) priestoru V. Potom ľubovoľný vektor x⃗∈V má jediné vyjadrenie v tvare:

x⃗= \underbrace{x_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + x_{k}a⃗_{k}}_{∈S} + \underbrace{x_{k+1} a⃗_{k+1} + ⋯ + x_{n}a⃗_{n}}_{∈S^{⊥}}. Označme x_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + x_{k}a⃗_{k}= x⃗_{S},

x_{k+1} a⃗_{k+1} + ⋯ + x_{n}a⃗_{n}= x⃗_{S^{⊥}}. Máme x⃗= x⃗_{S}+ x⃗_{S^{⊥}}. Jednoznačnosť vyjadrenia: Nech by tiež x⃗= a⃗+ b⃗, pričom a⃗∈S, b⃗∈S^{⊥}. Chceme ukázať, že a⃗= x⃗_{S} a b⃗= x⃗_{S^{⊥}}. Máme x⃗_{S}+ x⃗_{S^{⊥}}= a⃗+ b⃗, z čoho \underbrace{x⃗_{s}−a⃗}_{∈S} = \underbrace{b⃗−x⃗_{S^{⊥}}}_{∈S^{⊥}}. Rátajme:

0≤⟨x⃗_{S} − a⃗, b⃗ − x⃗_{S^{⊥}}⟩ = \underbrace{⟨x⃗_{S}, b⃗⟩}_{= 0}− \underbrace{⟨a⃗, b⃗⟩}_{=0}− \underbrace{⟨x⃗_{S}, x⃗_{S^{⊥}}⟩}_{=0}+ \underbrace{⟨a⃗, x⃗_{S^{⊥}}⟩}_{=0}. Teda 0 = ⟨x⃗_{S}−a⃗,

b⃗−x⃗_{S^{⊥}}⟩= ⟨x⃗_{S}−a⃗, x⃗_{S}−a⃗⟩= ⟨b⃗−x⃗_{S^{⊥}}, b⃗−x⃗_{S^{⊥}}⟩. Potom x⃗_{S}−a⃗= 0 ∧ b⃗−x⃗_{S^{⊥}}= 0 ⇒ x⃗_{S}= a⃗ ∧ b⃗= x⃗_{S^{⊥}}.

Veta 10.6. Nech (V, ⟨ , ⟩) je konečne generovaný euklidovský vektorový priestor. Potom:

1. Ak S⊂V je vektorový podpriestor, tak (S^{⊥})^{⊥}= S.

2. Ak S, T ⊂V sú vektorový podriestory, tak (S∩T)^{⊥}= S^{⊥}+ T^{⊥}.

Dôkaz.

1. Pre ľubovoľné x⃗∈S máme ⟨x⃗, y⃗⟩= 0 pre ľubovoľný y⃗∈S^{⊥}. Teda x⃗∈(S^{⊥})^{⊥}. Zistili sme, že S⊂(S^{⊥})^{⊥}. Z vety 8.24. vieme, že V = S⊕S^{⊥} a V = (S^{⊥}) ⊕ (S^{⊥})^{⊥}. Z toho: dim(V)= dim(S)+ dim(S^{⊥})= dim(S^{⊥})+ dim((S^{⊥})^{⊥}). Teda dim(S)= dim((S^{⊥})^{⊥}). Keďže aj S⊂((S^{⊥})^{⊥}),máme S= (S^{⊥})^{⊥}.

2. ((S^{⊥}+ T^{⊥})^{⊥})^{⊥}= (S^{⊥}+ T^{⊥})= ((S^{⊥})^{⊥}∩(T^{⊥})^{⊥})^{⊥}= (S∩T)^{⊥}.

Definícia 10.7. Nech (V, ⟨ , ⟩) je euklidovský vektorový priestor a {0}≠ S⊂V je vektorový podpriestor. Potom každý vektor x⃗∈V má jediné vyjadrenie v tvare x⃗= x⃗_{S}+ x⃗_{S^{⊥}}, kde x⃗_{S}∈S a x⃗_{S^{⊥}}∈S^{⊥}. Teda predpis, ktorý každému x⃗∈V priradí x⃗_{S} definuje zobrazenie p : V →V, p(x⃗)= x⃗_{S}. Potom p sa nazýva zobrazenie ortogonálnej projekcie na podpriestor S.

Tvrdenie 10.3. Ak x⃗∈S, tak p(x⃗)= x⃗.

Dôkaz. Jediné také vyjadrenie je: x⃗= \underbrace{x⃗}_{∈S} + \underbrace{0}_{∈S^{⊥}}. Teda p(x⃗)= x⃗.

Tvrdenie 10.4. p(V) = S.

Tvrdenie 10.5. p ∘ p = p.

Dôkaz. Pre ľubovoľný x⃗ ∈ S: p ∘ p(x⃗) = p(\underbrace{p(x⃗)}_{∈S}) = p(x⃗).

Tvrdenie 10.6. p : V →V je lineárne zobrazenie.

Dôkaz. Ľubovoľné x⃗, y⃗∈V, α, β∈ℝ. Potom vieme, že x⃗= x⃗_{S}+ x⃗_{S^{⊥}} a y⃗= y⃗_{S}+ y⃗_{S^{⊥}} sú jediné vyjadrenia svojho druhu. Potom αx⃗+ βy⃗= \underbrace{α(x⃗_{S}+ y⃗_{S})}_{∈S} + \underbrace{β(x⃗_{S^{⊥}}+ y⃗_{S^{⊥}})}_{∈S^{⊥}} je jediné

vyjadrenie vektora αx⃗+ βy⃗ ako súčet vektora z S a vektora z S^{⊥}. Podľa definície 8.24.: p(αx⃗+ βy⃗)= α(x⃗_{S}+ y⃗_{S})= αx⃗_{S}+ βy⃗_{S}= αp(x⃗)+ βp(y⃗).

Príklad. Treba nájsť zobrazenie ortogonálnej projekcie na podpriestor S. S= [(1, 1, −1), (1, −1, 0)]⊂ℝ^{3} so štandardným skalárnym súčinom. Doplníme ortogonálnu bázu ((1, 1, −1), (1, −1, 0)) podpriestoru S na ortogonálnu bázu priestoru ℝ^{3}. Nájdeme vektor (k_{1}, k_{2}, k_{3})∈ℝ^{3} taký, že ⟨(k_{1}, k_{2}, k_{3}), (1, 1, −1)⟩= 0 a tiež: ⟨(k_{1}, k_{2}, k_{3}), (1, −1, 0)⟩= 0. Z toho: k_{1}+ k_{2}−k_{3}= 0 a k_{1}−k_{2}= 0. Vyriešime, zoberieme

napríklad (−1, −1, −2). Teda (\underbrace{(1, 1, −1), (1, −1, 0)}_{∈S}, \underbrace{(−1, −1, −2)}_{∈S^{⊥}}) je ortogonálna

báza v ℝ^{3}.

ℝ^{3} ∋ (x_{1}, x_{2}, x_{3})= \underbrace{a(1, 1, −1)+ b(1, −1, 0)}_{∈S} + \underbrace{c(−1, −1, −2)}_{∈S^{⊥}} ⇒ \{ \begin{matrix}a+ b−c= x_{1} \\ a−b−c= x_{2} \\ −a − 2c= x_{3} \end{matrix}

Vyriešime: c= −\frac{1}{6}(x_{1}+ x_{2}+ 2x_{3}), b= −\frac{1}{2}(x_{1}−x_{2}), a= \frac{1}{3}(x_{1}+ x_{2}−x_{3}). Teda pre ľubovoľný (x_{1}, x_{2}, x_{3})∈ℝ^{3} platí:

(x_{1}, x_{2}, x_{3})= \underbrace{\frac{x_{1}+ x_{2}−x_{3}}{3} ·(1, 1, −1)+ \frac{x_{1}−x_{2}}{2} ·(1, −1, 0)}_{∈S} − \underbrace{\frac{x_{1}+ x_{2}+ 2x_{3}}{6} ·(−1, −1, −2)}_{∈S^{⊥}}

Teda p(x_{1}, x_{2}, x_{3})= \frac{x_{1}+ x_{2}−x_{3}}{3} ·(1, 1, −1)+ \frac{x_{1}−x_{2}}{2} ·(1, −1, 0);

p(x_{1}, x_{2}, x_{3})= (\frac{5x_{1}−x_{2}−2x_{3}}{6} ; \frac{−x_{1}+ 5x_{2}−2x_{3}}{6} ; \frac{−x_{1}−x_{2}+ x_{3}}{3} ). Matica zobrazenia p:

M_{p}= ( \begin{matrix}\frac{5}{6} & −\frac{1}{6} & −\frac{1}{3} \\ −\frac{1}{6} & \frac{5}{6} & −\frac{1}{3} \\ −\frac{1}{3} & −\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{matrix} ) M_{p} je symetrická. Súčet na diagonále: dim(S).

Definícia 10.8. Nech (V, ⟨ , ⟩) a (W, ⟨ , ⟩) sú euklidovské vektorové priestory. Euklidovský izomorfizmus z V na W je lineárny izomorfizmus f : V →W taký, že ⟨f(x⃗), f(y⃗)⟩= ⟨x⃗, y⃗⟩ pre všetky x⃗, y⃗∈V.

Veta 10.7. Nech (V, ⟨ , ⟩) je n-rozmerný euklidovský vektorový priestor. Potom existuje euklidovský izomorfizmus z V na ℝ^{n} so štandardným skalárnym súčinom.

Dôkaz. Nech (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n}) je nejaká ortonormálna báza vo V. Nech (e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n}) je štandardná báza v ℝ^{n} (tá je tiež ortonormálna). Zo základnej vety o lineárnych zobrazeniach vieme, že existuje jediné lineárne zobrazenie f : V →ℝ^{n} také, že f(v⃗_{i})= e⃗_{i}, i= 1, ⋯, n. Z inej vety vieme, že f je lineárny izomorfizmus. f je aj euklidovský izomorfizmus, lebo: ⟨f(x_{1}v⃗_{1}+ ⋯ + x_{n}v⃗_{n}), f(y_{1}v⃗_{1}+ ⋯ + y_{n}v⃗_{n})⟩= = ⟨x_{1}f(v⃗_{1})+ ⋯ + x_{n}f(v⃗_{n}), y_{1}f(v⃗_{1})+ ⋯ + y_{n}f(v⃗_{n})⟩= ⟨x_{1}e⃗_{1}+ ⋯ + x_{n}e⃗_{n}, y_{1}e⃗_{1}+ + ⋯ + y_{n}e⃗_{n}⟩= x_{1}y_{1}+ ⋯ + x_{n}y_{n}. Ale aj ⟨x_{1}v⃗_{1}+ ⋯ + x_{n}v⃗_{n}; y_{1}v⃗_{1}+ ⋯ + y_{n}v⃗_{n}⟩= = x_{1}y_{1}⟨v⃗_{1}, v⃗_{1}⟩+ ⋯ + x_{n}y_{n}⟨v⃗_{n}, v⃗_{n}⟩= x_{1}y_{1}+ ⋯ + x_{n}y_{n}.

Príklad. ℝ^{n}, euklidovský izomorfizmus: f : ℝ^{n}→ℝ^{n} je napr. f_{A} : ℝ^{n}→ℝ^{n}, kde A∈𝔐_{nn}(R) a AA^{T}= I_{n}.

XI. AFINNÝ PRIESTOR (nad ℝ)

Poznámka. afinita = spriaznenosť

Definícia 11.1. Nech A= (B, V) kde B≠ ∅ je množina, ktorej prvky budeme označovať A, B, ⋯, X a budeme ich nazývať bodmi, a V je vektorový priestor nad ℝ. A sa nazýva afinný priestor, ak body z B a vektory z V sú ”spriaznené” podľa nasledujúcich pravidiel: 1^{∘} Pre každú usporiadanú dvojicu (X, Y)∈B×B existuje jediný vektor z V, ktorý potom označíme \overrightarrow{XY} (nazýva sa vektor prislúchajúci k dvojici (X, Y)∈B×B). 2^{∘} Pre každý X∈B a každý x⃗∈V existuje jediný bod Y ∈B taký, že x⃗= \overrightarrow{XY}. 3^{∘} Pre každé X, Y, Z∈B: \overrightarrow{XY}+ \overrightarrow{Y Z}= \overrightarrow{XZ}. Ak A= (B, V) je afinný priestor a dim(V)= n, tak hovoríme, že dim(A)= n. (Ináč: A je n-rozmerný afinný priestor.)

Príklady.

1. B= {B}, V = {0}. A= (B, V) je nularozmerný afinný priestor.

2. B= množina bodov O_{xy}, V = vektorový priestor orientovaných úsečiek so začiatkom v O. (X, Y)∈B×B priradíme jediný vektor x⃗∈V, ktorý dostaneme tak, že orientovanú úsečku \overrightarrow{XY} posunieme do bodu O. Axiómy afinného priestoru: 1^{∘} √ 2^{∘} √ 3^{∘} √. B je bodová, V je vektorová zložka afinného priestoru.

3. Nech B= ℝ^{n}, V = ℝ^{n}. 1^{∘}: Usporiadanej dvojici (A, B)∈B×B, kde A= (a_{1}, ⋯, a_{n}), B= (b_{1}, ⋯, b_{n}) priradíme vektor \overrightarrow{AB}= (b_{1}−a_{1}, ⋯, b_{n}−a_{n}). 2^{∘}: Pre ľubovoľný bod X= (x_{1}, ⋯, x_{n})∈B a ľubovoľný a⃗= (a_{1}, ⋯, a_{n})∈V je Y = (x_{1}+ a_{1}, ⋯, x_{n}+ a_{n})∈B ten jediný bod, pre ktorý platí a⃗= \overrightarrow{XY}. 3^{∘}: X= (x_{1}, ⋯, x_{n}), Y = (y_{1}, ⋯, y_{n}), Z= (z_{1}, ⋯, z_{n}). \overrightarrow{XY}+ \overrightarrow{Y Z}= (y_{1}−x_{1}, ⋯, y_{n}−x_{n})+ (z_{1}−y_{1}, ⋯, z_{n}−y_{n})= (z_{1}−x_{1}, ⋯, z_{n}−x_{n})= \overrightarrow{XZ} √. Teda A= (ℝ^{n}, ℝ^{n}) je n-rozmerný afinný priestor. 4.

Nech (N){ a_{11}x_{1}+ ⋯ + a_{1n}x_{n}= b_{1} ; ⋮ ; a_{s1}x_{1}+ ⋯ + a_{sn}x_{n}= b_{s} je riešiteľný nehomogénny systém lineárnych

rovníc nad ℝ. B = množina všetkých riešení systému (N). V =vektorový priestor všetkých riešení príslušného homogénneho systému. 1^{∘}: pre (X, Y)∈B×B definujeme \overrightarrow{XY}= Y −X∈V je to riešenie príslušneho homogénneho systému. 2^{∘}: pre ľubovoľný A∈B a ľubovoľný a⃗∈V bude A+ a⃗= B∈B jediný bod taký, že \overrightarrow{AB}= a⃗. 3^{∘}: \overrightarrow{XY}+ \overrightarrow{Y Z}= Y −X+ Z−Y = Z−X= \overrightarrow{XZ}. Teda A= (B, V) je afinný priestor dimenzie n−h(matice systému).

Veta 11.1. Nech A= (B, V) je afinný priestor. Potom:

1. \overrightarrow{XX}= 0∈V pre ∀X∈B.

2. Ak \overrightarrow{XY}= \overrightarrow{ST}, tak \overrightarrow{XS}= \overrightarrow{Y T}.

3. \overrightarrow{XY}= − \overrightarrow{Y X} pre ľubovoľné X, Y ∈B.

Dôkaz.

1. \overrightarrow{XX}+ \overrightarrow{XX} = \overrightarrow{XX}, preto \overrightarrow{XX} = \overrightarrow{0}.

2. Predpokladajme, že \overrightarrow{XY}= \overrightarrow{ST}. Potom \overrightarrow{XS}= \overrightarrow{XY}+ \overrightarrow{Y S}= \overrightarrow{ST}+ \overrightarrow{Y S}= \overrightarrow{Y S}+ \overrightarrow{ST}= \overrightarrow{Y T}.

3. \overrightarrow{XY}+ \overrightarrow{Y X}= \overrightarrow{XX}= 0. Preto \overrightarrow{XY}= −\overrightarrow{Y X}.

Iná definícia afinného priestoru:

Definícia 11.1*. Afinným priestorom rozumieme trojicu: A= (B, V, + ), kde B≠ ∅ je množina (jej prvky sú body) a V je vektorový priestor nad ℝ (jeho prvky sú vektory) a + je zobrazenie z B×V →B, ktoré každej usporiadanej dvojici (X, a⃗)∈B×V priradí jediný prvok z B, ktorý potom označíme X+ a⃗, pričom musia byť splnené podmienky: 1^{∗}: X+ (a⃗+ b⃗)= (X+ a⃗)+ b⃗ pre každé X∈B a každé x⃗, y⃗∈V. 2^{∗}: X+ x⃗= X ⇔ x⃗= 0. 3^{∗}: pre ľubovoľné Y, X∈B existuje jediný a⃗∈V taký, že X+ a⃗= Y.

Obidve definície afinného priestoru sú ekvivalentné. tj. A= (B, V) je afinný priestor v zmysle def 11.1 ⇔ keď A= (B, V, + ) (s vhodne definovaným +) je afinný priestor podľa def 11.1∗.

Dôkaz. Predpokladajme, že A= (B, V) je afinný priestor podľa def 11.1. Potom pre X∈B a a⃗∈V podľa podmienky 2^{∘} z def 11.1(∗) existuje jediný Y ∈B taký, že \overrightarrow{XY}= a⃗. Položíme: Y = X+ a⃗. Tým sme definovali + : B×V →B. Overíme 1^{∗} 2^{∗} 3^{∗}. 1^{∗}: (X+ a⃗)+ b⃗= Y + b⃗= Z podľa def.: a⃗= \overrightarrow{XY}, b⃗= \overrightarrow{Y Z}. Potom X+ (a⃗+ b⃗)= X+ (\overrightarrow{XY}+ + \overrightarrow{Y Z})= X+ \overrightarrow{XZ}= Z. Teda naozaj X+ (a⃗+ b⃗)= X+ (a⃗+ b⃗) 2^{∗}: X+ x⃗= X ⇔ x⃗= \overrightarrow{XX}= 0 (použili sme vetu 11.1). 3^{∗}: pre ľubovoľný X∈B a a⃗∈V je Y = X+ a⃗ ten jediný bod. Teda A= (B, V, + ) je afinný priestor v zmysle def 11.1. Predpokladajme, že A= (B, V, + ) je afinný priestor v zmysle def 11.1∗. Chceme ukázať, že A= (B, V) spĺňa 1^{∘}, 2^{∘} a 3^{∘} z def 11.1. 1^{∘}: Pre ľubovoľné X, Y ∈B definujeme \overrightarrow{XY}∈V ako ten jediný vektor z V (podľa 3^{∗}), pre ktorý X+ \overrightarrow{XY}= Y. 2^{∘}: Pre každý bod X∈B a každé a⃗∈V existuje jediný vektor Y = X+ a⃗ taký, že \overrightarrow{XY}= a⃗.

3^{∘}: X+ (\overrightarrow{XY}+ \overrightarrow{Y Z}) =^{1^{∗}} (X+ \overrightarrow{XY})+ \overrightarrow{Y Z}= Y + \overrightarrow{Y Z}= Z= X+ \overrightarrow{XZ} ⇒ \overrightarrow{XY}+ \overrightarrow{Y Z}= \overrightarrow{XZ} pre

ľubovoľné X, Y, Z∈B.

Pevne zvoľme bod O∈B v afinnom priestore A= (B, V). Potom môžeme definovať zobrazenie h : B→V, h(x)= \overrightarrow{OX}.

Tvrdenie 11.1. Zobrazenie h je bijekcia.

Dôkaz. Definujme g : V →B, g(a⃗)= len jediný A∈B, pre ktorý a⃗= \overrightarrow{OA}. Potom g∘h= id_{B}, h∘g= id_{V}, g∘h(X)= g(\overrightarrow{OX})= X a h∘g(a⃗)= h(A)= a⃗.

Definícia 11.2. Nech A= (B, V) je afinný priestor. Afinný podpriestor priestoru A je afinný priestor A′= (B′, V′), taký, že B′⊂B, V′ je vektorový podpriestor priestoru V, a body z B′ sú s vektormi z V′ spriaznené podľa tých istých pravidiel, ako sú spriaznené body s vektormi v A.

Príklad.

1. A= (B, V) je afinný podpriestor samého seba.

2. Ak A′= (B′, V′), A′′= (B′′, V′′) sú afinné podpriestory v A= (B, V), tak A′∩A′′= = (B′∩B′′, V′∩V′′) je afinný podpriestor v A′ ,A′′ aj A.

Definícia 11.3. Nech A_{n}= (B_{n}, V_{n}), n∈ℕ je n-rozmerný afinný priestor. Potom 1-rozmerný afinný podpriestor v A_{n} sa nazýva priamka v A_{n}, 2-rozmerný afinný podpriestor v A_{n} sa nazýva rovina v A_{n} a (n − 1)-rozmerný afinný podpriestor v A_{n} sa volá nadrovina v A_{n}.

Súradnice v afinnom priestore.

Definícia 11.4. Nech A_{n}= (B_{n}, V_{n}) je afinný priestor. Potom (n+ 1)-tica (O, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}), kde O∈B_{n} je pevne zvolený bod a (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) je pevne zvolená báza priestoru V_{n}; sa nazýva súradnicový systém v A_{n}.

Príklad. V A_{n}= (ℝ^{n}, ℝ^{n}) (n+ 1)-tica ((0, ⋯, 0), (1, 0, ⋯, 0), (0, 1, ⋯, 0), ⋯, (0, ⋯, 0, 1)) je súradnicový systém.

Priradenie súradníc.

Nech (O, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) je súradnicový systém v n-rozmernom afinnom priestore A_{n}= (B_{n}, V_{n}). Pre ľubovoľný bod X∈B_{n} existuje jediný vektor \overrightarrow{OX}∈V_{n}. Potom existuje jediná n-tica (x_{1}, ⋯, x_{n})∈ℝ^{n} taká, že \overrightarrow{OX}= x_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + x_{n}a⃗_{n}. Potom usporiadaná n-tica (x_{1}, ⋯, x_{n}) je n-tica súradníc bodu X vzhľadom na súradnicový systém (O, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}). \overrightarrow{OX} sa nazýva aj polohový vektor bodu X. Teda vlastne súradnice bodu sú súradnice jeho polohového vektora vzhľadom na bázu (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}). Stručne píšeme X≡(x_{1}, ⋯, x_{n}). Pre vektor b⃗∈V_{n} jeho súradnice vzhľadom na súradnicový systém (O, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) sú jeho súradnice vzhľadom na bázu (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}). b⃗= b_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + b_{n}a⃗_{n}, b⃗ ≡ (b_{1}, ⋯, b_{n}).

Tvrdenie 11.2. Nech (O, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) je súradnicový systém v afinnom priestore A_{n}= (B_{n}, V_{n}). Ak X ≡ (x_{1}, ⋯, x_{n}), Y ≡ (y_{1}, ⋯, y_{n}) tak vektor \overrightarrow{XY} má súradnice: \overrightarrow{XY} ≡ (y_{1}−x_{1}, ⋯, y_{n}−x_{n}).

Dôkaz. Máme \overrightarrow{OX}= x_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + x_{n}a⃗_{n}, O⃗Y = y_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + y_{n}a⃗_{n}. \overrightarrow{XY} = \overrightarrow{XO} + \overrightarrow{OY} = = \overrightarrow{OY}−\overrightarrow{OX}= (y_{1}−x_{1})a⃗_{1}+ ⋯ (y_{n}−x_{n})a⃗_{n}.

Príklad. Pre A_{2}= (ℝ^{2}, ℝ^{2}) súradnicový systém ((0, 0), (1, 0), (0, 1)). X= (x_{1}, x_{2}). \overrightarrow{OX}= (x_{1}, x_{2})= x_{1}e⃗_{1}+ x_{2}e⃗_{2}. X ≡ (x_{1}, x_{2}).

Afinné zobrazenie.

Definícia 11.5. Nech A= (B, V) a A′= (B′, V′) sú afinné priestory. Potom afinné zobrazenie z A do A′ je dvojica (f, φ), kde f : B→B′ a φ : V →V′ sú lineárne zobrazenia a okrem toho φ(\overrightarrow{XY})= \overrightarrow{f(X)f(Y)}. f je tzv. bodová zložka, φ je tzv. lineárna zložka afinného zobrazenia (f, φ) : A→A′.

Poznámka. Nech A= (B, V, + ) je afinný priestor v zmysle def 11.1∗. Potom vieme, že pre ľubovoľnú (X, Y)∈B×B existuje jediný x⃗∈V taký, že X+ x⃗= Y. Potom označme x⃗= Y −X= \overrightarrow{XY}. Potom podmienku φ(\overrightarrow{XY})= \overrightarrow{f(X)f(Y)} z def 11.5 môžeme napísať φ(Y −X)= f(Y)−f(X).

Príklad. V afinnom priestore A_{n}= (B_{n}, V_{n}) zvoľme pevne súradnicový systém (O, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}). Definujme f : B_{n}→ℝ^{n}, f(X)= (x_{1}, ⋯, x_{n}), kde (x_{1}, ⋯, x_{n}) sú súradnice bodu X. Podobne definujme φ : V_{n}→ℝ^{n}, φ(b⃗)= (b_{1}, ⋯, b_{n}), kde (b_{1}, ⋯, b_{n}) sú súradnice vektora b⃗. Potom (f, φ) : (B_{n}, V_{n})→(ℝ^{n}, ℝ^{n}) je afinné zobrazenie.

Definícia 11.6. Afinné zobrazenie (f, φ) : (B, V)→(B′, V′) je afinný izomorfizmus, ak f je lineárny izomorfizmus.

Veta 11.2. Afinné zobrazenie (f, φ) : (B, V)→(B′, V′) je afinný izomorfizmus ⇔ keď φ je lineárny izomorfizmus.

Dôkaz. ⇒ : Pevne zvoľme bod P ∈B. Označme P′= f(P). Predpokladajme, že (f, φ) je afinný izomorfizmus. Chceme ukázať, že φ : V →V′ je lineárny izomorfizmus. Stačí ukázať, že φ je bijektívne. Surjektívnosť: Nech b⃗∈V. Potom b⃗= \overrightarrow{P′B} pre jednoznačne určený bod B. Keďže f je bijekcia, existuje jediný bod Y ∈B taký, že f(Y)= B, teda b⃗= \overrightarrow{f(P)f(Y)}= φ(\overrightarrow{P Y}). Teda b⃗ má vzor \overrightarrow{P Y}∈V. Injektívnosť: Nech φ(a⃗)= φ(b⃗). Chceme ukázať, že a⃗= b⃗. Máme a⃗= \overrightarrow{P A}, b⃗= \overrightarrow{P B} pre jednoznačne určené P ∈B. Teda φ(\overrightarrow{P A})= φ(\overrightarrow{P B}) ⇔ \overrightarrow{f(P)f(A)}= \overrightarrow{f(P)f(B)}. Z toho f(A)= f(B) je bijekcia, preto A= B. Vcelku: a⃗= b⃗. ⇐ : Predpokladajme, že φ : V →V′ je lineárny izomorfizmus. Chceme ukázať, že f je bijekcia. Surjektívnosť: Nech Y ∈B′ je ľubovoľný. Potom \overrightarrow{P Y} má jediný vzor, povedzme φ(a⃗)= \overrightarrow{P′Y}. Pritom: a⃗ = \overrightarrow{P A} pre jediné A∈B. \overrightarrow{P′f(A)} = \overrightarrow{f(P)f(A)} = = φ(\overrightarrow{P A})= \overrightarrow{P′Y} z toho: Y = f(A). Injektívnosť: Predpokladajme, že f(A)= f(B). Chceme ukázať, že A= B. φ(\overrightarrow{P A}) = \overrightarrow{f(P)f(A)} = \overrightarrow{P′f(A)} = \overrightarrow{P′f(B)} = \overrightarrow{f(P)f(B)} = = φ(\overrightarrow{P B}) a preto A= B.

Poznámka. Afinné zobrazenie (f, φ) určené zavedením súradnicového systému (O, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) v A_{n}= (B_{n}, V_{n}) má bijektívne f, a preto je to aj afinný izomorfizmus z A_{n} na (ℝ^{n}, ℝ^{n}).

Definícia 11.7. Ak existuje afinný izomorfizmus (f, φ) : A→A′ tak hovoríme, že afinný priestor A je afinne izomorfný s afinným priestorom A′. Ak A je afinne izomorfný s A′, tak tiež je A′ afinne izomorfný s A. V takom prípade môžeme povedať, že A a A′ sú navzájom izomorfné.

Príklad. Zavedením súradnicového systému (O, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) v n-rozmernom afinnom priestore A_{n}= (B_{n}, V_{n}) vlastne definujeme afinný izomorfizmus z (B_{n}, V_{n}) na (ℝ^{n}, ℝ^{n}). Teda každý n-rozmerný afinný priestor je afinne izomorfný s afinným priestorom (ℝ^{n}, ℝ^{n}).

Veta 11.3. Nech (f, φ) : (ℝ^{k}, ℝ^{k})→(ℝ^{n}, ℝ^{n}) je afinné zobrazenie. Potom pre (x_{1}, ⋯, x_{k})∈ℝ^{k} máme f(x_{1}, ⋯, x_{k}) = (x_{1}, ⋯, x_{k}) · M_{φ} + f(0, ⋯, 0). Pritom v (ℝ^{k}, ℝ^{k}) máme súradnicový systém ((0, ⋯, 0), e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{k}) v (ℝ^{n}, ℝ^{n}) súradnicový systém: ((0, ⋯, 0), e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n}).

Dôkaz. Vieme, že φ(x_{1}, ⋯, x_{k}) = (x_{1}, ⋯, x_{k}) · M_{φ} pre každé (x_{1}, ⋯, x_{k})∈ℝ^{k}: (x_{1}, ⋯, x_{k})= \overrightarrow{(0, ⋯, 0)(x_{1}, ⋯, x_{k})}, (x_{1}, ⋯, x_{k})·M_{φ}= φ(\overrightarrow{(0, ⋯, 0)(x_{1}, ⋯, x_{k})})= = \overrightarrow{f(0, ⋯, 0)f(x_{1}, ⋯, x_{k})}. f(x_{1}, ⋯, x_{k})−f(0, ⋯, 0)= (x_{1}, ⋯, x_{k})·M_{φ}. Teda f(x_{1}, ⋯, x_{k})= (x_{1}, ⋯, x_{k})·M_{φ}+ f(0, ⋯, 0).

Barycentrický súradnicový systém.

Budeme používať def 11.1∗. Nech A= (B, V) je afinný priestor. Vieme, že pre ľubovoľné X, Y ∈B existuje jediný vektor x⃗∈V taký, že X+ x⃗= Y. Označili sme x⃗= Y −X. Platí:

1. (A−B)+ (B−C)= A−C ⇔ \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{CB}= \overrightarrow{CA}= A−C.

2. X−X= \overrightarrow{0} ∀X∈B.

3. (X+ x⃗)−(A+ y⃗)= (X−A)+ x⃗−y⃗.

Definícia 11.8. Nech A= (B, V, + ) je afinný priestor, nech A_{0}, A_{1}, ⋯, A_{s}∈B sú

ľubovoľné body a nech x_{0}, x_{1}, ⋯, x_{s}∈ℝ také, že ∑_{i= 0}^{s}x_{i}= 1. Potom definujeme bod

z B: ∑_{i= 0}^{s}x_{i}A_{i}:= A+ ∑_{i=0}^{s}x_{i}(A_{i}−A), kde A∈B je ľubovoľný bod. Bod ∑_{i=0}^{s}x_{i}A_{i} sa

nazýva barycentrická kombinácia bodov A_{0}, ⋯, A_{s} s koeficientmi x_{0}, ⋯, x_{s}.

Ukážeme, že def 11.8 barycentrickej kombinácie bodov je dobrá, tj. že nezávisí od voľby A. Takto: Nech B∈B je ľubovoľný bod. Potom vieme, že existuje jediný

x⃗∈V taký, že B= A+ x⃗. Potom B+ ∑_{i=0}^{s}x_{i}(A_{i}−B)= A+ x⃗+ ∑_{i=0}^{s}x_{i}((A_{i}−A)−x⃗)=

= A+ x⃗+ ∑_{i=0}^{s}x_{i}(A_{i}−A)− ∑_{i=0}^{s}x_{i}x⃗= A+ ∑_{i=0}^{s}x_{i}(A_{i}−A)+ x⃗− (∑_{i=0}^{s}x_{i}) x⃗=

= A+ ∑_{i=0}^{s}x_{i}(A_{i}−A).

Veta 11.4 a Definícia 11.9. Nech A_{0}, A_{1}, ⋯, A_{n} sú body n-rozmerného afinného priestoru A_{n}= (B_{n}, V_{n}). Potom: (A_{0}, A_{1}−A_{0}, ⋯, A_{n}−A_{0}) je súradnicový systém afinného priestoru A_{n} (v zmysle definície) práve vtedy, keď každý bod X∈B_{n} sa dá

jediným spôsobom vyjadriť ako barycentrická kombinácia X= ∑_{i=0}^{n}x_{i}A_{i}. Ak je toto

splnené, potom (A_{0}, A_{1}, ⋯, A_{n}) sa volá barycentrický súradnicový systém priestoru A_{n}; (x_{0}, ⋯, x_{n}) sú barycentrické súradnice bodu X.

Dôkaz. ⇒ : Predpokladajme, že (A_{0}, A_{1}−A_{0}, ⋯, A_{n}−A_{0}) je súradnicový systém. Nech X∈B_{n} je ľubovoľný bod. Potom existuje jediný vektor x⃗∈V_{n} taký, že X= A_{0}+ x⃗. Keďže (A_{1}−A_{0}, ⋯, A_{n}−A_{0}) je báza vo V_{n}, preto existujú jednoznačne určené

x_{1}, ⋯, x_{n}∈ℝ: x⃗= ∑_{i=0}^{n}x_{i}(A_{i}−A_{0}). Z toho: X= A_{0}+ ∑_{i=0}^{n}x_{i}(A_{i}−A_{0}). Zoberme

x_{0}= 1− ∑_{i=1}^{n}x_{i}. Potom X= A_{0}+ ∑_{i=0}^{n}x_{i}(A_{i}−A_{0})= ∑_{i=0}^{n}x_{i}A_{i}. Jednoznačnosť: Nech by

X= ∑_{i=0}^{n}x_{i}A_{i}= ∑_{i=0}^{n}x′_{i}A′_{i}. Máme vlastne: A_{0}+ ∑_{i=0}^{n}x_{i}(A_{i}−A_{0})= A_{0}+ ∑_{i=0}^{n}x′_{i}(A_{i}−A_{0}).

Z toho: ∑_{i=0,1}^{n} x_{i}(A_{i}−A_{0})= ∑_{i=0,1}^{n} x′_{i}(A_{i}−A_{0}). Pretože (A_{1}−A_{0}, ⋯, A_{n}−A_{0}) je báza,

musí platiť x_{i}= x′_{i} pre i= 1, ⋯, n. Potom tiež x_{0}= 1− ∑_{i=1}^{n}x_{i}= 1− ∑_{i=1}^{n}x′_{i}= x′_{0}.

⇐ : Predpokladajme, že každý bod z B_{n} sa dá jediným spôsobom vyjadriť ako barycentrická kombinácia bodov A_{0}, ⋯, A_{n}. Chceme ukázať, že (A_{0}, A_{1}−A_{0}, ⋯, ⋯, A_{n}−A_{0}) je súradnicový systém v A_{n}= (B_{n}, V_{n}). Stačí ukázať, že (A_{1}−A_{0}, ⋯, ⋯, A_{n}−A_{0}) je báza vo V_{n}. Pretože vieme, že dim(V_{n})= n, stačí ukázať, že A_{1}−A_{0}, ⋯, A_{n}−A_{0} generujú celé V_{n}. Nech b⃗∈V_{n} je ľubovoľný vektor. Z axióm afinného priestoru vieme, že k bodu A_{0} a vektoru b⃗ existuje jediný bod B∈B_{n} taký, že b⃗= B−A_{0}. Z nášho predpokladu vyplýva, že existuje jediné vyjadrenie B v tvare

B= ∑_{i=0}^{n}y_{i}A_{i} (kde ∑_{i=0}^{n}y_{i}= 1.) Z toho: b⃗= (∑_{i=0}^{n}y_{i}A_{i}) −A_{0}= A_{0}+ ∑_{i=0}^{n}y_{i}(A_{i}−A_{0})−

−A_{0}= ∑_{i=1}^{n}y_{i}(A_{i}−A_{0}). Teda naozaj [A_{1}−A_{0}, ⋯, A_{n}−A_{0}]= V_{n}.

Veta 11.5. Nech (f, φ) : (B, V)→(B′, V′) je afinné zobrazenie. Potom pre ľubovoľ-

nú barycentrickú kombináciu ∑_{i=0}^{n}x_{i}A_{i} ľubovoľných bodov A_{0}, ⋯, A_{n}∈B máme

f (∑_{i=0}^{n}x_{i}A_{i}) = ∑_{i=0}^{n}x_{i}f(A_{i}).

Dôkaz. Označme B= ∑_{i=0}^{n}x_{i}A_{i}. Body A_{0}, B určujú jediný vektor x⃗∈V taký, že

B= A_{0}+ x⃗, teda x⃗= B−A_{0}. Potom φ(B−A_{0})= f(B)−f(A_{0}). Pritom B−A_{0}=

= A_{0}+ ∑_{i=0}^{n}y_{i}(A_{i}−A_{0}) − A_{0}= ∑_{i=0}^{n}x_{i}(A_{i}−A_{0}).

f(B)−f(A_{0})= φ(B−A_{0})= ∑_{i=0}^{n}x_{i}φ(A_{i}−A_{0})= ∑_{i=0}^{n}x_{i}(f(A_{i})−f(A_{0})) ⇔

⇔ f(∑_{i=0}^{n}x_{i}A_{i})= f(B)= f(A_{0})+ ∑_{i=0}^{n}x_{i}(f(A_{i})−f(A_{0}))= ∑_{i=0}^{n}x_{i}f(A_{i}).

Veta 11.6. (o afinných zobrazeniach): Nech A_{n}= (B_{n}, V_{n}) je n-rozmerný afinný priestor a nech (A_{0}, ⋯, A_{n}) je barycentrický súradnicový systém v ňom. Nech B_{0}, ⋯, B_{n} sú ľubovoľné body afinného priestoru A′_{n}= (B′_{n}, V′_{n}). Potom existuje jediné afinné zobrazenie (f, φ) : A→A′_{n} také, že f(A_{i})= B_{i} pre i= 0, ⋯, n.

Dôkaz. Vieme, že každý bod X∈B_{n} má jediné vyjadrenie v tvare X= ∑_{i=0}^{n}x_{i}A_{i}.

Ak existuje afinné zobrazenie (f, φ) : A→A′ také, že f(A_{i})= B_{i}, i= 0, ⋯, n tak

musí byť f(X)= f(∑_{i=0}^{n}x_{i}A_{i})= ∑_{i=0}^{n}x_{i}f(A_{i})= ∑_{i=0}^{n}x_{i}B_{i}. Teraz definujme zobrazenie (f, φ) : (B_{n}, V_{n})→A′ práve takto: f(∑_{i=0}^{n}x_{i}A_{i})= ∑_{i=0}^{n}x_{i}B_{i}. Treba ešte ukázať, že f

(a ním určené φ : V →V′) je afinné zobrazenie. Pre X= ∑_{i=0}^{n}x_{i}A_{i}, Y = ∑_{i=0}^{n}b_{i}A_{i} je

φ(Y −X):= f(X)−f(Y)= ∑_{i=0}^{n}(x_{i}−b_{i})B_{i}. Stačí ukázať, že φ je lineárne. Ľubovoľné

dva vektory a⃗, c⃗∈V_{n}, ∀α, β∈R, a⃗= A−A_{0}, c⃗= C−A_{0}. Potom φ(αA+ βC)=

= φ(α(A−A_{0})+ β(C−A_{0}))= φ(α(∑_{i=0}^{n}a_{i}A_{i}−A_{0})+ β(∑_{i=0}^{n}c_{i}A_{i}−A_{0}))=

= φ(α(∑_{i=0}^{n}a_{i}(A_{i}−A_{0}))+ β(∑_{i=0}^{n}c_{i}(A_{i}−A_{0})))= αφ(a⃗)+ βφ(c⃗).

Poznámka. barycenter = ťažisko. V n-rozmernom afinnom priestore A_{n}= (ℝ^{n}, ℝ^{n}) body A_{0}, ⋯, A_{n}; pričom každý z nich má jednotlivú hmotnosť, predpokladjme, že A_{1}−A_{0}, ⋯, A_{n}−A_{0} nech sú lineárne nezávislé. Teda (A_{0}, A_{1}, ⋯, A_{n}) je barycentrický súradnicový systém. Bod, ktorého barycentrické súradnice sú (\frac{1}{n+ 1}, ⋯, \frac{1}{n+ 1}) je ťažisko sústavy hmotných bodov A_{0}, ⋯, A_{n}. Napríklad pre n= 2: \frac{1}{2}A_{0}+ \frac{1}{2}A_{1}= A_{0}+ \frac{1}{2}(A_{1}−A_{0}).

Definícia 11.10. V afinnom priestore (ℝ^{n}, ℝ^{n}) majme body A_{0}= (1, 0, ⋯, 0) až

A_{n−1}= (0, ⋯, 0, 1). Potom množina △^{n}= {∑_{i=0}^{n−1} x_{i}A_{i}; ∑ x_{i}= 1; x_{i}≥0} sa nazýva

n-rozmerný simplex. Simplexy sa používajú v topológii, geometrii, v optimalizačných metódach.

Parametrické vyjadrenie afinného podpriestoru.

Veta 11.7. V n-rozmernom afinnom priestore A_{n}= (B_{n}, V_{n}) majme pevne zvolený súradnicový systém (O, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}). Nech Ã_{k}= (B̃_{n}, Ṽ_{n}) je k-rozmerný afinný podpriestor v A_{n}. Nech A ≡ (a_{1}, ⋯, a_{n}) je dajaký bod z Ã_{k}, nech (b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{k}) je báza vo Ṽ_{k} pričom b⃗_{1} ≡ (b_{1}^{1}, ⋯, b_{n}^{1}), …, b⃗_{k} ≡ (b_{1}^{k}, ⋯, b_{n}^{k}). Potom pre ľubovoľný bod X∈Ã_{k} platí \overrightarrow{OX}= \overrightarrow{OA}+ b⃗_{1}t_{1}+ ⋯ + b⃗_{k}t_{k} pre vhodné t_{1}, ⋯, t_{k}∈ℝ. Obrátene, ak pre dajaký vektor x⃗∈V_{n} platí x⃗= \overrightarrow{OA}+ s_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + s_{k}b⃗_{k} pre dajaké s_{1}, ⋯, s_{k}∈ℝ, tak x⃗ je polohový vektor dajakého bodu z Ã_{k}. Z toho: bod X ≡ (x_{1}, ⋯, x_{n}) patrí do Ã_{k}

práve vtedy, keď (R)\{ \begin{matrix}x_{1} = a_{1} + b_{1}^{1}t_{1} + ⋯ + b_{1}^{k}t_{k} \\ ⋯ \\ x_{n} = a_{n} + b_{n}^{1} + ⋯ + b_{n}^{k}t_{k} \end{matrix} , t_{1}, ⋯, t_{k}∈ℝ. Čísla t_{1}, ⋯, t_{k}

sa volajú parametre. Systém R je tzv. parametrické vyjadrenie Ã_{k}.

Dôkaz. Nech X∈Ã_{k}. Máme A∈Ã_{k}. K dvojici (A, X)∈B̃_{k}×B̃_{k} patrí jediný vektor \overrightarrow{AX}∈Ṽ_{k}. Vo Ṽ_{k} máme bázu (b_{1}, ⋯, b_{k}) preto \overrightarrow{AX}= t_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + t_{k}b⃗_{k} pre jednoznačne určené t_{1}, ⋯, t_{k}∈ℝ. \overrightarrow{AX}= \overrightarrow{AO}+ \overrightarrow{OX}= \overrightarrow{OX}−\overrightarrow{OA}= t_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + t_{k}b⃗_{k}. Z toho \overrightarrow{OX}= \overrightarrow{OA}+ t_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + t_{k}b⃗_{k}. Obrátene: nech x⃗= \overrightarrow{OA}+ s_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + s_{k}b⃗_{k}. Chceme ukázať, že x⃗= \overrightarrow{OY} pre dajaké Y ∈Ã_{k}. Pretože \overrightarrow{OA}∈Ṽ_{k} ale aj s_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + s_{k}b⃗_{k}∈Ṽ_{k} máme: x⃗∈Ṽ_{k}. Zároveň A∈B̃_{k}.

Z axióm afinného priestoru existuje jediný bod Y′∈B̃_{k} taký, že \overrightarrow{AY′}= \overrightarrow{OA}+ s_{1}b⃗_{1}+ + ⋯ + s_{k}b⃗_{k}. tj. \overrightarrow{AY′}−\overrightarrow{OA}= s_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + s_{k}b⃗_{k}. K bodu A∈B̃_{k} a vektoru s_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + + s_{k}b⃗_{k}∈Ṽ_{k} existuje jediný bod Y ∈B̃_{k} taký, že s_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + s_{k}b⃗_{k}= \overrightarrow{AY}. Z toho \overrightarrow{AY′}= = x⃗= \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{AY}= \overrightarrow{OY}.

Poznámka. V situácii ako vo vete sa Ṽ_{k} nazýva smerový priestor afinného podpriestoru Ã_{k}, a bázové vektory b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{k} sú smerové vektory afinného podpriestoru Ã_{k}. Z vety je jasné, že afinný podpriestor Ã_{k} je úplne jednoznačne určený jedným bodom A a smerovými vektormi (b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{k}).

Všeobecné (analytické) vyjadrenie afinného podpriestoru.

Nech je daný k-rozmerný afinný podpriestor Ã_{k}= (B̃_{k}, Ṽ_{k}) n-rozmerného afinného podpriestoru Ã_{k}= (B̃_{k}, Ṽ_{n}) s pevne zvoleným súradnicovým systémom. Nech Ã_{k} je určený bodom A ≡ (a_{1}, ⋯, a_{n}) a smerovými vektormi b⃗_{1} ≡ (b_{1}^{1}, ⋯, b_{n}^{1}), …, b⃗_{k} ≡ (b_{1}^{k}, ⋯, b_{n}^{k}). Teda parametrické vyjadrenie je:

Ã_{k} ≡ \{ \begin{matrix}x_{1}= a_{1}+ b_{1}^{1}t_{1}+ ⋯ + b_{1}^{k}t_{k} \\ ⋯ \\ x_{n}= a_{n}+ b_{n}^{1}t_{1}+ ⋯ + b_{n}^{k}t_{k} \end{matrix} t_{i}∈ℝ

Matica B= ( ⋮ ... ⋮_{b_{n}^{1} ··· b_{n}^{k}}^{b_{1}^{1} ··· b_{1}^{k}} ) má k lineárne nezávislých stĺpcov (lebo b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{k} sú lineár-

ne nezávislé.) Teda h(B)= k z toho B má k lineárne nezávislých riadkov, nech sú to riadky s indexmi i_{1}, ⋯, i_{k}∈{1, ⋯, n}.

(P) = \{ \begin{matrix}b_{1}^{1}t_{1}+ ⋯ + b_{1}^{k}t_{k}= x_{1}−a_{1} \\ ⋯ \\ b_{n}^{1}t_{1}+ ⋯ + b_{n}^{k}t_{k}= x_{n}−a_{n} \end{matrix} ⇔ (∗)\{ \begin{matrix}b_{i_{1}}^{1}t_{1}+ ⋯ + b_{i_{1}}^{k}t_{k}= x_{i_{1}}−a_{i_{1}} \\ ⋯ \\ b_{i_{k}}^{1}t_{1}+ ⋯ + b_{i_{k}}^{k}t_{k}= x_{i_{k}}−a_{i_{k}} \end{matrix}

Máme h ( ⋮ ... ⋮_{b_{i_{k}}^{1} ··· b_{i_{k}}^{k}}^{b_{i_{1}}^{1} ··· b_{i_{1}}^{k}} ) = k ⇒. Systém (∗) má jediné riešenie, vyrátame ho z Crame-

rovho pravidla:

t_{1}= \begin{matrix}det & ( . . . . . . . . . . . . . . ._{x_{i_{k}} −a_{i_{k}} b_{i_{k}}^{2} ··· b_{i_{k}}^{k}}^{x_{i_{1}} −a_{i_{1}} b_{i_{1}}^{2} ··· b_{i_{1}}^{k}} ) \\ det & ( ⋮ ... ⋮_{b_{i_{k}}^{1} ··· b_{i_{k}}^{k}}^{b_{i_{1}}^{1} ··· b_{i_{1}}^{k}} ) \end{matrix}= ℓ_{1}(x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{k}}) ⋯ t_{k}= \frac{det(  )}{det(  )}= ℓ_{k}(x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{k}})

ℓ_{i}(x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{k}}) sú lineárne funkcie. Teraz dosadíme t_{1}, ⋯, t_{k} do zvyšných n−k rovníc parametrického vyjadrenia. {j_{1}, ⋯, j_{n−k}} nech je doplnok ku {i_{1}, ⋯, i_{k}} v {1, ⋯, n}. Dostaneme: b_{j_{1}}^{1}ℓ_{1}(x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{k}})+ ⋯ + b_{j_{1}}^{k}ℓ_{k}(x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{k}})= x_{j_{1}}−a_{j_{1}} … b_{j_{n−k}}^{1}ℓ_{1}(x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{k}})+ ⋯ + b_{j_{n−k}}^{k}ℓ_{k}(x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{k}})= x_{j_{n−k}}−a_{j_{n−k}}. tj. systém n−k lineárnych rovníc s n neznámymi x_{1}, ⋯, x_{n}. Matica tohto systému má hodnosť n−k. Teda ľubovoľný bod X ≡ (x_{1}, ⋯, x_{n}) z Ã_{k} spĺňa (svojimi súradnicami) lineárny systém tvaru:

(V)\{ \begin{matrix}c_{11}x_{1}+ ⋯ + c_{1n}x_{n}= d_{1} \\ ⋯ \\ c_{n−k1}x_{1}+ ⋯ + c_{n−kn}x_{n}= d_{n−k} \end{matrix} kde c_{ij}, d_{j}∈ℝ a h ( ⋮ ... ⋮_{c_{n−k1} ··· c_{n−kn}}^{c_{11} ··· c_{1n}} ) = n−k

Jedno riešenie je: (a_{1}, ⋯, a_{n}). Potom sú riešeniami aj n -tice: (a_{1}+ b_{1}^{1}, ⋯, a_{n}+ b_{n}^{1}), ⋯, (a_{1}+ b_{k}^{1}, ⋯, a_{n}+ b_{n}^{k}). Báza je k lineárne nezávislých riešení homogénneho systému patriaceho k (V): ((b_{1}^{1}, ⋯, b_{n}^{1}), ⋯, (b_{k}^{1}, ⋯, b_{n}^{k})). (x_{1}, ⋯, x_{k})= (a_{1}, ⋯, a_{n})+ s_{1}(b_{1}^{1}, ⋯, b_{n}^{1})+ ⋯ + s_{k}(b_{1}^{k}, ⋯, b_{n}^{k})= množina bodov vyhovujúcich (P) tj. súradnice bodov z Ã_{k}.

Veta 11.8. (o všeobecnej rovnici nadroviny) Nech α= (B(α), V(α)) je nadrovina v n-rozmernom afinnom priestore A_{n}= (B_{n}, V_{n}) (s pevne zvoleným súradnicovým systémom v A_{n}.) Ak P ≡ (p_{1}, ⋯, p_{n}) je bod z α a b⃗_{1} ≡ (b_{1}^{1}, ⋯, b_{n}^{1}), ⋯, b⃗_{n−1} ≡ (b_{1}^{n−1}, ⋯, b_{n}^{n−1}) sú smerové vektory (teda tvoria bázu) priestoru V(α). Potom všeobecná rovnica nadroviny α je:

α ≡ det ( \begin{matrix}x_{1}−p_{1} & ⋯ & x_{n}−p_{n} \\ b_{1}^{1} & ⋯ & b_{n}^{1} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ b_{1}^{n−1} & ⋯ & b_{n}^{n−1} \end{matrix} ) = 0

Dôkaz. Nech X= (x_{1}, ⋯, x_{n}) je ľubovoľný bod z α. Potom (P, X)∈B(α)×B(α) jednoznačne určuje vektor \overrightarrow{P X}= V(α). Vieme, že \overrightarrow{P X} ≡ (x_{1}−p_{1}, ⋯, x_{n}−p_{n}) je lineárna kombinácia (b_{1}^{1}, ⋯, b_{n}^{1}), ⋯, (b_{1}^{n−1}, ⋯, b_{n}^{n−1}).

Preto: det ( \begin{matrix}x_{1}−p_{1} & ⋯ & x_{n}−p_{n} \\ b_{1}^{1} & ⋯ & b_{n}^{1} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ b_{1}^{n−1} & ⋯ & b_{n}^{n−1} \end{matrix} ) = 0

Obrátene:

Nech X∈B_{n}, X ≡ (x_{1}, ⋯, x_{n}) je taký bod, že det ( \begin{matrix}x_{1} −p_{1} & ··· & x_{n}−p_{n} \\ b_{1}^{1} & ··· & b_{n}^{1} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ b_{1}^{n−1} & ··· & b_{n}^{n−1} \end{matrix} ) = 0. Chceme

ukázať, že X∈B(α). Ekvivalentne máme: det ( \begin{matrix}b_{1}^{1} & ··· & b_{n}^{1} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ b_{1}^{n−1} & ··· & b_{n}^{n−1} \\ x_{1} −p_{1} & ··· & x_{n}−p_{n} \end{matrix} ) = 0. Z toho

(x_{1}−p_{1}, ⋯, x_{n}−p_{n}) je lineárna kombinácia (b_{1}^{1}, ⋯, b_{n}^{1}), ⋯, (b_{1}^{n−1}, ⋯, b_{n}^{n−1}). Teda vektor \overrightarrow{P X} je lineárnou kombináciou b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{n−1}, teda \overrightarrow{P X}∈V(α). K bodu P ∈B(α) a vektoru \overrightarrow{P X}∈V(α) existuje jediný bod X′∈B(α) taký, že \overrightarrow{P X}= \overrightarrow{P X′}. Z toho: X= X′. Teda X∈B(α).

Vzájomné polohy afinných podpriestorov.

Definícia 11.11. Nech α= (B(α), V(α)) a β= (B(β), V(β)) sú afinné podpriestory v afinnom priestore A_{n}= (B_{n}, V_{n}), dim(A_{n})= n. Potom hovoríme, že:

1. α a β sú rovnobežné (α ∥ β), ak V(α)⊂V(β) alebo V(β)⊂V(α).

2. α a β sú rôznobežné, ak B(α)∩B(β)≠ ∅ a B(α) ⊈ B(α), B(β) ⊈ B(α).

3. α a β sú mimobežné, ak B(α)∩B(β)= ∅ a V(α)∩V(β)= {0}.

Poznámka. V aspoň 4-rozmernom afinnom priestore uvedené tri nie sú všetky možné vzájomné polohy afinných podpriestorov α, β.

Príklad. A_{4}= (B_{4}, V_{4}), nech V_{4} má bázu (a⃗_{1}, a⃗_{2}, a⃗_{3}, a⃗_{4}). Zvoľme bod A∈B_{4}. Vieme, že k bodu A a vektoru a⃗_{1} ∃!B∈B_{4} : a⃗_{1}= \overrightarrow{AB}. Zoberme dve roviny α, β v A_{4} takéto: α je určené bodom A a smerovými vektormi a⃗_{2}, a⃗_{3}; β je určené bodom B a smerovými vektormi a⃗_{3}, a⃗_{4}. Potom α a β nie sú rovnobežné, lebo V(α)⊈V(β) ani V(β) ⊆ V(α); nie sú ani mimobežné, lebo {a⃗_{3}} ⊂ V(α)∩V(β)≠ {0}. Nie sú ani rôznobežné, lebo α∩β= ∅. Nech by α∩β≠ ∅. Teda existuje X∈α∩β. Potom \overrightarrow{AX}∈V(α) tj. \overrightarrow{AX}= α_{2}a⃗_{2}+ α_{3}a⃗_{3}; \overrightarrow{XB}∈V(β) tj. \overrightarrow{XB}= β_{3}a⃗_{3}+ β_{4}a⃗_{4}. Z toho: a⃗_{1}= \overrightarrow{AX}+ \overrightarrow{XB}= α_{2}a⃗_{2}+ (α_{3}+ β_{3})a⃗_{3}+ β_{4}a⃗_{4} – nemožné, lebo a⃗_{2}, a⃗_{3}, a⃗_{4}, a⃗_{1} sú lineárne nezávislé. V A_{n} pre n≥4 sú možné javy, ktoré si nevieme predstaviť. Napr. v A_{4} sú

α ≡ \{ \begin{matrix}x_{1}= 0 \\ x_{2}= 0 \end{matrix} β ≡ \{ \begin{matrix}x_{3}= 0 \\ x_{4}= 0 \end{matrix} roviny, ktoré sa pretínajú v jedinom bode: (0, 0, 0, 0).

Veta 11.9. Nech α = (B(α), V(α)) a β = (B(β), V(β)) sú afinné podpriestory v A_{n}= (B_{n}, V_{n}).

1. Ak dim(α)= dim(β), tak v prípade, že α ∥ β máme α= β alebo α∩β= ∅.

2. Ak dim(α)≠ dim(β), tak v prípade, že α ∥ β máme buď α∩β= ∅ alebo α ⊂ β alebo β ⊂ α.

Dôkaz.

1. Nech dim(α)= dim(β), α ∥ β. Predpokladajme, že α∩β≠ ∅. Teda existuje bod A∈B(α)∩B(β). Máme V(α)⊂V(β) alebo V(β)⊂V(α). Z rovnosti dimenzie V(α)= V(β). Teda α a β sú určené bodom A a tým istým smerovým priestorom V(α)= V(β) preto α= β.

2. Povedzme, že dim(α)< dim(β). α ∥ β; ak α∩β≠ ∅, tak existuje A∈B(α)∩B(β). Z toho, že α ∥ β a V(α)⊂V(β). Jasné, že α⊂β.

Veta 11.10. Nech α = (B(α), V(α)), β = (B(β), V(β)) sú afinné podpriestory v A_{n}= (B_{n}, V_{n}) nech 2≤ dim(α)≤ dim(β). Potom: α ∥ β ⇔ každá priamka v α je rovnobežná s β.

Dôkaz. ⇒ : Predpokladajme, že α ∥ β. Teda V(α)⊂V(β). Nech p= (B(p), V(p)) je ľubovoľná priamka v α. Teda B(p)⊂B(α), V(p)⊂V(α) potom V(p)⊂V (β). Z definície rovnobežnosti: p ∥ β. ⇐ : Zoberme ľubovoľný vektor a⃗∈V (α). Chceme ukázať, že a⃗∈V(β). Nech A∈B(α) je ľubovoľný bod. Potom A a a⃗ určia priamku q= (B(q), V(q)) v α; A∈B(q), V(q)= [a⃗]. Podľa terajšieho predpokladu každá priamka v α je rovnobežná s β. Teda q ∥ β tj. a⃗∈V(q)⊂V(β) a teda a⃗∈V(β). Zistili sme, že V(α)⊂V(β), teda α ∥ β.

Zmena súradníc pri zmene súradnicového systému.

\underline{V o vektorovom priestore :} Nech (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}), (a′_{1}, ⋯, a′_{n}) sú dve bázy dajakého vektorového priestoru V. Máme jednoznačné vyjadrenie: a⃗_{1}= p_{11} a′_{1}+ ⋯ + p_{1n}a′_{n} až a⃗_{n}= p_{n1}a′_{1}+ ⋯ + p_{nn}a′_{n}.

Potom P= ( ⋮ ... ⋮_{p_{n1} ··· p_{nn}}^{p_{11} ··· p_{1n}} ) sa nazýva matica prechodu od bázy (a′_{1}, ⋯, a′_{n}) k báze

(a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}). Obrátene máme jednoznačné vyjadrenie: a′_{1}= p′_{11} a⃗_{1}+ ⋯ + p′_{1n}a⃗_{n} až a′_{n}= p′_{n1}a⃗_{1}+

+ ⋯ + p′_{nn}a⃗_{n}. P′= ( ⋮ ... ⋮_{p′_{n1} ··· p′_{nn}}^{p′_{11} ··· p′_{1n}} ) je matica prechodu od bázy (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) k báze

(a′_{1}, ⋯, a′_{n}). Máme: a⃗_{i}= ∑_{j=1}^{n}p_{ij}a′_{j}, a′_{j}= ∑_{s=1}^{n}p′_{js}a⃗_{s}. Z toho: a⃗_{i}= ∑_{j=1}^{n}p_{ij}a′_{j}=

= ∑_{j=1}^{n}p_{ij} ∑_{s=1}^{n}p′_{js}a⃗_{s}= ∑_{s=1}^{n} ∑_{j=1}^{n}p_{ij}p′_{js}a⃗_{s}. Z jednoznačnosti vyjadrenia a⃗_{i} v tvare lineár-

nej kombinácie a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n} dostávame, že ∑_{j=1}^{n}p_{ij}p′_{js}= \{ \begin{matrix}1, ak i= s \\ 0, ak i≠ s \end{matrix} Teda PP′= I_{n}.

Zistili sme, že P je regulárna a P′= P^{−1}.

Veta 11.11. Matica prechodu od jednej bázy k druhej je regulárna, pričom matica opačného prechodu je k nej inverzná.

Veta 11.12. Nech (a′_{1}, ⋯, a′_{n}) je báza priestoru V a matica P= (p_{ij})∈𝔐_{nn}(ℝ) je regulárna. Definujme vektory a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n} takto: a⃗_{1}= p_{11} a′_{1}+ ⋯ + p_{1n}a′_{n} až a⃗_{n}= p_{n1}a′_{1}+ ⋯ + p_{nn}a′_{n}. Potom (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) je báza priestoru V.

Dôkaz. Vzhľadom na to, že vieme dim(V)= n, stačí dokázať, že a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n} sú lineárne nezávislé. Nech α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{n}a⃗_{n}= 0. Chceme ukázať, že ∀i : α_{i}= 0. Máme: α_{1}(p_{11} a′_{1}+ ⋯ + p_{1n}a′_{n}) + ⋯ + α_{n}(p_{n1}a′_{1}+ ⋯ + p_{nn}a′_{n})= 0. (α_{1}p_{11}+ ⋯ + α_{n}p_{n1})a′_{1} + ⋯ + (α_{1}p_{1n}+ ⋯ + α_{n}p_{nn})a′_{n}= 0. Ale (a′_{1}, ⋯, a′_{n}) je báza, preto:

(∗)\{ \begin{matrix}α_{1}p_{11}+ ⋯ + α_{n}p_{n1}= 0 \\ ⋯ \\ α_{1}p_{1n}+ ⋯ + α_{n}p_{nn}= 0 \end{matrix} Matica systému je: P^{T}= ( \begin{matrix}p_{11} & ⋯ & p_{n1} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ p_{1n} & ⋯ & p_{nn} \end{matrix} )

Pretože h(P^{T})= h(P) a P je podľa predpokladu regulárna, je aj P^{T} regulárna. Preto (∗) má iba nulové riešenie, tj. α_{1}= ⋯ = α_{n}= 0.

Zmena súradníc vektora.

Vo V majme dve bázy (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) a (a′_{1}, ⋯, a′_{n}). Nech x⃗∈V je ľubovoľný vektor, nech x⃗ ≡ (x_{1}, ⋯, x_{n}) vzhľadom na (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) a x⃗ ≡ (x′_{1}, ⋯, x′_{n}) vzhľadom na (a′_{1}, ⋯, a′_{n}). Aký je vzťah medzi (x_{1}, ⋯, x_{n}) a (x′_{1}, ⋯, x′_{n})? Nech P= (p_{ij}) je matica prechodu od (a′_{1}, ⋯, a′_{n}) k (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}). Máme vlastne:

x⃗= ∑_{i=1}^{n}x_{i}a⃗_{i}= ∑_{i=1}^{n}x′_{i}a′_{i}. Vieme, že a⃗_{i}= ∑_{j=1}^{n}p_{ij}a′_{j}. Z toho: ∑_{i=1}^{n}x_{i} ∑_{j=1}^{n}p_{ij}a′_{j}=

= ∑_{i=1}^{n}x′_{i}a⃗′_{i} ⇔ ∑_{j=1}^{n}(∑_{i=1}^{n}x_{i}p_{ij}) a′_{j}= ∑_{j=1}^{n}x′_{j}a′_{j}. Z jednoznačnosti vyjadrenia vyplýva,

že x′_{j}= ∑_{i=1}^{n}x_{i}p_{ij} ⇒ (x′_{1}, ⋯, x′_{n})= (x_{1}, ⋯, x_{n})·P. Stručnejšie: X= (x_{1}, ⋯, x_{n}) a

X′= (x′_{1}, ⋯, x′_{n}) ⇒ X′= XP ⇒ X= X′P^{−1}= X′P′.

\underline{V afinnom priestore}: Súradnicový systém (O, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) v n-rozmernom afinnom priestore A_{n}= (B_{n}, V_{n}), kde O∈B_{n} a (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) je báza vo V_{n}. Iný súradnicový systém v A_{n}: (O′, a′_{1}, ⋯, a′_{n}). Aký je vzťah medzi súradnicami vektora resp. bodu vzhľadom na prvý a druhý súradnicový systém v A_{n}. Pre vektory je to jasné: súradnice sú v takom vzťahu, ako sme to opísali vyššie vo vektorovom priestore. tj. ak x⃗∈V_{n}, x⃗ ≡ (x_{1}, ⋯, x_{n}) v súradnicovom systéme (O, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}); x⃗ ≡ (x′_{1}, ⋯, x′_{n}) v (O′, a′_{1}, ⋯, a′_{n}), tak (x′_{1}, ⋯, x′_{n})= (x_{1}, ⋯, x_{n})P, kde P je matica prechodu od (a′_{1}, ⋯, a′_{n}) k (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}). \underline{P re body :} 1.krok: O= O′. (Zmenia sa len bázy vo V_{n}). Súradnice bodu X sa rovnajú súradnice polohového vektora \overrightarrow{OX_{i}}. Vzťah medzi súradnicami v (O, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) a v systéme (O, a′_{1}, ⋯, a′_{n}) je určený vzťahom X′= XP, kde P je matica prechodu od ”čiarkovanej” k ”nečiarkovanej”. 2.krok: Zmeníme len začiatok, tj. od súradnicového systému (O, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) prejdeme k (O′, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}). Nech O má v ”novom” súradnicovom systéme (O′, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) súradnice (b_{1}, ⋯, b_{n}). Teda \overrightarrow{O′O}= b_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + b_{n}a⃗_{n}. Bod X≡(x_{1}, ⋯, x_{n}) v súradnicovom systéme (O, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) a X≡(x′_{1}, ⋯, x′_{n}) v ”novom”

(O′, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) ⇒ \overrightarrow{OX}= ∑_{i=1}^{n}x_{i}a⃗_{i}; ∑_{i=1}^{n}x′_{i}a⃗_{i}= \overrightarrow{O′X}.

Aký je vzťah medzi (x_{1}, ⋯, x_{n}) a (x′_{1}, ⋯, x′_{n}) ?

Máme \overrightarrow{O′X}= ∑_{i=1}^{n}x′_{i}a⃗_{i}= \overrightarrow{O′O}+ \overrightarrow{OX} ⇒ ∑_{i=1}^{n}x′_{i}a⃗_{i}= ∑_{i=1}^{n}b_{i}a⃗_{i}+ ∑_{i=1}^{n}x_{i}a⃗_{i}= ∑_{i=1}^{n}(x_{i}+ b_{i})a⃗_{i}.

Teda: (x′_{1}, ⋯, x′_{n})= (x_{1}, ⋯, x_{n})+ (b_{1}, ⋯, b_{n}). X′= X+ B. \underline{V šeobecne}: spojením týchto dvoch krokov dostaneme prechod od (O, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) k (O′, a′_{1}, ⋯, a′_{n}). Zmena súradníc potom je zložením dvoch čiastkových zmien. Nech X= (x_{1}, ⋯, x_{n}) súradnice bodu z B_{n} v súradnicovom systéme (O, a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}); a nech X′= (x′_{1}, ⋯, x′_{n}) sú jeho súradnice v súradnicovom systéme (O′, a′_{1}, ⋯, a′_{n}). Nech P je matica prechodu od (a′_{1}, ⋯, a′_{n}) k (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}). Nech B= (b_{1}, ⋯, b_{n}) sú súradnice bodu O v (O′, a′_{1}, ⋯, a′_{n}). Potom platí: X′= XP+ B.

Orientácia reálneho vektorového resp. afinného priestoru.

Orientácia reálneho vektorového priestoru:

Definícia 11.12. Nech U je množina všetkých báz n-rozmerného reálneho vektorového priestoru V.Potom povieme, že dve bázy (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n}) a (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{n}) sú v relácii ∼ zapíšeme (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n})∼(w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{n}), ak matica prechodu od (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n}) k (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{n}) má kladný detetrminant.

Tvrdenie 11.3. ∼ je relácia ekvivalencie na U.

Dôkaz. Reflexivita: (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n}) ∼ (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n}) pre ľubovoľnú (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n})∈U, lebo matica prechodu je I_{n} a det(I_{n})= 1. Symetrickosť: nech (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n})∼(w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{n}). Matica prechodu od (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n}) k (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{n}) nech je P. Vieme, že P∈𝔐_{nn}(ℝ) je regulárna, z tohto det(P)>0. Matica prechodu od (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{n}) k (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n}) je P^{−1}. Ale det(PP^{−1})= det(P) det(P^{−1}) ⇒ det(P^{−1})>0. Teda (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{n}) ∼

(v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n}). Tranzitívnosť: Nech (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n}) ∼^{P} (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{n}), (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{n}) ∼^{Q}

(z⃗_{1}, ⋯, z⃗_{n}). Chceme ukázať, že (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n}) ∼ (z⃗_{1}, ⋯, z⃗_{n}). Nech P= (p_{ij}),

Q= (q_{ij})∈𝔐_{nn}(ℝ). Máme w⃗_{i}= ∑_{j=1}^{n}p_{ij}v⃗_{i} pre i= 1, ⋯, n a z⃗_{k}= ∑_{i=1}^{n}q_{ki}w⃗_{i}

pre k= 1, ⋯, n. Z toho: z⃗_{k}= ∑_{i=1}^{n}q_{ki} ∑_{j=1}^{n}p_{ij}v⃗_{j}= ∑_{j=1}^{n}(∑_{i=1}^{n}q_{ki}p_{ij}) v⃗_{i}. V zátvorke

je prvok i-teho riadku a j-teho stĺpca matice QP. Teda matica prechodu od (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n}) k (z⃗_{1}, ⋯, z⃗_{n}) je QP. Potom det(QP)= det(Q) det(P)>0. U sa rozloží na triedy ekvivalencie vzhľadom na ∼. Budú dve triedy ekvivalencie.

Definícia 11.13. Vektorový priestor V orientujeme tým, že jednu z dvoch tried ekvivalencie U_{1}, U_{2} vyhlásime za kladnú (privilegovanú). Urobíme to tak, že jednu bázu priestoru V vyhlásime za kladnú. Potom kladnú triedu báz tvoria práve tie, ktoré sú v ∼ s touto kladnou bázou.

Príklad. ℝ^{n} štandardne orientujeme tak, že za kladnú vyhlásime štandardnú bázu: (e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n}).

Veta 11.13. Nech (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n}) je báza reálneho vektorového priestoru V, nech π∈S_{{1,··· ,n}}. Potom báza (v⃗_{π(1)}, ⋯, v⃗_{π(n)}) je ekvivalentná s pôvodnou bázou práve vtedy, keď je permutácia párna.

Dôkaz. Nech napr. π= ( \begin{matrix}1 & 2 & ··· & n \\ 2 & 1 & ··· & n \end{matrix} ). Potom (v⃗_{π(1)}, ⋯, v⃗_{π(n)}) je (v⃗_{2}, v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n}).

Máme: v⃗_{2}= 0v⃗_{1}+ 1v⃗_{2}+ ⋯ + 0v⃗_{n}; v⃗_{1}= 1v⃗_{1}+ 0v⃗_{2}+ ⋯ + 0v⃗_{n} až v⃗_{n}= 0v⃗_{1}+ ⋯ + 1v⃗_{n}. Potom matica prechodu je:

( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & 1 \end{matrix} )

Matica prechodu od (v⃗_{1}, v⃗_{2}, ⋯, v⃗_{n}) k (v⃗_{π(1)}, v⃗_{π(2)}, ⋯, v⃗_{π(n)}) vznikne z I_{n} tak, že jej riadky permutujeme podľa π. Potom determinant matice prechodu je (−1)^{s(π)}, kde s(π) je počet inverzií v π. Teda je kladný práve vtedy, keď π má párny počet inverzií.

Orientácia afinného priestoru:

Definícia 11.14. Nech A_{n}= (B_{n}, V_{n}) je (reálny) afinný priestor. A_{n} orientujeme tak, že orientujeme vektorový priestor V_{n}.

Afinno-euklidovské priestory.

Definícia 11.15. Afinný priestor A= (B, V) sa nazýva afinno-euklidovský priestor, ak V (s pevne zvoleným skalárnym súčinom) je euklidovský priestor.

Príklad. (ℝ^{n}, ℝ^{n}) so štandardným skalárnym súčinom je afinno- euklidovský priestor.

Definícia 11.16. Nech A= (B, V) je afinno-euklidovský priestor, pričom nech ⟨ , ⟩ je skalárny súčin na V. Ak A, B∈B_{n} sú dva body, tak ich vzdialenosť (označíme ju

ρ(A, B)) definujeme ako ρ(A, B)= |\overrightarrow{AB}|= \sqrt{⟨\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AB}⟩}.

Veta 11.14. Nech A= (B, V) je afinno-euklidovský priestor, potom ρ(A, B)≥0 pre všetky A, B∈B.

1. ρ(A, B)= ρ(B, A).

2. ρ(A, B)= 0 ⇔ A= B.

3. ρ(A, B)+ ρ(B, C)≥ρ(A, C). (trojuholníkova nerovnosť)

Dôkaz. ρ(A, B)≥0 jasné.

1. ρ(A, B)= |\overrightarrow{AB}|= | − \overrightarrow{BA}|= |\overrightarrow{BA}|= ρ(B, A).

2. ρ(A, B)= 0 ⇔ |\overrightarrow{AB}|= 0 ⇔ A= B.

3. ρ(A, C)= |\overrightarrow{AC}|= |\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}|≤|\overrightarrow{AB}|+ |\overrightarrow{BC}|= ρ(A, B)+ ρ(B, C).

Poznámka. Definovaním vzdialenosti medzi bodmi v afinno-euklidovskom priestore A= (B, V) sme vlastne definovali zobrazenie ρ : B×B→ℝ s vlastnosťami z predchádzajúcej vety. ρ je tzv. metrika na B; B je teda metrický priestor.

V ďaľšom budeme uvažovať o n-rozmernom afinno-euklidovskom priestore s pevne zvoleným súradnicovým systémom: (O, e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n}), kde O je bod toho priestoru a (e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n}) je pevne zvolená ortonormálna báza vektorovej zložky tohto priestoru. Tento afinno-euklidovský priestor budeme označovať 𝔼^{n}. Súradnicový systém (O, e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n}) taký, že (e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n}) je ortonormálna báza sa nazýva karteziánsky. Pretože báza vo V_{n} je ortonormálna, pre vektory x⃗= x_{1}e⃗_{1}+ ⋯ + x_{n}e⃗_{n} a y⃗= y_{1}e⃗_{1}+ + ⋯ + y_{n}e⃗_{n} ich skalárny súčin je x_{1}y_{1}+ ⋯ + x_{n}y_{n}. x⃗≡(x_{1}, ⋯, x_{n}) a y⃗≡(y_{1}, ⋯, y_{n}). ⟨x, y⟩= x_{1}y_{1}+ ⋯ + x_{n}y_{n}.

Veta 11.15. Nech A, B sú dva body v 𝔼^{n} pričom A má súradnice (a_{1}, ⋯, a_{n}), B má súradnice (b_{1}, ⋯, b_{n}). Potom ρ(A, B)= \sqrt{(a_{1}−b_{1})^{2}+ ⋯ + (a_{n}−b_{n})^{2}}.

Dôkaz. \overrightarrow{AB} ≡ (b_{1}−a_{1}, ⋯, b_{n}−a_{n}). \overrightarrow{AB} = (b_{1}−a_{1})e⃗_{1} + ⋯ + (b_{n}−a_{n})e⃗_{n}, kde (e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n}) je ortonormálna báza. ⟨\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AB}⟩= (b_{1}−a_{1})^{2}+ ⋯ + (b_{n}−a_{n})^{2}= |\overrightarrow{AB}|=

= \sqrt{⟨\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AB}⟩}= \sqrt{(b_{1}−a_{1})^{2}+ ⋯ + (b_{n}−a_{n})^{2}}= ρ(A, B).

Kolmosť vektora na afinný podpriestor.

Definícia 11.17. Nech 𝔼^{n}= (B_{n}, V_{n}). Hovoríme, že vektor a⃗∈𝔼^{n} je kolmý na afinný podpriestor α= (B(α), V (α)) priestoru 𝔼^{n} ak a⃗⊥x⃗ pre všetky x⃗∈V (α). (teda a⃗∈V (α)^{⊥}).

Veta 11.16 a Definícia 11.18. Nech α≡a_{1}x_{1}+ ⋯ + a_{n}x_{n}= 0 je nadrovina v 𝔼^{n}. Potom vektor n⃗≡(a_{1}, ⋯, a_{n}) je kolmý na α. Vektor n⃗ sa nazýva normálový vektor nadroviny α.

Dôkaz. Nech x⃗∈V (α) je ľubovoľný vektor. Nech X≡(x_{1}, ⋯, x_{n}) je ľubovoľný bod z α. Vieme, že existuje jediný bod Y ≡(y_{1}, ⋯, y_{n})∈α taký, že x⃗= \overrightarrow{XY}. Pritom súradnice \overrightarrow{XY}= (y_{1}−x_{1}, ⋯, y_{n}−x_{n}). Máme, keďže X, Y ∈α: a_{1}x_{1}+ ⋯ + a_{n}x_{n}= 0 a a_{1}y_{1}+ ⋯ + a_{n}y_{n}= 0. Potom a_{1}(y_{1}−x_{1}) + ⋯ + a_{n}(y_{n}−x_{n}) = 0. Teda ⟨n⃗, \overrightarrow{XY}⟩= = ⟨n⃗, x⃗⟩= 0 tj. n⃗ je kolmý na ľubovoľný vektor z V (α). Pre ľubovoľné c∈ℝ máme ⟨cn⃗, x⃗⟩= c⟨n⃗, x⃗⟩= 0.

Veta 11.17. Rovnica nadroviny α∈𝔼^{n} obsahujúcej bod B≡(b_{1}, ⋯, b_{n}) a majúce normálový vektor n⃗≡(c_{1}, ⋯, c_{n}) je α ≡ c_{1}(x_{1}−b_{1})+ ⋯ + c_{n}(x_{n}−b_{n})= 0.

Dôkaz. Nech X≡(x_{1}, ⋯, x_{n})∈𝔼^{n} je ľubovoľný bod z α. Potom \overrightarrow{BX}∈V (α). Pritom: n⃗⊥\overrightarrow{BX} teda ⟨n⃗, \overrightarrow{BX}⟩= 0. n⃗≡(c_{1}, ⋯, c_{n}), \overrightarrow{BX}≡(x_{1}−b_{1}, ⋯, x_{n}−b_{n}). Teda musí platiť c_{1}(x_{1}−b_{1})+ ⋯ + c_{n}(b_{n}−x_{n})= 0. Vieme, že nadrovina je určená jednou lineárnou rovnicou, teda c_{1}(x_{1}−b_{1})+ ⋯ + c_{n}(x_{n}−b_{n})= 0 je rovnica nadroviny α.

Kolmosť afinných podpriestorov.

Definícia 11.19. Nech α= (B(α), V (α)), β= (B(β), V (β)) sú dva afinné podpriestory v 𝔼^{n}. Hovoríme, že podpriestor α je kolmý na β, ak V (α)⊂V (β)^{⊥}. (teda každý smerový vektor podpriestoru α je kolmý na každý smerový vektor podpriestoru β.) Ak je táto podmienka splnená, napíšeme α⊥β.

Tvrdenie 11.4. Ak α⊥β, tak β⊥α. (môžeme povedať, že α a β sú navzájom kolmé.)

Dôkaz. Nech α⊥β. Teda V (α)⊂V (β)^{⊥}. Ale potom (V (β)^{⊥})^{⊥}⊂V (α)^{⊥} ⇔ ⇔ V (β)⊂V (α)^{⊥} ⇔ β⊥α. Roviny O_{xy}, O_{yz} v 𝔼^{3} nie sú na seba kolmé v zmysle našej definície. Lebo V (α)⊂V (β)^{⊥}, lebo dim(V (α))= 2, dim(V (β)^{⊥})= 1. Teda podľa našej definície: O_{xy} nie je kolmý na O_{yz}.

Veta 11.18. Nech α= (B(α), V (α)), β= (B(β), V (β)) sú dva afinné podpriestory v 𝔼^{n}. Ak α⊥β, tak dim(α)+ dim(β)≤n.

Dôkaz. Nech α⊥β, teda V (α)⊂V (β)^{⊥}. V (β)⊕V (β)^{⊥}= V (n); kde 𝔼^{n}= (B_{n}, V_{n}). Môžeme predpokladať, že dim(α)≤ dim(β). V (α)⊕V (β)⊂V (β) ⊕ V (β)^{⊥}= V (n) ⇒ dim(V (α)⊕V (β))= dim(α)+ dim(β)≤ dim(V (n))= n.

Tvrdenie 11.5. Nech α= (B(α), V (α)), β= (B(β), V (β)) sú dva afinné podpriestory v 𝔼^{n}. Ak α∩β≠ ∅ a α⊥β, tak α∩β pozostáva z jediného bodu.

Dôkaz. Nech α⊥β. Teda V (α)⊂V (β)^{⊥}. Nech α∩β= B(α)∩B(β)≠ ∅. Nech P, Q sú dva body z B(α)∩B(β). Potom \overrightarrow{P Q}∈V (α)∩V (β)⊂V (β)∩V (β)^{⊥}= \{0\}. Z čoho: \overrightarrow{P Q}= 0 a preto P = Q.

Veta 11.19. Nech α= (B(α), V (α)) je k-rozmerný (k≤n). Afinný podpriestor v 𝔼^{n}. Potom pre ľubovoľný daný bod A∈𝔼^{n} existuje jediný (n−k)-rozmerný afinný podpriestor v 𝔼^{n} obsahujúci bod A. Tento podpriestor označíme Π_{α}^{⊥}(A), a nazýva sa kolmopremietací afinný podpriestor bodu A do α.

Dôkaz. Nech A≡(a_{1}, ⋯, a_{n}) a vo V (α)^{⊥} zvoľme bázu (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{n−k}), kde w⃗_{1}= = (w_{1}^{1}, ⋯, w_{n}^{1}) až w⃗_{n−k}= (w_{1}^{n−k}, ⋯, w_{n}^{n−k}) Potom podpriestor

γ= \{ \begin{matrix}x_{1}= a_{1}+ w_{1}^{1}t_{1}+ ⋯ + w_{1}^{n−k} \\ ⋯ \\ x_{n}= a_{n}+ w_{n}^{1}t_{1}+ ⋯ + w_{n}^{n−k}t_{n−k} \end{matrix} má dimenziu n−k a je kolmý na α.

(V (γ)= [w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{n−k}]= V (α)^{⊥}). Tým sme ukázali existenciu takého podpriestoru ako sa tvrdí vo vete. Jednoznačnosť: Nech δ= (B(δ), V (δ)) je (iný) (n−k)-rozmerný afinný podpriestor v 𝔼^{n}, kolmý na α obsahujúci bod A. Potom V (δ)⊂V (α)^{⊥}. Ale dim(V (δ))= n−k, dim(V (α)^{⊥})= n−k. Teda musí: V (δ)= V (α)^{⊥}. Tj. V (δ)= V (γ). Pretože A∈B(δ), A∈B(γ) musí byť δ= γ.

Veta 11.20. Nech α= (B(α), V (α)) je k-rozmerný afinný podpriestor v 𝔼^{n}. Potom Π_{α}^{⊥}(A)∩α pozostáva z jediného bodu, označíme ho A^{⊥} a nazývame ho kolmý priemet bodu A do afinného podpriestoru α.

Dôkaz. A≡(a_{1}, ⋯, a_{n}); nech (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{n}) je ortonormálna báza priestoru V (α), pričom v⃗_{1}= (v_{1}^{1}, ⋯, v_{n}^{1}) až v⃗_{k}= (v_{1}^{k}, ⋯, v_{n}^{k}). Vieme, že V (Π_{α}^{⊥}(A))= V (α)^{⊥}. Nech (z⃗_{1}, ⋯, z⃗_{n−k}) je ortonormálna báza priestoru V (α)^{⊥}, pričom z⃗_{1}= (z_{1}^{1}, ⋯, z_{n}^{1}) až z⃗_{n−k}= (z_{1}^{n−k}, ⋯, z_{n}^{n−k}). Nech B∈Π_{α}^{⊥}(A), B≡(b_{1}, ⋯, b_{n}). Potom

α≡\{ \begin{matrix}x_{1}= a_{1}+ v_{1}^{1}t_{1}+ ⋯ + v_{n}^{1}t_{1} \\ ⋯ \\ x_{n}= a_{n}+ v_{n}^{1}t_{1}+ ⋯ + v_{n}^{k}t_{k} \end{matrix} Π_{α}^{⊥}(A)≡\{ \begin{matrix}x_{1}= b_{1}+ z_{1}^{1}s_{1}+ ⋯ + z_{1}^{n−k}s_{n−k} \\ ⋯ \\ x_{n}= b_{n}+ z_{n}^{1}s_{1}+ ⋯ + z_{n}^{n−k}s_{n−k} \end{matrix}

Bod X≡(x_{1}, ⋯, x_{n})∈Π_{α}^{⊥}(A)∩α spĺňa:

\{ \begin{matrix}a_{1}+ v_{1}^{1}t_{1}+ ⋯ + v_{1}^{k}t_{k}= b_{1}+ z_{1}^{1}s_{1}+ ⋯ + z_{1}^{n−k}s_{n−k} \\ ⋯ \\ a_{n}+ v_{n}^{1}t_{1}+ ⋯ + v_{n}^{k}t_{k}= b_{n}+ z_{n}^{1}s_{1}+ ⋯ + z_{n}^{n−k}s_{n−k} \end{matrix}

pre dajaké t_{i}, s_{i}∈ℝ. Teda (t_{1}, ⋯, t_{n}, s_{1}, ⋯, s_{n−k}) spĺňa:

(∗)\{ \begin{matrix}v_{1}^{1}t_{1}+ ⋯ + v_{1}^{k}t_{k}−z_{1}^{1}s_{1}− ⋯ −z_{1}^{n−k}s_{n−k}= b_{1}−a_{1} \\ ⋯ \\ v_{n}^{1}t_{1}+ ⋯ + v_{n}^{k}t_{k}−z_{n}^{1}s_{1}− ⋯ −z_{n}^{n−k}s_{n−k}= b_{n}−a_{n} \end{matrix}

Teda X∈α∩Π_{α}^{⊥}(A) ⇔ systém (*) je riešiteľný. Matica systému má n lineárne nezávislých riadkov, teda jej hodnosť je n. Teda (∗) má práve jedno riešenie.

Vzdialenosť afinných podpriestorov.

Definícia 11.20. Nech α, β sú dva afinné podpriestory v 𝔼^{n}. Vzdialenosť α od β definujeme ako nezáporné reálne číslo ρ(α, β):= inf{ρ(X, Y); X∈A, Y ∈B}.

Veta 11.21. Nech A∈𝔼^{n} je bod a nech α= (B(α), V (α)) je afinný podpriestor v 𝔼^{n}. Potom ρ(A, α)= ρ(A, A^{⊥}).

Dôkaz. ρ(A, α)= inf{ρ(A, X), X∈α} a ρ(A, A^{⊥})∈{ρ(A, X), X∈α}, teda ρ(A, α)≤ ≤ρ(A, A^{⊥}). Ukážeme, že ρ(A, A^{⊥}) je dolným ohraničením množiny {ρ(A, X); X∈α} Z toho: ρ(A, A^{⊥})≤ρ(A, α)= inf{ρ(A, X), X∈α} keďže inf je najväčšie dolné ohraničenie. Rátajme: ρ(A, A^{⊥})^{2}= |\overrightarrow{AA^{⊥}}|^{2}; ρ(A, X)^{2}= |\overrightarrow{AX}|^{2}= |\overrightarrow{AA^{⊥}}+ \overrightarrow{A^{⊥}X}|^{2} = = ⟨\overrightarrow{AA^{⊥}}+ \overrightarrow{A^{⊥}X}, \overrightarrow{AA^{⊥}}+ \overrightarrow{A^{⊥}X}⟩ = ⟨\overrightarrow{AA^{⊥}}, \overrightarrow{AA^{⊥}}⟩+ 2⟨\overrightarrow{AA^{⊥}}, \overrightarrow{A^{⊥}X}⟩+ ⟨\overrightarrow{A^{⊥}X}, \overrightarrow{A^{⊥}X}⟩= = ρ(AA^{⊥})^{2}+ 2·0+ ρ(A^{⊥}X)^{2}. Z toho: ρ(A, X)^{2}≥ρ(A, A^{⊥}) preto ρ(A, X)≥ρ(A, A^{⊥}). Teda naozaj ρ(A, A^{⊥}) je dolným ohraničením.

Vzdialenosť rovnobežných afinných podpriestorov.

Veta 11.22. Nech α= (B(α), V (α)), β= (B(β), V (β)) sú rovnobežné afinné podpriestory v 𝔼^{n}. Nech dim(α)≤ dim(β). Potom ρ(α, β)= ρ(A, β)= ρ(A, A^{⊥}).

Dôkaz. Z definície ρ(α, β)= inf{ρ(X, Y); X∈α, Y ∈β}. ρ(A, A^{⊥})∈{ρ(X, Y), X∈α, Y ∈β}, a preto ρ(α, β)≤ρ(A, A^{⊥}). Aby sme dokázali obrátenú nerovnosť ukážeme, že ρ(A, A^{⊥}) je tiež dolným ohraničením množiny {ρ(X, Y)}. Z toho potom dostaneme ρ(A, A^{⊥})≤ρ(α, β). Pre ľubovoľný X∈α existuje jediný vektor \overrightarrow{AX}∈V (α). Ale α ∥ β a preto \overrightarrow{AX}∈V (β). Pretože A^{⊥} a \overrightarrow{AX}∈V (β) existuje jediný bod Z∈β: \overrightarrow{AX}= \overrightarrow{A^{⊥}Z}. \overrightarrow{AA^{⊥}}= \overrightarrow{AX}+ \overrightarrow{XA^{⊥}}. Ale \overrightarrow{AX}= \overrightarrow{A^{⊥}Z}. Z toho: \overrightarrow{AA^{⊥}}= \overrightarrow{A^{⊥}Z}+ \overrightarrow{XA^{⊥}}= = \overrightarrow{XA^{⊥}}+ \overrightarrow{A^{⊥}Z}= \overrightarrow{XZ}∈V (β)^{⊥}= Π_{β}^{⊥}(X). Máme Z∈β∩Π_{β}^{⊥}(X)= \{X^{⊥}\}. Preto Z= X^{⊥}

a teda \overrightarrow{AA^{⊥}}= \overrightarrow{XX^{⊥}} pre ľubovoľný bod X∈α. Pre ľubovoľný X∈α, Y ∈β máme ρ(X, Y)= |\overrightarrow{XY}|= |\overrightarrow{XA^{⊥}}+ \overrightarrow{A^{⊥}Y}|. ρ(A, A^{⊥})= ρ(X, X^{⊥}) pre ľubovoľný bod X∈α. Pre ľubovoľné X∈α, Y ∈β máme ρ(X, Y)= |\overrightarrow{XY}|= |\overrightarrow{XA^{⊥}}+ \overrightarrow{A^{⊥}Y}|. ρ(A, A^{⊥})= ρ(X, X^{⊥})= = ρ(X, β)≤ρ(X, Y) pre ľubovoľné Y ∈β, X∈α. ρ(A, A^{⊥})≤ρ(X, Y) ,teda ρ(A, A^{⊥}) je dolným ohraničením množiny {ρ(X, Y), X∈α, Y ∈β}.

Príklad. Určte vzdialenosť bodu P ≡(p_{1}, ⋯, p_{n}) v 𝔼^{n} od nadroviny α ≡ α_{1}x_{1} + ⋯ + α_{n}x_{n} + a_{0} = 0. Riešenie: Π_{α}^{⊥}(P) je priamka, jej smerový vektor je vlastne normálový vektor nadro-

viny α, tj. n⃗ ≡ (a_{1}, ⋯, a_{n}). Π_{α}^{⊥}(P) = \{ \begin{matrix}x_{1} = p_{1} + a_{1}t \\ ⋯ \\ x_{n} = p_{n} + a_{n}t \end{matrix}

Určíme jediný bod P^{⊥} = Π_{α}^{⊥}(P)∩α. a_{1}(p_{1}+ a_{1}t)+ ⋯ + a_{n}(p_{n}+ a_{n}t)+ a_{0}= 0 ⇔

⇔ a_{0}+ a_{1}p_{1}+ ⋯ + a_{n}p_{n}+ t(a_{1}^{2}+ ⋯ + a_{n}^{2})= 0. Z toho: t= − \frac{a_{1}p_{1}+ ⋯ + a_{n}p_{n}+ a_{0}}{a_{1}^{2}+ ⋯ + a_{n}^{2}} .

ρ(P, α)= |P P^{⊥}|= |(−a_{1} \frac{a_{1}p_{1}+ ⋯ + a_{n}p_{n}+ a_{0}}{a_{1}^{2}+ ⋯ + a_{n}^{2}} , ⋯, −a_{n} \frac{a_{1}p_{1}+ ⋯ + a_{n}p_{n}+ a_{0}}{a_{1}^{2}+ ⋯ + a_{n}^{2}} )|=

= \sqrt{\frac{(a_{1}p_{1}+ ⋯ + a_{n}p_{n}+ a_{0})^{2}}{(a_{1}^{2}+ ⋯ + a_{n}^{2})^{2}} ·(a_{1}^{2}+ ⋯ + a_{n}^{2})}= \frac{|a_{1}p_{1}+ ⋯ + a_{n}p_{n}+ a_{0}|}{\sqrt{a_{1}^{2}+ ⋯ + a_{n}^{2}}}.

Teda: ρ(P, α)= \frac{|a_{1}p_{1}+ ⋯ + a_{n}p_{n}+ a_{0}|}{\sqrt{a_{1}^{2}+ ⋯ + a_{n}^{2}}}.

Vzdialenosť rovnobežných afinných podpriestorov.

Veta 11.23. Nech α≡a_{1}x_{1}+ ⋯ + a_{n}x_{n}+ x_{0}= 0 a β≡b_{1}x_{1}+ ⋯ + b_{n}x_{n}+ b_{0}= 0 sú dve

rovnobežné nadroviny v 𝔼^{n}. Potom ρ(α, β)= \frac{|b_{0}−a_{0}|}{\sqrt{a_{1}^{2}+ ⋯ + a_{n}^{2}}} .

Dôkaz. Z vety 11.22 máme: ρ(α, β)= ρ(P, β), kde P ≡(p_{1}, ⋯, p_{n}) je ľubovoľný bod

z α. Z príkladu vieme, že ρ(P, β)= \frac{|a_{1}p_{1}+ ⋯ + a_{n}p_{n}+ b_{0}|}{\sqrt{a_{1}^{2}+ ⋯ + a_{n}^{2}}}= \frac{|−a_{0}+ b_{0}|}{\sqrt{a_{1}^{2}+ ⋯ + a_{n}^{2}}} .

Vzdialenosť dvoch mimobežných afinných podpriestorov.

Veta 11.24. Nech α= (B(α), V (α)), β= (B(β), V (β)) sú mimobežné afinné podpriestory v 𝔼^{n}. Teda B(α)∩B(β)= ∅ a V (α)∩V (β)= {0}. Potom existuje bod P ∈α a Q∈β také, že \overrightarrow{P Q}∈V (α)^{⊥}∩V (β)^{⊥} a platí: ρ(α, β)= ρ(P, Q). (Priamka určená bodmi P, Q je tzv. stredná priečka afinných podpriestorov α, β.)

Dôkaz. Nech X∈α, Y ∈β sú ľubovoľné. Potom \overrightarrow{XY} ∉ V (α)⊕V (β). Keby áno, tak by \overrightarrow{XY}= a⃗+ b⃗ pre jednoznačne určené a⃗∈V (α), b⃗∈V (β). Potom existuje jediný bod Z∈α: a⃗= \overrightarrow{XZ} a jediný bod W ∈β: \overrightarrow{W Y}= b⃗. Teda: \overrightarrow{XY}= \overrightarrow{XZ}+ \overrightarrow{W Y}, ale zároveň \overrightarrow{XY}= \overrightarrow{XZ}+ \overrightarrow{ZW}+ \overrightarrow{W Y}, teda \overrightarrow{ZW}= 0, čo je ekvivalentný s tým, že Z= W. Teda Z= W ∈α∩β= ∅ (keďže α, β sú mimobežné). Spor. Nech γ je afinný podpriestor určený bodom X, pričom V (γ)= V (α)⊕V (β). Nech γ′ je afinný podprestor určený bodom X a taký, že V (γ′)= V (α)⊕V (β)⊕[\overrightarrow{XY}]. Keďže [\overrightarrow{XY}] ∉ V (α)⊕V (β), dim(γ′)− dim(γ)= 1, a teda (máme γ⊂γ′) γ je nadrovinou v γ′. Nech n⃗ nenulový je normálový vektor nadroviny γ v γ′. Teda n⃗∈V (γ)^{⊥}= (V (α)⊕ ⊕V (β))^{⊥}= V (α)^{⊥}∩V (β)^{⊥}. Nech teraz (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{k}) je dajaká ortogonálna báza vo V (α), nech (b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{j}) je ortogonálna báza vo V (β). Potom vektory a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{k}, b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{j}, n⃗ sú lineárne nezávislé a teda tvoria bázu vo V (γ′). Pretože \overrightarrow{XY}∈V (γ′), máme \overrightarrow{XY}= α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{k}a⃗_{k}+ β_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + β_{j}b⃗_{j}+ δn⃗ pre jednoznačne určené α_{1}, ⋯, α_{k}, β_{1}, ⋯, β_{j}, δ∈ℝ. Potom δ≠ 0, lebo \overrightarrow{XY}∉V (α)⊕V (β). Označme P ten jediný bod z α, pre ktorý α_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + α_{k}a⃗_{k}= \overrightarrow{XP}, označme Q ten jediný bod z β, pre ktorý β_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + β_{j}b⃗_{j}= \overrightarrow{QY}. Teda máme, že \overrightarrow{XY}= \overrightarrow{XP}+ \overrightarrow{P Q}+ \overrightarrow{QY}. Teda \overrightarrow{P Q}= γn⃗. Keďže \overrightarrow{P Q}∈V (α)^{⊥}∩V (β)^{⊥}, tak priamka, ktorá prechádza bodmi P, Q je kolmá na α aj β a pretína α v P a β v Q. Ešte treba ukázať, že ρ(P, Q)= ρ(α, β). Vieme, že ρ(α, β)= inf{ρ(A, B); A∈α; B∈β}. Nech A∈α, B∈β sú ľubovoľné. Potom A= P + s_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + s_{k}a⃗_{k} zároveň B= Q+ t_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + t_{j}b⃗_{j} pre vhodné s_{1}, ⋯, s_{k}, t_{1}, ⋯, t_{j}∈ℝ. \overrightarrow{AB}= B−A= \overrightarrow{P Q}+ t_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + t_{j}b⃗_{j}−s_{1}a⃗_{1}− ⋯ −s_{k}a⃗_{k}. Potom ρ(A, B)^{2}= = |\overrightarrow{AB}|^{2} = ⟨\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AB}⟩ = ⟨\overrightarrow{P Q}−s_{1}a⃗_{1}− ⋯ −s_{k}a⃗_{k}+ t_{1} b⃗_{1}+ ⋯ + t_{j}b⃗_{j}, \overrightarrow{P Q}−s_{1}a⃗_{1}− ⋯ −

−s_{k}a⃗_{k}+ t_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + t_{j}b⃗_{j}⟩ = ⟨\overrightarrow{P Q}, \overrightarrow{P Q}⟩+ 2⟨\underbrace{\overrightarrow{P Q}, −s_{1}a⃗_{1}− ⋯ −s_{k}a⃗_{k}+ t_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + t_{j}b⃗_{j}}_{=0}⟩+

+⟨−s_{1}a⃗_{1} − ⋯ − s_{k}a⃗_{k} + t_{1}b⃗_{1} + ⋯ + t_{j}b⃗_{j}; −s_{1}a⃗_{1} − ⋯ − s_{k}a⃗_{k} + t_{1}b⃗_{1} + ⋯ + t_{j}b⃗_{j}⟩ = = ρ(P, Q)^{2}+ |−s_{1}a⃗_{1}− ⋯ −s_{k}a⃗_{k}+ t_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + t_{j}b⃗_{j}|^{2}. Z toho vidno, že ρ(A, B) sa minimalizuje vtedy, keď | − s_{1}a⃗_{1}− ⋯ −s_{k}a⃗_{k}+ t_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + t_{j}b⃗_{j}|= 0 tj. práve vtedy, keď −s_{1}a⃗_{1}− ⋯ −s_{k}a⃗_{k}+ t_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + t_{j}b⃗_{j}= 0 ⇔ s_{1}= ⋯ = s_{k}= t_{1}= ⋯ = t_{j}= 0, lebo (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{k}, b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{j}) je báza vo V (α)⊕V (β). Teda ρ(A, B) sa minimalizuje vtedy, keď sa rovná ρ(P, Q). To znamená, že naozaj ρ(α, β)= ρ(P, Q).

Dôsledok. Nech α= (B(α), V (α)), β= (B(β), V (β)) sú mimobežné afinné podpriestory v 𝔼^{n}. Potom existuje afinný podpriestor β_{1} taký, že β⊂β_{1}, α∥β_{1} a ρ(α, β)= = ρ(α, β_{1}). (= ρ(A, A^{⊥}), pre ľubovoľný bod A∈α, A^{⊥} je kolmý priemet bodu A do β_{1}.)

Dôkaz. Zoberme β_{1}, ako afinný podpriestor určený ľubovoľným bodom z β a taký, že V (β_{1})= V (α)⊕V (β). Potom je pravda, že β⊂β_{1} aj to, že α∥β_{1} (lebo V (α)⊂V (β_{1})). Z predchádzajúcej vety vieme, že existujú P ∈α, Q∈β také, že \overrightarrow{P Q}∈V (α)^{⊥}∩V (β)^{⊥}= = (V (α)⊕V (β))= V (β_{1})^{⊥} pričom ρ(α, β)= ρ(P, Q). Máme Q⊂β, a teda tiež Q∈β_{1} a zároveň \overrightarrow{P Q}∈V (Π_{β_{1}}^{⊥}(P)). Z toho: Q∈Π_{β_{1}}^{⊥}(P)∩β_{1}= \{P^{⊥}\}, a preto P^{⊥}= Q. Teda ρ(α, β)= ρ(P, Q)= ρ(P, P^{⊥})= ρ(α, β_{1}).

Uhly medzi afinnými podpriestormi v 𝔼^{n}.

1. Uhol dvoch orientovaných priamok: Nech p, q⊂𝔼^{n} sú dve orientované priamky (p≠ q). Teda V (p), V (q) sú dve orientované vektorové priestory. Z toho ak a⃗≠ 0 je smerový vektor orientovanej priamky p a a′≠ 0 je iný smerový vektor, tak a′= k·a⃗ pre dajaké k>0. Podobne, ak b⃗′, b⃗ sú dva smerové vektory orientovanej priamky q, tak b⃗′= l·b⃗.

\frac{⟨a′, b⃗′⟩}{|a′|·|b⃗′|} = \frac{⟨ka⃗, lb⃗⟩}{|ka⃗|·|lb⃗|} = \frac{kl⟨a⃗, b⃗⟩}{kl|a⃗|·|b⃗|} = \frac{⟨a⃗, b⃗⟩}{|a⃗|·|b⃗|}

Tento výraz nezávisí od výberu smerových vektorov orientovaných priamok p, q.

Zo Schwarzovej nerovnosti vieme, že \frac{⟨a⃗, b⃗⟩}{|a⃗||b⃗|}∈⟨−1, 1⟩ ⇒ ∃!φ∈⟨0, π⟩ : cosφ= \frac{⟨a⃗, b⃗⟩}{|a⃗||b⃗|}.

φ definujeme ako uhol zovretý orientovanou priamkou p a orientovanou priamkou q.

2. Uhol dvoch neorientovaných priamok: Nech p, q⊂𝔼^{n} sú dve neorientované priamky. Potom, ak a⃗≠ 0, a′≠ 0 sú dva smerové vektory priamky p, tak a′= k·a⃗, kde k≠ 0. Podobne, ak b⃗, b⃗′(≠ 0) sú dva smerové vektory priamky q, tak b⃗′= lb⃗ pre l≠ 0. Potom výraz

\frac{⟨a′, b⃗′⟩}{|a′|·|b⃗′|} = \frac{⟨ka⃗, lb⃗⟩}{|ka⃗|·|lb⃗|} = \frac{kl⟨a⃗, b⃗⟩}{|kl||a⃗|·|b⃗|}≠ \frac{⟨a⃗, b⃗⟩}{|a⃗|·|b⃗|}

vo všeobecnosti závisí od výberu smerového vektora priamky p resp. q. Ale už výraz

|\frac{⟨a⃗, b⃗⟩}{|a⃗||b⃗|}| už od výberu nezávisí. Existuje jediné ψ∈⟨0, \frac{π}{2}⟩ také, že cosψ= \frac{|⟨a⃗, b⃗⟩|}{|a⃗||b⃗|}.

ψ potom nazveme uhlom zovretý neorientovaných priamok p a q.

3. Uhol dvoch nadrovín Nech α, β sú dve nadroviny v 𝔼^{n}, nech n⃗_{α}, n⃗_{β} sú ich normálové vektory. Potom uhol medzi α a β sa definuje ako uhol neorientovaných priamok so smerovými vektormi n⃗_{α} resp. n⃗_{β}. Teda: ak α≡a_{1}x_{1}+ ⋯ + a_{n}x_{n}+ a_{0}= 0, β≡b_{1}x_{1}+ ⋯ + b_{n}x_{n}+ b_{0}= 0, tak n⃗_{α}= (a_{1}, ⋯, a_{n}); n⃗_{β}= (b_{1}, ⋯, b_{n}) a ∠(α, β) je to číslo z intervalu ⟨0, \frac{π}{2}⟩ pre ktoré

cos|∠(α, β)|= \frac{|a_{1}b_{1}+ ⋯ + a_{n}b_{n}|}{\sqrt{(a_{1}^{2}+ ⋯ + a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+ ⋯ + b_{n}^{2})}}.

Vektorový a zmiešaný súčin v ℝ^{3}.

Definícia 11.21. Nech ℝ^{3} je štandardne orientovaný tj. nech (e⃗_{1}, e⃗_{2}, e⃗_{3}) je kladná báza tohto priestoru. Nech a⃗, b⃗ sú dva vektory z ℝ^{3}. Potom existuje jediný vektor c⃗∈ℝ^{3} taký, že

1. c⃗ ⊥ a⃗, c⃗ ⊥ b⃗.

2. |c⃗|= \sqrt{⟨a⃗, a⃗⟩⟨b⃗, b⃗⟩−⟨a⃗, b⃗⟩^{2}}= \sqrt{|a⃗|^{2}|b⃗|^{2}−⟨a⃗, b⃗⟩^{2}}.

3. Ak a⃗, b⃗ sú lineárne nezávislé, tak (a⃗, b⃗, c⃗) je kladná báza v ℝ^{3}. Vektorový súčin vektorov a⃗ a b⃗ je vektor c⃗, označuje sa a⃗×b⃗.

Poznámka. Vlastne sme definovali zobrazenie × : ℝ^{3}×ℝ^{3}→ℝ^{2}, ×(a⃗, b⃗)= a⃗×b⃗.

Geometrický význam |a⃗×b⃗|: je to plošný obsah rovnobežníka určeného a⃗, b⃗.

|a⃗×b⃗|= \sqrt{|a⃗|^{2}|b⃗|^{2}−(|a⃗||b⃗| cos(∠a⃗, b⃗))^{2}} = \sqrt{|a⃗|^{2}|b⃗|^{2}−|a⃗|^{2}|b⃗|^{2}(1− sin^{2}(∠a⃗, b⃗)} =

= \sqrt{|a⃗|^{2}|b⃗|^{2}(sin^{2}(∠a⃗, b⃗))} = |a⃗||b⃗| sin(∠a⃗, b⃗). Plošný obsah rovnobežníka určeného

a⃗, b⃗ je |a⃗||b⃗| sin(∠a⃗, b⃗).

Veta 11.25. Nech a⃗= (a_{1}, a_{2}, a_{3}), b⃗= (b_{1}, b_{2}, b_{3}) sú dva vektory z ℝ^{3}. Potom

a⃗×b⃗= det( \begin{matrix}e⃗_{1} & e⃗_{2} & e⃗_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} ) = e⃗_{1}· det( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} ) −e⃗_{2} det( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} ) + e⃗_{3} det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} ). Pretože e⃗_{1}=

= (1, 0, 0), e⃗_{2}= (0, 1, 0), e⃗_{3}= (0, 0, 1) máme a⃗×b⃗= (det( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} ) , − det( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} ))

Dôkaz. Overíme podmienky 1._{)}, 2._{)} a 3._{)} z definície. 1._{)}

⟨(a_{1}, a_{2}, a_{3}), (det( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} ) , − det( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} ) , det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} ))⟩ =

= a_{1} det( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} ) −a_{2} det( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} ) + a_{3} det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} ) = det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} ) = 0

Podobne pre b⃗. 2._{)}

\sqrt{det^{2} ( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} ) + det^{2} ( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} ) + det^{2} ( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} )} =

= \sqrt{|(a_{1}, a_{2}, a_{3})|^{2}|(b_{1}, b_{2}, b_{3})|^{2} − ⟨(a_{1}, a_{2}, a_{3})(b_{1}, b_{2}, b_{3})⟩^{2}}

3._{)} Predpokladajme, že a⃗= (a_{1}, a_{2}, a_{3}), b⃗= (b_{1}, b_{2}, b_{3}) sú lineárne nezávislé. To znamená, že (b_{1}, b_{2}, b_{3}) nie je nenulovým násobkom (a_{1}, a_{2}, a_{3}) a preto aspoň jedno

z čísel det( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} ), det( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} ), det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} ) je ≠ 0. Máme a⃗= a_{1}e⃗_{1}+ a_{2}e⃗_{2}+ a_{3}e⃗_{3}, b⃗=

= b_{1}e⃗_{1}+ b_{2}e⃗_{2}+ b_{3}e⃗_{3}, c⃗= det( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} ) e⃗_{1}− det( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} ) e⃗_{2}+ det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} ) e⃗_{3}. Teda matica

prechodu od bázy (e⃗_{1}, e⃗_{2}, e⃗_{3}) k trojici vektorov (a⃗, b⃗, c⃗) je

P = ( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ det( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} ) & − det( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} ) & det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} ) \end{matrix} )

Potom det^{2} ( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} ) + det^{2} ( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} ) + det^{2} ( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} ) > 0. Z toho (keďže P je regulárna): (a⃗, b⃗, c⃗) je báza v ℝ^{3}, a pretože det(P)>0 je kladná báza aj (a⃗, b⃗, c⃗). Z jednoznačnej

určenosti a⃗×b⃗: a⃗×b⃗= (det( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} ) , − det( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} ) , det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} )).

Veta 11.26. Vektorový súčin v ℝ^{3} má tieto vlastnosti: 1._{)}a⃗ × b⃗ = −b⃗ × a⃗ pre ∀a⃗, b⃗∈ℝ^{3}. 2._{)}(αa⃗+ βb⃗)×c⃗= α(a⃗×c⃗)+ β(b⃗×c⃗) a a⃗×(βb⃗+ γc⃗)= β(a⃗×b⃗)+ γ(a⃗×c⃗) tj. zobrazenie × : ℝ^{3}×ℝ^{3}→ℝ^{3} je lineárne v oboch argumentoch.

Dôkaz. 1._{)}a⃗×b⃗:= c⃗. Pre lineárne závislé a⃗, b⃗ 1._{)} zrejme platí. Pre a⃗, b⃗ lineárne nezávislé máme, že (a⃗, b⃗, c⃗) je kladná báza. Zároveň (b⃗, a⃗, b⃗×a⃗) je kladná báza v ℝ^{3} potom a⃗×b⃗= − b⃗×a⃗.

Iný dôkaz: Nech a⃗= (a_{1}, a_{2}, a_{3}), b⃗= (b_{1}, b_{2}, b_{3}), potom a⃗×b⃗= (det( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} ) ,

− det( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} ) , det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} )) = − (det( \begin{matrix}b_{2} & b_{3} \\ a_{2} & a_{3} \end{matrix} ) , − det( \begin{matrix}b_{1} & b_{3} \\ a_{1} & a_{3} \end{matrix} ) , det( \begin{matrix}b_{1} & b_{2} \\ a_{1} & a_{2} \end{matrix} )) = −b⃗×a⃗.

2._{)} Z vlastnosti determinantov jasné.

Definícia 11.22. Nech ℝ^{3} je štandardne orientovaný. Nech a⃗, b⃗, c⃗∈ℝ^{3} sú dané vektory. Potom ich zmiešaný súčin sa definuje ako reálne číslo ⟨a⃗×b⃗, c⃗⟩, ozn. ⟨a⃗, b⃗, c⃗⟩.

Veta 11.27.

Nech a⃗= (a_{1}, a_{2}, a_{3}), b⃗= (b_{1}, b_{2}, b_{3}), c⃗= (c_{1}, c_{2}, c_{3}). Potom ⟨a⃗, b⃗, c⃗⟩= det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix} ).

Dôkaz. ⟨a⃗, b⃗, c⃗⟩= ⟨a⃗×b⃗, c⃗⟩= ⟨(det( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} ) , − det( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} ) , det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} )) , (c_{1}, c_{2}, c_{3})⟩ =

= c_{1} det( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} ) − c_{2} det( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} ) + c_{3} det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} ) = det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix} ).

Veta 11.28. Zmiešaný súčin má tieto vlastnosti: 1._{)} je lineárny v každom argumente. 2._{)}⟨a⃗, b⃗, c⃗⟩= ⟨b⃗, c⃗, a⃗⟩= ⟨c⃗, a⃗, b⃗⟩.

Dôkaz. jasné z determinantového vyjadrenia zmiešaného súčinu a vlastností determinantov.

Veta 11.29. Nech a⃗, b⃗ sú dva lineárne nezávislé vektory v ℝ^{3}, chápané ako orientované úsečky v O_{xyz} so začiatkom v O. Nech c⃗ je vektor, ktorý neleží v smerovom priestore roviny určenej bodom O a vektormi a⃗, b⃗. Potom |⟨a⃗, b⃗, c⃗⟩| je objem rovnobežnostena určeného bodom O a orientovanými úsečkami a⃗, b⃗, c⃗.

Dôkaz. a⃗= \overrightarrow{OA}, A≡(a_{1}, a_{2}, a_{3}), b⃗= \overrightarrow{OB}, B≡(b_{1}, b_{2}, b_{3}), c⃗= \overrightarrow{OC}, C≡(c_{1}, c_{2}, c_{3}). Objem rovnobežnostena Oa⃗b⃗c⃗ =(plošný obsah podstavy Oa⃗b⃗)·výška = |a⃗×b⃗|·ρ(C, α), kde α je rovina určená bodom O a vektormi a⃗, b⃗ = |a⃗×b⃗|·ρ(C, C^{⊥}).

α≡\{ \begin{matrix}x_{1}= O+ a_{1}t+ b_{1}s \\ x_{2}= O+ a_{2}t+ b_{2}s \\ x_{3}= O+ a_{3}t+ b_{3}s \end{matrix} Π_{α}^{⊥}(C) ≡ \{ \begin{matrix}x_{1}= c_{1}+ det( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} )p \\ x_{2}= c_{2}− det( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} )p \\ x_{3}= c_{3}+ det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} )p \end{matrix} p∈ℝ

a_{1}t+ b_{1}s− det( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} )p= c_{1}

a_{2}t+ b_{2}s+ det( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} )p= c_{2}

a_{3}t+ b_{3}s− det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} )p= c_{3}

p = det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix} ) ; − det^{2} ( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} ) − det^{2} ( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} ) − det^{2} ( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} ) = \frac{det( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix} )}{D}

ρ(C, C^{⊥})= \sqrt{det^{2} ( \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} ) \frac{⟨a⃗, b⃗, c⃗⟩^{2}}{D^{2}} + det^{2} ( \begin{matrix}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} ) \frac{⟨a⃗, b⃗, c⃗⟩^{2}}{D^{2}} + det^{2} ( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} ) \frac{⟨a⃗, b⃗, c⃗⟩^{2}}{D^{2}}} ...

V = |a⃗ × b⃗| · ρ(C, C^{⊥}) = |⟨a⃗, b⃗, c⃗⟩|

Veta 11.30. Nech × : ℝ^{n}×ℝ^{n}→ℝ^{n} je zobrazenie s týmito vlastnosťami: 1._{)}× je lineárne v oboch argumentoch. 2._{)} pre ∀a⃗, b⃗∈ℝ^{n} je (a⃗×b⃗)⊥a⃗, (a⃗×b⃗)⊥b⃗

3._{)}|a⃗×b⃗|= \sqrt{|a⃗|^{2}|b⃗|^{2}−⟨a⃗, b⃗⟩^{2}}. Potom n = 3, alebo n = 7. Bez dôkazu.

XII. LINEÁRNE TRANSFORMÁCIE VEKTOROVÝCH PRIESTOROV

Definícia 12.1. Lineárna transformácia vektorového priestoru V je lineárne zobrazenie V →V.

Príklad. f : ℝ^{3}→ℝ^{3}, f(x_{1}, x_{2}, x_{3})= (2x_{1}+ x_{2}−x_{3}, x_{2}, −x_{1}) je lineárna transformácia priestoru ℝ^{3}.

Definícia 12.2. Nech V je n-rozmerný vektorový priestor nad poľom R. Nech (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) je báza vo V. Ak f : V →V je lineárna transformácia priestoru V, tak jej matica vzhľadom na bázu (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) je matica A= (a_{ij})∈𝔐_{nn}(R) taká, že f(a⃗_{i})= a_{i1}a⃗_{1}+ ⋯ + a_{in}a⃗_{n}; i= 1, ⋯, n.

Príklad. Matica lineárneho zobrazenia f : ℝ^{3}→ℝ^{3}; f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} − x_{2} − x_{3},

x_{1}+ x_{2}, x_{2}+ x_{3}) vzhĺadom na bázu (e⃗_{1}, e⃗_{2}, e⃗_{3}) je M = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ −1 & 1 & 1 \\ −1 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈𝔐_{33}(ℝ).

Príklad. Nech f : ℝ^{3}→ℝ^{3} f(x_{1}, x_{2}, x_{3})= (6x_{1}+ 4x_{2}−2x_{3}, 2x_{1}+ x_{3}, 4x_{1}+ 4x_{2}). Ma-

tica f vzhľadom na (e⃗_{1}, e⃗_{2}, e⃗_{3}) je M_{f} = ( \begin{matrix}6 & 2 & 4 \\ 4 & 0 & 4 \\ −2 & 1 & 0 \end{matrix} ). Vektory a⃗_{1}= (0, 1, 2), a⃗_{2}= (2, 1, 2)

a⃗_{3}= (2, −3, 2) tiež tvoria bázu v ℝ^{3}. Aká je matica f vzhľadom na bázu (a⃗_{1}, a⃗_{2}, a⃗_{3})? Vyrátame: e⃗_{1}= (1, 0, 0)= x(0, 1, 2)+ y(2, 1, 2)+ z(2, −3, 2) ⇒ x= −\frac{1}{2}, y= \frac{1}{2}, z= 0. Teda e⃗_{1}= −\frac{1}{2}(0, 1, 2)+ \frac{1}{2}(2, 1, 2)+ 0·(2, −3, 2). Podobne: e⃗_{2}= \frac{1}{4}(2, 1, 2)−\frac{1}{4}(2, −3, 2), e⃗_{3}= = \frac{1}{2}(0, 1, 2)−\frac{1}{8}(2, 1, 2)+ (2, −3, 2). Teda matica prechodu od (a⃗_{1}, a⃗_{2}, a⃗_{3}) k (e⃗_{1}, e⃗_{2}, e⃗_{3})

je P = ( \begin{matrix}− \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & − \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & − \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \end{matrix} ). Potom f(a⃗_{1}) = f(0, 1, 2) = 2e⃗_{2} + 4e⃗_{3} = 2(\frac{1}{4} a⃗_{2} − \frac{1}{4} e⃗_{3})+

+ 4(\frac{1}{2} a⃗_{1}−\frac{1}{8} a⃗_{2}+ \frac{1}{8} a⃗_{3}) = 2a⃗_{1}. f(a⃗_{2})= 6a⃗_{2} a f(a⃗_{3})= −2a⃗_{3}. Teda matica f vzhľadom

na bázu (a⃗_{1}, a⃗_{2}, a⃗_{3}) je B = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & −2 \end{matrix} ). Pre M_{f} platí (x_{1}, x_{2}, x_{3})·M_{f}= f(x_{1}, x_{2}, x_{3}).

Všeobecne, ak f : ℝ^{n}→ℝ^{n} je lineárna transformácia, tak máme f(x_{1}, ⋯, x_{n})= = (x_{1}, ⋯, x_{n})·M_{f}, kde M_{f}∈𝔐_{nn}(R) je matica f vzhľadom na bázu (e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n}). Ale, ak B∈𝔐_{nn}(R) je matica f vzhľadom na inú bázu (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) tak už neplatí, že f(x_{1}, ⋯, x_{n})= (x_{1}, ⋯, x_{n})·B. Napríklad z predchádzajúceho príkladu:

f(1, 1, 1)= (−1, 2, 2), ale (1, 1, 1)· ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & −2 \end{matrix} ) = (2, 6, −2)≠ (−1, 2, 2).

Veta 12.1. Nech f:V →V je lineárna transformácia, nech (a⃗_{1}, a⃗_{2}, a⃗_{3}) je báza vo V a nech A∈𝔐_{nn}(R) je matica f vzhľadom na bázu (a⃗_{1}, a⃗_{2}, a⃗_{3}). Potom, ak (x_{1}, ⋯, x_{n}) je n-tica súradníc vektora x⃗∈V v báze (a⃗_{1}, a⃗_{2}, a⃗_{3}), tak (x_{1}, ⋯, x_{n})·A je n-tica súradníc vektora f(x⃗) v báze (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}).

Dôkaz. Máme x⃗= x_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + x_{n}a⃗_{n}. Potom f(x⃗)= f(x_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + x_{n}a⃗_{n})= x_{1}f(a⃗_{1})+ + ⋯ + x_{n}f(a⃗_{n}) = x_{1}(a_{11} a⃗_{1}+ ⋯ + a_{1n}a⃗_{n})+ ⋯ + x_{n}(a_{n1}a⃗_{1}+ ⋯ + a_{nn}a⃗_{n}) = = (x_{1}a_{11}+ ⋯ + x_{n}a_{n1})a⃗_{1}+ ⋯ + (x_{1}a_{1n}+ ⋯ + x_{n}a_{nn}a⃗_{n}. Teda f(x⃗) má vzhľadom na (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) n-ticu súradníc (x_{1}a_{11}+ ⋯ + x_{n}a_{n1}, ⋯, x_{1}a_{1n}+ ⋯ + x_{n}a_{nn}). Ale

(x_{1}, ⋯, x_{n}) ( ⋮ ... ⋮_{a_{n1} ··· a_{nn}}^{a_{11} ··· a_{1n}} ) = (x_{1}a_{11}+ ⋯ + x_{n}a_{n1}, ⋯, x_{1}a_{1n}+ ⋯ + x_{n}a_{nn}). To je

práve n-tica súradníc f(x⃗) vzhľadom na bázu (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}).

Otázka. Nech f:V →V je lineárna transformácia, nech (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}), (a′_{1}, ⋯, a′_{n}) sú dve bázy vo V. Nech f má vzhľadom na (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) maticu A∈𝔐_{nn}(R) a vzhľadom na (a′_{1}, ⋯, a′_{n}) maticu B∈𝔐_{nn}(R). Aký je vzťah medzi A a B?

Odpoveď. Nech P∈𝔐_{nn}(R) je matica prechodu od (a′_{1}, ⋯, a′_{n}) k (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}). Vieme, že P je regulárna pričom P^{−1}= P′ je matica opačného prechodu. Nech x⃗∈V je ľubovoľné, nech jeho súradnice vzhľadom na (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{1}) sú X= (x_{1}, ⋯, x_{n}) a vzhľadom na bázu (a′_{1}, ⋯, a′_{n}) sú X′= (x′_{1}, ⋯, x′_{n}). Vieme, že X= X′P′, X′= XP. Nech teraz f(x⃗) má súradnice Y= (y_{1}, ⋯, y_{n}) vzhľadom na (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) a nech má súradnice Y′= (y′_{1}, ⋯, y′_{n}) vzhľadom na (a′_{1}, ⋯, a′_{n}). Zas vieme, že Y′= YP, Y= Y′P′. Z predchádzajúcej vety tiež vieme, že Y= XA, Y′= X′B. Z toho: XAP= YP= Y′= X′B= XPB ⇒ XAP= XPB tj. X(AP−PB)= 0 pre všetky X∈R^{n}. Ak postupne berieme za X n-tice e⃗_{1}= (1, 0, ⋯, 0), ⋯, e⃗_{n}= (0, ⋯, 0, 1), tak dáva, že prvý až n-tý riadok v matici AP−PB je nulový, a teda AP−PB= 0,

z toho AP= PB a teda B= P^{−1}AP .

Definícia 12.3. Nech A, B∈𝔐_{nn}(R). Hovoríme, že matica B je podobná matici A, ak existuje regulárna matica Q∈𝔐_{nn}(R) taká, že B= QAQ^{−1}. (zápis: B ∼ A).

Tvrdenie 12.1. ∼ je relácia ekvivalencie na 𝔐_{nn}(R).

Dôkaz. Symetrickosť: B∼A ⇒ B= QAQ^{−1}, ale potom aj A= Q^{−1}BQ= Q^{−1}B(Q^{−1})^{−1} a teda A∼B. Reflexivita: A∼A, lebo A= I_{n}AI_{n}^{−1}. Tranzitívnosť: A∼B, B∼C ⇒ ⇒ A= QBQ^{−1}, B= SCS^{−1} ⇒ A= QSCS^{−1}Q^{−1}= (QS)C(QS)^{−1} a preto A∼C.

Riešenie predchádzajúcej otázky môžeme vyjadriť takto: Matice lineárnej transformácie n-rozmerného vektorového priestoru V vzhľadom na rôzne bázy priestoru V sú navzájom podobné.

Veta 12.2. Existuje lineárna transformácia a vhodná báza priestoru ℝ^{n} také, že pre dané podobné matice A, B platí: A je maticou tej lineárnej transformácie vzhľadom na štandardnú bázu (e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n}) a B je matica tej istej lineárnej transformácie vzhľadom na (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}).

Dôkaz. Nech A= (a_{ij}), B= (b_{ij}), nech B= PAP^{−1} pre dajakú regulárnu maticu P∈𝔐_{nn}(ℝ). Predpis f(e⃗_{i})= a_{i1}e⃗_{1}+ ⋯ + a_{in}e⃗_{n} podľa základnej vety o lineárnych zobrazeniach definuje lineárne zobrazenie f : ℝ^{n}→ℝ^{n}, pričom f má vzhľadom na (e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n}) maticu A. Definujme vektory a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}: a⃗_{i}= p_{i1}e⃗_{1}+ ⋯ + p_{in}e⃗_{n}, i= 1, ⋯, n. Pretože P= (p_{ij}) je regulárna, vektory (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) tvoria bázu priesto-

ru ℝ^{n}. (tiež e⃗_{j}= ∑_{j=1}^{n}p′_{js}a⃗_{s} ∀j.) Aká je matica f vzhľadom na (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n})?

f(a⃗_{i})= ∑_{j=1}^{n}p_{ij}f(e⃗_{j})= ∑_{i=1}^{n}p_{ij}f (∑_{s=1}^{n}a_{js}e⃗_{s}) = ∑_{j=1}^{n}p_{ij} ∑_{s=1}^{n}a_{js}e⃗_{s}=

= ∑_{j=1}^{n}p_{ij} ∑_{s=1}^{n}a_{js} ∑_{t=1}^{n}p′_{st}a⃗_{t}= ∑_{t=1}^{n} (∑_{s=1}^{n} ∑_{j=1}^{n}p_{ij}a_{js}p′_{st}) a⃗_{t}

V zátvorke je prvok i-teho riadku a j-teho stĺpca B= PAP^{−1}.

Definícia 12.4. Nech f : V →V je lineárna transformácia. Vlastný vektor lineárnej transformácie f je nenulový vektor v⃗∈V taký, že pre dáke λ∈ℝ máme f(v⃗)= λv⃗. V tejto situácii sa λ nazýva vlastná hodnota lineárnej transformácie f patriaca vlastnému vektoru v⃗.

Príklad. id_{V} : V →V pre ∀v⃗∈V −{0} platí id_{V} (v⃗)= 1·v⃗.

Definícia 12.5. Vlastný vektor a k nemu patriaca vlastná hodnota matice A∈𝔐_{nn}(ℝ) sa definuje ako vlastný vektor (a k nemu patriaca vlastná hodnota) lineárnej transformácie f_{A} : ℝ^{n}→ℝ^{n} (ktorej maticou vzhľadom na štandardnú bázu je A.) Ináč povedané: nenulový vektor (x_{1}, ⋯, x_{n})∈ℝ^{n} je vlastný vektor matice A ak existuje λ∈ℝ také, že (x_{1}, ⋯, x_{n})·A= λ(x_{1}, ⋯, x_{n}). O λ hovoríme ako o vlastnej hodnote matice A patriacej k vlastnému vektoru (x_{1}, ⋯, x_{n}).

Príklad. (x_{1}, ⋯, x_{n})≠ (0, ⋯, 0) (x_{1}, ⋯, x_{n})I_{n}= 1·(x_{1}, ⋯, x_{n}).

Poznámka. Definovali sme tzv. ľavý vlastný vektor matice A. Niekedy sa definuje

aj tzv. pravý vlastný vektor matice A ako taký ( \begin{matrix}y_{1} \\ ··· \\ y_{n} \end{matrix} ) ≠ ( \begin{matrix}0 \\ ··· \\ 0 \end{matrix}) pre ktorý existuje

μ∈ℝ také, že A ( \begin{matrix}y_{1} \\ ··· \\ y_{n} \end{matrix} ) = μ ( \begin{matrix}y_{1} \\ ··· \\ y_{n} \end{matrix} ). Transponovaním: (y_{1}, ⋯, y_{n})A^{T}= μ(y_{1}, ⋯, y_{n}).

Teda ( \begin{matrix}y_{1} \\ ··· \\ y_{n} \end{matrix} ) je pravý vlastný vektor matice A práve vtedy, keď (y_{1}, ⋯, y_{n}) je ľavý

vlastný vektor matice A^{T}. V ďaľšom budeme uvažovať iba o ľavých vlastných vektoroch.

Tvrdenie 12.2. Podobné matice (nad ℝ) majú tú istú množinu vlastných hodnôt (z poľa ℝ).

Dôkaz. Nech A, B∈𝔐_{nn}(ℝ) a nech sú podobné, teda B= PAP^{−1} pre dajakú regulárnu maticu P∈𝔐_{nn}(ℝ). Označme S(A) resp. S(B) množinu vlastných hodnôt matice A, resp. B. Chceme ukázať, že S(A)= S(B). Nech λ∈S(A) je ľubovoľné. Vieme, že existuje nenulový vektor x⃗∈ℝ^{n} taký, že x⃗·A= λx⃗. Máme A= P^{−1}BP. Teda (x⃗P)BP= λx⃗ ⇔ (x⃗P^{−1})B= λ(x⃗P^{−1}). Máme f_{P^{−1}}= x⃗P^{−1}∈ℝ^{n}−{(0, ⋯, 0)}, keďže lineárna transformácia f_{P^{−1}} : ℝ^{n}→ℝ^{n} je regulárna. Teda λ∈S(B), príslušný vlastný vektor je x⃗P^{−1}. Ukázali sme, že S(A)⊂S(B). Analogicky sa ukáže, že S(B)⊂S(A). Vcelku S(A)= S(B).

Tvrdenie 12.3. Ak λ∈ℝ je vlastná hodnota matice A∈𝔐_{nn}(ℝ) a v⃗∈ℝ^{n}−{0} je vlastný vektor matice A patriaci k λ, tak cv⃗ pre c∈ℝ−{0} je tiež vlastný vektor matice A (patriace k vlastnej hodnote λ).

Dôkaz. Máme v⃗A= λv⃗. Potom (cv⃗)A= c(v⃗A)= c(λv⃗)= λ(cv⃗).

Ako závisí vlastný vektor (x_{1}, ⋯, x_{n})∈ℝ^{n}−0 od matice A= (a_{ij})∈𝔐_{nn}(ℝ)? (x_{1}, ⋯, x_{n})∈ℝ^{n}−{0} je vlastný vektor matice A= (a_{ij})∈𝔐_{nn}(ℝ) patriaci k vlastnej hodnote λ∈ℝ práve vtedy, keď (x_{1}, ⋯, x_{n})A= λ(x_{1}, ⋯, x_{n}) ⇔ (x_{1}, ⋯, x_{n})A= = (x_{1}, ⋯, x_{n})λI_{n} ⇔ (x_{1}, ⋯, x_{n})(λI_{n}−A)= 0. tj.

(x_{1}, ⋯, x_{n}) ( \begin{matrix}λ−a_{11} & −a_{12} & ⋯ & −a_{1n} \\ −a_{21} & λ−a_{22} & ⋯ & −a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ −a_{n1} & −a_{n2} & ⋯ & λ−a_{nn} \end{matrix} ) = (0, ⋯, 0) ⇔

⇔ (∗)\{ \begin{matrix}(λ−a_{11})x_{1}−a_{21}x_{2}− ⋯ −a_{n1}x_{n}= 0 \\ ⋯ \\ −a_{1n}x_{1}−a_{2n}x_{2}− ⋯ (λ−a_{nn})x_{n}= 0 \end{matrix}

Teda (x_{1}, ⋯, x_{n})∈ℝ^{n}−{0} je vlastným vektorom patriacim k vlastnej hodnote λ∈ℝ práve vtedy, keď (x_{1}, ⋯, x_{n}) je netriviálnym riešením lineárneho systému (∗). Vieme, že (∗) má nenulové riešenie práve vtedy, keď h( matice systému *)<n, tj. práve vtedy, keď h(λI_{n}−A)<n. Takisto máme, že λ∈ℝ je vlastnou hodnotou matice A práve vtedy, keď h(λI_{n}−A)<n tj. matica λI_{n}−A je singulárna. Špeciálne z toho vidno, že 0∈ℝ je vlastnou hodnotou matice A∈𝔐_{nn}(ℝ) ⇔ h(−A)<n tj. práve vtedy, keď h(A)<n.

Príklad. Nech f : ℝ^{2}→ℝ^{2} je lineárne zobrazenie otočenie o uhol φ∈⟨0, 2π) okolo začiatku súradnicového systému. f_{φ}(v⃗)= λv⃗. Aké má vlastné hodnoty a vlastné vektory? Aká je matica lineárneho zobrazenia f_{φ} vzhľadom na (e⃗_{1}, e⃗_{2})? ℝ^{2}≈ℂ. z= x+ iy. f_{φ}(x, y)= f_{φ}(x+ iy)(cosφ+ i sinφ)= (x cosφ − y sinφ; x sinφ + y cosφ). M_{f_{φ}}= ( \begin{matrix}cos φ & sin φ \\ − sin φ & cos φ \end{matrix} ). Kedy je λ∈ℝ vlastnou hodnotou matice M_{f}_{φ}? Práve vtedy,

keď matica λI_{n}−M_{f_{φ}} je singulárna ⇔ det( \begin{matrix}λ− cos φ & sin φ \\ − sin φ & λ− cos φ \end{matrix} ) = 0 ⇔ (λ− cosφ)^{2}+

+ sin^{2} φ= 0 ⇔ λ^{2}−2λ cosφ+ cos^{2} φ+ sin^{2} φ= 0 ⇔ λ^{2}−2λ cosφ+ 1= 0. Z toho:

λ_{12}= ^{\frac{2 cos φ±\sqrt{4 cos^{2} φ−4}}{2}} = cosφ ± \sqrt{− sin^{2} φ}, teda λ∈ℝ ⇔ sinφ= 0 ⇔ φ= 0 ∨ φ= π. Potom λ_{1}= 1, λ_{2}= −1. Teda matica M_{f_{φ}} chápaná ako reálna má vlastnú hodnotu (1 resp. -1) iba vtedy, keď φ= 0 resp. φ= π. Aké sú vlastné hodnoty matice M_{f_{φ}} ak ju chápeme ako komplexnú? Vtedy vlastné hodnoty: λ_{1}= cosφ+ i sinφ, λ_{2}= cosφ−i sinφ, pre ∀φ∈⟨0, 2π).

Rozšírenie definície matice resp. determinantu.

Pripustíme, že prvky matíc môžu byť aj prvky ľubovoľného komutatívneho okruhu s 1. Rovnosť matíc, násobenie atď. funguje analogicky. Ak A= (a_{ij})∈𝔐_{nn}(R) (kde (R, + , ·, 1) je komutatívny okruh s 1) definujeme determinant:

det(A)= ∑_{φ∈S_{{1,··· ,n}}}(−1)^{s(φ)}a_{1φ(1)} a_{2φ(2)} ⋯ a_{nφ(n)}

Mnohé z vlastností determinantov nad poľom sa zachovajú aj pre determinanty nad komutatívnym okruhom s 1. Napr. determinant zmení znamienko na opačné ak vzájomne vymeníme dva riadky; determinant je nulový ak niektorý riadok je nulový; det(AB)= det(A) det(B), atď...

Definícia 12.6. Charakteristický polynóm matice A∈𝔐_{nn}(R) (kde R je pole) sa definuje ako χ_{A}(t)= det(tI_{n}−A).

A= (a_{ij})∈𝔐_{nn}(R) χ_{A}(t)= det ( \begin{matrix}t−a_{11} & −a_{12} & ⋯ & −a_{1n} \\ −a_{21} & t−a_{22} & ⋯ & −a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ −a_{n1} & −a_{n2} & ⋯ & t−a_{nn} \end{matrix} )

Prvkami tejto matice sú prvky okruhu polynómov R[t]. Označme R[t] okruh polynómov v neurčitej t nad poľom R. Ak p(t)∈R[t], tak jeho koreň je a∈R, pre ktoré p(a)= 0.

Príklad. p(t)= t^{2}−2t+ 1 ∈ R[t]. p(1)= 0, 1 je koreň.

Z doterajšieho: λ∈R je vlastná hodnota matice A∈𝔐_{nn}(R) práve vtedy, keď λ je koreňom charakteristického polynómu χ_{A}(t) matice A.

Napr.: A= ( \begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix} ) ∈𝔐_{33}(ℝ). χ_{A}(t)= det( \begin{matrix}t−1 & 0 & −2 \\ 0 & t & −1 \\ 0 & 1 & t \end{matrix} ) = t^{3}−t^{2}+ t−1= (t^{2}+ 1)(t−1)

Má jeden reálny koreň: 1. Matica A chápaná ako reálna matica má jedinú vlastnú hodnotu: λ= 1. Neskôr sa pozrieme, aké sú vlastné hodnoty, ak A chápeme ako komplexnú maticu.

Definícia 12.7. Stupeň polynómu p(t)= ∑_{i=0}^{∞}a_{i}t^{i}∈R[t] je s, ak a_{s}≠ 0, ale a_{i}= 0, pre

i>s v prípade, že p(t)≠ 0. Ak p(t)≡0, tak stupeň polynómu sa definuje ako −∞.

Veta 12.3. Nech A∈𝔐_{nn}(R). Potom stupeň χ_{A}(t) je n. Okrem toho, koeficient

pri t^{n−1} v χ_{A}(t) je − ∑_{i=1}^{n}a_{ii} a absolútny člen v χ_{A}(t) je (−1)^{n} det(A).

Dôkaz.

χ_{A}(t)= det ( \begin{matrix}t−a_{11} & −a_{12} & ··· & −a_{1n} \\ −a_{21} & t−a_{22} & ··· & −a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ −a_{n1} & −a_{n2} & ··· & −a_{nn} \end{matrix} ) = (t−a_{11})(t−a_{22}) ⋯ (t−a_{nn})+ členy s t^{k}

kde k≤n−2. Koeficient pri t^{n} a t^{n−1} získame z (t−a_{11})(t−a_{22}) ⋯ (t−a_{nn}). Z toho

koeficient pri t^{n} je 1, pri t^{s}, s>n sú nuly. Koeficient pri t^{n−1} je − ∑_{i=1}^{n}a_{ii}. Koeficient

pri t^{0} je χ_{A}(0)= det( ⋮ ... ⋮_{−a_{n1} ··· −a_{nn}}^{−a_{11} ··· −a_{1n}} ) = det(−A)= (−1)^{n} det(A).

Definícia 12.8. Pre maticu A= (a_{ij})∈𝔐_{nn}(R) sa ∑_{i=1}^{n}a_{ii} nazýva stopa matice A,

ozn. T r(A); Sp(A). Platí napr. ak A, B∈𝔐_{nn}(R), tak T r(AB)= T r(BA).

Veta 12.4. Podobné matice majú ten istý charakteristický polynóm.

Dôkaz. Majme A, B∈𝔐_{nn}(R), nech B= PAP^{−1} pre dáku regulárnu P∈𝔐_{nn}(R). Chceme ukázať, že χ_{A}(t)= χ_{B}(t). Z definície: χ_{B}(t)= det(tI_{n} − B)= det(tI_{n}− −PAP^{−1})= det(PtI_{n}P^{−1}−PAP^{−1})= det(P(tI_{n}−A)P^{−1})= det(P) det(tI_{n}−A)· · det(P^{−1})= det(P) det(P^{−1}) det(tI_{n}−A)= det(tI_{n}−A) = χ_{A}(t).

Definícia 12.9. Charakteristický polynóm lineárnej transformácie f : R^{n}→R^{n} (R je pole) je charakteristický polynóm matice lineárnej transformácie vzhľadom na ľubovoľnú bázu v R^{n}.

Definícia je dobrá, lebo ak A je matica transformácie f vzhľadom na jednu bázu a B je jej matica vzhľadom na inú bázu, tak A, B sú podobné, teda χ_{A}(t)= χ_{B}(t).

Poznámka. z= a+ ib, z̄= a−ib je komplexne združené k z. z∈ℂ je reálne ⇔ z= z̄. z·z̄= |z|^{2}.

Definícia 12.10. Nech A= (a_{ij})∈𝔐_{ks}(ℂ). Komplexne združená k nej je matica Ā= (ā_{ij})∈𝔐_{ks}(ℂ).

Zrejme platí: \overline{A+ B} = Ā+ B̄; \overline{AB} = Ā·B̄.

Veta 12.5. Nech A∈𝔐_{nn}(ℝ) je symetrická (tj. A= A^{T}). Ak A chápeme ako komplexnú maticu, tak všetky jej vlastné hodnoty sú reálne.

Dôkaz. Nech λ∈ℂ je ľubovoľná vlastná hodnota matice A. Teda existuje nenulový vektor x⃗∈ℂ^{n} taký, že x⃗A= λx⃗. Komplexné združenie: \overline{x⃗A}= \overline{λx⃗} tj. ¯ x⃗Ā= λ̄¯x⃗. Pretože A má všetky prvky reálne, máme Ā= A, a teda ¯ x⃗A= λ̄¯x⃗. Transponovanie dáva: (¯x⃗A)^{T}= (λ̄¯x⃗)^{T}, tj. A^{T} ¯ x⃗= λ̄¯x⃗^{T}, ale A= A^{T} a preto A¯x⃗^{T}= λ̄¯x⃗^{T} ⇔ x⃗A¯x⃗^{T}= λ̄x⃗¯x⃗^{T}.

Máme: x⃗A= λx⃗; preto λx⃗¯x⃗^{T}= λ̄x⃗¯x⃗^{T} tj. (λ−λ̄)x⃗¯x⃗^{T}= 0. x⃗¯x⃗^{T}= (x_{1}, ⋯, x_{n}) ( x̄_{1} ; ··· ; x̄_{n} ) =

= x_{1} x̄_{1}+ ⋯ + x_{n}x̄_{n}= |x_{1}|^{2}+ ⋯ + |x_{n}|^{2}>0, keďže (x_{1}, ⋯, x_{n})∈ℂ^{n}−{(0, ⋯, 0)}, preto λ−λ̄= 0 tj. λ= λ̄ teda λ∈ℝ.

Podobnosť matice s diagonálnou maticou.

Veta 12.6. Matica A∈𝔐_{nn}(R) je podobná diagonálnej matici práve vtedy, keď vlastné vektory matice A generujú celý priestor R^{n}. Ak A je podobná diagonálnej matici, tak je podobná matici diag(λ_{1}, ⋯, λ_{n}), kde λ_{1}, ⋯, λ_{n}∈R sú vlastné hodnoty matice A.

Dôkaz. ⇒ : Predpokladajme, že matica A je podobná D= diag(d_{1}, ⋯, d_{n}). Pretože máme e⃗_{i}= (0, ⋯, 0, 1, ⋯, 0) : e⃗_{i}D= d_{i}e⃗_{i}, teda d_{1}, ⋯, d_{n} sú vlastné hodnoty matice D (a e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n} sú príslušné vlastné vektory). Vieme, že {d_{1}, ⋯, d_{n}} je tiež množinou všetkých vlastných hodnôt matice A. Chceme ukázať, že vlastné vektory matice A generujú R^{n}. Máme, že D= PAP^{−1} pre vhodnú regulárnu maticu P. Teda z e⃗_{i}D= d_{i}e⃗_{i} dostaneme: e⃗_{i}PAP^{−1}= d_{i}e⃗_{i} (sprava P): (e⃗_{i}P)A= d_{i}(e⃗_{i}P). e⃗_{1}P, ⋯, e⃗_{n}P sú nenulové z R^{n}, teda sú to vlastné vektory patriace k vlastným hodnotám d_{1}, ⋯, d_{n} matice A. Navyše e⃗_{1}P, ⋯, e⃗_{n}P sú lineárne nezávislé, lebo sú to obrazy bázových vektorov e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n} priestoru R^{n} pri regulárnej lineárnej transformácie f_{P} : R^{n}→R^{n}. Teda e⃗_{1}P, ⋯, e⃗_{n}P sú vlastné vektory matice A, generujúce R^{n}. ⇐ :Predpokladajme, že vlastné vektory matice A generujú celý priestor R^{n}. Vyberme spomedzi nich bázu (b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{n}) priestoru R^{n}. Nech λ_{1}, ⋯, λ_{n}∈R sú vlastné hodnoty matice A patriace k b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{n}. Teda b⃗_{1}A= λ_{1}b⃗_{1}= f_{A}(b⃗_{1}), ⋯, b⃗_{n}A= λ_{n}b⃗_{n}= = f_{A}(b⃗_{n}). tj. máme, že f_{A}(b⃗_{1})= λ_{1}b⃗_{1}+ 0b⃗_{2}+ ⋯ + 0b⃗_{n}, ⋯, f_{A}(b⃗_{n})= 0b⃗_{1}+ ⋯ + λ_{n}b⃗_{n}. Teda lineárna transformácia f_{A} : R^{n}→R^{n} (ktorá vzhľadom na (e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n}) má maticu A) má vzhľadom na bázu (b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{n}) maticu diag(λ_{1}, ⋯, λ_{n}). Potom z jednej z viet vieme, že A je podobná diag(λ_{1}, ⋯, λ_{n}).

Príklad. Matica A = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ 𝔐_{nn}(ℝ) nie je podobná diagonálnej matici.

χ_{A}(t) = det( \begin{matrix}t−1 & −1 \\ 0 & t−1 \end{matrix} ) = (t−1)^{2}. Keby A bola podobná diagonalnej matici, tak by

bola podobná ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ). Teda by existovala regulárna matica P taká, že ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) =

= PAP^{−1}= ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) – to nie je pravda, preto A nie je podobná diagonálnej matici.

Vlastné vektory patriace k vlastnej hodnote λ= 1: (x_{1}, x_{2}) ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = 1·(x_{1}, x_{2}). Z toho: x_{1}= x_{1} a x_{1}+ x_{2}= x_{2} Potom x_{1}= 0. Vlastné vektory sú tvaru: k(0, 1); k∈ℝ−{0}. Vlastné vektory negenerujú celé ℝ^{2}, podľa vety A nie je podobná diagonálnej matici.

Veta 12.7. Nech A∈𝔐_{nn}(R) a nech λ_{1}, ⋯, λ_{r}∈R sú také vlastné hodnoty matice A, ktoré sú navzájom rôzne. Nech b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{r} sú vlastné vektory patriace λ_{1}, ⋯, λ_{r}. Potom b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{r} sú lineárne nezávislé.

Dôkaz. Indukcia podľa r: 1^{∘} Pre r= 1 keďže b⃗_{1}≠ 0 je lineárne nezávislé, tvrdenie platí. 2^{∘} Predpokladajme, že tvrdenie platí pre r−1. Teraz nech λ_{1}, ⋯, λ_{r} je r navzájom rôznych vlastných hodnôt, nech príslušné vlastné vektory sú b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{r}. Nech α_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + α_{r}b⃗_{r}= 0. Chceme ukázať, že α_{1}= ⋯ = α_{r}= 0. Sprava (λ_{r}I_{n}−A): α_{1}b⃗_{1}(λ_{r}I_{r}−A)+ ⋯ + α_{r−1}b⃗_{r−1}(λ_{r}I_{r}−A)= 0(λ_{r}I_{r}−A) ⇔ α_{1}b⃗_{1}λ_{r}I_{r}−α_{1}λ_{1}b⃗_{1}+ ⋯ ⋯ + α_{r−1}b⃗_{r−1}λ_{r}I_{r}−α_{r−1}λ_{r−1}b⃗_{r−1}+ α_{r}b⃗_{r}λ_{r}I_{r}−α_{r}λ_{r}b⃗_{r}= 0 ⇔ α_{1}λ_{r}b⃗_{1}−α_{1}λ_{1}b⃗_{1}+ ⋯ ⋯ + α_{r−1}λ_{r}b⃗_{r−1}+ α_{r−1}λ_{r−1}b⃗_{r−1}+ α_{r}λ_{r}b⃗_{r}−α_{r}λ_{r}b⃗_{r}= 0. Teda α_{1}(λ_{r}−λ_{1})b⃗_{1}+ ⋯ + + α_{r−1}(λ_{r}−λ_{r−1})b⃗_{r−1}= 0. Z indukčného predpokladu vieme, že b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{r−1} sú lineárne nezávislé. Preto α_{1}(λ_{r}−λ_{1})= 0, ⋯, α_{r−1}(λ_{r}−λ_{r−1})= 0. Ale λ_{i}≠ λ_{j} pre i≠ j, teda λ_{r}−λ_{1}≠ 0, ⋯, λ_{r}−λ_{r−1}≠ 0, z toho: α_{1}= ⋯ = α_{r−1}= 0. Zostáva α_{r}b⃗_{r}= 0. Pretože b⃗_{r}≠ 0, máme aj α_{r}= 0.

Dôsledok. Ak A je taká matica, že má n navzájom rôznych vlastných hodnôt, tak príslušné vlastné vektory sú lineárne nezávislé, teda generujú celé R^{n}, a teda je podobná diagonálnej matici diag(λ_{1}, ⋯, λ_{n}).

Niektoré fakty o polynómoch.

Veta 12.8. Nech polynóm p(t) je stupňa n≥0; q(t) je stupňa m≥0 nad R. Potom existuje jediný polynóm d(t) a jediný polynóm r(t) (deg(r(t))<m) také, že p(t)= d(t)q(t)+ r(t)

Veta 12.9. Nech p(t)∈R[t], deg(p(t))≥1. Potom α∈R je koreňom p(t) práve vtedy, keď p(t)= (t−α)q(t), kde deg(q(t))= deg(p(t))−1.

Dôkaz. ⇒ : Predpokladajme, že α∈R je koreň. Teda p(α)= 0. Z vety 12.8 vieme, že: p(t)= (t−α)q(t)+ r(t), kde deg(r(t))<1. Keďže p(α)= 0= r(α), máme r(t)≡0, teda p(t)= (t−α)q(t). ⇐ : Ak p(t)= (t−α)q(t), tak p(α)= (α−α)q(t)= 0, teda α je koreň.

Definícia 10.11. Hovoríme, že polynóm p(t)= a_{n}t^{n}+ ⋯ + a_{1}t+ a_{0}∈R[t] sa nad R úplne rozkladá na lineárne činitele, ak p(t) sa dá vyjadriť v tvare p(t)= a_{n}(t−α_{1}) ⋯ ⋯ (t−α_{n}) pre dáke α_{1}, ⋯, α_{n}∈R. Keď združíme rovnaké činitele, tak dostaneme: p(t)= a_{n}(t−α_{1})^{k_{1}} ⋯ (t−α_{s})^{k_{s}}, pričom ∑ k_{i}= n.

Príklad. Polynóm t^{2}+ 1 sa nad ℝ nerozkladá úplne na lineárne činitele, ale nad ℂ sa rozkladá.

Základna veta algebry. Každý nekonštantný polynóm z ℂ[t] má v ℂ koreň.

Dôsledok. Každý polynóm z ℂ[t] sa úplne rozkladá na lineárne činitele nad ℂ.

Tvrdenie 12.4. Každý nekonštantný polynóm s reálnymi koeficientmi sa rozkladá na súčin polynómov stupňa ≤2.

Dôkaz. Nech p(t)= a_{n}t^{n}+ ⋯ + a_{1}t+ a_{0}, α_{i}∈ℝ. Ak p(t) chápeme ako polynóm nad ℂ a z_{0}∈ℂ je jeho koreň, tak aj z̄_{0} je koreň, lebo p(z_{0})= 0= a_{n}z_{0}^{n}+ ⋯ + a_{1}z_{0}+ a_{0}, a teda tiež 0= \overline{a_{n}z_{0}^{n}+ ⋯ + a_{1}z_{0}+ a_{0}}= \overline{a_{n}z_{0}^{n}}+ ⋯ + \overline{a_{1}z_{0}}+ ā_{0}= a_{n}(z̄_{0})^{n}+ ⋯ + a_{1} z̄_{0}+ a_{0}. Z dôsledku základnej vety algebry vieme, že p(t)= a_{n}(t−z_{1}) ⋯ (t−z_{n}) pre z_{i}∈ℂ. Ale ak z_{i} je koreň, tak aj z̄_{i} je koreň, teda pre ∀i∈{1, ⋯, n} z_{i}= z̄_{j} pre vhodné

j∈\{1, ⋯, n\}. Teda p(t) obsahuje súčiny (t−z_{j})(t−z̄_{j})= t^{2}− \underbrace{(z_{j}+ z̄_{j})}_{∈ℝ} + \underbrace{z_{j}z̄_{j}}_{∈ℝ}; ob-

sahuje činitele stupňa 1 ∨ 2.

Tvrdenie 12.5. Ak p(t)∈ℝ[t] má nepárny stupeň, tak p(t) má koreň v ℝ.

Dôkaz. Z predchádzajúcich úvah vyplýva, že ak p(t)∈ℝ[t] nemá reálne korene, tak má párny stupeň.

Veta 12.10. Nech A∈𝔐_{nn}(R) má charakteristický polynóm χ_{A}(t)∈R[t] taký, že sa úplne rozkladá nad R na navzájom rôzne lineárne činitele, χ_{A}(t)= (t−λ_{1}) ⋯ (t−λ_{n}); λ_{i}≠ λ_{j} pre i≠ j. Nech b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{n} sú vlastné vektory patriace k λ_{1}, ⋯, λ_{n}, označme V_{A}(b⃗_{i})= [b⃗_{i}]⊂R^{n}. Potom matica A je podobná diagonálnej matici diag(λ_{1}, ⋯, λ_{n}) a R^{n}= [b⃗_{1}]⊕ ⋯ ⊕[b⃗_{n}].

Dôkaz. To, že A je podobná diag(λ_{1}, ⋯, λ_{n}) už vlastne vieme z dôsledku vety 12.7. Tiež vieme, že b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{n} generujú celé R^{n}. Teda každé x⃗∈R^{n} je tvaru x⃗= α_{1}b⃗_{1}+ ⋯ ⋯ + α_{n}b⃗_{n}, teda R^{n}= [b⃗_{1}]⊕ ⋯ ⊕[b⃗_{n}]. Ale [b⃗_{i}]∩([b⃗_{1}]⊕ ⋯ ⊕[b⃗_{i−1}]⊕[b⃗_{i+1} ]⊕ ⋯ ⊕[b⃗_{n}])= = {0} pre každé i. (keby nie,tak by pre dáke αb⃗_{i}= β_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + β_{i−1}b⃗_{i−1}+ β_{i+1} b⃗_{i+1} + + ⋯ + β_{n}b⃗_{n}, čo je nemožné, lebo b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{n} sú lineárne nezávislé.) Teda v skutočnosti: R^{n}= [b⃗_{1}]⊕ ⋯ ⊕[b⃗_{n}].

Definícia 12.12. Pre A∈𝔐_{nn}(R) definujme jej k-tú mocninu (k∈ℤ, k≥0) takto: A^{0}= I_{n}, A^{1}= A, A^{k}= A·A^{k−1}.

Veta Cayley-Hamiltonova. Nech χ_{A}(t) = a_{n}t^{n} + ⋯ + a_{1}t + a_{0} ∈ R[t] je charakteristický polynóm matice A ∈ 𝔐_{nn}(R). Potom platí a_{n}A^{n} + a_{n−1}A^{n−1} + ⋯ + a_{1}A + a_{0}I_{n} = 0. Stručne χ_{A}(A) = 0.

Dôkaz. Ak B= ( ⋮ ... ⋮_{b_{n1} ··· b_{nn}}^{b_{11} ··· b_{1n}} ) máme

B·adj(B) = ( ⋮ ... ⋮_{b_{n1} ··· b_{nn}}^{b_{11} ··· b_{1n}} ) ( ⋮ ... ⋮_{B_{1n} ··· B_{nn}}^{B_{11} ··· B_{n1}} ) = diag(det(B), ⋯, det(B)) = det(B)I_{n}

to platí aj pre matice nad komutatívnym okruhom s 1. Špeciálne:

(∗) (tI_{n}−A)adj(tI_{n}−A)= det(tI_{n}−A)·I_{n})= χ_{A}(t)·I_{n}

Ľubovoľnú maticu nad okruhom R[t] môžeme napísať v tvare ”polynóm” s koeficientami z M_{nn}(R) pri mocninách t. Napr.:

( \begin{matrix}t^{3} & t^{2} & −1 \\ 0 & t & 2t \\ t+ t^{2} & t+ t^{2} & t^{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) t^{3}+ ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) t^{2}+ ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) t+ ( \begin{matrix}0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

adj(tI_{n}−A) takto napíšeme ako ”polynóm” s konštantnými maticovými koeficientmi stupňa ≤n−1. Teda adj(tI_{n} − A) = B_{0} + B_{1}t + ⋯ + B_{n−1}t^{n−1} pre vhodné B_{0}, ⋯, B_{n−1}∈𝔐_{nn}(R). Teda (∗) prepíšeme (tI_{n}−A)(B_{0}+ B_{1}t+ ⋯ + B_{n−1}t^{n−1})= = (a_{0}+ a_{1}t+ ⋯ + a_{n−1}t^{n−1}+ t^{n})I_{n}. Porovnáme koeficienty na ľavej a pravej strane pri rovnakých mocninách t.

t^{0} :  −AB_{0} = a_{0}I_{n}  /·A^{0}
t^{1} :  B_{0}−AB_{1} = a_{1}I_{n}  /·A
t^{2} :  B_{1}−AB_{2} = a_{2}I_{n}  /·A^{2}
⋮  ⋮  ⋮
t^{n−1} : B_{n−2}−AB_{n−1} = a_{n−1}I_{n}  /·A^{n−1}
t^{n} :  B_{n−1} = I_{n}  /·A^{n}

Sčítaním ľavých resp. pravých strán: a_{0}I_{n}+ a_{1}A+ ⋯ + a_{n−1}A^{n−1}+ A^{n}= 0.

Veta 12.11 a Definícia 12.13. Pre každú maticu A∈𝔐_{nn}(R) existuje práve jeden polynóm μ_{A}(t)∈R[t] s koeficientom 1 pri najvyššej mocnine t taký, že ”μ_{A}(A)= 0” a taký, že každý polynóm R[t]∋p(t)≠ 0 s vlastnosťou ”p(A)= 0” je násobkom polynómu μ_{A}(t). Polynóm μ_{A}(t) sa nazýva minimálny polynóm matice A.

Dôkaz. Označme N_{A}= {p(t)∈R[t]; p(A)= 0 a ak p(t)≠ 0, tak má koeficient 1 pri najvyššej mocnine}. N_{A}≠ ∅, lebo z Cayley − Hamiltonovej vety vieme, že χ_{A}(t)∈N_{A}. Zároveň je jasné, že v N_{A} existujú polynómy stupňa ≥0. Nech μ_{A}(t) je polynóm najmenšieho stupňa ≥1 v N_{A}. Nech p(t)≠ 0 je taký, že p(A)= 0. Chceme ukázať, že p(t) je násobkom μ_{A}(t). Vieme, že existuje jediný p(t) a jediný r(t) tak, že p(t) = μ_{A}(t)q(t) + r(t), pričom deg(r(t)) < deg(μ_{A}(t)). Máme r(A) = 0 a zároveň deg(r(t))< deg(μ_{A}(t)), to je možné len tak, že r(t)≡0, teda p(t) je q(t)-násobkom polynómu μ_{A}(t). Ešte treba ukázať jednoznačnosť: Nech by boli dva také polynómy μ_{A}(t); μ̄_{A}(t) s potrebnými vlastnosťami. Potom μ̄_{A}(t) je násobkom polynómu μ_{A}(t), ale aj μ_{A} je násobkom μ̄_{A}(t). Pretože μ_{A}(t) aj μ̄_{A}(t) má koeficient 1 pri najvyššej mocnine, dostávame μ_{A}(t)= μ̄_{A}(t).

Príklad. A= ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ), χ_{A}(t)= (t−1)^{2}. μ_{A}(t) by mohol byť (t−1)^{2} alebo (t−1).

( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ≠ ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) teda t−1 nie je minimálny polynóm. Teda μ_{A}(t)= (t−1)^{2}.

Jordanov normálny tvar matice (lineárnej transformácie).

Definícia 12.14. Ak f : R^{n}→R^{n} je lineárna transformácia a λ∈R je jej vlastná hodnota, tak (f − λ)^{k} bude označovať lineárnu transformáciu (f − λid_{R^{n}}) ∘ ⋯ ∘ ∘(f−λid_{R^{n}}) : R^{n}→R^{n}. Špeciálne: (f−λ)^{0}= id_{R^{n}}. Označme V_{f}(λ)= {x⃗∈R^{n}; existuje n≥0 také, že (f−λ)^{n}(x⃗)= 0}. Vlastné vektory lineárnej transformácie f patriace k λ patria do V_{f}(λ): ak v⃗ je vlastný vektor patriaci k λ, tak f(v⃗)= λv⃗ tj. (f−λ)(v⃗)= 0.

Definícia 12.15. V_{f}(λ) sa nazýva zovšeobecnená vlastná množina patriaca k vlastnej hodnote λ.

Veta 12.12. 1._{)}V_{f}(λ) je vektorový podpriestor v R^{n}. 2._{)}f(V_{f}(λ))⊂V_{f}(λ) (tomu sa hovorí, že V_{f}(λ) je f-invariantný podpriestor v R^{n}.) 3._{)} Pre x⃗∈R^{n} označme x⃗_{i}= (f−λ)^{i}(x⃗). Ale x⃗_{0}, ⋯, x⃗_{k−1} sú (pre dáke k) nenulové, ale už x⃗_{k}= 0, tak potom x⃗_{0}, ⋯, x⃗_{k−1} sú lineárne nezávislé.

Dôkaz. 1._{)} V_{f}(λ)≠ ∅, lebo tam patria vlastné vektory f. Nech x⃗, y⃗∈V_{f}(λ) sú ľubovoľné, nech α∈R, β∈R. Chceme ukázať, že αx⃗+ βy⃗∈V_{f}(λ). Máme (f−λ)^{k}(x⃗)= 0 pre dáke k≥0; (f−λ)^{m}(y⃗)= 0 pre dáke m≥0. Potom (f−λ)^{k+ m}(αx⃗+ βy⃗) = (f−λ)^{m}(f−λ)^{k}·

·(αx⃗+ βy⃗)= (f−λ)^{m}(\underbrace{α(f−λ)^{k}(x⃗)}_{0}+ β(f−λ)^{k}(y⃗))= β(f−λ)^{m}(f−λ)^{k}(y⃗)= β(f−λ)^{k}·

· \underbrace{(f−λ)^{m}(y⃗)}_{0} = 0.

2._{)} Nech y⃗∈f(V_{f}(λ)). Chceme ukázať, že y⃗∈V_{f}(λ). Máme y⃗= f(x⃗) pre dáke x⃗∈V_{f}(λ) Teda ∃m≥0: (f−λ)^{m}(x⃗)= 0. Potom (f−λ)^{m}(y⃗)= (f−λ)^{m}(f(x⃗))= (f−λ)^{m}∘f(x⃗) =

f∘ \underbrace{(f−λ)^{m}(x⃗)}_{0} = 0, teda y⃗∈V_{f}(λ).

3._{)} Nech α_{0}x⃗_{0}+ ⋯ + α_{k−1}x⃗_{k−1}= 0, chceme ukázať, že α_{0}= ⋯ = α_{k−1}= 0. Máme α_{0}(f−λ)^{0}(x⃗)+ α_{1}(f−λ)^{1}(x⃗)+ ⋯ + α_{k−1}(f−λ)^{k−1}(x⃗)= 0. Aplikujeme na obe strany (f−λ)^{k−1}. Potom α_{0}(f−λ)^{k−1}(x⃗)+ α_{1}(f−λ)^{k}(x⃗)+ ⋯ + α_{k−1}(f−λ)^{2k−1}(x⃗)= 0 α_{0}x⃗_{k−1}+ 0+ ⋯ + 0= 0 ⇔ x⃗_{k−1}≠ 0 ⇒ α_{0}= 0. Zostáva: α_{1}(f−λ)^{1}(x⃗)+ ⋯ + α_{k−1}(f−λ)^{k−1}(x⃗)= 0 /(f−λ)^{k−2} α_{1}(f−λ)^{k−1}(x⃗)+ ⋯ + α_{k−1}(f−λ)^{2k−3}(x⃗)= 0 α_{1}x⃗_{k−1}+ 0+ ⋯ + 0= 0 ⇒ α_{1}= 0 atď. α_{i}= 0 ∀i.

Dôsledok. ∀a⃗∈V_{f}(λ) máme (f−λ)^{n}(a⃗)= 0.

Dôkaz. Nech a⃗∈V_{f}(λ) je ľubovoľný. Ak (f−λ)^{n}(a⃗)≠ 0, tak aj a⃗_{i}= (f−λ)^{i}(a⃗)≠ 0 pre i = 0, ⋯, n. Z 3._{)} by sme mali (keďže existuje m≥0 : (f−λ)^{m}(a⃗)= 0, pretože a⃗∈V_{f}(λ)), že a⃗_{0}, ⋯, a⃗_{n} sú lineárne nezávislé. Ale je ich n+ 1 a sú v R^{n}–spor.

Definícia 12.16. Jordanova matica typu n×n nad poľom R patriaca k vlastnej hodnote λ (lineárnej transformácie, resp. matice) je matica, ktorá má na hlavnej diagonále samé λ, na susednej (zhora) čiare rovnobežnej s hlavnou diagonálou má samé 1, a inde 0. Ozn. J_{n}(λ).

Príklad. J_{1}(λ)= (λ), J_{2}(λ)= ( \begin{matrix}λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix} ) , J_{3}(λ)= ( \begin{matrix}λ & 1 & 0 \\ 0 & λ & 1 \\ 0 & 0 & λ \end{matrix} ).

Veta 12.13. Nech f : R^{n}→R^{n} je lineárna transformácia, ktorá má jedinú a pritom n-násobnú vlastnú hodnotu λ∈R. Potom V_{f}(λ)= R^{n} a vo V_{f}(λ) existuje báza, vzhľadom na ktorú má f maticu A(λ)∈𝔐_{nn}(R), pozostávajúca z Jordanových matíc J_{q_{1}}(λ), ⋯, J_{q_{r}}(λ) (kde q_{1}≥ ⋯ ≥q_{r}) umiestnených pozdĺž hlavnej diagonály a okrem toho už iba z núl. q_{1}+ ⋯ + q_{r}= n

A(λ)= ( \begin{matrix}J_{q_{1}}(λ) & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & J_{q_{2}}(λ) & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & J_{q_{r}}(λ) \end{matrix} )

Veta 12.14. Pre maticu A∈𝔐_{nn}(R) takú, že má jedinú n-násobnú vlastnú hodnotu λ∈R platí, že V_{f}(λ)= R^{n} a matica A je podobná matici A(λ)∈𝔐_{nn}(R) pozostávajúcej z Jordanových matíc: J_{q_{1}}(λ), ⋯, J_{q_{r}}(λ) umiestnených pozdĺž hlavnej diagonály (q_{1}+ ⋯ + q_{r}= n) ináč iba z núl.

Dôkaz. χ_{A}(t)= (t−λ)^{n}. Z Cayley − Hamiltonovej vety: (f−λ)^{n}≡0. Tj. pre ∀x⃗∈R^{n} : (f−λ)^{n}(x⃗)= 0; z toho teda R^{n}= V_{f}(λ).

Veta 12.15. Nech f : R^{n}→R^{n} je lineárna transformácia taká, že jej charakteristický polynóm je: χ_{f}(t)= (t−λ_{1})^{n_{1}}(t−λ_{2})^{n_{2}} ⋯ (t−λ_{s})^{n_{s}} (kde n_{1}+ ⋯ + n_{s}= n). Potom R^{n}= V_{f}(λ_{1})⊕ ⋯ ⊕V_{f}(λ_{s}) a pre každé V_{f}(λ_{i}); i= 0, 1 ⋯, s existuje jeho báza, vzhľadom na ktorú má f↾_{V_{f} (λ_{i})} : V_{f}(λ_{i}→V_{f}(λ_{i}) maticu A(λ_{i})∈𝔐_{n_{i}n_{i}}(R) pozostávajúcu z Jordanových matíc (súčet stupňov ktroých je n_{i}) umiestnených pozdĺž hlavnej diagonály a ináč iba z núl. Teda vzhľadom na bázu (B_{1}, ⋯, B_{s}) priestoru R^{n} má f maticu tvaru:

A(λ)= ( \begin{matrix}J_{q_{1}}(λ) & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & J_{q_{2}}(λ) & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & J_{q_{r}}(λ) \end{matrix} ) (∗)

Potom χ_{A}(t)= (t−λ_{1})^{n_{1}} ⋯ (t−λ_{s})^{n_{s}}. (∑ n_{i}= n) platí, že R^{n}= V_{f}(λ_{1})⊕ ⋯ ⊕V_{f}(λ_{s}) a matica A je podobná matici tvaru (∗).

Definícia 12.17. Matica (∗) je tzv. Jordanov normálny tvar matice A.

Poznámka. 1._{)} Každá matica A∈𝔐_{nn}(ℂ) spĺňa predpoklady vety a teda k nej existuje nejaký Jordanov normálny tvar. 2._{)} Špeciálne, ak matica A∈𝔐_{nn}(R) je taká, že χ_{A}(t)= (t−λ_{1}) ⋯ (t−λ_{n}) kde λ_{i}≠ λ_{j} pre i ≠ j, tak sme už dávnejšie dokázali, že A je podobná diagonálnej matici diag(λ_{1}, ⋯, λ_{n}). Toto je Jordanov normálny tvar takejto matice A.

Tvrdenie 12.6. 1._{)} Jordanov normálny tvar je jediný, odhliadnime od permutácie Jordanových matíc pozdĺž hlavnej diagonály. 2._{)} Dve matice A, B∈𝔐_{nn}(R) také, že ich charakteristické polynómy sa nad R úplne rozkladajú na lineárne činitele sú podobné práve vtedy, keď pripúšťajú ten istý Jordanov normálny tvar. 3._{)} Počet Jordanových matíc v Jordanovom normálnom tvare matice A sa rovná najmenšiemu možnému počtu lineárne nezávislých vlastných vektorov matice A. 4._{)} Počet Jordanových matíc zodpovedajúcich nejakej vlastnej hodnote matice A sa rovná maximálnemu počtu lineárne nezávislých vlastných vektorov patriacich k tej vlastnej hodnote. Ak χ_{A}(t)= (t−λ_{1})^{m_{1}} ⋯ (t−λ_{s})^{m_{s}}, kde λ_{1}, ⋯, λ_{s}∈R; (λ_{i}≠ λ_{j} pre i≠ j) tak m_{i}= súčet stupňov Jordanových matíc patriacich k λ_{i}. 5._{)} Stupeň najväčšej spomedzi Jordanových matíc patriacich k vlastnej hodnote λ sa rovná násobnosti λ ako koreňa minimálneho polynómu. 6._{)} Nech χ_{A}(t)= (t−λ_{1})^{m_{1}} ⋯ (t−λ_{s})^{m_{s}}, λ_{i}∈R, λ_{i}≠ λ_{j} pre i≠ j. Potom stupeň najväčšej spomedzi Jordanových matíc patriacich k λ_{i} určíme takto: vyrátame A−λ_{i}I_{n}, (A−λ_{i}I_{n})^{2}, · · ·. Zistíme, že hodnosť matice (A−λ_{i}I_{n})^{k} s rastom k po čase prestane klesať. Práve najmenšia hodnota k, pre ktorú sa dosiahne najnižšia hodnosť sa rovná stupni najväčšej Jordanovej matici patriacej k λ_{i}.

Príklad.

A= ( \begin{matrix}6 & 5 & −4 & −\frac{11}{3} \\ 2 & 3 & −2 & −\frac{4}{3} \\ 1 & 1 & 0 & −\frac{2}{3} \\ 6 & 6 & −6 & −3 \end{matrix} )  χ_{A}(t)= (t−1)^{2}(t−2)^{2} teda existuje jej Jordanov normálny tvar.

h(A−2I_{4})= 3; h((A−2I_{4})^{2})= 2; h((A−2I_{4})^{2})= 2, ⋯ Teda v Jordanovom normálnom tvare bude J_{2}(2)= ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ). h(A−1I_{4})= 2; h((A−1I_{4})^{2})= 2, ⋯ stupeň najväčšej Jordanovej matice patrice k 1 bude 1. Z toho Jordanov normálny tvar matice A je:

A(λ)= ( \begin{matrix}2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Poznámka. Nech charakteristický polynóm matice A∈𝔐_{nn}(R) je χ_{A}(t)= (t−λ)^{n}. Potom:

(i) Najväčšia Jordanova matica má stupeň k_{1}, kde k_{1} je najmenšie celé také, že (A−λI_{n})^{k_{1}}= 0. (ii)h((A−λI_{n})^{k_{1} −1})= počet Jordanových matíc stupňa k_{1}. (iii)h((A−λI_{n})^{k_{1} −2})= (2·počet Jordanových matíc stupňa k_{1})+ (počet Jordanových matíc stupňa (k_{1}−1)). (iv)h((A−λI_{n})^{k_{1} −3})= (3·počet JM stupňa k_{1})+ 2·(počet JM stupňa k_{1}−1)+ 1·(počet JM stupňa (k_{1}−2)). atď.

Príklad.

A= ( \begin{matrix}1 & −3 & 0 & 3 \\ −2 & −6 & 0 & 13 \\ 0 & −3 & 1 & 3 \\ −1 & −4 & 0 & 8 \end{matrix} ) ∈𝔐_{4,4}(ℝ) \begin{matrix}χ_{A}(t)= (t−1)^{4}, h(A−1I_{4})= 2 \\ h((A−1I_{4})^{2})= 1, h(A−1I_{4})^{3})= 0 \end{matrix}

Potom počet Jordanových matíc stupňa 3 je h((A−1I_{4})^{2})= 1.

Jordanov normálny tvar matice A je A(λ)= ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

XIII. KVADRATICKÉ FORMY (nad poľom ℝ)

Budeme uvažovať o n (n≥0) premenných x_{1}, ⋯, x_{n}, ktoré budú môcť nadobúdať reálne hodnoty, pritom bude platiť x_{i}x_{j}= x_{j}x_{i} ∀i, j. Potom kvadratická forma n premenných x_{1}, ⋯, x_{n} je výraz tvaru: ∑_{1≤i≤j≤n} a_{ij}x_{i}x_{j}, kde a_{ij}∈ℝ sú tzv. koefi-

cienty kvadratickej formy.

Príklad. 1._{)} 0 je kvadratická forma, kde a_{ij}= 0 ∀i, j. 2._{)} x_{1}^{2}+ x_{2}^{2} je kvadratická forma dvoch premenných. 3._{)} x_{1}^{2}+ 2x_{1}x_{2}−3x_{2}x_{3} je kvadratická forma troch premenných.

x_{1}^{2}+ 2x_{1}x_{2}−3x_{2}x_{3}= (x_{1} x_{2} x_{3} ) ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & −3 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} )

Kvadratickú formu ∑ a_{ij}x_{i}x_{j} (n premenných) môžeme napísať v tvare: XAX^{T}, kde X= (x_{1}, ⋯, x_{n}),

A= ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & ⋯ & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} ) Ale takýchto zápisov v tvare X·matica·X^{T} je nekonečne veľa napr. tiež: X ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} −ε & ··· & a_{1n} \\ −ε & a_{22} & ··· & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ··· & a_{nn} \end{matrix} ) X^{T}

pre ľubovoľné ε∈ℝ.

Veta 13.1. Pre každú kvadratickú formu ∑ a_{ij}x_{i}x_{j} existuje jediná symetrická matica S∈𝔐_{nn}(ℝ) taká, že ∑_{1≤i≤j≤n} a_{ij}x_{i}x_{j}= XSX^{T}, kde X= (x_{1}, ⋯, x_{n}).

Dôkaz. S= s_{ij}; s_{ij}= s_{ji}. Musí byť ∑_{1≤i≤j≤n} a_{ij}x_{i}x_{j}= ∑_{1= i,j}^{n} s_{ij}x_{i}x_{j}. Z porovnávania:

a_{ii}= s_{ii} pre i= 1, ⋯, n a pre i≠ j : s_{ij}+ s_{ji}= 2s_{ij}= a_{ij} ⇒ s_{ij}= \frac{1}{2}a_{ij}. S je matica kvadratickej formy.

Príklad.

2x_{1}^{2}−x_{1}x_{2}+ x_{3}^{2} ⇔ (x_{1} x_{2} x_{3} ) ( \begin{matrix}2 & −\frac{1}{2} & 0 \\ −\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} )

Definícia 13.1. Regulárnou lineárnou transformáciou premenných X= (x_{1}, ⋯, x_{n}) rozumieme zavedenie nových premenných Y= (y_{1}, ⋯, y_{n}) takých, že Y= XP pre dáku regulárnu maticu P∈𝔐_{nn}(ℝ). Y= XP ⇔ X= YP^{−1}.

Kvadratické formy budeme zapisovať v tvare XSX^{T}, kde S = S^{T} ∈ 𝔐_{nn}(ℝ), X = (x_{1}, ⋯, x_{n}). Urobme v kvadratickej forme XSX^{T} regulárnu lineárnu transformáciu premenných Y = XP. Keďže P je regulárna, máme X = YP^{−1}, teda XSX^{T}= YP^{−1}S(YP^{−1})^{T}= Y \underbrace{P^{−1}S(P^{−1})^{T}}_{B}Y^{T}. Máme B^{T}= (P^{−1}S(P^{−1})^{T})^{T}=

= P^{−1}S(P^{−1})^{T} = B, teda B je symetrická. Od formy XSX^{T} premenných X= (x_{1}, ⋯, x_{n}) sme prešli ku kvadratickej forme n premenných Y= (y_{1}, ⋯, y_{n}), YBY^{T} pričom B= P^{−1}S(P^{−1})^{T}. tj. S= PBP^{T}.

Definícia 13.2. Matice A, B∈𝔐_{nn}(ℝ) sú kongruentné (nad ℝ) ak existuje regulárna matica Q∈𝔐_{nn}(ℝ) taká, že A= QBQ^{T}.

Poznámka. Ak kvadratickú formu XSX^{T} upravíme regulárnou lineárnou transformáciou premenných na ”novú” kvadratickú formu, tak matice týchto foriem sú kongruentné.

Veta 13.2. Každú (nenulovú) kvadratickú formu n premenných možno vhodnou regulárnou lineárnou transformáciou premenných previesť na tvar: y_{1}^{2}+ ⋯ + y_{k}^{2}−y_{k+1}^{2} − ⋯ −y_{n}^{2}, kde s≤n.

Dôkaz. Majme (nenulovú) kvadratickú formu XSX^{T}, kde X= (x_{1}, ⋯, x_{n}), S≠ 0 S= S^{T}= (s_{ij})∈𝔐_{nn}(ℝ). Vhodnou regulárnou lineárnou transformáciou premenných môžeme XSX^{T} previesť na ZBZ^{T}, kde Z= (z_{1}, ⋯, z_{n}), B= B^{T}= (b_{ij})∈𝔐_{nn}(ℝ), pričom už b_{11} ≠ 0. Ak existuje i∈{1, ⋯, n} také, že s_{ii} ≠ 0, tak zoberieme x_{i}= z_{1}, x_{1}= z_{i}, x_{j}= z_{j} pre 1≠ j≠ i. Ak s_{11}= ⋯ = s_{nn}= 0 tak existujú dáke i, j∈{1, ⋯, n} i≠ j, s_{ij}≠ 0. Potom zavedieme nové premenné (y_{1}, ⋯, y_{n}), x_{i}= y_{1}+ y_{j}; x_{j}= y_{i}−y_{j}; x_{k}= y_{k} pre i≠ k≠ j. To je regulárna lineárna transformácia premenných. Dostaneme: XSX^{T} = 2 \underbrace{s_{ij}}_{≠0}x_{i}x_{j}+ členy bezx_{i}x_{j} = 2s_{ij}(y_{i}^{2}−y_{j}^{2})+ členy bez y_{i}^{2}= 2s_{ij}y_{i}^{2}+ členy

bez y_{i}^{2}, máme XSX^{T}= YCY^{T}, kde C= (c_{ij}) má c_{ii}= 2s_{ij}≠ 0. Potom zámenou premenných z_{1}= y_{i}; z_{i}= y_{1}; z_{j}= y_{j} pre 1≠ j≠ i prejdeme k forme ZBZ^{T}, kde už b_{11} ≠ 0. Teraz: XSX^{T}= ZBZ^{T}= b_{11}z_{1}^{2}+ b_{12}z_{1}z_{2}+ ⋯ + b_{1n}z_{1}z_{n}+ b_{21}z_{2}z_{1}+ ⋯ + b_{n1}z_{n}z_{1}+

+ ∑_{2≤i;j≤n} b_{ij}z_{i}z_{j}= b_{11}z_{1}^{2}+ 2 ∑_{j=2}^{n}b_{ij}z_{1}z_{j}+ ∑_{2≤i;j≤n} b_{ij}z_{i}z_{j}= b_{11}(z_{1}^{2}+ 2z_{1} ∑_{j=2}^{n} \frac{b_{1j}}{b_{11}} z_{j})+

+ ∑_{2≤i;j≤n} b_{ij}z_{i}z_{j}= b_{11}(z_{1}+ ∑_{j=2}^{n} \frac{b_{1j}}{b_{11}} z_{j})^{2}+ ∑_{2≤i,j≤n} b_{ij}z_{i}z_{j}−b_{11} (∑_{j=2}^{n} \frac{b_{1j}}{b_{11}} z_{j})^{2},

zámena premenných: | \begin{matrix}u_{1}= z_{1}+ ∑_{j=2}^{n} \frac{b_{1j}}{b_{11}} z_{j} \\ u_{2}= z_{2} \\ ⋯ \\ u_{n}= z_{n} \end{matrix} |− to je regulárna lineárna transformácia premenných, jej matica: ( \begin{matrix}1 & 0 & ⋯ & 0 \\ \frac{b_{12}}{b_{11}} & 1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{b_{1n}}{b_{11}} & 0 & ⋯ & 1 \end{matrix} ) je regulárna. Dostaneme: XSX^{T}= ZBZ^{T}= b_{11}u_{1}^{2}+ ∑_{2≤i,j≤n} g_{ij}u_{i}u_{j}= b_{11}u_{1}^{2}+ UGU^{T},

kde G∈M_{n−1n−1}(ℝ); G= G^{T}, U= (u_{2}, ⋯, u_{n}). Opakovaním konečného počtu takýchto krokov dostaneme pomocou regulárnych lineárnych transformácií premenných, že XSX^{T}= d_{1}v_{1}^{2}+ ⋯ + d_{s}v_{s}^{2}, kde s≤n. Permutáciou premenných v_{1}, ⋯, v_{n} dostaneme, že XSX^{T}= c_{1}p_{1}^{2}+ ⋯ + c_{k}p_{k}^{2}+ c_{k+1} p_{k+1}^{2} + c_{s}p_{s}^{2}, kde c_{1}, ⋯, c_{k} sú kladné a c_{k+1} , ⋯, c_{k} sú záporné. Potom urobíme regulárnu lineárnu transformáciu premenných: y_{1}= \sqrt{c_{1}}p_{1}, ⋯, y_{k}= \sqrt{c_{k}}p_{k}, y_{k+1} = \sqrt{−c_{k+1}} p_{k+1} , ⋯, y_{s}= \sqrt{−c_{s}}p_{s}. Potom y_{1}^{2}+ ⋯ + y_{k}^{2}−y_{k+1}^{2} − ⋯ −y_{s}^{2}= XSX^{T}; s≤n

Dôsledok. Každá symetrická matica typu n×n nad ℝ je kongruentná s diagonálnou maticou, ktorá má na hlavnej diagonále iba prvky z {−1, 0, 1}.

Dôkaz. Ak S= S^{T}∈𝔐_{nn}(ℝ), tak XSX^{T} je kvadratická forma, ktorá sa regulárnou lineárnou transformáciou premenných upraví na tvar: y_{1}^{2}+ ⋯ + y_{k}^{2}−y_{k+1}^{2} − ⋯ −y_{s}^{2}, (s≤n),teda na kvadratickú formu s maticou diag(1, ⋯, 1, −1, ⋯, −1, 0, ⋯, 0). Matice tých kvadratických foriem sú kongruentné.

Veta 13.3. (o zotrvačnosti): Ak danú (nenulovú) kvadratickú formu XSX^{T} n premenných upravíme regulárnou lineárnou transformáciou premenných Y= XQ na y_{1}^{2}+ ⋯ + y_{k}^{2}−y_{k+1}^{2} − ⋯ −y_{s}^{2}, (s≤n) a regulárnou lineárnou transformáciou premenných Z= XH ju upravíme na z_{1}^{2}+ ⋯ + z_{r}^{2}−z_{r+1}^{2} − ⋯ −z_{t}^{2} (t≤n), tak k= r a s= t.

Poznámka. Táto veta odôvodňuje, prečo sa tvar y_{1}^{2}+ ⋯ + y_{k}^{2}−y_{k+1}^{2} − ⋯ −y_{s}^{2} (s≤n) nazýva aj kanonický tvar kvadratickej formy XSX^{T}.

Dôkaz. 1._{)} s= t : D_{1}= diag(\underbrace{1, ⋯, 1}_{k}, \underbrace{−1, ⋯, −1}_{s−k}, 0, ⋯, 0) je matica y_{1}^{2}+ ⋯ + y_{k}^{2}−

−y_{k+1}^{2} − ⋯ −y_{s}^{2}. Vieme, že S= QD_{1}Q^{T}. D_{2}= diag(\underbrace{1, ⋯, 1}_{r}, \underbrace{−1, ⋯, −1}_{t−r}, 0, ⋯, 0)

je matica z_{1}^{2}+ ⋯ + z_{r}^{2}−z_{r+1}^{2} − ⋯ −z_{t}^{2}. Tiež S= HD_{2}H^{T}. Pre hodnosť máme: h(S) = h(QD_{1}Q^{T})= dim(Imf_{Q^{T} D_{1} Q})= dim(Imf_{Q^{T}} f_{D_{1}}f_{Q}) = dim(Imf_{Q^{T}} f_{D_{1}}) = = dim(Imf_{D_{1}}) = h(D_{1}) = s (pretože Q aj Q^{T} je lineárny izomorfizmus.) 2._{)} k= r : Nech by r<k. f_{Q} : ℝ^{n}→ℝ^{n}, f_{H} : ℝ^{n}→ℝ^{n} sú lineárne izomorfizmy. Označme S_{1}= [e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{k}], S_{2}= [e⃗_{r+1} , ⋯, e⃗_{n}] podpriestory v ℝ^{n}. Teda dim(S_{1}) = k, dim(S_{2})= n−r. Označme T_{1}= f_{Q}^{−1}(S_{1}), T_{2}= f_{H}^{−1}(S_{2}). Pretože f_{Q}, f_{H} sú lineárne izomorfizmy, máme dim(T_{1})= k, dim(T_{2})= n−r. Tvrdíme, že T_{1}∩T_{2}≠ {0}. dim(T_{1}+ T_{2})= dim(T_{1})+ dim(T_{2})− dim(T_{1}∩T_{2})= dim(T_{1})+ dim(T_{2})= k+ n−r. Ale z predpokladu k−r>0, teda by bolo, že dim(T_{1}+ T_{2})>n spor s tým, že T_{1}+ T_{2}⊂ℝ^{n}.

Nech teraz c⃗∈T_{1}∩T_{2}, c⃗≠ 0. Máme D_{1}= diag(\underbrace{1, ⋯, 1}_{k}, \underbrace{−1, ⋯ − 1}_{s−k}, 0, ⋯, 0),

D_{2}= diag(\underbrace{1, ⋯, 1}_{r}, \underbrace{−1, ⋯, −1}_{s−r}). Vieme, že S= QD_{1}Q^{T}, S= HD_{2}H^{T}. Rátajme:

c⃗·S·c^{T}= c⃗·QD_{1}Q^{T}·c^{T}= (c⃗·Q)D_{1}(c⃗·Q)^{T}= f_{Q}(c⃗)D_{1}(f_{Q}(c⃗))^{T}. Keďže f_{Q}(c⃗)∈S_{1} máme: f_{Q}(c⃗)= (c̃_{1}, ⋯, c̃_{k}, 0, ⋯, 0), kde (c̃_{1}, ⋯, c̃_{k})≠ (0, ⋯, 0). Teda c⃗·S·c^{T}=

= (c̃_{1}, ⋯, c̃_{k}, 0, ⋯, 0)·diag(\underbrace{1, ⋯, 1}_{k}, −1, ⋯, −1, 0, ⋯, 0)(c̃_{1}, ⋯, c̃_{k}, 0, ⋯, 0)^{T}=

= (c̃_{1}, ⋯, c̃_{k}, 0, ⋯, 0)(c̃_{1}, ⋯, c̃_{k}, 0, ⋯, 0)^{T}= c̃_{1}^{2}+ ⋯ + c̃_{k}^{2}>0. Zároveň: c⃗·S·c^{T}=

= c⃗·HD_{2}H^{T}·c^{T}= f_{H}(c⃗)D_{2}(f_{H}(c⃗))^{T},0≠ f_{H}(c⃗)= (\underbrace{0, ⋯, 0}_{r}, ˜c̃_{r+1} , ⋯, ˜c̃_{s}). Preto

c⃗·S·c^{T}= (0, ⋯, 0, ˜c̃_{r+1} , ⋯, ˜c̃_{s})diag(\underbrace{1, ⋯, 1}_{r}, −1, ⋯, −1, 0, ⋯, 0)(0, ⋯, 0, ˜c̃_{r+1} ,

⋯, ˜c̃_{s})^{T}= (0, ⋯, 0, −˜c̃_{r+1} , ⋯, −˜c̃_{n}, 0, ⋯, 0)(0, ⋯, 0, ˜c̃_{r+1} , ⋯, ˜c̃_{s})^{T}= = −˜c̃_{r+1}^{2} − ⋯ − ˜ c̃_{s}^{2}<0 spor. Podobne sa odvodí spor z predpokladu r>k. Vcelku: r = k.

Definícia 13.3. Kvadratická forma XAX^{T} sa nazýva kladne definitná, ak pre všetky X≠ 0 je XAX^{T}>0. [nazýva sa kladne semidefinitná, ak XAX^{T}≥0 pre všetky X≠ 0; nazýva sa záporne definitná ak XAX^{T}<0 pre všetky X≠ 0.]

Definícia 13.4. Symetrická matica A∈𝔐_{nn}(ℝ) sa volá kladne definitná, ak kvadratická forma XAX^{T} je kladne definitná.

Veta 13.4. Ak kvadratická forma XAX^{T} je kladne definitná a Y= XP je regulárna lineárna transformácia premenných, tak kvadratická forma YBY^{T} získaná z XAX^{T} uvedenou regulárnou lineárnou transformáciou premenných je tiež kladne definitná.

Dôkaz. Vieme, že A= PBP^{T}, B= P^{−1}A(P^{−1})^{T}. Potom pre ľubovoľnú Y≠ 0 máme YBY^{T}= YP^{−1}A(P^{−1})^{T}Y^{T}= (YP^{−1})A(YP^{−1})^{T}, ak forma XAX^{T} je kladne definitná, tak YBY^{T}= (YP^{−1})A(YP^{−1})^{T}>0, lebo YP^{−1}≠ 0 (keďže P^{−1} je regulárna matica). Teda aj forma YBY^{T} je kladne definitná.

Veta 13.5. Kvadratická forma je kladne definitná práve vtedy, keď jej kanonický tvar je y_{1}^{2}+ ⋯ + y_{n}^{2}.

Dôkaz. ⇐ : Ak kanonický tvar je y_{1}^{2}+ ⋯ + y_{n}^{2}, tak pre všetky Y= (y_{1}, ⋯, y_{n})≠ 0 je y_{1}^{2}+ ⋯ + y_{n}^{2}>0. Z predchádzajúcej vety vyplýva, že aj pôvodná forma je kladne definitná. ⇒ : Predpokladajme, že daná kvadratická forma je kladne definitná. Jej kanonický tvar y_{1}^{2}+ ⋯ + y_{k}^{2}−y_{k+1}^{2} − ⋯ −y_{s}^{2}; s≤n. Keby bolo k<s<n, tak hodnota tejto kvadratickej formy v (\underbrace{0, ⋯, 0}_{k}, 1, 0, ⋯, 0) by bola −1, a teda táto kvadratická

forma by nebola kladne definitná tj. ani pôvodná by nebola kladne definitná –spor.

Veta 13.6. Matica A= A^{T}∈𝔐_{nn}(ℝ) je kladne definitná práve vtedy, keď existuje regulárna matica P∈M_{nn}(ℝ) taká, že A= PP^{T}.

Dôkaz. ⇒ : Predpokladajme, že A je kladne definitná. Teda kvadratická forma XAX^{T} je kladne definitná, teda jej kanonický tvar je y_{1}^{2}+ ⋯ + y_{n}^{2}= YI_{n}Y^{T}. Potom vieme, že A= PI_{n}P^{T}, kde Y= XP je regulárna lineárna transformácia premenných, ktorá XAX^{T} prevedie na YI_{n}Y^{T}. ⇐ : Predpokladajme, že A= PP^{T}. Potom kvadratická forma určená maticou A je XAX^{T}= XPP^{T}X^{T}= (XP)(XP)^{T}. Ak X= (x_{1}, ⋯, x_{n})≠ 0, tak XAX^{T}>0, alebo XP= (x_{1}, ⋯, x_{n})P je nenulová n-tica (b_{1}, ⋯, b_{n})∈ℝ^{n} a b_{1}^{2}+ ⋯ + b_{n}^{2}>0.

Veta 13.7. (Sylvestrovo kritérium) Matica A= A^{T}= (a_{ij})∈𝔐_{nn}(ℝ) je kladne definitná práve vtedy, keď det(a_{11})>0,

det( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) >0, ⋯, det( \begin{matrix}a_{11} & ··· & a_{1n} \\ ··· & ··· & ··· \\ a_{n1} & ··· & a_{nn} \end{matrix} ) >0 čo je ekvivalntné s tým, že kvadratická

forma XAX^{T} je kladne definitná. Stručne: práve vtedy, keď všetky tzv. hlavné rohové determinanty matice A sú kladné.

Dôkaz. Indukcia vzhľadom na n: 1^{∘}: Pre n= 1: a_{11}x_{1}^{2} je kladne definitná práve vtedy, keď a_{11}= det(a_{11})>0. 2^{∘}: Predpokladajme, že tvrdenie platí pre všetky reálne symetrické matice typu (n−1) × (n−1). Teraz nech A= A^{T}∈𝔐_{nn}(ℝ). Nutnosť podmienky: Predpokladajme, že A je kladne definitná. Chceme ukázať, že jej hlavné rohové determinanty sú kladné. Vieme, že kvadratická forma XAX^{T} je

kladne definitná. X= (x_{1}, ⋯, x_{n}). XAX^{T}= ∑_{1≤i,j≤n} a_{ij}x_{i}x_{j}= ∑_{1≤i,j≤n−1} a_{ij}x_{i}x_{j}+

+ 2·(a_{1n}x_{1}x_{n}+ ⋯ + a_{nn−1}x_{n}x_{n−1})+ a_{nn}x_{n}^{2}. Uvažujme o kvadratickej forme:

∑_{1≤i,j≤n−1} a_{ij}x_{i}x_{j}. Jej matica je ( \begin{matrix}a_{11} & ··· & a_{1n−1} \\ ··· & ··· & ··· \\ a_{n−11} & ··· & a_{n−1n−1} \end{matrix} ). Táto kvadratická forma je

tiež kladne definitná. Keby nie, tak by existovala (n−1)-tica (x̃_{1}, ⋯, x̃_{n−1})≠ 0 taká, že ∑_{1≤i,j≤n} a_{ij}x̃_{i}x̃_{j}≤0. Potom (x̃_{1}, ⋯, x̃_{n−1}, 0) by bola nenulová n-tica, pričom

∑_{1≤i,j≤n} a_{ij}x̃_{i}x̃_{j}= ∑_{1≤i,j≤n−1} a_{ij}x̃_{i}x̃_{j}≤0 –spor s tým, že XAX^{T} je kladne definitná.

Z indukčného predpokladu: det(a_{11})>0, ⋯, det( \begin{matrix}a_{11} & ··· & a_{1n−1} \\ ··· & ··· & ··· \\ a_{n−11} & ··· & a_{n−1n−1} \end{matrix} ) >0. Zostáva

ešte ukázať, že det(A)>0. Ale matica A je kladne definitná, a teda podľa vety 13.6 existuje regulárna matica P : A= PP^{T}, preto det(A)= det(P) det(P^{T})= det^{2}(P)>0 keďže P je regulárna.

Postačujúcosť: Predpokladajme, že det(a_{11})>0, ⋯, det( \begin{matrix}a_{11} & ··· & a_{1n} \\ · & ··· & · \\ a_{n1} & ··· & a_{nn} \end{matrix} ) >0.

Z indukčného predpokladu vyplýva, že kvadratická forma

(x_{1}, ⋯, x_{n−1}) ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n−1} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n−11} & ⋯ & a_{n−1n−1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ ⋯ \\ x_{n−1} \end{matrix} ) = ∑_{1≤i,j≤n−1} a_{ij}x_{i}x_{j}

je kladne definitná. Teda existuje regulárna matica P∈𝔐_{nn}(ℝ) taká, že regulárna lineárna transformácia premenných (y_{1}, ⋯, y_{n−1})= (x_{1}, ⋯, x_{n−1})·P prevedie túto kvadratickú formu na y_{1}^{2}+ ⋯ + y_{n−1}^{2}. Definujme y_{n}= x_{n}. To znamená, že dostaneme

regulárnu lineárnu transformáciu n premenných (y_{1}, ⋯, y_{n})= (x_{1}, ⋯, x_{n}) ( \begin{matrix}P & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ).

Táto prevedie kvadratickú formu ∑_{1≤i,j≤n} a_{ij}x_{i}x_{j} na y_{1}^{2}+ ⋯ + y_{n−1}^{2}+ 2·(b_{1n}y_{1}y_{n}+ ⋯

⋯ + b_{n−1n}y_{n−1}y_{n})+ b_{nn}y_{n}^{2} pre vhodné b_{ij}∈ℝ.

Upravíme: ∑_{1≤i,j≤n} a_{ij}x_{i}x_{j}= (y_{1}+ ⋯ + b_{1n}y_{n})^{2}+ ⋯ + (y_{n−1}+ b_{n−1n}y_{n})^{2}+ cy_{n}^{2}=

= | \begin{matrix}z_{1}= y_{1}+ ⋯ + b_{1n}y_{n} \\ ⋯ \\ z_{n−1}= y_{n−1}+ b_{n−1n}y_{n} \\ z_{n}= y_{n} \end{matrix} | = z_{1}^{2}+ ⋯ + z_{n−1}^{2}+ cz_{n}^{2} táto forma má maticu: ( \begin{matrix}1 & ⋯ & 0 & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 1 & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & c \end{matrix} )

Táto je kongruentná s A, teda existuje regulárna matica Q∈𝔐_{nn}(ℝ) taká, že: diag(1, 1, ⋯, 1, c)= QAQ^{T}. Z toho: det(QAQ^{T})= c= det(Q) det(A) det(Q^{T})= = det^{2}(Q)· det(A)>0, teda c>0.

XIV. HOMOGÉNNE BILINEÁRNE FORMY

Definícia 14.1. Nech sú dané dve skupiny n premenných x_{1}, ⋯, x_{n} a y_{1}, ⋯, y_{n}. Potom homogénna bilineárna forma (týchto dvoch skupín premenných) je výraz

tvaru: ∑_{i,j= 1}^{n} x_{i}a_{ij}y_{j}, pričom a_{ij}∈ℝ sú koeficienty tejto formy.

Príklad. x_{1}y_{1}+ ⋯ + x_{n}y_{n} je homogénna bilineárna forma, ktorá definuje štandardný skalárny súčin v ℝ^{n}.

Formu ∑_{i,j= 1}^{n} x_{i}a_{ij}y_{j} môžeme zapísať pomocou matíc XAY^{T}, kde X= (x_{1}, ⋯, x_{n})

Y= (y_{1}, ⋯, y_{n}), A= (a_{ij})∈𝔐_{nn}(ℝ). Ak X= Y tak ∑_{i,j= 1}^{n} x_{i}a_{ij}y_{j} je kvadratická forma

premenných X= (x_{1}, ⋯, x_{n}).

Definícia 14.2. Nech V je vektorový priestor nad ℝ. Funkcia φ : V ×V →ℝ je bilineárna, ak pre každé α, β∈ℝ, x⃗, y⃗, z⃗∈V platí: φ(αx⃗+ βy⃗; z⃗)= αφ(x⃗, z⃗)+ βφ(y⃗, z⃗); φ(x⃗, αy⃗+ βz⃗)= αφ(x⃗, y⃗)+ βφ(x⃗, z⃗).

Tvrdenie 14.1. Homogénna bilineárna forma je vlastne súradnicové vyjadrenie bilineárnej funkcie.

Dôkaz. Nech V je vektorový priestor nad ℝ, nech (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) a (b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{n}) sú dve bázy vo V. Nech x⃗= x_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + x_{n}a⃗_{n} resp. y⃗= y_{1}b⃗_{1}+ ⋯ + y_{n}b⃗_{n}. Nech φ : V ×V →ℝ

je bilineárna funkcia. Potom φ(x⃗, y⃗)= φ(∑_{i=1}^{n}x_{i}a⃗_{i}; ∑_{j=1}^{n}y_{j}b⃗_{j})= ∑_{i,j= 1}^{n} x_{i}φ(a⃗_{i}, b⃗_{j})y_{j}. K φ

prislúcha homogénna bilineárna forma XAY^{T} kde X= (x_{1}, ⋯, x_{n})Y= (y_{1}, ⋯, y_{n}) A má v i-tom riadku a j-tom stĺpci prvok φ(a⃗_{i}, b⃗_{j}).

Homogénna kvadratická funkcia.

Definícia 14.3. Nech V je vektorový priestor nad ℝ, nech φ : V ×V →ℝ je bilineárna funkcia. Potom homogénna kvadratická funkcia prislúchajúca k φ sa definuje ako ψ : V →ℝ; ψ(x⃗)= φ(x⃗, x⃗).

Príklad. V = ℝ^{3}, bilineárna funkcia φ : ℝ^{3}×ℝ^{3}→ℝ s predpisom φ(x⃗, y⃗) = 5x_{1}y_{1}+ + x_{1}y_{2}+ 3x_{2}y_{1}−x_{2}y_{2}. φ určuje kvadratickú funkciu ψ : ℝ^{3}→ℝ, ψ(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = = 5x_{1}^{2}+ 4x_{1}x_{2}−x_{2}^{2}. Tá istá kvadratická funkcia prislúcha aj k bilineárnej funkcii φ̃ : ℝ^{3}×ℝ^{3}→ℝ, φ̃(x⃗, y⃗)= 5x_{1}y_{1}+ 3x_{1}y_{2}+ x_{2}y_{1}−x_{2}y_{2}.

Veta 14.1. Homogénna kvadratická funkcia je určená jedinou symetrickou bilineárnou funkciou.

Dôkaz. Nech φ : V ×V →ℝ je symetrická bilineárna funkcia, ktorá určuje homogénnu kvadratickú funkciu ψ : V →ℝ (teda ψ(x⃗)= φ(x⃗, x⃗), x⃗∈V ). Pre ľubovoľné x⃗, y⃗∈V : φ(x⃗+ y⃗; x⃗+ y⃗)= φ(x⃗, x⃗)+ 2φ(x⃗, y⃗)+ φ(y⃗, y⃗) ⇒ ψ(x⃗+ y⃗)= ψ(x⃗)+ ψ(y⃗)+ 2φ(x⃗, y⃗) z čoho φ(x⃗, y⃗)= \frac{1}{2}[ψ(x⃗+ y⃗)−ψ(x⃗)−ψ(y⃗)].

Poznámka. Nech V je reálny vektorový priestor, nech je daná kvadratická forma XAX^{T} n premenných X= (x_{1}, ⋯, x_{n}), A^{T}= A. Potom táto kvadratická forma určuje homogénnu kvadratickú funkciu takto: zvoľme bázu (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) vo V. Ak x⃗= x_{1}a⃗_{1}+ ⋯ + x_{n}a⃗_{n}∈V, tak definujeme ψ(x⃗)= XAX^{T}. Potom ψ : V →ℝ je homogénna kvadratická funkcia.

Niektoré fakty z euklidovskej teórie kvadratických foriem.

Pripomeňme si: matica A∈𝔐_{nn}(ℝ) je ortogonálna, ak AA^{T}= I_{n}, tj. jej riadky tvoria ortonormálny systém vektorov v ℝ^{n} tj. pre všetky x⃗, y⃗∈ℝ^{n} máme, že ⟨x⃗A; y⃗A⟩= ⟨x⃗, y⃗⟩.

Tvrdenie 14.2. Ortogonálne matice typu n×n tvoria grupu; je to tzv. ortogonálna grupa; označme ju O(n).

Dôkaz. Ak A, B∈O(n), tak AA^{T}= I_{n}, BB^{T}= I_{n} potom AB(AB)^{T}= ABB^{T}A^{T}= = AI_{n}A^{T}= I_{n}. Teda AB∈O(n). Asociatívnosť: √; neutrálny prvok: I_{n}∈O(n), inverzný prvok k A∈O(n) je A^{T}, máme AA^{T}= I_{n} a A^{T}A = I_{n} = A^{T}(A^{T})^{T} tj. A^{T}∈O(n).

Veta 14.2. Matica prechodu od ortonormálnej bázy v ℝ^{n} (so štandardným skalárnym súčinom) k ortonormálnej báze je ortogonálna matica. Tiež: ak od ortonormálnej bázy v ℝ^{n} prejdeme pomocou ortogonálnej matice prechodu k novej báze, tak aj nová báza bude ortonormálna.

Dôkaz. 1.časť: Nech (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}), (a′_{1}, ⋯, a′_{n}) sú dve ortonormálne bázy v ℝ^{n}. Nech P= (p_{ij})∈𝔐_{nn}(ℝ) je matica prechodu od (a′_{1}, ⋯, a′_{n}) k (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}). Teda

a⃗_{i} = ∑_{i=1}^{n}p_{ij}a′_{j}, i = 1, ⋯, n. Potom δ_{ik} = ⟨a⃗_{i}, a⃗_{k}⟩ = ⟨∑_{j=1}^{n}p_{ij}a′_{j}, ∑_{s=1}^{n}p_{ks}a′_{s}⟩ =

= ∑_{j=1}^{n} ∑_{s=1}^{n}p_{ij}p_{ks} \underbrace{⟨a′_{j}, a′_{s}⟩}_{=δ_{js}}= ∑_{j=1}^{n}p_{ij}p_{kj}, teda ∑_{j=1}^{n}p_{ij}p_{kj}= \{ \begin{matrix}1 ak i= k \\ 0 ak i≠ k \end{matrix} . To znamená, že

každý riadok v P (ako vektor z ℝ^{n}) má dĺžku 1 a každé dva riadky sú na seba kolmé, tj. riadky v P tvoria ortonormálnu bázu v ℝ^{n}, tj. P∈O(n). 2.časť: Nech je daná O(n)∋P= (p_{ij}) a báza (a′_{1}, ⋯, a′_{n}), ktorá je ortonormálna.

Matica P je regulárna, teda vzťahy a⃗_{i}= ∑_{j=1}^{n}p_{ij}a′_{j} definujú bázu (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}). Pritom

však ⟨a⃗_{i}, a⃗_{k}⟩= ∑_{j=1}^{n}p_{ij}p_{kj}= δ_{ik} teda (a⃗_{1}, ⋯, a⃗_{n}) je ortonormálna báza.

Veta 14.3. (o hlavných osiach) Pre každú reálnu symetrickú maticu A∈𝔐_{nn}(ℝ) existuje C∈O(n) taká, že CAC^{T}= CAC^{−1}= diag(λ_{1}, ⋯, λ_{n}), kde λ_{1}, ⋯, λ_{n} sú vlastné hodnoty matice A. (Riadky v C sú ortogonálne vlastné vektory patriace k λ_{1}, ⋯, λ_{n}.)

Dôkaz. Indukcia vzhľadom na n. 1^{∘} Pre n= 1 tvrdenie platí. 2^{∘} Indukčný predpoklad: Predpokladajme, že veta je správna pre n−1. Teraz nech A je symetrická reálna matica typu n×n. Nech λ_{1}∈ℝ je jej vlastná hodnota, k nej zoberme vlastný vektor x⃗_{1}, rovno ho zoberme taký, že |x⃗_{1}|= 1. Doplňme vektor x⃗_{1} na ortonormálnu bázu v ℝ^{n}; nech to je (x⃗_{1}, x⃗_{2}, ⋯, x⃗_{n}). Nech P je matica prechodu od (e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n}) k (x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{n}), vieme, že P∈O(n). Nech B je matica lineárnej transformácie f_{A} : ℝ^{n}→ℝ^{n} vzhľadom na (x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{n}). Matica f_{A} vzhľadom na (e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{n}) je A, potom vieme, že B= PAP^{−1}= PAP^{T}. Máme B^{T}= B. Tiež: f_{A}(x⃗_{1})= λ_{1}x⃗_{1}, lebo x⃗_{1} je vlastný vektor matice A patriaci k λ_{1}. To znamená, že B= ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & A′ \end{matrix} ), kde A′∈𝔐_{n−1n−1}(ℝ) je symetrická. Podľa indukčného predpokladu

existuje ortonormálna matica H∈O(n−1): HA′H^{T}= HA′H^{−1}= diag(λ′_{2}, ⋯, λ′_{n}), kde λ′_{2}, ⋯, λ′_{n} sú vlastné hodnoty matice A′. Utvorme: Q= ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & H \end{matrix} ) máme, že

Q∈O(n). Tiež QP∈O(n). Rátajme: QPA(QP)^{−1}= QPA(QP)^{T}= QPAP^{T}Q^{T}=

= QBQ^{T}= ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & H \end{matrix} ) ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & A′ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & H^{T} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & HA′H^{T} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & ··· & 0 \\ 0 & λ′_{2} & ··· & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ··· & λ′_{n} \end{matrix} ).

Z podobnosti vyplýva {λ_{1}, λ_{2}, ⋯, λ_{n}}= {λ_{1}, λ′_{2}, ⋯, λ′_{n}}. Za C z tvrdenia zoberieme QP. Teda máme C∈O(n) takú, že CAC^{T}= CAC^{−1}= diag(λ_{1}, ⋯, λ_{n}). Z toho: e⃗_{i}CAC^{−1}= e⃗_{i}diag(λ_{1}, ⋯, λ_{n}). e⃗_{i}CA= (0, ⋯, λ_{i}, ⋯, 0)C= λ_{i}e⃗_{i}C. Teda (e⃗_{i}C)A= = λ_{i}(e⃗_{i}C) tj. e⃗_{i}C je vlastný vektor matice A patriaci k vlastnej hodnote λ_{i} zároveň e⃗_{i}C je i-tý riadok matice C.

Poznámka.

1. Vieme, že vďaka symetrickosti reálnej matice A sú všetky jej vlastné hodnoty reálne.

2. A^{T}= A∈𝔐_{nn}(ℝ) môžeme chápať ako maticu lineárnej transformácie f_{A}:ℝ^{n}→ℝ^{n} Veta vlastne hovorí, že existuje taká báza v ℝ^{n} vzhľadom na ktorú je A podobná diagonálnej matici diag(λ_{1}, ⋯, λ_{n}).

3. Pre kvadratické formy n premenných veta hovorí, že regulárna lineárna transformácia X= YC (tj. Y= XC^{T}= XC^{−1}) prevedie danú kvadratickú formu XAX^{T} na tvar λ_{1}y_{1}^{2}+ ⋯ + λ_{n}y_{n}^{2}. (Y= (y_{1}, ⋯, y_{n}))

Veta 14.4. Nech A= A^{T}∈𝔐_{nn}(ℝ) je taká, že jej vlastné hodnoty λ_{1}, ⋯, λ_{n} sú navzájom rôzne. Nech x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{n} sú jednotkové vlastné vektory prislúchajúce k λ_{1}, ⋯, λ_{n}. Potom x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{n}∈ℝ^{n} tvoria ortonormálny systém v ℝ^{n} (a môžeme ick zobrať ako riadky matice C∈O(n) z vety 14.3).

Dôkaz. Máme: x⃗_{i}A= λ_{i}x⃗_{i} (pre i= 1, ⋯, n). Vynásobením: x⃗_{i}Ax_{j}^{T} = λ_{i}x⃗_{i}x_{j}^{T} ; transponovaním: x⃗_{j}A^{T} x_{i}^{T} = λ_{i}x⃗_{j}x_{i}^{T} tj. x⃗_{j}Ax_{i}^{T} = λ_{i}x⃗_{j}x_{i}^{T} ⇔ λ_{j}x⃗_{j}x_{i}^{T} = λ_{i}x⃗_{j}x_{i}^{T} ⇔ ⇔ (λ_{j}−λ_{i})x⃗_{j}x_{i}^{T} = 0. Ale λ_{i}≠ λ_{j}, teda x⃗_{j}x_{i}^{T} = 0 štandardný skalárny súčin ⟨x⃗_{i}, x⃗_{j}⟩= 0. f_{A} : ℝ^{n}→ℝ^{n} má vzhľadom na bázu (x⃗_{1}, ⋯, x⃗_{n}) maticu diag(λ_{1}, ⋯, λ_{n}).

Príklad. A= ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) ∈𝔐_{nn}(ℝ). Nájsť ortogonálnu maticu C∈O(n),

aby CAC^{−1}= CAC^{T}= diag(λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}). Kde λ_{1}= 1, λ_{2}= − 1, λ_{3}= 2.

XV. KRIVKY 2.RÁDU

V afinno-euklidovskom priestore (ℝ^{2}, ℝ^{2}) majme karteziánsku súradnicový systém (O, e⃗_{1}, e⃗_{2}). Bod X nech má v ňom súradnice X≡(x_{1}, x_{2}). Nech je daná funkcia f : A→ℝ; f(x_{1}, x_{2})= a_{11}x_{1}^{2}+ 2a_{12}x_{1}x_{2}+ a_{22}x_{2}^{2}+ 2a_{1}x_{1}+ 2a_{2}x_{2}+ d, kde a_{ij}, a_{i}, a∈ℝ. f je tzv. nehomogénna kvadratická funkcia na A, ak a_{11} ≠ 0 ∨ a_{12} ≠ 0 ∨ a_{22} ≠ 0. ozn. g(x_{1}, x_{2})= a_{11}x_{1}^{2}+ 2a_{12}x_{1}x_{2}+ a_{22}x_{2}^{2}. Otázka: Akú množinu bodov v A vyjadruje rovnica f(x_{1}, x_{2})= 0, ak aspoň jedno z a_{ij}≠ 0? Odpoveď: Veta 15.1:

Veta 15.1. {(x_{1}, x_{2})∈ℝ^{2}; f(x_{1}, x_{2})= 0} je tzv. zovšeobecnená kužeĺosečka; presnejšie je to elipsa, hyperbola, parabola, priamka, dvojica priamok, prázdna množina.

Dôkaz. Kvadratická forma g(x_{1}, x_{2}) = a_{11}x_{1}^{2} + 2a_{12}x_{1}x_{2} + a_{22}x_{2}^{2} má maticu A= ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) ∈𝔐_{22}(ℝ). Z vety o hlavných osiach vieme, že existuje C∈O(2) :

CAC^{−1}= CAC^{T}= ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix} ), kde λ_{1}, λ_{2}∈ℝ sú vlastné hodnoty matice A.

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈O(2) : a^{2}+ b^{2}= 1, c^{2}+ d^{2}= 1, ac+ bd= 0. Prvky z O(2) sú tvaru ( \begin{matrix}cos φ & sin φ \\ − sin φ & cos φ \end{matrix} )

tj. matica otočenia o uhol φ, alebo ( \begin{matrix}− cos φ & sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} ). (determinant prvej matice je 1 a druhej je -1.) Ale za C z vety o hlavných osiach možno zobrať maticu z O(2) tvaru ( \begin{matrix}cos φ & sin φ \\ − sin φ & cos φ \end{matrix} ). Takto: nech e′_{1} je vlastný vektor patriaci k λ_{1}. |e′_{1}|= 1. Do-

plňme x⃗_{1} vektorom e′_{2}∈ℝ^{2}, |e′_{2}|= 1 na bázu (e′_{1}, e′_{2}) v ℝ^{2} takú, aby matica prechodu od (e⃗_{1}, e⃗_{2}) k (e′_{1}, e′_{2}) –ozn. ju P– mala kladný determinant. Nech B je matica lineárnej transformácie f_{A}:ℝ^{2}→ℝ^{2} vzhľadom na (e′_{1}, e′_{2}). Máme f(e′_{1})= λ_{1}e′_{1} vieme, že B= PAP^{−1}= PAP^{T}, lebo P∈O(2). Teda B= B^{T}, B= ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & b \end{matrix} ), b musí byť λ_{2}, za

C zoberieme P. Teda nech C= ( \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} ) ∈O(2) je taká, že CAC^{T}= CAC^{−1}=

= ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix} ). Ak (x′_{1}, x′_{2}) sú súradnice bodu X≡(x_{1}, x_{2}) vzhľadom na bázu (e′_{1}, e′_{2}) a

(x_{1}, x_{2}) sú jeho súradnice vzhľadom na (e⃗_{1}, e⃗_{2}), a C je matica prechodu od (e⃗_{1}, e⃗_{2}) k (e′_{1}, e′_{2}), tak (x′_{1}, x′_{2})= (x_{1}, x_{2})·C, tj. (x_{1}, x_{2})= (x′_{1}, x′_{2})·C^{−1} čo je to isté ako

(x_{1}, x_{2})= (x′_{1}, x′_{2}) ( \begin{matrix}cos φ & sin φ \\ − sin φ & cos φ \end{matrix} ). (∗)\{ \begin{matrix}x_{1}= x′_{1} cosφ+ x′_{2} sinφ \\ x_{2}= x′_{2} cosφ−x′_{1} sinφ \end{matrix} . (∗) pre vhodné φ je

regulárna lineárna transformácia premenných, ktorá formu a_{11}x_{1}^{2}+ 2a_{12}x_{1}x_{2}+ a_{22}x_{2}^{2} prevedie na λ_{1}x′_{1}^{2} + λ_{2}x′_{2}^{2}. Týmto otočením prejde (♣) f(x_{1}, x_{2}) = 0 na tvar (♢) λ_{1}x′_{1}^{2}+ λ_{2}x′_{2}^{2}+ 2b_{1}x′_{1}+ 2b_{2}x′_{2}+ b= 0. λ_{1}, λ_{2} sú korene charakteristického poly-

nómu χ_{A}(t)= det ( \begin{matrix}t−a_{11} & −a_{12} \\ −a_{12} & t−a_{22} \end{matrix} ) = (t − λ_{1})(t − λ_{2}). Z toho: det(A) = λ_{1}λ_{2} = :δ.

Rozlíšime dva prípady: (I): δ≠ 0 : λ_{1}λ_{2}≠ 0. Máme teda λ_{1}≠ 0≠ λ_{2}. (♢) upravíme takto: λ_{1}(x′_{1}^{2}+ 2\frac{b_{1}}{λ_{1}} x′_{1})+ + λ_{2}(x′_{2}^{2}+ 2\frac{b_{2}}{λ_{2}} x′_{2})+ b= 0. Upravíme na štvorce: λ_{1}(x′_{1} + \frac{b_{1}}{λ_{1}} )^{2} + λ_{2}(x′_{2}+ \frac{b_{2}}{λ_{2}} )^{2} + b−

−λ_{1} \frac{b_{1}^{2}}{λ_{1}^{2}} −λ_{2} \frac{b_{2}^{2}}{λ_{2}^{2}} = 0. Potom regulárna lineárna transformácia: \{ \begin{matrix}x′′ & 1 & = & x′ & 1 & + & \frac{b_{1}}{λ_{1}} \\ x′′ & 2 & = & x′ & 2 & + & \frac{b_{2}}{λ_{2}} \end{matrix}

tj. posunutie prevedie (♢) na tvar: (♠) λ_{1}x′′_{1}^{2}+ λ_{2}x′′_{2}^{2}+ c= 0; c∈ℝ. Ak λ_{1}>0, λ_{2}>0, c<0 ∨ λ_{1}<0, λ_{2}<0, c>0 tak rovnica (♠) a teda aj f(x_{1}, x_{2})= 0 vyjadruje elipsu. Ak λ_{1}>0, λ_{2}<0, c≠ 0 tak je to hyperbola. Ak c= 0 a δ= λ_{1}λ_{2}>0, tak jednobodová množina, ak c= 0, δ<0, tak dvojica priamok. Ak λ_{1}>0, λ_{2}>0, c>0, tak prázdna množina. (II): δ= 0= λ_{1}λ_{2} Nech napr. λ_{1}= 0, λ_{2}≠ 0. Teda (♢) je λ_{2}x′_{2}2^{2}+ 2b_{1}x′_{1}+ 2b_{2}x′_{2}+ b= 0. Ak b_{1}≠ 0 : λ_{2}(x′_{2}^{2}+ 2\frac{b_{2}}{λ_{2}} x_{2}+ 2b_{1}(x′_{1}+ \frac{b}{2b_{1}} )= 0 ⇔ λ_{2}(x′_{2}+ \frac{b_{2}}{λ_{2}} )^{2}+ 2b_{1}(x′_{1}−c)= 0

\{ \begin{matrix}x′′_{1}= x′_{1}−c \\ x′′ & 2 & = & x′ & 2 & + & \frac{b_{2}}{λ_{2}} \end{matrix} ⇒ λ_{2}x′′_{2}^{2}+ 2b_{1}x′′_{1}= 0 to je rovnica paraboly.

Ak b= 0 : ⋯

Invarianty krivky 2. rádu.

Definícia 15.1. Invariantom krivky druhého rádu vyjadrenej rovnicou a_{11}x_{1}^{2}+ 2a_{12}x_{1}x_{2}+ a_{22}x_{2}^{2}+ 2a_{1}x_{1}+ 2a_{2}x_{2}+ a= 0 je taký algebraický výraz závisiaci od (a_{11}, a_{12}, a_{22}, a_{1}, a_{2}, a), ktorý sa nezmení, ak túto krivku vyjadríme v inom karteziánskom súradnicovom systéme (ku ktorému prejdeme pomocou otočení a posunutí).

Veta 15.2. Invariantmi krivky 2.rádu a_{11}x_{1}^{2}+ 2a_{12}x_{1}x_{2}+ a_{22}x_{2}^{2}+ 2a_{1}x_{1}+ 2a_{2}x_{2}+ a= 0 sú:

s= T r(A)= a_{11}+ a_{22}; δ= det(A)= det( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{matrix} ) = λ_{1}λ_{2}; Δ= det( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{1} \\ a_{12} & a_{22} & a_{2} \\ a_{1} & a_{2} & a \end{matrix} )

Dôkaz. Urobme transformáciu posunutie: \{ \begin{matrix}x_{1}= x′_{1}+ α \\ x_{2}= x′_{2}+ β \end{matrix} (α, β∈ℝ dané). Dostaneme:

a_{11}x′_{1}^{2} + 2a_{12}x′_{1}x′_{2} + a_{22}x′_{2}^{2} + 2(a_{11}α+ a_{12}β+ a_{1})x′_{1} + 2(a_{12}α+ a_{22}β+ a_{2})x′_{2} + (a_{11}α^{2}+ +2a_{12}αβ + a_{2}β^{2} + 2a_{1}α + 2a_{2}β + a)= 0.

Máme: s(x′_{1}, x′_{2})= a_{11}+ a_{22}= T r(A)= s(x_{1}, x_{2}) a δ(x′_{1}, x′_{2})= det( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{matrix} ) = δ(x_{1}, x_{2}).

Δ= det( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{11} α+ a_{12} β+ a_{1} \\ a_{12} & a_{22} & a_{12} α+ a_{22} β+ a_{2} \\ a_{11} α+ a_{12} β+ a_{1} & a_{12} α+ a_{22} β+ a_{2} & a_{11} α^{2} + 2a_{12} αβ+ a_{22} β^{2} + 2a_{1} α+ 2a_{2} β+ a \end{matrix} )

Otočenie: od kvadratickej formy XAX^{T}= a_{11}x_{1}^{2}+ 2a_{12}x_{1}x_{2}+ a_{22}x_{2}^{2} prejdeme pomocou regulárnej lineárnej transformácie s maticou C= ( \begin{matrix}cos φ & sin φ \\ − sin φ & cos φ \end{matrix} ) k forme s mati-

cou CAC^{T}. Potom s= T r(CAC^{T})= T r(CAC^{−1})= T r(CC^{−1}A)= T r(A)= a_{11}+ a_{22}. δ= det(CAC^{−1})= det(C) det(A) det(C^{−1})= det(A).

Invarianty krivky 2.rádu sa dajú využiť pri skúmaní rovnice

a_{11}x_{1}^{2}+ 2a_{12}x_{1}x_{2}+ a_{22}x_{2}^{2}+ 2a_{1}x_{1}+ 2a_{2}x_{2}+ a= 0 ⋆

Napr. videli sme, že v situácii, keď λ_{1}λ_{2}= δ≠ 0 vhodným otočením rovnica ⋆ prejde na tvar λ_{1}x′_{1}^{2}+ λ_{2}x′_{2}^{2}+ c= 0, kde c∈ℝ, λ_{1}, λ_{2} sú vlastné hodnoty matice A. Z invariantnosti Δ máme: Δ= detdiag(λ_{1}, λ_{2}, c)= λ_{1}λ_{2}c= δc, teda c= \frac{Δ}{δ} . Teda máme λ_{1}x′_{1}^{2}+ λ_{2}x′_{2}^{2}+ \frac{Δ}{δ} = 0 –z tohto sa už ľahko prejde ku kanonickému tvaru.

δ>0  Δ≠ 0 ak sΔ<0, tak elipsa; ak sΔ>0, tak ∅
krivka eliptického typu Δ= 0 bod, alebo prázdna množina
δ<0  Δ≠ 0 hyperbola
krivka hyperbolického typu Δ= 0 dvojica disjunktných priamok
δ= 0  Δ≠ 0 parabola
krivka parabolického typu Δ= 0 dvojica rovnobežných priamok

XVI. DUÁLNY VEKTOROVÝ PRIESTOR A ZÁKLADY MULTILINEÁRNEJ ALGEBRY

Nech V, W sú vektorové priestory nad R. Označme L(V, W) množinu lineárnych zobrazení z V do W.L(V, W)≠ ∅, lebo nulové zobrazenie patrí do L(V, W). Definujeme +:L(V, W)×L(V, W)→L(V, W), (f+ g)(x⃗)= f(x⃗)+ g(x⃗). Pre f∈L(V, W) a α∈R definujeme: αf : V →W, αf(x⃗)= α(f(x⃗)), αf∈L(V, W). Pre f, g∈L(V, W) je f+ g : V →W naozaj lineárne: (f+ g)(αx⃗+ βy⃗) = f(αx⃗+ βy⃗)+ g(αx⃗+ βy⃗) = αf(x⃗)+ + βf(y⃗)+ αg(x⃗)+ βg(y⃗) = α(f(x⃗)+ g(x⃗))+ β(f(y⃗)+ g(y⃗)) = α(f+ g)(x⃗)+ β(f+ g)(y⃗). Podobne sa presvedčíme, že pre α∈R, f∈L(V, W) je αf : V →W naozaj lineárne. αf(βv⃗+ γp⃗)= α(f(βv⃗+ γp⃗))= α(βf(v⃗)+ γf(p⃗))= αβf(v⃗)+ αγf(p⃗)= βαf(v⃗)+ γαf(p⃗)= = β(αf)(v⃗)+ γ(αf)(p⃗). Ľahko sa overí, že potom L(V, W) s takto definovaným + resp. takto definovaním násobením prvkov z L(V, W) prvkami z R je vektorový priestor nad R.

Definícia 16.1. Nech f : V →W je lineárne zobrazenie. Nech V a W sú konečne generované. Pevne zvoľme bázu (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{k}) vo V a (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{s}) vo W. Potom matica f vzhľadom na bázy (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{k}) resp. (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{s}) sa definuje ako matica A∈𝔐_{ks}(R) taká, že jej i-tý riadok (i= 1, ⋯, k) tvoria súradnice vektoru f(v⃗_{i}) vzhľadom na bázu (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{s}).

Veta 16.1. Nech vektorové priestory V, W nad R sú konečne generované. Potom aj vektorový priestor L(V, W) je konečne generovaný, a máme dim(L(V, W))= dim(V)· dim(W).

Dôkaz. Definujme zobrazenie Φ : L(V, W)→M_{ks}(R), kde dim(V)= k, dim(W)= s. Φ(f):= matica f vzhľadom na pevne zvolenú bázu (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{k}) vo V respektíve (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{s}) vo W. Toto Φ je lineárny izomorfizmus, keďže 𝔐_{ks}(R) je vektorový priestor dimenzie k·s, z toho vyplýva tvrdenie.

Φ je lineárne: Φ(f)= ( \begin{matrix}f(v⃗_{1} ) \\ ··· \\ f(v⃗_{k}) \end{matrix} ). (s-tice súradníc vektora f(v⃗_{i}) v báze (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{s}).)

Pre α, β∈R, f, g∈L(V, W) máme:

Φ(αf + βg) = ( \begin{matrix}(αf + βg)v⃗_{1} \\ ⋯ \\ (αf + βg)v⃗_{k} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}αf(v⃗_{1}) + βg(v⃗_{1}) \\ ⋯ \\ αf(v⃗_{k}) + βg(v⃗_{k}) \end{matrix} ) =

= α ( \begin{matrix}f(v⃗_{1}) \\ ⋯ \\ f(v⃗_{k}) \end{matrix} ) + β ( \begin{matrix}g(v⃗_{1}) \\ ⋯ \\ g(v⃗_{k}) \end{matrix} ) = αΦ(f) + βΦ(g)

Φ je surjektívne: Nech A= (a_{ij})∈𝔐_{ks}(R) je ľubovoľná. Potom predpis

\{ \begin{matrix}f(v⃗_{1})= a_{11} w⃗_{1}+ ⋯ + a_{1s} w⃗_{s} \\ ⋯ \\ f(v⃗_{k})= a_{1k} w⃗_{1}+ ⋯ + a_{ks}w⃗_{s} \end{matrix}

úplne a jednoznačne definuje, keďže (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{k}) je báza lineárneho zobrazenia f : V →W, z definície je jasné, že f má vzhľadom na bázy (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{k}) resp. (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{s}) maticu A, tj. Φ(f)= A. Φ je injektívne: Nech Φ(f)= Φ(g). To znamená, že f(v⃗_{i})= g(v⃗_{i}), i= 1, ⋯, k. Pretože (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{k}) je báza vo V, z toho f= g.

Definícia 16.2. Nech V je vektorový priestor nad R. Vektorový priestor L(V, R) sa nazýva duálny priestor k priestoru V, označíme ho V^{∗}.

Poznámka. Z vety 16.1 (keďže R je n-rozmerný vektorový priestor nad R) máme, že ak V je konečne generovaný, tak dim(V^{∗})= dim(V).

Definícia 16.3. Prvky z V^{∗} sa volajú lineárne formy na vektorovom priestore V.

Príklad.

1. V = ℝ^{n}, pr_{i} : ℝ^{n}→ℝ, pr_{i}(x_{1}, ⋯, x_{n}) = x_{i}. pr_{i} je lineárna forma na ℝ^{n} tj. pr_{i}∈(ℝ^{n})^{∗}.

2. C(⟨0, 1⟩, ℝ) je vektorový priestor spojitých funkcií ⟨0, 1⟩→ℝ. ∫_{0}^{1} :C(⟨0, 1⟩, ℝ)→ℝ ∫_{0}^{1}(αf+ βg)= α ∫_{0}^{1} f+ β ∫_{0}^{1} g teda ∫_{0}^{1} ∈C^{∗}(⟨0, 1⟩, ℝ).

Definícia 16.4+Tvrdenie 16.1. Zobrazenie ( , ) : V^{∗}×V →R (V je vektorový priestor nad R); (x^{∗}, y⃗)= x^{∗}(y⃗) pre každé x^{∗}∈V^{∗}, y⃗∈V, je bilineárne, nazýva sa párovacie zobrazenie V^{∗} a V.

Dôkaz. Lineárnosť v 1.argumente: α, β∈R, x^{∗}, y^{∗}∈V^{∗}v⃗∈V, (αx^{∗}+ βy^{∗}, v⃗)= (αx^{∗}+ βy^{∗})(v⃗)= = αx^{∗}(v⃗)+βy^{∗}(v⃗) = α(x^{∗}, v⃗)+β(y^{∗}, v⃗). Lineárnosť v 2.argumente: (x^{∗}, αa⃗+βb⃗) = = x^{∗}(αa⃗+ βb⃗)= αx^{∗}(a⃗)+ βx^{∗}(b⃗)= α(x^{∗}, a⃗)+ β(x^{∗}, b⃗).

Definícia 16.5+Veta 16.2. Nech vektorový priestor V nad R je konečne generovaný, nech (b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{k}) je dáka

báza vo V. Potom predpis (b_{i}^{∗}, b⃗_{j})= δ_{ij}= \{ \begin{matrix}1,ak i= j \\ 0,ak i≠ j \end{matrix} pre i, j= 1, ⋯, k úplne a

jednoznačne definuje lineárne formy b_{1}^{∗}, ⋯, b_{k}^{∗}∈V^{∗}. (b_{1}^{∗}, ⋯, b_{k}^{∗}) je potom báza priestoru V^{∗}, nazýva sa duálna báza k báze (b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{k}).

Dôkaz. Vieme, že dim(V^{∗})= dim(V)= k. Teda na dôkaz toho, že (b_{1}^{∗}, ⋯, b_{k}^{∗}) je báza vo V^{∗} stačí ukázať, že b_{1}^{∗}, ⋯, b_{k}^{∗} sú lineárne nezávislé. Nech α_{1}b_{1}^{∗}+ ⋯ + α_{k}b_{k}^{∗}= 0 (tj. nulové zobrazenie V →R). Chceme ukázať, že α_{1} = ⋯ = α_{k} = 0. Takto: (α_{1}b_{1}^{∗}+ ⋯ + α_{k}b_{k}^{∗}; b⃗_{i})= α_{1}(b_{1}^{∗}, b⃗_{i})+ ⋯ + α_{i−1}(b_{i−1}^{∗}, b⃗_{i})+ α_{i}(b_{i}^{∗}, b⃗_{i})+ ⋯ + α_{k}(b_{k}^{∗}, b⃗_{i})= = α_{i}·1 = 0 pre i = 1, ⋯, k.

Tvrdenie 16.2. Ak V je konečne generovaný vektorový priestor nad R, tak V^{∗}≅V.

Dôkaz. Zoberieme ľubovoľnú bázu (b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{k}) vo V. Potom priradenie b⃗_{i}↦b_{i}^{∗} i= 1, ⋯, k definuje lineárne zobrazenie V →V^{∗}, keďže zobrazuje bázu na bázu, je to lineárny izomorfizmus.

Definícia 16.6. Nech V je vektorový priestor nad R. Priestor (V^{∗})^{∗} označíme V^{∗∗}, nazýva sa druhý duálny priestor priestoru V.

Veta 16.3. Ak V je konečne generovaný, tak existuje kanonický lineárny izomorfizmus V^{∗∗}≅V.

Dôkaz. Definujme ε_{V} : V →V^{∗∗}, ε_{V} (v⃗) : V^{∗}→R, ε_{V} (v⃗)(x^{∗}):= x^{∗}(v⃗). (ak ε_{V} je naozaj lineárny izomorfizmus, tak je jasné, že je kanonický, lebo nezávisí od výberu.)

1. Overíme, že ε_{V} (v⃗) je pre každé v⃗∈V lineárne zobrazenie. ε_{V} (v⃗)(αa^{∗} + βb^{∗}) = = (αa^{∗}+ βb^{∗})(v⃗)= (αa^{∗})(v⃗)+ (βb^{∗})(v⃗)= αa^{∗}(v⃗)+ βb^{∗}(v⃗)= αε_{V} (v⃗)(a^{∗})+ βε_{V} (v⃗)(b^{∗}).

2. Overíme, že ε_{V}:V →V^{∗∗} je lineárne. ε_{V} (αv⃗+ βz⃗) =^{?} αε_{V} (v⃗)+ βε_{V} (z⃗) pre α, β∈R, v⃗, z⃗∈V. Stačí ukázať, že ľavá a pravá strana majú rovnaké hodnoty na všetkých x^{∗}∈V^{∗}. Ľavá strana: ε_{V} (αv⃗+ βz⃗)(x^{∗})= x^{∗}(αv⃗+ βz⃗)= αx^{∗}(v⃗)+ βx^{∗}(z⃗)= αε_{V} (v⃗)(x^{∗})+ + βε_{V} (z⃗)(x^{∗})= (αε_{V} (v⃗)+ βε_{V} (z⃗))(x^{∗})= pravá strana.

3. Ukážeme, že ε_{V} : V → V^{∗∗} je bijekcia. Nech (b⃗_{1}, ⋯, b⃗_{k}) je báza vo V. Nech (b_{1}^{∗}, ⋯, b_{k}^{∗}) je duálna báza vo V^{∗} a nech (b_{1}^{∗∗}, ⋯, b_{k}^{∗∗}) je duálna báza vo V. Zaujíma nás, čo je ε_{V} (b⃗_{i}). Máme ε_{V} (b⃗_{i})∈(V^{∗})^{∗}, rátajme (ε_{V} (b⃗_{i}), b_{j}^{∗}) = ε_{V} (b⃗_{i})(b_{j}^{∗}) =

= b_{j}^{∗}(b⃗_{i}) = \{ \begin{matrix}1 ak i= j \\ 0 ak i≠ j \end{matrix} . Z jednoznačnej určenosti duálnej bázy dostávame, že

ε_{V} (b⃗_{i})= b_{i}^{∗∗} i= 1, ⋯, k. Keďže ε_{V} zobrazuje bázu na bázu, je to lineárny izomorfizmus.

Veta 16.4. Nech V, W sú vektorové priestory nad R, nech f : V → W je lineárne zobrazenie. Potom existuje jediné lineárne zobrazenie f^{∗} : W^{∗} → V^{∗} také, že (f^{∗}(w^{∗}), v⃗)= (w^{∗}, f(w⃗)). pre všetky w^{∗}∈W^{∗}, v⃗∈V. Toto f^{∗} sa volá duálne, alebo adjungované lineárne zobrazenie k zobrazeniu f.

Dôkaz. Jednoznačnosť: Nech by aj f_{1}^{∗} : W^{∗}→V^{∗} bolo také ako f z tvrdenia. Potom (f^{∗}(w^{∗}), v⃗)= (w^{∗}, f(v⃗))= (f_{1}^{∗}(w^{∗}), v⃗). Z toho: (f^{∗}(w⃗), v⃗)= (f_{1}^{∗}(w^{∗}), v⃗) pre všetky v⃗∈V, w^{∗}∈W^{∗}. Z bilineárnosti: (f^{∗}(w^{∗})−f_{1}^{∗}(w^{∗}), v⃗)= ((f^{∗}−f_{1}^{∗})(w^{∗}), v⃗)= 0. Teda (f^{∗}−f_{1}^{∗})(w^{∗}) : V →R je nulové, preto f^{∗}−f_{1}^{∗} = nulové zobrazenie, teda f^{∗}= f_{1}^{∗}. Existencia: Treba, že f^{∗} definované vlastnosťou (f^{∗}(w^{∗})v⃗)= (w^{∗}, f(w⃗)) je lineárne: f^{∗}(αw^{∗}+ βz^{∗}) =^{?} αf^{∗}(w^{∗})+ βf^{∗}(z^{∗}). Treba ukázať, že ľavá a pravá strana majú (ako lineárne zobrazenie V →R) tú istú hodnotu v ľubovoľnom v⃗∈V. Ľavá strana: (f^{∗}(αw^{∗}+βz^{∗}), v⃗) = (αw^{∗}+βz^{∗}, f(v⃗)) = α(w^{∗}, f(v⃗))+β(z^{∗}, f(v⃗)) = α(f^{∗}(w^{∗}), v⃗)+ + β(f^{∗}(z^{∗}), v⃗)= (αf^{∗}(w^{∗})+ βf^{∗}(z^{∗}), v⃗) =pravá strana.

Veta 16.5. Nech V, W sú konečne generované nad R, nech f : V →W má vzhľadom na bázy (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{k}) vo V resp. (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{s}) vo W maticu A= (a_{ij})∈𝔐_{ks}(R). Potom duálne lineárne zobrazenie f^{∗} : W^{∗}→V^{∗} má vzhľadom na bázu (w_{1}^{∗}, ⋯, w_{s}^{∗}) vo W^{∗} resp. (v_{1}^{∗}, ⋯, v_{k}^{∗}) maticu A^{T}.

Dôkaz. Máme f(v⃗_{i})= ∑_{j=1}^{s}a_{ij}w_{j} pre i= 1, ⋯, k. Potrebujeme zistiť, čo je f^{∗}(w^{∗})

pre t = 1, ⋯, s. Máme f^{∗}(w_{t}^{∗}) = ∑_{j=1}^{k}b_{ij}v_{j}^{∗}, chceme zistiť b_{t_{j}}(f^{∗}(w_{t}^{∗}), v⃗_{p}) =

= (w_{t}^{∗}, ∑_{j=1}^{s}a_{pj}w⃗_{j}) =⇝= ∑_{j=1}^{s}a_{pj}(w_{t}^{∗}, w⃗_{j}) = a_{pt}. Pravá strana:

(∑_{j=1}^{k}b_{tj}v_{j}^{∗}, v⃗_{p}) = ∑_{j=1}^{k}b_{tj}(v_{j}^{∗}, v⃗_{p})= b_{tp}; z toho b_{tp}= a_{pt} teda matica B zobrazenia f^{∗}

je vlastne A^{T}.

Veta 16.6. Ak f, g sú lineárne zobrazenia f, g : V →W, tak

1. (f+ g)^{∗}= f^{∗}+ g^{∗}

2. Ak f : V →W, α∈R, tak (αf)^{∗}= α(f^{∗})

3. O : V →W je nulové zobrazenie, potom O^{∗} : V^{∗}→W^{∗} je tiež nulové; (id_{V})^{∗}= id_{V^{∗}} 4. Ak f : V →W, g : W →S sú lineárne zobrazenia, tak (g∘f)^{∗}= f^{∗}∘g^{∗}.

5. Ak f : V →W je lineárne zobrazenie a V, W sú konečne generované, tak (f^{∗})^{∗} : (V^{∗})^{∗}→(W^{∗})^{∗} sa stotožní s f, ak stotožní V^{∗∗} s V a W^{∗∗} s W.

Dôkaz. Priamo z definície: pre prípad zobrazení medzi konečne generovanými priestormi tieto vlastnosti vyplývajú z vlastnosti matíc. Napr. (f+ g)^{∗}= f^{∗}+ g^{∗} ⇔ (A+ B)^{T}= A^{T}+ B^{T} alebo: (g∘f)^{∗}= f^{∗}∘g^{∗} ⇔ (AB)^{T}= B^{T}A^{T}.

Tenzorový súčin vektorových priestorov.

Nech V, W sú konečne generované vektorové priestory nad R. Potom V ×W je vektorový priestor nad R. Označme M množinu všetkých zobrazení V ×W →R, ktoré nadobúdajú nenulové hodnoty iba v konečnom počte prvkov z V ×W. M≠ ∅, lebo nulové zobrazenie patrí do M. Množina G všetkých zobrazení z V ×W →R je vektorový priestor . Pre f, g∈G definujeme f+ g : V ×W →R; (f+ g)(x⃗, y⃗)= f(x⃗, y⃗)+ + g(x⃗, y⃗), podobne pre f∈G, α∈R definujeme αf:V ×W →R; (αf)(x⃗, y⃗)= α(f(x⃗, y⃗)). Je jasné, že G je vektorový priestor nad R. M je vektorový podpriestor v G. (stačí použiť kritérium vektorového podpriestoru). Ak f∈M, tak existujú (v⃗_{1}, w⃗_{1}), ⋯, (v⃗_{k}, w⃗_{k})∈V ×W také, že f(v⃗_{i}, w⃗_{i})= α_{i} pre i= 1, 2, 3, ⋯, k, pričom α_{i}≠ 0 a f(v⃗, w⃗)= 0 pre (v⃗, w⃗)∉{(v⃗_{1}, w⃗_{1}), ⋯, (v⃗_{k}, w⃗_{k})}. Pre takéto f zavedieme symbol α_{1}(v⃗_{1}, w⃗_{1})+ ⋯ + α_{k}(v⃗_{k}, w⃗_{k}). Napr. (v⃗_{0}, w⃗_{0}) (pre v⃗∈V, w⃗∈W) znamená funkciu, ktorá má vo (v⃗_{0}, w⃗_{0}) hodnotu 1 a vo všetkých iných má hodnotu 0. Podobne −1·(v⃗_{0}, w⃗_{0}):= −(v⃗_{0}, w⃗_{0}) je funkcia, ktorá má vo (v⃗_{0}, w⃗_{0}) hodnotu −1 a všade inde 0. Iný prípad: (v⃗_{1} + v⃗_{2}; w⃗_{2}) − (v⃗_{1}, w⃗_{2}) − (v⃗_{2}, w⃗_{2}) je symbol označujúci zobrazenie V ×W →R, ktorá má vo (v⃗_{1}+ v⃗_{2}, w⃗_{2}) hodnotu 1, vo (v⃗_{1}, w⃗_{2}) a (v⃗_{2}, w⃗_{2}) −1 a všade inde 0.

Definícia 16.6. Nech S⊂M je vektorový podpriestor v M generovaný prvkami tvaru (v⃗_{1}+ v⃗_{2}, w⃗)−(v⃗_{1}, w⃗)−(v⃗_{2}, w⃗), (v⃗, w⃗_{1}+ w⃗_{2})−(v⃗, w⃗_{1})−(v⃗, w⃗_{2}), (αv⃗, w⃗)−α(v⃗, w⃗) [pre ľubovoľné v⃗, v⃗_{1}, v⃗_{2}∈V, w⃗, w⃗_{1}, w⃗_{2}∈W] a (v⃗, αw⃗)−α(v⃗, w⃗).

Definícia 16.7. Nech V, W, M, S sú ako vyššie. Potom tenzorový súčin priestorov V a W sa definuje ako faktorový vektorový priestor M/S, označíme ho V ⊗W. Teda V ⊗W = M/S. Prvok vo V ⊗W reprezentovaný (v⃗, w⃗)∈M označíme v⃗⊗w⃗.

Trieda ekvivalencie prvku (v⃗_{1}+ v⃗_{2}, w⃗)−(v⃗_{1}, w⃗)−(v⃗_{2}, w⃗) bude (v⃗_{1}+ v⃗_{2})⊗w⃗−v⃗_{1}⊗w⃗− −v⃗_{2}⊗w⃗= 0∈V ×W tj. platí: (v⃗_{1}+ v⃗_{2})⊗w⃗= v⃗_{1}⊗w⃗+ v⃗_{2}⊗w⃗. Podobne:

v⃗⊗(w⃗_{1}+ w⃗_{2})= v⃗⊗w⃗_{1}+ v⃗⊗w⃗_{2}

(αv⃗)⊗w⃗= α(v⃗⊗w⃗)
v⃗⊗(αw⃗)= α(v⃗⊗w⃗)

Teda ak definujeme zobrazenie S : V ×W →V ⊗W , S(v⃗, w⃗)= v⃗⊗w⃗, toto S bude bilineárne.

Veta 16.7.

1. Ak V, W, T sú konečne generované vekt. priestory, tak (V ⊗W)⊗T ≅V ⊗(W ⊗T).

2. Ak V, W sú konečne generované, tak V ⊗W ≅W ⊗V.

3. Ak V alebo W je nulový priestor, tak V ⊗W ≅0

4. Ak (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{k}) je báza vo V, (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{s}) je báza vo W, tak báza vo V ⊗W pozostáva z vektorov (v⃗_{i} ⊗ w⃗_{j}), kde 1≤i≤k, 1≤j≤s. Teda dim(V ⊗ W) = k · s = = dim(V) · dim(W).

Veta 16.8. Nech v, W sú konečne generované vektorové priestory nad R. Potom V^{∗}⊗W ≅L(V, W).

Dôkaz. Nech (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{k}) je báza vo V, (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{s}) je báza vo W. Definujme lineárne zobrazenie Φ : V^{∗}⊗W →L(V, W) takto: Φ(v_{i}^{∗}⊗w⃗_{j})(v⃗_{s})= v_{i}^{∗}(v⃗_{s})·w⃗_{j}. Teda Φ(v_{i}^{∗}⊗v⃗_{j})(v⃗_{s})= δ_{is}w⃗_{j}. Teda Φ(v_{i}^{∗}⊗w⃗_{j}) má maticu (vzhľadom na bázu (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{k}) vo V resp. (w⃗_{1}, ⋯, w⃗_{s}) vo W.) ktorej i-tý riadok má v j-tom stĺpci 1 a všade inde sú nuly. Teda Φ(v_{i}^{∗}⊗w⃗_{j}) je bázový prvok v L(V, W) tj. Φ je lineárny izomorfizmus. Je jasné, že pre vektorové priestory V_{1}, ⋯, V_{k} môžeme definovať ich tenzorový súčin induktívne:

V_{1}⊗V_{2}⊗ ⋯ ⊗V_{k}= V_{1}⊗(V_{2}⊗ ⋯ ⊗V_{k}).

Definícia 16.8. Nech V je konečne generovaný vektorový priestor nad R. Nech p, q sú dané nezáporné celé čísla. Potom vektorový priestor

T_{p}^{q}(V)= \underbrace{V^{∗}⊗ ⋯ ⊗V^{∗}}_{p} ⊗ \underbrace{V ⊗ ⋯ ⊗V}_{q}

sa nazýva priestor tenzorov p-krát kovariantných a q-krát kontravariantných. Prvky T_{p}^{q}(V) sa volajú tenzory typu (p, q) nad V.

Príklad.

1. T_{0}^{1}(V)= V, teda tenzory typu (0, 1) sú vektory z V.

2. T_{1}^{0}(V)= V^{∗}, teda tenzory typu (1, 0) sú lineárne formy na V.

3. T_{1}^{1}(V)= V^{∗}⊗V ≅L(V, V), teda tenzory typu (1, 1) sú vlastne lineárne zobrazenia z V do V.

Tenzory typu (p, q) sa využívajú v diferenciálnej geometrie a v matematickej fyzike. Pracuje sa tam s ich súradnicami. Nech (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{k}) je báza vo V. Potom bázu priestoru T_{p}^{q}(V) tvoria vektory v_{i_{1}}^{∗}⊗ ⋯ v_{i_{p}}^{∗}⊗v⃗_{j_{1}}⊗ ⋯ ⊗v⃗_{j_{q}} kde 1≤i_{1}≤ ⋯ ≤i_{p}≤k a 1≤j_{1}≤ ⋯ ≤j_{q}≤k. Teda každý prvok z T_{p}^{q}(V) má jediné vyjadrenie v tvare:

∑_{1≤i_{i},j_{i}≤k} T_{i_{1} ,··· ,i_{p}}^{j_{1} ,··· ,j_{q}}v_{i_{1}}^{∗}⊗ ⋯ ⊗v_{i_{p}}^{∗}⊗v⃗_{j_{1}}⊗ ⋯ ⊗v⃗_{j_{p}}

Namiesto v_{s}^{∗} napíšeme v^{s}, potom dostaneme: v^{j}(v⃗_{i})= δ_{ij}.

∑_{1≤···≤k} T_{i_{1} ,··· ,i_{p}}^{j_{1} ,··· ,j_{q}}v^{i_{1}}⊗ ⋯ ⊗v^{i_{p}}⊗v⃗_{j_{1}}⊗ ⋯ ⊗v⃗_{j_{q}}

Einsteinova sumačná konvencia: Ten istý tenzor zapíšeme takto:

T_{i_{1} ,··· ,i_{p}}^{j_{1} ,··· ,j_{q}}v^{i_{1}}⊗ ⋯ ⊗v^{i_{p}}⊗v⃗_{j_{1}}⊗ ⋯ ⊗v⃗_{j_{q}}

Aj bázové vektory sa v praxi vynechávajú, ten istý tenzor sa označuje T_{i_{1} ,··· ,i_{p}}^{j_{1} ,··· ,j_{q}}, (1≤i_{1}, ⋯, i_{p}, j_{1}, ⋯, j_{q}≤k). Dané sú pravidlá ako sa zmení tenzor T_{i_{1} ,··· ,i_{p}}^{j_{1} ,··· ,j_{q}}, ak od bázy (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{k}) vo V prejdeme k báze (v′_{1}, ⋯, v′_{k}). To je obsah tzv. tenzorového počtu.