VŠEOBECNÁ TOPOLÓGIA

GYÜRKI PIŠTA

Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK

2002/2003

Contents

I. Základné pojmy 2 II. Spojité zobrazenia 7 III. Topologický súčin topologických priestorov 10 IV. Faktorové zobrazenie 13 V. Regulárne, úplne regulárne a normálne priestory 14 VI. Kompaktné priestory 18

VI.1. Kompaktné priestory 1 18 VI.2. Centrované systémy, filtre a ultrafiltre 22 VI.3. Kompaktné priestory 2 24

VII. Súvislé priestory a lineárne súvislé priestory 25 VIII. Konvergencia v topologických priestoroch 28 IX. Siete 30 X. Metrizovatel’né priestory, metrizácia topologických priestorov 32 XI. Cvičenia 36

References

[1] J.Y. Nagata, Modern General Topology.

[2] R. Engelking, General Topology.

[3] A. Pultz, Topologie a geometrie.

[4] J.L. Kelley, General Topology.

Typeset by AMS-TEX

I. ZÁKLADNÉ POJMY

Definícia 1.1.

Nech X je množina. Potom systém τ ⊆ P(X) sa nazýva topológia na množine X ak platí:

(1) ∅, X ∈ τ

(2) Ak U, V ∈ τ, tak U ∩ V ∈ τ

(3) Ak S ⊆ τ, tak ⋃_{U∈S} U ∈ τ

Ak τ je topológia na X, tak (X, τ) sa nazýva topologický priestor. Prvky τ sa nazývajú otvorené množiny.

Príklady.

1.1. ∅, X sú vždy topológie; τ_{ind} = {∅, X} je topológia a nazýva sa indiskrétna topológia na X.

1.2. X; τ_{dis} = P(X) je topológia na X a nazýva sa diskrétna topológia.

1.3. ℝ; τ_{d} = {U ∈ P(ℝ); ∀a ∈ U ∃ϵ > 0 : (a−ε, a+ε) ⊆ U} obvyklá (štandardná, kanonická) topológia na ℝ.

1.4. ℝ; τ_{z} = {U ∈ P(ℝ); ∀a ∈ U ∃c < a : (c, a] ⊆ U} topológia na ℝ. U, V ∈ τ_{z}, a ∈ U ∩ V, c_{1} < a : (c_{1}, a] ⊆ U, c_{2} < a : (c_{2}, a] ⊆ V, c = max{c_{1}, c_{2}} < a, (c, a] ⊆ V ∩ U, τ_{d} ⊆ τ_{z}.

1.5. ℝ; τ_{→} = {∅, ℝ} ∪ {(a, ∞), a ∈ ℝ} – topológia na ℝ.

1.6. ℝ; τ_{cof} = {U ∈ P(ℝ); ℝ \ U je konečná } ∪ {∅} – kofinitná topológia .

Metrika: d : X × X → ℝ:

(1) ∀a, b ∈ X : d(a, b) ≥ 0

(2) ∀a, b ∈ X : d(a, b) = d(b, a)

(3) ∀a, b, c ∈ X : d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c)

(4) ∀a, b ∈ X : d(a, b) = 0 ⇔ a = b

Príklady.

1.7. Nech (X, d) je metrický priestor. Potom τ_{d} = {U ∈ P(X) : ∀a ∈ U∃ε > 0 : O_{ε}(a) ⊆ U} – je topológia daná metrikou d.

1.8. (ℝ, τ_{d}); (a, b) je otvorená, ale (a, b] nie je otvorená.

1.9. (ℝ, τ_{z}); (a, b) je otvorená, a (a, b] tiež.

Definícia 1.2. Nech (X, τ) je topologický priestor. Podmnožina A ⊆ X sa nazýva uzavretá v (X, τ), ak X \ A ∈ τ.

Veta 1.1. Nech (X, τ) je topologický priestor. Potom platí:

(1) X, ∅ sú uzavreté.

(2) Ak A, B sú uzavreté v (X, τ), tak A ∪ B je uzavretá v (X, τ).

(3) Ak L je l’ubovol’ný systém uzavretých množín, tak ⋂_{A∈L} A je uzavretá množina.

Príklady. 1.10. [a, b] je v ℝ s obvyklou topológiou uzavretá. 1.11. (a, b] nie je uzavretá v (ℝ, τ_{d}). 1.12. (a, b] je uzavretá v (ℝ, τ_{z}).

Definícia 1.3. Nech (X, τ) je topologický priestor. Potom systém B ⊆ τ sa nazýva báza topológie, ak pre každé U ∈ τ existuje L ⊆ B tak, že U = ⋃_{V ∈L} V.

Ak B je báza topológie, tak aj B \ {∅} je báza topológie.

Veta 1.2. Systém B ⊆ τ je báza v (X, τ) ⇔ pre každé U ∈ τ a pre každé x ∈ U existuje V ∈ B tak, že x ∈ V ⊆ U.

Dôkaz. ⇒ : Nech U ∈ τ a x ∈ U. ∃L ⊆ B, U = ⋃_{V ∈L} V. Potom existuje V ∈ L, x ∈ V. Platí V ∈ B, V ⊆ U.

⇐ : Nech U ∈ τ a x ∈ U. ∃V_{x} ∈ B : x ∈ V_{x} ∈ B. L = {V_{x}, x ∈ U} ⊆ B; ⋃_{x∈U} V_{x} = U.

Príklady.

1.13. (ℝ, τ_{d}); B = {(a, b) : a < b, a, b ∈ ℝ} – báza τ_{d}. U ∈ τ_{d}, x ∈ U, x ∈ (x − ε, x + ε) ⊆ U.

1.14. (ℝ, τ_{d}); B = {(a, b) : a < b, a, b ∈ ℚ} je báza τ_{d}.

1.15. (ℝ, τ_{z}); B = {(a, b] : a < b, a, b ∈ ℝ} je báza τ_{z}.

1.16. (ℝ, τ_{z}); B = {(a, b] : a < b, a, b ∈ ℚ}. Je to báza τ_{z} ?

1.17. (X, τ_{dis}); B = {{a}, a ∈ X} je báza (X, τ_{dis}).

1.18. (X, d) je metrický priestor. B = \{O_{ε}(x); x ∈ X, ε > 0\} a B = \{O_{\frac{1}{n}} (x); x ∈ X, n ∈ ℕ\} sú bázy priestoru (X, τ_{d}).

Veta 1.3. Nech B je báza topológie v priestore X. Potom platí:

(i) ⋃_{V ∈B} V = X.

(ii) Ak V_{1}, V_{2} ∈ B a x ∈ V_{1} ∩ V_{2}, tak existuje V_{3} ∈ B tak, že x ∈ V_{3} ⊆ V_{1} ∩ V_{2}.

Veta 1.4. Nech B je systém podmnožín množiny X, ktorý má vlastnosti (i) a (ii). Potom systém množín τ_{B} = {U ∈ P(X) : ∀a ∈ U ∃V ∈ B : a ∈ V ⊆ U} je topológia na X a B je báza τ_{B}.

Dôkaz. ∅ ∈ τ_{B}, X ∈ τ_{B} z (i). Nech U_{1}, U_{2} ∈ τ_{B}. Nech a ∈ U_{1} ∩ U_{2}. Potom a ∈ U_{1}, a ∈ U_{2} a existujú V_{1}, V_{2} ∈ B tak, že a ∈ V_{1} ⊆ U_{1}, a ∈ V_{2} ⊆ U_{2}, a ∈ V_{1} ∩ V_{2}. Potom ∃V_{3} ∈ B: a ∈ V_{3} ⊆ V_{1} ∩ V_{2} ⊆ U_{1} ∩ U_{2} ⇒

U_{1} ∩ U_{2} ∈ τ_{B}. S ⊆ τ_{B}, a ∈ W = ⋃_{U∈S} U. Potom ∃U ∈ S, a ∈ U ⇒^{(ii)} ∃V ∈ B, a ∈ V ⊆ U ⊆ W ⇒

W ∈τ_{B}, B ⊆ τ_{B}, V ∈ B ⇒ ∀a ∈ U ∃V ∈ B ⇒ V ∈ τ_{B}. U ∈ τ_{B} ⇔ ∀a ∈ U ∃V ∈ B : a ∈ V ⊆ U.

Príklady.

1.19. X, B = {{a}, a ∈ X} τ_{B} = τ_{dis}

1.20. Nech (A, ≤) je usporiadaná množina a má aspoň 2 prvky. Pre a<b, a, b ∈ A : (a, b) = {x∈A, a<x<b}, [a) = {x∈A, x<a}, (b] = {x ∈ A, x>b}. B = {(a, b); a, b ∈ A, a<b}∪{[a), a ∈ A}∪{(b], b ∈ A} je báza topológie na A. τ_{B} = τ_{≤} je topológia určená usporiadaním ≤.

Definícia 1.4. Nech (X, τ) je topologický priestor. Systém S ⊆ τ sa nazýva subbáza topológie τ, ak

{⋂_{i=1}^{k} W_{i}, k ∈ ℕ, W_{i} ∈ S} je báza topológie τ.

Príklad.

1.21. (ℝ, τ_{d}) S = {(−∞, a], a ∈ ℝ} ∩ {(b, ∞), b ∈ ℝ} – subbáza τ_{d}.

{⋂_{i=1}^{k} W_{i}, k ∈ ℕ, W_{i} ∈ S} = S ∩ {(a, b); a, b ∈ ℝ, a < b} ∪ {∅}; B_{S} ⊇ B = {(a, b), a, b ∈ ℝ, a < b}.

Veta 1.5. Ak S je subbáza topológie τ na X, tak ⋃_{V ∈S} V = X.

Dôkaz. Nech B_{S}={⋂_{i=1}^{k} W_{i}, k∈ℕ, W_{i}∈S} je báza τ. Potom ⋃_{V ∈B_{S}} V = X. Nech ⋃_{W ∈S} W = Y ⊊ X,

∀V ∈ B_{S} ∃W ∈ S : V ⊆ W ⇒ ⋃_{V ∈B_{S}} V ⊆ ⋃_{W ∈S} W = Y ⊊ X spor s (i).

Veta 1.6. Nech S ⊆ P(X) a ⋃_{W ∈S} W = X . Potom B_{S} = {⋂_{i=1}^{k} W_{i}, k ∈ ℕ, W_{i} ∈ S} spl’ňa (i), (ii) a τ_{B_{S}}

je určená bázou B_{S} je topológia na X pre ktorú S je subbáza.

Dôkaz.

S ⊆ B_{S} ⇒ ⋃_{V ∈B_{S}} V ⊇ ⋃_{W ∈S} W = X ⇒ (i) pre B_{S}. Ak V, V′ ∈ B_{S} ⇒ V ∩ V′ ∈ B_{S} ⇒ platí (ii) pre B_{S}.

Potom τ_{B_{S}} = {U ∈ P(X), ∀a ∈ U ∃V ∈ B_{S} : a ∈ V ⊆ U} je topológia na X a B_{S} je báza τ_{B_{S}} ⇒ S je

subbáza τ_{B_{S}}. S ⊆ B_{S} ⊆ τ_{B_{S}} ⇒ S ⊆ τ_{B_{S}} a {⋂_{i=1}^{k} W_{i}, k∈ℕ, W_{i}∈S} = B_{S} je báza τ_{B_{S}} ⇒ S je subbáza τ_{B_{S}}.

τ_{S} = τ_{B_{S}} = {U ∈ P(X), ∀a ∈ U, ∃k ∈ ℕ ∃W_{1}, ⋯, W_{k} ∈ S : a ∈ ⋂_{i=1}^{k} W_{i} ⊆ U}.

Definícia 1.5. Nech (X, τ) je topologický priestor, p ∈ X. Každá otvorená množina U ∈ τ pre ktorú p ∈ U sa nazýva okolím bodu p. Systém všetkých okolí bodu p: η(p).

Platí: Ak U, U′ ∈ η(p) ⇒ U ∩ U′ ∈ η(p).

Definícia 1.6. Nech p ∈ X, (X, τ) je topologický priestor. Systém B(p) ⊆ η(p) sa nazýva báza okolí bodu p ak ∀U ∈ η(p) ∃V ∈ B(p) tak, že V ⊆ U.

Príklad.

1.22. (X, d) je metrický priestor, p ∈ X. B(p) = {O_{ε}(p), ε > 0} – báza okolí bodu p v (X, τ_{d}).

1.23. B′(p) = \{O_{\frac{1}{n}} (p), n ∈ ℕ\} – báza okolí bodu p v (X, τ_{d}).

1.24. (ℝ, τ_{z}) B(p) = {(p − ε, p], ε > 0} – báza okolí v p.

1.25. (ℝ, τ_{dis}) B(p) = {{p}} – báza okolí p.

Veta 1.7.

(1) Ak B je báza topológie v (X, τ) a p ∈ X, tak B(p) = {V ∈ B, p ∈ V } je báza okolí v p.

(2) Ak pre ∀p ∈ X B(p) je báza okolí v (X, τ), tak ⋃_{p∈X} B(p) = B je báza topológie v (X, τ).

Dôkaz.

(1) Nech U je okolie p. Teda U ∈ τ a p ∈ U. Potom existuje V ∈ B : p ∈ V ⊆ U. V ∈ B(p), V ⊆ U.

(2) Nech U je otvorená množina tj. U ∈ τ, p ∈ U. ∃V ∈ B(p) ⊆ B, V ⊆ U, p ∈ V ⊆ U.

Veta 1.8. Nech (X, τ) je priestor a pre každé p ∈ X je daná báza okolí B(p). Potom platí: (i) ∀p ∈ X : B(p) ≠ ∅ (ii) ∀V ∈ B(p) p ∈ V (iii) Ak V_{1} ∩ V_{2} je okolie p potom ∃V_{3} ∈ B(p) : V_{3} ⊆ V_{1} ∩ V_{2}. (iv) ∀V ∈ B(p) ∀q ∈ V ∃W ∈ B(q) : W ⊆ V.

(v) U je otvorená v (X, τ) ⇔ ∀p ∈ U ∃V ∈ B(p) : V ⊆ U.

Dôkaz.

(i) X ∈ η(p) ⇒ ∃V ∈ B(p) V ⊆ X ⇒ B(p) ≠ ∅.

(iii) V_{1} ∩ V_{2} je okolie p ⇒ ∃V_{3} ∈ B(p) tak, že V_{3} ⊆ V_{1} ∩ V_{2}.

(iv) Nech V ∈ B(p), q ∈ V. V ∈ τ ⇒ V je okolie q ⇒ ∃W ∈ B(q) : W ⊆ V.

(v) ⇒ : U je otvorená a p ∈ U. Potom U ∈ η(p) ⇒ ∃V ∈ B(p) tak, že V ⊆ U.

⇐ : ∀q ∈ U ∃V_{q} ∈ B(q) : V_{q} ⊆ U. q ∈ V_{q}, V_{q} ∈ τ, U = ⋃_{q∈V} V_{q} ∈ τ.

Veta 1.9. Nech X je množina a ∀p ∈ X je daný systém B(p) ⊆ P(X) pričom sú splnené podmienky (i) až (iv). Potom τ = {U ∈ P(X), ∀p ∈ U ∃V ∈ B(p), V ⊆ U} je topológia na X taká, že pre všetky p ∈ X je B(p) báza okolí bodu p.

Dôkaz. ∅, X ∈ τ; U, U′ ∈ τ p ∈ U ∩ U′ ⇒ ∃V, V′ ∈ B(p), V ⊆ U, V′ ⊆ U′ ⇒^{(iii)} ∃V′′ ∈ B(p) :

V′′ ⊆ V′ ∩ V ⇒ V′′ ⊆ U ∩ U′. U ∩ U′ ∈ τ. Ak S ⊆ τ, tak ⋃_{V ∈S} V ∈ τ je zrejmé. Nech p ∈ X. Chceme

ukázat’, že B(p) je báza okolí p v (X, τ).

1. B(p) ⊆ η(p) ⊆ τ. Nech V ∈ B(p), q ∈ V. Podl’a (iv) ∃W ∈ B(q) W ⊆ V ⇒ V ∈ τ. Podl’a (ii) ∀V ∈ B(p) : p ∈ V.

2. ∀U ∈ η(p) ∃V ∈ B(p) V ⊆ U. U ∈ η(p) ⇒ U ∈ τ; p ∈ U ⇒ ∃V ∈ B(p) ⇒ V ⊆ U.

Príklad.

1.26. P_{1}=(ℝ×ℝ_{0}^{+}, τ_{1}) O_{ε}(a, b)=\{(c, d)∈ℝ×ℝ_{0}^{+}; \sqrt{(a − c)^{2} + (b − d)^{2}} < ε\}. Ak (a, b) ∈ ℝ × ℝ_{0}^{+} a b>0 tak B(a, b)=\{O_{ε}(a, b); ε > 0\}. Õ_{ε}(a, 0)=\{(c, d)∈ℝ×ℝ_{0}^{+}; \sqrt{(a − c)^{2} + d^{2}} < ε, d > 0\} ∩ \{(a, 0)\}. B(a, 0)={Õ_{ε}(a, 0); ε > 0}.

1.27. P_{2} := (ℝ × ℝ_{0}^{+}, τ_{2}), B(a, b) = {O_{ε}(a, b), ε > 0} pre b > 0. B(a, 0) = {Ō_{ε}(a, 0), ε > 0}, Ō_{ε}(a, 0)=Õ_{ε}(a, ε) ∪ {(a, 0)}.

Definícia 1.7. Nech A ⊆ (X, τ). Potom množina Ā = ⋂{V ∈ P(X); V je uzavretá v (X, τ) a A ⊆ V } sa nazýva uzáver množiny A.

Veta 1.10. Nech A, B sú podmnožiny v (X, τ). Potom platí:

(1) A ⊆ Ā a Ā je uzavretá množina.

(2) Ak V je uzavretá v (X, τ) a A ⊆ V, tak Ā ⊆ V.

(3) ¯∅ = ∅.

(4) Ak A ⊆ B, tak Ā ⊆ B̄.

(5) \overline{A ∪ B} = Ā ∪ B̄.

(6) B je uzavretá ⇔ B̄ = B.

(7) \overline{(Ā)} = Ā.

Dôkaz.

(4) A ⊆ B ⊆ B̄, A ⊆ B̄ – uzavretá ⇒^{(2)} Ā ⊆ B̄.

(5) A ∪ B ⊆ Ā ∪ B̄ je uzavretá ⇒ \overline{A ∪ B} ⊆ Ā ∪ B̄; A ⊆ A ∪ B ⊆ \overline{A ∪ B} ⇒ Ā ⊆ \overline{A ∪ B}, B̄ ⊆ \overline{A ∪ B} ⇒ Ā ∪ B̄ ⊆ \overline{A ∪ B} ⇒ Ā ∪ B̄ = \overline{A ∪ B}.

(6) ⇒ : B ⊆ B – uzavretá ⇒ B̄ ⊆ B. Podl’a (1) platí B ⊆ B̄.

⇐ : B = B̄ ⇒^{(1)} B je uzavretá.

(7) Ā je uzavretá ⇒ \overline{(Ā)} = \overline{A}.

Veta 1.11. Nech X je množina a cl : P(X) → P(X); A ↦ clA je zobrazenie, ktoré má nasledujúce vlastnosti: (cl 1) ∀A ∈ P(X) : A ⊆ clA. (cl 2) cl ∅ = ∅. (cl 3) cl (A ∪ B) = cl A ∪ cl B. (cl 4) cl (clA) = cl A. Potom τ = {U ∈ P(X), cl (X \ U) = X \ U} je topológia na X a pre každé A ∈ P(X) : cl A = Ā.

Veta 1.12. Nech A je podmnožina X, (X, τ) je topologický priestor a p ∈ X a B(p) je báza okolí bodu p. Potom p ∈ Ā ⇔ ∀V ∈ B(p) : V ∩ A ≠ ∅.

Dôkaz.

⇒ : Nech ∃V ∈ B(p) : V ∩ A = ∅. Potom A ⊆ X \ V – uzavretá. Potom Ā ⊆ X \ V ⇒ p ∉ Ā.

⇐ : p ∉ Ā – uzavretá. Potom p ∈ X \ Ā – otvorená ⇒ ∃V ∈ B(p) V ⊆ X \ Ā ⇒ V ∩ Ā = ∅ ⇒ V ∩ A = ∅. □

Nech X je topologický priestor, A ⊆ X potom Int A = ⋃{U ∈ P(X), U je otvorená, U ⊆ A}.

Príklad.

1.28. Int [0, 1] = (0, 1), Int ℚ = ∄ (≠ ∅)

Definícia 1.8. Priestor X sa nazýva separabilný, ak v X existuje spočitatel’ná hustá podmnožina.

Definícia 1.9. Množina A ⊆ X je hustá v X , ak jej uzáver je celý topologický priestor. Ā = X.

Veta 1.13. Podmnožina A priestoru X, ktorého báza je B. Potom A ⊆ X je hustá v X ⇔ ∀V ∈ B, V ≠ ∅ : V ∩ A ≠ ∅.

Dôkaz.

⇒ : Nech existuje V ∈ B, V ≠ ∅ tak, že V ∩ A = ∅. Potom A ⊆ X \ V – uzavretá množina. Potom Ā ⊆ X \ V ≠ X ⇒ A ≠ X ⇒ A nie je hustá v X.

⇐ : Nech A nie je hustá v X tj. Ā ≠ X. Potom X \ Ā ≠ ∅, X \ Ā je otvorená. Nech c ∈ X \ Ā. ∃V ∈ B tak, že c ∈ V ⊆ X \ Ā. V ≠ ∅, V ∩ Ā = ∅ ⇒ V ∩ A = ∅.

Príklady.

1.29. ℚ̄ = ℝ, (ℝ, τ_{d}) B = {(a, b), a < b, a, b ∈ ℝ} – báza τ_{d}. (a, b) ∩ ℚ ≠ ∅.

1.30. (ℝ, τ_{z}), B = {(a, b], a < b, a, b ∈ ℝ} ℚ̄ = ℝ.

1.31. (ℝ, τ_{dis}), B = {{a}, a ∈ ℝ} ℚ̄ ≠ ℝ.

Definícia 1.10. Hovoríme, že X spl’ňa 1. axiómu spočitatel’nosti (resp. 2. axiómu spočitatel’nosti), ak pre každé a ∈ X existuje spočitatel’ná báza okolí v a. (resp. X má spočitatel’nú bázu topológie.)

Príklady.

1.32. (ℝ, τ_{d}), (ℝ, τ_{z}) – separabilné, ℚ – spočitatel’ná hustá. (ℝ, τ_{dis}) nie je separabilný.

1.33. (ℝ, τ_{cofin}), ℕ̄ = ℝ – separabilný, ℕ – uzavretá množina.

1.34. (ℝ, τ_{d}), (X, d) – metrický priestor. (X, τ_{d}) spl’ňa 1. axiómu spočitatel’nosti. ∀a ∈ X : B(a) = = \{O_{\frac{1}{n}} (a); n ∈ ℕ\}.

1.35. (ℝ, τ_{z}) a ∈ ℝ : B(a) = \{(a − \frac{1}{n}, a], n ∈ ℕ\} – báza okolí a spl’ňa 1. axiómu spočitatel’nosti. 1.36. (ℝ, τ_{dis}) B(a) = {{a}} – spl’ňa 1. axiómu spočitatel’nosti. 1.37. (ℝ, τ_{cof}), 0 ∈ ℝ. Nech B(0) je spočitatel’ná báza okolí 0. B(0) = {V_{1}, ⋯, V_{n}, ⋯ } spočitatel’ný

systém. ∀n ∈ ℕ : X \ V_{n} je konečná. A = ⋂_{n∈ℕ} V_{n}, X \ A = ⋃_{n∈ℕ}(X \ V_{n}) spočitatel’ná, potom A je

nespočitatel’ná. Nech a∈A, a≠0. Potom W =ℝ \ {a} je okolie bodu 0. ∀n∈ℕ a∈V_{n} ⇒ V_{n} ∩ ℝ \ W ≠ ∅ ⇒ V_{n} ⊈ W spor s tým, že B(0) je báza. Teda (ℝ, τ_{cof}) nespl’ňa 1. axiómu spočitatel’nosti.

1.38. (ℝ, τ_{d}) B = {(a, b); a < b, a, b ∈ ℚ} – spočitatel’ná báza v (ℝ, τ_{d}). U ∈ τ_{d}, a ∈ U : ∃ε>0 :

(a − ε, a + ε) ⊆ U. ∃r ∈ (a − ε, a) ∩ ℚ; ∃s ∈ (a, a + ε) ∩ ℚ. a ∈ \underbrace{(r, s)}_{∈B} ⊆ (a − ε, a + ε) ⊆ U.

1.39. (ℝ, τ_{dis}) nemá spočitatel’nú bázu. B – l’ubovol’ná báza τ_{dis}. ∀a ∈ ℝ, {a} je otvorená a ∈ {a} ⇒ ∃V ∈ B, a ∈ V ⊆ {a} ⇒ V = {a} ⇒ {a} ∈ B. card B ≥ C.

Veta 1.14.

(1) Ak X spl’ňa 2. axiómu spočitatel’nosti, tak spl’ňa 1. axiómu spočitatel’nosti.

(2) Ak X spl’ňa 2. axiómu spočitatel’nosti, tak je separibilný.

Dôkaz.

(1) Nech B je spočitatel’ná báza v X. Potom ∀a ∈ X, B(a) = {V ∈ B; a ∈ V } je spočitatel’ná báza okolí a.

(2) Nech B je spočitatel’ná báza X. ∀V ∈ B \ {∅} vyberieme x_{V} ∈ V. A = {x_{V} , V ∈ B \ {∅}} spočitatel’ná A ⊆ X, ∀V ∈ B, V ≠ ∅, V ∩ A ∋ x_{V} ⇒ V ∩ A ≠ ∅. Teda Ā = X.

Príklady.

1.40. (ℝ, τ_{dis}) spl’ňa 1. axiómu spočitatel’nosti, nespl’ňa 2. axiómu spočitatel’nosti.

1.41. (ℝ, τ_{cof}) separabilný a nespl’ňa 2. axiómu spočitatel’nosti ani 1. axiómu spočitatel’nosti.

1.42. (ℝ, τ_{z}) separabilný, spl’ňa 1. axiómu spočitatel’nosti, ale nespl’ňa 2. axiómu spočitatel’nosti.

Veta 1.15. Nech (X, τ) je topologický priestor, Y ⊆X. Potom systém množín τ↾_{Y} = {V ∈ P(Y), ∃U∈τ : V = Y ∩ U} je topológia na Y.

Dôkaz. ∅, Y ∈ τ↾_{Y}. Nech V_{1}, V_{2} ∈ τ↾_{Y}. Potom ∃U_{1}, U_{2} ∈ τ tak, že V_{1} = Y ∩ U_{1}, V_{2} = Y ∩ U_{2}. V_{1} ∩ V_{2} = (Y ∩ U_{1}) ∩ (Y ∩ U_{2}) = Y ∩ (U_{1} ∩ U_{2}). Nech S ⊆ τ↾_{Y}. Potom ∀V ∈ S vyberme U_{V} ∈ τ tak, že

V = Y ∩ U_{V}. ⋃_{V ∈S} V = ⋃_{V ∈S}(Y ∩ U_{V}) = Y ∩ ( ⋃_{V ∈S} U_{V}) ⇒ ⋃_{V ∈S} V ∈ τ↾_{Y}.

Definícia 1.11. Nech (X, τ) je priestor, Y ⊆ X. Potom priestor (Y, τ↾_{Y}) sa nazýva podpriestor (X, τ).

Príklady.

1.43. (ℝ, τ_{d}), [0, 1] – podpriestor (ℝ, τ_{d}). (\frac{1}{2}, 1] = [0, 1] ∩ (\frac{1}{2}, 2). (\frac{1}{2}, 1] je otvorená v [0, 1].

1.44. (ℝ, τ_{d}), (0, 1] – podpriestor (ℝ, τ_{d}). (0, \frac{1}{2}] je uzavretá v (0, 1].

Veta 1.16. Nech (X, τ) je topologický priestor a (Y, τ↾_{Y}) je podpriestor (X, τ). Potom platí:

(1) Podmnožina priestoru (Y, τ↾_{Y}) je uzavretá ⇔ existuje uzavretá podmnožina B v (X, τ) tak, že A = Y ∩ B.

(2) V je okolie bodu b v (Y, τ↾_{Y}) ⇒ existuje okolie U bodu b v (X, τ) tak, že V = Y ∩ U.

(3) Ak b ∈ Y, B(b) je báza okolí b v (X, τ), tak B_{Y} (b) = {Y ∩ V, V ∈ B(b)} je báza okolí b v (Y, τ↾_{Y}).

(4) Ak B je báza topológie v (X, τ), tak B↾_{Y} = {Y ∩ V, V ∈ B} je báza topológie v (Y, τ↾_{Y}).

(5) Ak A ⊆ Y, tak Ā^{Y} = Ā^{X} ∩ Y.

Dôkaz.

(4) B↾_{Y} ⊆ τ↾_{Y} U ∈ τ↾_{Y} , c ∈ U. ∃U′ ∈ τ, U = Y ∩ U′. c ∈ U′ ⇒ ∃V ∈ B : c ∈ V ⊆ U′. V ∩ Y = W ∈ B↾_{Y}, c ∈ W, W = V ∩ Y ⊆ U′ ∩ Y = U.

Dôsledok. Ak X má spočitatel’nú bázu (resp. spl’ňa 1. axiómu spočitatel’nosti) a Y je podpriestor X, tak Y má spočitatel’nú bázu (resp. spl’ňa 1. axiómu spočitatel’nosti).

Úloha. Nájst’ v predchádzajúcich príkladoch separabilný priestor obsahujúci podpriestor, ktorý nie je separabilný.

Axiómy oddelitel’nosti.

Definícia 1.12. Priestor X sa nazýva

(1) T_{0}-priestor, ak pre ∀a, b ∈ X, a ≠ b existuje okolie U bodu a tak, že b ∉ U alebo existuje okolie V bodu b tak, že a ∉ V.

(2) T_{1}-priestor, ak pre ∀a, b ∈ X, a ≠ b existuje okolie U bodu a tak, že b ∉ U a existuje okolie V bodu b tak, že a ∉ V.

(3) T_{2}-priestor (Hausdorffovský), ak pre l’ubovol’né a, b ∈ X, a ≠ b, ∃U(a) a V (b) : U ∩ V = ∅.

Tvrdenie. Každý T_{2}-priestor je T_{1}-priestor; každý T_{1}-priestor je T_{0}-priestor.

Príklady.

1.45. ({0, 1}, τ_{ind}) nie je T_{0}-priestor.

1.46. ({0, 1}, τ_{S}) τ_{S} = {∅, {1}, {0, 1}} je T_{0}-priestor, ale nie je T_{1}-priestor. τ_{S} sa nazýva Sierpinského priestor.

1.47. (ℝ, τ_{→}) je T_{0}-priestor, ale nie je T_{1}-priestor.

1.48. (ℝ, τ_{cof}); U = ℝ \ {b} ∋ a, V = ℝ \ {a} ∋ b. Je to T_{1}-priestor, ale nie je T_{2}-priestor, lebo: a ∈ U = ℝ \ K, b ∈ V =: ℝ \ L, U ∩ V = ℝ \ (K ∪ L) ≠ ∅.

1.49. (X, d) je metrický priestor. (X, τ_{d}) je T_{2}-priestor, lebo: a, b∈X, a ≠ b, d(a, b)=δ>0, ε>\frac{δ}{2}, O_{\frac{δ}{2}} (a) ∩ O_{\frac{δ}{2}} (b) = ∅.

Veta 1.17. X je T_{1}-priestor ⇔ ∀a ∈ X {a} je uzavretá.

Dôkaz.

⇒ : Nech a ∈ X, ∀b ∈ X \ {a} existuje okolie U_{b} také, že U_{b} ⊆ X \ {a} U = ⋃_{b∈A} U_{b} = X \ {a} ⇒

{a} = X \ U je uzavretá.

⇐ : Nech a, b ∈ X, a ≠ b, {a}, {b} uzavretá. U = X \ {b} otvorená a ∈ U, b ∉ U, V = X \ {a}

otvorená. b ∈ V, a ∉ V ⇒ X je T_{1}-priestor.

Veta 1.18. Ak X je T_{i}-priestor (i = 0, 1, 2) a Y je podpriestor X, tak Y je T_{i}-priestor.

Dôkaz.

T_{1}: X je T_{1}-priestor. Nech b ∈ Y. {b} je uzavretá v X. {b} = Y ∩ {b} uzavretá v Y. Y je T_{1}-priestor. T_{2}: Nech a, b ∈ Y, a ≠ b. Existujú otvorené U, V ∈ X také, že a ∈ U, b ∈ V a U ∩ V = ∅,

U′ = U ∩ Y, V′ = V ∩ Y sú otvorené v Y. a ∈ U′, b ∈ V′, U′ ∩ V′ = ∅, Y je T_{2}-priestor.

II. SPOJITÉ ZOBRAZENIA

Analýza: f : ℝ → ℝ, ∀a ∈ ℝ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : f((a − δ, a + δ)) ≤ (f(a) − ε, f(a) + ε).

Definícia 2.1. Nech X, Y sú topologické priestory. Zobrazenie f : X → Y sa nazýva spojité, ak pre každú otvorenú množinu V priestoru Y je f_{−1}(V) = {a ∈ X, f(a) ∈ V } otvorená v X.

Príklady.

2.1. f : X → Y, ∀a ∈ X : f(a) = b_{0} ∈ Y. (konštantné zobrazenie). V je otvorená v Y, ak b_{0} ∈ V tak f_{−1}(V) = X; ak b_{0} ∉ V tak f_{−1}(V) = ∅.

2.2. X – diskrétny, Y – l’ubovol’ný, f : X → Y je l’ubovol’né. Potom f je spojité.

2.3. X – l’ubovol’ný, Y – indiskrétny, f : X → Y je l’ubovol’né. Potom f je spojité.

2.4. f : (X, d) → (Y, d′) je spojité tak f : (X, τ_{d}) → (Y, τ′_{d}) je spojité.

2.5. id_{X} : X → X je spojité.

2.6. id_{R} : (ℝ, τ_{d}) → (ℝ, τ_{z}) nie je spojité.

2.7. id_{R} : (ℝ, τ_{z}) → (ℝ, τ_{d}) je spojité.

Poznámka. f[Ā] ⊆ \overline{f[A]}.

Veta 2.1. Nech X, Y sú topologické priestory. Pre každé a ∈ X B(a) je daná báza okolí a a pre každé b ∈ Y je daná báza okolí B′(b) bodu b a f : X → Y je zobrazenie. Potom sú ekvivalentné:

(1) f : X → Y je spojité.

(2) Pre každú uzavretú podmnožinu B priestoru Y f_{−1}(B) je uzavretá v X.

(3) Pre každú podmnožinu A priestoru X : f[Ā] ⊆ \overline{f[A]}.

(4) Pre každé a ∈ X a každé V ∈ B′(f(a)) existuje U ∈ B(a) tak, že f[u] ⊆ V.

Dôkaz.

(1)⇒(2): Nech B je uzavretá v Y. Potom Y \ B je daná otvorená v Y a teda f_{−1}(U) je otvorená v X. f_{−1}(B) = f_{−1}(Y \ U) = X \ f_{−1}(U) je uzavretá v X.

(2)⇒(3): Nech A ⊆ X, a ∈ Ā : f_{−1}(\underbrace{\overline{f[a]}}_{uz.}) ⊇ f_{−1}(f[A]) ⊇ A ⇒ f_{−1}(\underbrace{\overline{f[A]}}_{uz.}) ⊇ \underbrace{Ā}_{uz.} ⇒ f[Ā] ⊆ \overline{f[A]}.

(3)⇒(4): Nech a∈X a ∃V ∈B(f(a)) tak, že ∀U∈B(a), f(U)⊈V. Potom U⊈f_{−1}(V) ⇒ U ∩ X \ f_{−1}(V) je neprázdna. Potom a ∈ \overline{X \ f_{−1}(V)} a teda f(a) ∈ \overline{f(X \ f_{−1}(V))} = \overline{f(f_{−1}(Y \ V))} = \overline{Y \ V} = Y \ V spor.

(4)⇒(1): Nech V je otvorená v Y. Treba dokázat’, že f_{−1}(V) je otvorená v X. Nech a ∈ f_{−1}(V). Potom f(a)∈V ⇒ ∃W ∈B′(f(a)) : W ⊆V. ∃S∈B(a) : f(S)⊆W ⇒ S ⊆ f_{−1}(W) ⊆ f_{−1}(V) je otvorená.

Veta 2.2. Nech f : X → Y je zobrazenie, B je báza topológie v Y a S je subbáza topológie v Y. Potom nasledujúce výroky sú ekvivalentné:

(1) f : X → Y je spojité.

(2) Pre každé V ∈ B : f_{−1}(V) je otvorená množina v X.

(3) Pre každé W ∈ S : f_{−1}(W) je otvorená v X.

Dôkaz. (1) ⇒ (2) ⇒ (3) je jasné.

(3) ⇒ (1): Nech V je otvorená množina v Y. Treba dokázat’, že f_{−1}(V) je otvorená v X. Nech a ∈ f_{−1}(V). Potom f(a) ∈ V. Existujú S_{1}, ⋯, S_{k} ∈ S tak, že f(a) ∈ ⋂ S_{i} ⊆ V. f_{−1}(⋂ S_{i}) = ⋂ f_{−1}(S_{i}). f_{−1}(S_{i}) otvorené. a ∈ f_{−1}(⋂ S_{i}) ⊆ f_{−1}(V).

Definícia 2.2. Nech X, Y sú topologické priestory, f : X → Y, a ∈ X. Hovoríme, že f je spojité v bode a, ak pre každé okolie V (f(a)) bodu f(a) existuje okolie U bodu a tak, že f[U] ⊆ V.

Veta 2.3. Nech f : X → Y je zobrazenie, X′ je podpriestor X a Y′ je podpriestor Y taký, že f(X) ⊆ Y′. Ak f : X → Y je spojité, tak aj f↾_{X′} : X′ → Y aj f′ : X → Y′, f′(a) = f(a) ∀a ∈ X sú spojité.

Veta 2.4. Nech f : X → Y je zobrazenie, U je systém otvorených podpriestorov priestoru X taký, že ⋃_{U∈U} U = X. Potom f je spojité ⇒ ∀U ∈ U f↾_{U} : U → Y je spojité.

Dôkaz.

⇒ : je zrejmé.

⇐ : Nech V je otvorená v Y. ∀U ∈ U : (f↾_{U})_{−1}(V) je otvorená v X. U je otvorená ⇒ (f↾_{U})_{−1}(V) = = f_{−1}(V) ∩ U je otvorená v X. f_{−1}(V) = ⋃_{U∈U}(f_{−1}(V) ∩ U) otvorená v X.

Veta 2.5. Nech X, Y sú topologické priestory a V je konečný systém uzavretých podpriestorov priestoru X taký, že ⋃_{V ∈V} V = X. Potom f : X → Y je spojité ⇔ ∀V ∈ V f↾_{V} : V → Y je spojité.

Príklad.

2.8.

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{x − 1}  ak x ∈ [\frac{1}{2}, 1) \\ \frac{1}{x + 1}  ak x ∈ (−1, −\frac{1}{2}]  je spojité. \\ −4x  ak x ∈ (−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \end{matrix}

Veta 2.6. Ak f : X → Y, g : Y → Z sú spojité zobrazenia, tak g ∘ f je spojité z X → Z.

Dôkaz. W otvorená v Z. (g ∘ f)_{−1}(W) = f_{−1}(g_{−1}(W)) je otvorená.

Otázka. Ak g ∘ f : X → Z je spojité, či niektoré z f, g musí byt’ spojité?

Definícia 2.3. Nech X, Y sú topologické priestory. Zobrazenie f : X → Y sa nazýva homeomorfizmus ak f je spojité, bijektívne a f_{−1} je spojité tiež.

Príklady.

2.9. id_{R} : (ℝ, τ_{dis}) → (ℝ, τ_{ind}) spojité bijektívne. id_{R}^{−1} = id_{R} : (ℝ, τ_{ind}) → (ℝ, τ_{dis}) je spojité, teda je to homeomorfizmus.

2.10. Zobrazenie z príkladu č. 8 je homeomorfizmus.

2.11. id_{X} : X → X je homeomorfizmus.

Veta 2.7. Ak f : X → Y, g : Y → Z sú homeomorfizmy, tak g ∘ f : X → Z je homeomorfizmus.

Príklad.

2.12. S^{1} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : \sqrt{x^{2} + (y − \frac{1}{2})^{2}} = 1\}; f : S^{1} \ \{0, 1\} → ℝ × \{0\} je homeomorfizmus.

V ℝ^{n+1}: S^{n} = \{(x_{1}, ⋯, x_{n+1}), (∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2}) + (x_{n+1} − \frac{1}{2})^{2} = 1\}.

Definícia 2.4. Spojité zobrazenie f : X → Y sa nazýva otvorené (uzavreté) ak pre každú otvorenú (uzavretú) množinu U v X je f[U] otvorená (uzavretá).

Príklad 2.13.

id_{R} : (ℝ, τ_{x})→(ℝ, τ_{d}) je spojité (a, b) je otvorená v (ℝ, τ_{z}). id_{R}((0, 1])=(0, 1] nie je otvorená v (X, τ_{d}).

Veta 2.8. Nech B je báza topológia X a f : X → Y je spojité zobrazenie. Potom f je otvorené ⇔ ∀V ∈ B f(V) je otvorená v Y.

Dôkaz.

⇒ : zrejmá. ⇐ : Nech U je otvorená v X. Potom existuje S ⊆ B, U = ⋃_{V ∈S} V, f(U) = f ( ⋃_{V ∈S} V ) =

= ⋃_{V ∈S} f(V) otvorená ⇒ je otvorená.

Príklady.

2.14. X = ℝ, Y = {(x, y)∈ℝ^{2}, x^{2} + y^{2} = 1} = S^{1}, f : ℝ → S^{1}, f(x) = (cos(2πx), sin(2πx))∈S^{1}, B = \{(a, b); a, b ∈ ℝ, a < b, b − a < \frac{1}{2}\}.

2.15. p_{1} : ℝ^{2} → ℝ, p_{1}(x, y) ↦ x projekcia na prvú zložku – otvorené zobrazenie.

Definícia 2.5. Spojité zobrazenie f : X → Y sa nazýva faktorové zobrazenie ak f je surjektívne a pre každé V ⊆ Y platí: ak f_{−1}(V) je otvorená množina, tak V je otvorená.

Príklady.

2.16. f : ℝ → (\{0, 1\}, τ_{ind}), f(x) = \{ \begin{matrix}0 ak x ∈ ℚ \\ 1 ak x ∈ ℝ \ ℚ \end{matrix} je spojité. V ⊆\{0, 1\} a f_{−1}(V) je otvorená?

Potom f_{−1}(V) = ∅ ⇒ V = ∅. Ak f_{−1}(V) = ∅ ⇒ ∃r∈f_{−1}(V). Potom ∃ε>0 : (r−ε, r+ε)⊆f_{−1}(V); ∃s∈ℚ, t ∈ ℝ \ ℚ, s, t ∈ (r − ε, r + ε) ⊆ f_{−1}(V) je faktorové zobrazenie.

2.17. id_{R} : (ℝ, τ_{dis}) → (ℝ, τ_{ind}) je spojité, surjektívne, nie je faktorové, lebo id_{R}^{−1}{r} = {r} otvorená v (ℝ, τ_{dis}), ale nie je otvorená v (ℝ, τ_{ind}).

Veta 2.9a. Nech f : X → Y je spojité surjektívne zobrazenie. Potom f je faktorové ⇔ ∀V ⊆ Y platí: ak f_{−1}(V) je uzavretá v X, tak V je uzavretá v Y.

Veta 2.9b. Ak f : X→Y a g : Y →Z sú faktorové zobrazenia, tak aj g ∘f : X→Z je faktorové zobrazenie.

Dôkaz. Nech V ⊆ Z a (g ∘ f)_{−1}(V) je otvorená v X. (g ∘ f)_{−1}(V) = g_{−1}(f_{−1}(V)) je otvorená ⇒ g_{−1}(V) je otvorená ⇒ V je otvorená.

Veta 2.9c. Ak f : X → Y je surjektívne a otvorené (uzavreté) spojité zobrazenie, tak f je faktorové zobrazenie.

Dôkaz. Nech V ⊆ Y a f_{−1}(V) je otvorená v X. f je otvorené ⇒ f(f_{−1}(V)) = V je otvorená.

Príklad.

2.18. f : ℝ → S^{1} f(x) = (cos(2πx), sin(2πx)) otvorené zobrazenie ⇒ faktorové.

2.19. p_{1} : ℝ^{2} → ℝ p_{1}(x, y) = x otvorené ⇒ faktorové.

Definícia 2.6. Spojité zobrazenie f : X → Y je vnorenie, ak f : X → f(X) (podpriestor Y) je homeomorfizmus.

Veta 2.10. Spojité zobrazenie f : X → Y je vnorenie ⇔ f je injektívne a pre každú otvorenú (uzavretú) podmnožinu V v X, f(V) je otvorená (uzavretá) v f(X).

Príklady.

2.20. Ak A je podpriestor X, tak j : A → X, j(x) = x je vnorenie. j(A) = A, j : A → j(A) = A, j = id_{A} je vnorenie.

2.21. f : ℝ → ℝ^{2}, f(x) = (x, x) je spojité, injektívne, otvorené ⇒ vnorenie.

2.22. f : ℝ^{+} → ℝ^{2}, f(x) = (x, \frac{1}{x}) je spojité, injektívne, otvorené ⇒ vnorenie.

III. TOPOLOGICKÝ SÚČIN TOPOLOGICKÝCH PRIESTOROV

Definícia 3.1. Nech (X, τ_{X}), (Y, τ_{Y}) sú topologické priestory, S={U×Y, U∈τ_{X}} ∪ {X×V, V ∈τ_{Y} } B_{S} = {U × V, U ∈ τ_{X}, V ∈ τ_{Y} }. Nech τ_{S} = τ_{B} je topológia určená subbázou S resp. B_{S}. Potom (X × Y, τ_{B_{S}}) sa nazýva topologický súčin priestorov (X, τ_{X}), (Y, τ_{Y}); S(B) sa nazýva štandardná subbáza (báza) súčinnej topológie τ_{B_{S}}.

Označenie. (X × Y, τ_{B}) = (X, τ_{X}) × (Y, τ_{Y}).

Veta 3.1. Nech (X, τ_{X}), (Y, τ_{Y}) sú priestory, τ_{B} je súčinná topológia na X×Y a τ je l’ubovol’ná topológia na X × Y taká, že p_{X} : (X × Y, τ) → (X, τ_{X}) aj p_{Y} : (X × Y, τ) → (Y, τ_{Y}) sú spojité. Potom τ_{B} ⊆ τ.

Dôkaz. p_{X} spojitá ∀U ∈ τ_{X} : (p_{X})_{−1}(U) = U × Y ∈ τ_{X}. p_{Y} spojitá ∀V ∈τ_{Y} : (p_{Y})_{−1}(V)=X × V ∈τ_{Y}. Teda S ⊆ τ ⇒ τ_{S} = τ_{B} ⊆ τ.

Veta 3.2. Nech (X, τ_{X}), (Y, τ_{Y}) sú topologické priestory, B_{X} je subbáza topológie τ_{X}, B_{Y} je báza τ_{Y}. Nech B̃ = {U × V; U ∈ B_{X}, V ∈ B_{Y} }. Potom B̃ je báza topológie τB̃ na X × Y a platí τB̃ = τ_{B}.

Dôkaz. ⋃_{(U,V)∈B_{X}×B_{Y}} (U×V) = ( ⋃_{U∈B_{X}} U)×( ⋃_{V ∈B_{Y}} V ) = X×Y. U×V, U′×V′ ∈ B̃, (U×V)∩(U′×V′) =

= (U ∩ U′) × (V ∩ V′). (a, b) ∈ (U × V) ∩ (U′ × V′). Potom a ∈ U ∩ U′, b ∈ V ∩ V′ ⇒ ∃W ∈ B_{X},

W′ ∈ B_{Y} : a ∈ W ⊆ (U ∩U′), b ∈ W′ ⊆ V ∩V′. (a, b) ∈ \underbrace{W × W′}_{∈B̃} ⊆ (U ×V)∩(U′ ×V′). B̃ báza topológie

na (X ×Y, τB̃). B̃ ⊆ B ⇒ τB̃ ⊆ τ_{B}. V ∈ B_{Y} ⋃_{U∈B_{X}}(U ×V) = ( ⋃_{U∈B_{X}} U)×V = X ×V ∈ τB̃. Symetricky:

∀U ∈ B_{X} : ⋃_{V ∈B_{X}}(U × V) = U × Y ∈ τB̃. p_{X} : (X × Y, τB̃) → (X, τ_{X}); ∀U ∈ B_{X} : (p_{X})_{−1}(U) = U × Y ∈

τB̃. p_{X} spojité. p_{Y} : (X × Y, τB̃) → (Y, τ_{Y}); ∀V ∈ B_{Y} : (p_{Y})_{−1}(V) = X × V ∈ τB̃. p_{Y} spojité. p_{X}, p_{Y} sú spojité potom τ_{B} ⊆ τB̃.

τ_{B} = τB̃.

Veta 3.3. Nech X, Y, Z sú topologické priestory a X × Y je topologický súčin a f : Z → X×Y je zobrazenie. Potom f je spojité ⇔ p_{X}∘f aj f∘p_{Y} sú spojité.

Dôkaz.

⇒ : zrejmé.

⇐ : Nech S je štandardná subbáza súčinovej topológie S={U×Y, U je otvorená v X} ∩ {X×V, V je otvorená v Y \}. Zoberme si U × Y ∈ S, f_{−1}(U × Y) = f_{−1}((p_{X})_{−1}(U)) = \underbrace{(p_{X}∘f)_{−1}}_{spoj.}(U) ⇒ otvorená

v Z. f_{−1}(X × V) = f_{−1}((p_{Y})_{−1}(V)) = \underbrace{(p_{Y} ∘f)_{−1}}_{spoj.}(V) otvorená v Z.

Príklad.

3.1. ℝ×ℝ topologický súčin = (ℝ×ℝ, τ_{d}), d((a, b), (c, d)) = ((a − c)^{2} + (b − d)^{2})^{1/2}. f : ℝ^{+} → ℝ × ℝ, f(x) = (x, \frac{1}{x}). f je spojité ⇔ p_{1}∘f, p_{2}∘f sú spojité. p_{1}∘f = p_{1}(f(x))=x, p_{2} ∘ f(x) = p_{2}(f(x)) = \frac{1}{x}. Oba idú z ℝ^{+} do ℝ.

Veta 3.4. Ak (A, τ_{A}) je podpriestor (X, τ_{X}) a (B, τ_{B}) je podpriestor (Y, τ_{Y}), tak (A, τ_{A}) × (B, τ_{B}) je podpriestor (X, τ_{X}) × (Y, τ_{Y}).

Dôkaz. A × B ⊆ X × Y; B_{A×B} = {U × V; U ∈ τ_{A}, V ∈ τ_{B}}, B_{X×Y} = {U′ × V′, U′ ∈ τ_{X}, V′ ∈ τ_{Y} }. ∀U × V ∈ B_{A×B} ∃U′ ∈ τ_{X}, V′ ∈ τ_{Y} tak, že U = U′ ∩ A, V = V′ ∩ B ⇒ (U′ ∩ A) × (V′ ∩ B) = = (U′ × V′) ∩ (A × B). B_{A×B} = {(U′ × V′) ∩ (A × B), U′ × V′ ∈ B_{X×Y} } báza podpriestoru určeného A × B v (X, τ_{X}) × (Y, τ_{Y}).

Príklady.

3.2. S^{1}={(x, y) ∈ ℝ^{2}, x^{2} + y^{2} = 1}; [0, 1] ⇒ S^{1}×[0, 1] je podpriestor ℝ^{3}. S^{1}×[0, 1] = {(a, b, c)∈ℝ^{3}; a^{2} + b^{2} = 1, 0 ≤ c ≤ 1}.

3.3. S^{1} × S^{1} – tórus, anuloid.

3.4. [0, 1] × [0, 1] – štvorec.

3.5. ((X_{α}, τ_{α}))_{α∈I}; ∏_{α∈I} X_{α} ⟶^{p_{α}} X_{α} : ∀α ∈ I. ∀U otvorenú v X_{α}: (p_{α})_{−1}(U) je otvorená.

(p_{α})_{−1}(U) = ∏_{β∈I} Y_{β}; Y_{α} = U : ∀β ≠ α Y_{β} = X_{β}. (p_{α_{1}})_{−1}(U) ∩ (p_{α_{2}})_{−1}(V) = ∏_{γ∈I} Y_{γ}, Y_{α_{1}} = U,

Y_{α_{2}} = V : ∀γ ∉ {α_{1}, α_{2}}, Y_{γ} = X_{γ}.

Definícia 3.2. Nech ((X_{α}, τ_{α}))_{α∈I} je systém topologických priestorov (I je indexová množina). Nech X = ∏_{α∈I} X_{α}, S = {(p_{α})_{−1}(U) : α ∈ I, U ∈ τ_{α}} a τ je topológia na X určená subbázou S. Potom (X, τ)

sa nazýva topologický súčin systému ((X_{α}, τ_{α}))_{α∈I}; S sa nazýva štandardná subbáza súčinovej topológie

a systém B = {⋂_{i=1}^{k}(p_{α_{i}})_{−1}(U_{i}); k ∈ ℕ; α_{1}, ⋯, α_{k} ∈ I; U_{i} ∈ τ_{α_{i}}, ∀i = 1, ⋯, k} sa nazýva štandardná báza

súčinovej topológie. Ozn. (X, τ) = ∏_{α∈I}(X_{α}, τ_{α}).

Veta 3.5. Nech (X, τ) = ∏_{α∈I}(X_{α}, τ_{α}) je topologický súčin priestorov ((X_{α}, τ_{α}))_{α∈I}. Potom platí:

(1) ∀α ∈ I p_{α} : ∏_{α∈I}(X_{α}, τ_{α}) → (X, τ_{α}) je spojité zobrazenie.

(2) Ak f ∈ (ℤ, τ_{Z}) → ∏_{α∈I}(X_{α}, τ_{α}) je zobrazenie, tak f je spojité ⇔ ∀α ∈ I : p_{α}∘f je spojité.

(3) Ak τ′ je topológia na X a ∀α ∈ I p_{α} : (X, τ′) → (X_{α}, τ_{α}) je spojité, tak τ ⊆ τ′.

(4) Ak ∀α ∈ I B_{α} je báza topológie τ_{α}; S′ = {(p_{α})_{−1}(V), α ∈ I, V ∈ B_{α}} a τ_{S′} je topológia určená

tým systémom S′, tak τ_{S′} = τ. Systém B′ = {⋂_{i=1}^{k}(p_{α_{i}})_{−1}V_{i} : k ∈ ℕ, α_{1}, ⋯, α_{k}∈I, V_{1} ∈ B_{α_{i}}} je

báza τ_{S′}.

(5) ∀α ∈ I p_{α} : (X, τ) → (X_{α}, τ_{α}) je otvorené zobrazenie a teda aj faktorové zobrazenie.

Dôkaz.

(1) jasné.

(2) ⇒ : zrejmá. ⇐ : Nech V ∈ S tj. ∃α ∈ I a ∃U ∈ τ_{α} tak, že V = (p_{α})_{−1}(U). f_{−1}(V) =

= f_{−1}((p_{α})_{−1}(U)) = (\underbrace{p_{α}∘f}_{spoj.})_{−1}(U) ∈ τ_{Z} ⇒ f je spojité.

(3) ∀α ∈ I p_{α} : (X, τ′) → (X_{α}, τ_{α}) je spojité, tak ∀α ∈ I ∀U ∈ τ_{α} (p_{α})_{−1}(U) ∈ τ. Potom S ⊆ τ ⊆ τ′.

(4) Nech α ∈ I, p_{α} : (X, τ_{S′}) → (X_{α}, τ_{α}); ∀V ∈ B_{α} (p_{α})_{−1}(V) ∈ S′ ⊆ τ_{S′} ⇒ p_{α} je spojité ∀α ∈ I ⇒^{(3)}

τ ⊆ τ_{S′}. S′ ⊆ S ⇒ τ_{S′} ⊆ τ. τ = τ_{S′}.

(5) Nech α ∈ I, p_{α} : (X, τ) → (X_{α}, τ_{α}). Nech V ∈B je štandardná báza. Potom ∃α_{1}, ⋯, α_{k}∈I,

U_{1} ∈ τ_{α_{1}}, ⋯, U_{k} ∈ τ_{α_{k}} : V = ⋂_{i=1}^{k}(p_{α_{i}})_{−1}(U_{i}). Ak ∃i : U_{i} = ∅ potom p_{α}(V) = ∅.

Ak ∀i : U_{i} ≠ ∅, tak p_{α}(V) = \{ \begin{matrix}U_{i} pre α = α_{i} patrí τ_{α_{i}} napr. p_{2}(U_{1} × X_{2} × U_{3}) = X_{2} \\ X_{α} pre α ∉ \{α_{1}, ⋯, α_{k}\} ∈ τ_{α} p_{2}(X_{1} × U_{2} × U_{3}) = U_{2} \end{matrix}

Potom p_{α} je otvorená.

VŠEOBECNÁ TOPOLÓGIA 13

Poznámka. ((X_{α}, τ_{α}))_{α∈I}; ∀α ∈ I : (X_{α}, τ_{α}) = (X, τ) potom píšeme ∏_{α∈I}(X_{α}, τ_{α}) = (X, τ)^{I}. x ∈ ∏_{α∈I} X_{α}

x : I → ⋃_{α∈I} X_{α}, x(α) ∈ X_{α}.

Príklady.

3.6. D_{2} = {0, 1} diskrétny; B = {{0}, {1}} báza D_{2}. D_{2}^{2} = {0, 1} × {0, 1}. B^{1} = {{0} × {0}, {1} × {0}, {0} × {1}, {1} × {1}} báza D_{2}^{2}. D_{2}^{2} je zasa diskrétna topológia.

3.7. D_{2}^{ℕ} nemôže byt’diskrétny priestor. Jeho báza je nekonečný kartézsky súčin, ktorý od istého členu obsahuje činitele {0, 1}. napr. {0} × {1} × {1} × ⋯ × {0} × {1} × {0, 1} × ⋯ × {0, 1} × · · ·.

3.8. I nekonečná. ((X_{α}, τ_{α}))_{α∈I} ∀α U_{α} ∈ τ_{α} ∅ ≠ U_{α} ≠ X_{α}. ∏_{α∈I} U_{α} nie je otvorená v ∏_{α∈I}(X_{α}, τ_{α}).

x ∈ ∏_{α∈I} U_{α}, x ∈ ⋂_{i=1}^{k}(p_{α_{i}})_{−1}(U_{i}) ⊈ ∏_{α∈I} U_{α}.

Veta 3.6. Nech ((X_{α}, τ_{α}))_{α∈I} je systém priestorov a ∀α ∈ I : A_{α} je neprázdna podmnožina X_{α}. Potom platí:

(1) ∏_{α∈I} A_{α} je uzavretá v ∏_{α∈I}(X_{α}, τ_{α}).

(2) \overline{∏_{α∈I} A_{α}} = ∏_{α∈I} \overline{A_{α}}.

Dôkaz.

(1) ⇒ : A je uzavretá: ∏_{α∈I} A_{α} = A = Ā = ∏_{α∈I} \overline{A_{α}}; ∀α ∈ I, A_{α} ≠ ∅, \overline{A_{α}} ≠ ∅ ⇒ ∀α ∈ I : A_{α} = \overline{A_{α}} ⇒

A_{α} je uzavretá.

⇐ : Ā = ∏_{α∈I} Ā_{α} = ∏_{α∈I} A_{α} = A ⇒ A je uzavretá.

(2) ∀α ∈ I : p_{α} : ∏_{α∈I} X_{α} → X_{α} je spojité. p_{α}[Ā] ⊆ \overline{p_{α}[A]} = Ā_{α} ⇒ Ā ∈ (p_{α})_{−1}(Ā_{α}) = ∏_{β∈I} Y_{β};

Y_{α} = Ā_{α}, Y_{β} = X_{β} pre ∀β ∈ I. Potom Ā ⊆ ⋂_{α∈I}(p_{α})_{−1}(Ā_{α}) = ∏_{α∈I} Ā_{α}.

Opačná inklúzia: ⊇: Nech x ∈ ∏_{α∈I} Ā_{α} ⇒ ∀α ∈ I p_{α}(x) ∈ Ā_{α}. Nech V je prvok štandardnej

bázy ∏_{α∈I} X_{α} taký, že x∈V. ∃α_{1}, ⋯, α_{k} ∈ I a ∃U_{1}, ⋯, U_{k} : ∀i = 1, ⋯, k : U_{i} je otvorená

podmnožina X_{α_{i}}. V = ⋂_{i=1}^{k}(p_{α_{i}})_{−1}(U_{i}) = ∏_{α∈I} Y_{α}. Y_{α_{i}} = U_{i} ∀i = 1, ⋯, k : Y_{α_{i}} = X_{α} pre

α = α_{1}, ⋯, α_{k}. ∀α ∈ I Y_{α} je otvorená v X_{α}. x ∈ V ⇒ ∀α ∈ I p_{α}(x) ∈ Ā_{α} a Y_{α} je okolie

p_{α}(x) ⇒ Y_{α} ∩ A_{α} ≠ ∅. V ∩ A = ∏_{α∈I} Y_{α} ∩ ∏_{α∈I} A_{α} = ∏_{α∈I}(\underbrace{Y_{α} ∩ A_{α}}_{≠∅}) ≠ ∅ ⇒ x ∈ Ā : ∏_{α∈I} Ā_{α} ⊆ Ā.

Veta 3.7.

(1) Ak ∀α ∈ I : X_{α} je T_{i}-priestor (i = 0, 1, 2), tak ∏_{α∈I} X_{α} je T_{i}-priestor.

(2) Ak ∀n ∈ ℕ X_{n} je separabilný (resp. vyhovuje 1. axióme spočitatel’nosti; má spočitatel’nú bázu),

tak ∏_{n∈ℕ} X_{n} je separabilný (resp. vyhovuje 1. axióme spočitatel’nosti; má spočitatel’nú bázu). Dôkaz.

(1) Napr. pre i=2: ∀α∈I : X_{α} je T_{2}-priestor; x, y∈ ∏_{α∈I} X_{α}, x≠y. Potom ∃α∈I : p_{α}(x) ≠ p_{α}(y). p_{α}(x), p_{α}(y)∈X_{α} ⇒ existujú otvorené U, V v X_{α} tak, že p_{α}(x)∈U, p_{α}(y)∈V a U ∩ V = ∅. (p_{α})_{−1}(U),

(p_{α})_{−1}(V) sú otvorené v ∏_{α∈I} X_{α}; x ∈ (p_{α})_{−1}(U), y ∈ (p_{α})_{−1}(V), (p_{α})_{−1}(U) ∩ (p_{α})_{−1}(V) = ∅.

Teda ∏_{α∈I} X_{α} je T_{2}-priestor.

(2) Nech ∀n∈ℕ : X_{n} je separabilný tj. ∃M_{n}⊆X_{n}, M̄_{n}⊆X_{n}, M_{n} je spočitatel’ná. A= ∏_{n∈ℕ} M_{n}. Zvol’me

l’ubovol’ný a∈A. ∀n∈ℕ : p_{n}(a)∈M_{n}. M = {b ∈ A; {k ∈ ℕ, p_{k}(b)≠p_{k}(a)} je konečná}. M je spočitatel’ná: Nech x ∈ ∏_{n∈ℕ} X_{n}. Nech V je prvok štandardnej bázy topológie ∏_{n∈ℕ} X_{n},

x ∈ V. ∃n_{1}, ⋯, n_{k} ∈ ℕ a ∃U_{1}, ⋯, U_{k} kde U_{i} je otvorená v X_{n_{i}}. V = ⋂_{i=1}^{k}(p_{n_{i}})_{−1}(U_{i}) = ∏_{n∈ℕ} Y_{n}.

Y_{n_{i}} = U_{i}; Y_{n} = X_{n} ak n ≠ n_{1}, ⋯, n_{k}. ∀n∈ℕ : p_{n}(x) ∈ Y_{n} otvorená v X_{n}. p_{n}(x) ∈ M̄_{n} = X_{n} ⇒

Y_{n} ∩ M_{n} ≠ ∅ ⇒ V ∩ M = ∏_{n∈ℕ} Y_{n} ∩ ∏_{n∈ℕ} M_{n} = ∏_{n∈ℕ} Y_{n} ∩ M_{n} ≠ ∅ ⇒ X ∈ M̄ ⇒ ∏_{n∈ℕ} X_{n} ⊆ M̄.

IV. FAKTOROVÉ ZOBRAZENIE

Veta 4.1. Nech (X, τ) je topologický priestor, Y je množina a f : X → Y je surjektívne zobrazenie. Potom τ_{f} = {V ∈ P(Y), f_{−1}(V) ∈ τ} je topológia na Y a zobrazenie f : (X, τ) → (Y, τ_{f}) je faktorové zobrazenie.

Dôkaz. ∅, Y ∈ τ_{f}, V, V′ ∈ τ_{f}, (f_{−1})(V), f_{−1}(V′) ∈ τ. f_{−1}(V ∩V′) = f_{−1}(V)∩f_{−1}(V′) ∈ τ ⇒ V ∩V′ ∈ τ_{f}.

S ⊆ τ_{f}, ∀U ∈ S : f_{−1}(U) ∈ τ. f_{−1} ( ⋃_{U∈S} U) = ⋃_{U∈S} f_{−1}(U) ∈ τ_{f}. f je spojité, surjektívne. Nech V ⊆ Y

a f_{−1}(V) ∈ τ. Potom V ∈ τ_{f}.

Definícia 4.1. Topológia τ_{f} z Vety 4.1 sa nazýva faktorová topológia určená zobrazením f.

Príklady.

4.1. ℝ s obyčajnou topológiou. f : ℝ → {0, 1}; ∀x ∈ ℚ : f(x) = 0; ∀x ∈ ℝ \ ℚ : f(x) = 1. V ∈ τ_{f} ⇔ f_{−1}(V) je otvorená v ℝ. ∅ ∈ τ_{f}, {0, 1} ∈ τ_{f}, f_{−1}({1}) = ℝ \ ℚ nie je otvorená v ℝ ⇒ {1} ∉ τ_{f}. f_{−1}({0}) = ℚ nie je otvorená v ℝ. ⇒ {0} ∉ τ_{f}. τ_{f} = {∅, {0, 1}} indiskrétna topológia.

4.2. g : ℝ → {0, 1}; g(x) = 0 pre x > 0; g(x) = 1 pre x ≤ 0. τ_{g} = {∅, {0, 1}, {0}}. g_{−1}({0}) = (0, ∞) otvorená v ℝ. g_{−1}({1}) = (−∞, 0] nie je otvorená.

4.3. h : ℚ → \{0, 1\}; h(x) = 0 pre x < \sqrt{2}, h(x) = 1 pre x > \sqrt{2}. τ_{h} = \{∅, \{0, 1\}, \{0\}, \{1\}\}. h_{−1}(\{0\}) = (\sqrt{2}, ∞) ∩ ℚ otvorená v ℚ; h_{−1}(\{1\}) = (−∞, \sqrt{2}) ∩ ℚ otvorená v ℚ.

Definícia 4.2. Nech (X, τ) je topologický priestor, E je relácia ekvivalencie na X; X/E = {E(x); x ∈ X} je faktorová množina (rozklad X) určená reláciou E a p_{E} : X → X/E; p_{E}(x) = E(x). Nech τ_{E} = τ_{p_{E}} je faktorová topológia na X/E určená zobrazením p_{E}. Potom priestor (X/E, τ_{E}) sa nazýva faktorový priestor priestoru (X, τ) určený reláciou E.

Príklady.

4.4. ℝ; x ∼ y ⇔ ak sú naraz racionálne, alebo iracionálne. ℝ/ ∼= {ℚ, ℝ \ ℚ}. p_{∼} : ℝ → ℝ/ ∼; p_{∼}(x) = ℚ pre ∀x ∈ ℚ; p_{∼}(x) = ℝ \ ℚ pre ∀x ∈ ℝ \ ℚ. τ_{∼} = {∅, {ℚ, ℝ \ ℚ}}.

4.5. ℝ; x ∼ y ⇔ x = y alebo x, y ∈ ℕ; ℝ/ ∼= {ℕ} ∪ {{a}, a ∈ ℝ \ ℕ}. p : ℝ → ℝ/ ∼, p(a) = {a}, a ∈ ℝ \ ℕ, p(n) = ℕ pre ∀n ∈ N.

Veta 4.3. Nech f : X → Y je spojité zobrazenie a E_{f} je relácia ekvivalencie na X definovaná aE_{f}b ⇔ f(a) = f(b). Nech g : X/E_{f} → Y je zobrazenie g(E_{f}(x)) = f(x) a p_{E_{f}} : X → X/E_{f} je prirodzená projekcia priestoru X na faktorový priestor X/E_{f}. Potom g je spojité zobrazenie. Navyše ak f je faktorové zobrazenie, tak g je homeomorfizmus.

Dôkaz. f = g ∘ p_{E_{f}} p_{E_{f}} : X → X/E_{f}, p_{E_{f}} (x) = E_{f}(x) potom to vidno z definície: g ∘ E_{f} = f. g ∘ p_{E_{f}} je spojité; p_{E_{f}} je faktorové ⇒ g je spojité. Nech f je faktorové zobrazenie. Potom f je surjektívne ⇒ g je surjektívne. g je prosté ⇒ g je bijektívne. f = g ∘ p_{E_{f}}; p_{E_{f}} = g^{−1} ∘ f ⇒ g^{−1} je spojité. Teda g je homeomorfizmus.

Príklady.

4.6. ℝ s obvyklou topológiou. xEy ⇔ x − y ∈ ℤ. E(0) = ℤ, E(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + ℤ, a ∈ ℝ : E(a) = a + ℤ; a ∈ [0, 1] ⇒ E(a) – všetky triedy. (ℝ/E, τ_{E}) f : ℝ → S^{1} f(x) = (cos 2πx, sin 2πx) je to spojité, otvorené, surjektívne ⇒ faktorové. xE_{f}y ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x − y ∈ ℤ E_{f} = E.

4.7. ℝ; xEy ⇔ x, y ∈ ℚ alebo x, y ∈ ℝ \ ℚ. ℝ/E = {ℚ, ℝ \ ℚ}. f(x) = 0 ak x ∈ ℚ; f(x) = 1 ak x ∈ ℝ \ ℚ.

4.8. ℝ; xEy ⇔ x = y alebo x, y ∈ ℕ, ℝ/E = {{x}; x ∈ ℝ \ ℕ} ∪ {ℕ} ⟶^{g} ℝ \ {n ∈ ℕ; n ≥ 2},

f : ℝ → ℝ \ {n ∈ ℕ; n ≥ 2} = ℝ̃ f(x) = x ak x ∉ ℕ, f(x) = 1 ak x ∈ ℕ. g({x}) = x, g(ℕ) = 1. (ℝ̃, τ_{f}) nevyhovuje 1.axióme spočitatel’nosti; 1 nemá spočitatel’nú bázu okolí. Predpokladajme, že existuje spočitatel’ná báza okolí V_{1}, ⋯, V_{n}, ⋯ bodu 1 v (ℝ̃, τ_{f}). 1 ∈ V_{1}; f_{−1}(V_{1}) otvorená v ℝ; ℕ ⊆ f_{−1}(V_{1}) otvorená ∃ε_{1} > 0 , ε_{1} < \frac{1}{2} tak, že (1 − ε_{1}, 1 + ε_{1}) ⊆ f_{−1}(V_{1}), f((1 − ε_{1}, 1 + ε_{1})) = (1 − ε_{1}, 1 + ε_{1}) ⊆ V_{1}.

1 ∈ V_{2}; ℕ ⊆ f_{−1}(V_{2}) ⇒ 2 ∈ f_{−1}(V_{2}) otvorená. ∃ε_{2} > 0, ε_{2} < \frac{1}{2}, (2 − ε_{2}, 2 + ε_{2}) ⊆ f_{−1}(V_{2}). f(2 − ε_{2}, 2 + ε_{2}) = {1} ∪ ((2 − ε_{2}, 2 + ε_{2}) \ {2}).

1 ∈ V_{n} ⇒ ℕ ⊆ f_{−1}(V_{n}) ⇒ n ∈ f_{−1}(V_{n}) otvorená. ∃\frac{1}{2} > ε_{n} > 0 : (n − ε_{n}, n + ε_{n}) ⊆ f_{−1}(V_{n}) ⇒ f((n − ε_{n}, n + ε_{n})) = {1} ∪ ((n − ε_{n}, n + ε_{n}) \ {n}).

Definujme si: V = (1 − \frac{ε_{1}}{2} , 1 + \frac{ε_{1}}{2} ) ∪ ⋃_{n=2}^{∞} [(n − \frac{ε_{n}}{2} , n + \frac{ε_{n}}{2} ) \ \{n\}] ⊆ ℝ̃. f_{−1}(V) = ⋃_{n=1}^{∞}(n − \frac{ε_{n}}{2} , n + \frac{ε_{n}}{2} )

otvorená v ℝ ⇒ V je otvorená v (ℝ̃, τ_{f}). Bod 1 + \frac{ε_{1}}{2} ∈ V_{1} \ V ⇒ V_{1} ⊈ V ⋯ 1 + \frac{ε_{n}}{2} ∈ V_{n} \ V ⇒ V_{n} ⊈ V ⋯ spor s tým, že V_{1}, V_{2}, ⋯ je báza okolí bodu 1.

Topologický súčet.

Definícia 4.3. Nech ((X_{α}, τ_{α})_{α∈I}) je systém topologických priestorov a ∀α, β ∈ I : ak α ≠ β, tak

X_{α} ∩ X_{β} = ∅. Nech X = ⋃_{α∈I} X_{α}. Potom τ = {U ∈ P(X), ∀α ∈ I : U ∩ X_{α} ∈ τ_{α}} je topológia na X.

⋃_{α∈I} τ_{α} je báza τ. Priestor (X, τ) sa nazýva topologický súčet systému ((X_{α}, τ_{α})_{α∈I})

ozn.: (X, τ) = ⨁_{α∈I}(X_{α}, τ_{α}) (X ∪ Y, τ) = (X, τ_{X}) ⊕ (Y, τ_{Y}).

Vlastnosti. Nech (X, τ) = ⨁_{α∈I}(X_{α}, τ_{α}). Potom

(1) Pre každé α je X_{α} otvorená a súčasne uzavretá v (X, τ).

(2) Ak ∀α ∈ I : (X_{α}, τ_{α}) je T_{i}-priestor (i = 0, 1, 2) (vyhovuje 1. axióme spočitatel’nosti), tak ⨁_{α∈I}(X_{α}, τ_{α}) je T_{i}-priestor (resp. vyhovuje 1. axióme spočitatel’nosti).

(3) ∀α ∈ I : (X_{α}, τ_{α}) je podpriestor ⨁_{α∈I}(X_{α}, τ_{α}).

V. REGULÁRNE, ÚPLNE REGULÁRNE A NORMÁLNE PRIESTORY

Definícia 5.1. Nech X je topologický priestor. Potom:

(1) X sa nazýva regulárny, ak pre každú uzavretú množinu A v X a každé c ∈ X \A existujú otvorené

množiny U, V ∈ X tak, že c ∈ U, A ⊆ V a U ∩ V = ∅. Regulárny T_{1}-priestor sa nazýva T_{3}-priestor.

(2) X sa nazýva úplne regulárny, ak pre každú uzavretú množinu A v X a každé c ∈ X \ A existuje

spojité zobrazenie f : X → [0, 1] také, že f(c) = 1, f[A] ⊆ {0}. Úplne regulárny T_{1}-priestor sa nazýva T_{3 \frac{1}{2}} -priestor.

(3) X sa nazýva normálny, ak pre l’ubovol’né uzavreté množiny A, B v X také, že A ∩ B = ∅ existujú

otvorené množiny U, V pre ktoré A ⊆ U, B ⊆ V a U ∩ V = ∅. Normálny T_{1}-priestor sa nazýva T_{4}-priestor.

Príklad.

5.1. ℝ s obvyklou topológiou je T_{3}, T_{3 \frac{1}{2}} , T_{4}-priestor. Nech A ⊆ ℝ je uzavretá. c ∈ ℝ \ A. ∃ε > 0 : (c − ε, c + ε) ∩ A = ∅. (c − \frac{ε}{2}, c + \frac{ε}{2}) ⊆ [c − \frac{ε}{2}, c + \frac{ε}{2}] ⊆ (c − ε, c + ε). V = ℝ \ [c − \frac{ε}{2}, c + \frac{ε}{2}] ⊇ A, c ∈ (c − \frac{ε}{2}, c + \frac{ε}{2}) = U otvorená. ⇒ U ∩ V = ∅. A ⊆ ℝ \ (c − ε, c + ε). f(c) = 1, f[A] ⊆ \{0\}.

5.2. (ℝ, τ_{z}) je T_{3 \frac{1}{2}} -priestor. A je uzavretá v (ℝ, τ_{z}). c ∉ A. ∃ε > 0 : (c − ε, c] ∩ A = ε. (c − ε, c] je aj otvorená aj uzavretá ⇒ aj jej komplement je uzavretý aj otvorený.

f : (ℝ, τ_{z}) → [0, 1], f(x) = \{ \begin{matrix}1 x ∈ (c − ε, c] \\ 0 x ∉ (c − ε, c] \end{matrix} je to spojité zobrazenie.

{[0, b), b ∈ (0, 1)} ∪ {(a, 1], a ∈ (0, 1)} je subbáza topológie [0, 1]. f(c) = 1, f[A] ⊆ {0}.

Veta 5.1. Každý úplne regulárny priestor je regulárny.

Dôkaz. Nech X je úplne regulárny. Nech A ⊆ X, A uzavretá, c ∉ A. Existuje spojité zobrazenie f : X → [0, 1]; f(c) = 1; f[A] ⊆ \{0\}. f_{−1}(\frac{1}{2}, 1] = U otvorená; c ∈ U; V = f_{−1}[0, \frac{1}{2}) je otvorená, A ⊆ V, U ∩ V = ∅. Teda X je regulárny.

Dôsledok. Každý T_{3 \frac{1}{2}} -priestor je T_{3}-priestor.

Príklad.

5.3. A_{2} je indiskrétny priestor na {0, 1}, je regulárny, nie je T_{2}-priestor.

Veta 5.2. Každý T_{3}-priestor je T_{2}-priestor.

Dôkaz. X je T_{3}-priestor. Nech a, b ∈ X, a ≠ b. {b} uzavretá, a ∉ {b} ⇒^{X reg.} ∃U, V otvorená také, že a ∈ U, {b} ⊆ V, U ∩ V = ∅. X je T_{2}-priestor.

Veta 5.3. Nech X je topologický priestor a pre každé c ∈ X B_{c} je báza okolí bodu c. Potom platí: X je regulárny ⇔ ∀U ∈ B_{c} ∃V ∈ B_{c} : V̄ ⊆ U.

Dôkaz. ⇒ : Nech U ∈ B_{c}. A = X \ U je uzavretá množina a c ∉ A. X je regulárny potom existujú otvorené W, W′ tak, že c ∈ W, A ⊆ W′ a W ∩ W′ = ∅. X \ A ⊇ X \ W′. W ⊆ X \ W′ je uzavretá. Potom W̄ ⊆ X \ W′ ⊆ X \ A = U. W je okolie c ⇒ ∃V ∈ B_{c} tak, že W ⊇ V ⇒ W̄ ⊇ V̄. Teda máme V̄ ⊆ W̄ ⊆ U.

⇐ : Nech A je uzavretá množina v X. c ∈ X \ A. X \ A je okolie c ⇒ ∃U ∈ B_{c}, c ∈ U ⊆ X \ A. Existuje V ∈ B_{c}, V̄ ⊆ U. c ∈ V otvorená. W = X \ V̄ ⊇ X \ U = A. c ∈ V, A ⊆ W V ∩ W = ∅.

Príklady.

5.4. P_{1} = ℝ × [0, ∞) je T_{2}-priestor a nie je regulárny (ani T_{3}). O_{1}(c, 0) = {(x, y) ∈ ℝ × [0, 1), y > 0 a (x − c)^{2} + y^{2} < 1} ∪ {(c, 0)} uzavretá menšieho okolia O_{2} nebude ⊆ O_{1}, lebo bude obsahovat’ aj body typu (c ± ε, 0).

5.5. P_{4}; ([0, ∞), τ) B_{a} = \{(a − ε, a + ε) ∩ [0, ∞); ε>0\} pre a > 0. B_{0} = \{[0, ε) \ \{\frac{1}{n}, n ∈ ℕ\}; ε>0\}. \overline{[0, δ) \ \{\frac{1}{n}, n ∈ ℕ\}} = [0, δ). 0 ∉ A. P_{4} je T_{2}-priestor a nie je regulárny.

Veta 5.4. Nech X je priestor a S je subbáza topológie priestoru X. Potom X je úplne regulárny ⇔ ∀c ∈ X_{α}∀U ∈ S také, že c ∈ U existuje spojité zobrazenie f : X → [0, 1] také, že f(c) = 1 a f[X \ U] ⊆ {0}.

Dôkaz. ⇒ : X \ U uzavretá. c ∉ X \ U ⇒ existuje f : X → [0, 1] spojité, f(c) = 1, f[X \ U] = {0}. ⇐ : Nech A je uzavretá v X a c ∈ X \ A otvorená. Potom existujú U_{1}, ⋯, U_{k} ∈ S také, že

c ∈ ⋂_{i=1}^{∞} U_{i} ⊆ X \ A. A ⊆ X \ ⋂_{i=1}^{∞} U_{i} = ⋃_{i=1}^{∞}(X \ U_{i}). ∀i : c ∈ U_{i} ∈ S potom existujú spojité zobrazenia

f_{i} : X → [0, 1], f_{i}(c) = 1 a f[X \ U_{i}] ⊆ {0}. Nech f : X → [0, 1]; ∀x ∈ X : f(x) = min{f_{1}(x), ⋯, f_{k}(x)} spojité. f(c) = min{f_{1}(c), ⋯, f_{k}(c)} = 1. Nech a ∈ A. Potom ∃i : a ∈ X \ U_{i} ⇒ f_{i}(a) = 0 ⇒ f(a) =

= min\{\underbrace{f_{1}(a)}_{≥0}, ⋯, \underbrace{f_{i}(a)}_{=0}, ⋯, \underbrace{f_{k}(a)}_{≥0}\} = 0. tj. f[A] ⊆ \{0\}.

g : X → [0, 1]^{k}; g(x) = (f_{1}(x), ⋯, f_{k}(x)) spojité. p_{i} ∘ g = f_{i}.

h : [0, 1]^{k} → [0, 1] spojité h(x_{1}, ⋯, x_{k}) = min{x_{1}, ⋯, x_{k}} f = h ∘ g

h_{−1}[a, 1] = [a, 1]^{k}, h_{−1}[0, b) = [0, b) × [0, 1]^{k−1} ∪ [0, 1] × [0, 1] ∪ [0, b) ∪ [0, 1]^{k−2} ∪ ⋯ ∪ [0, 1]^{k−1} × [0, b).

Veta 5.5.

(1) Každý podpriestor regulárneho (resp. T_{3}-; úplne regulárneho; T_{3 \frac{1}{2}} -) priestoru je regulárny (resp. T_{3}-, úplne regulárny, T_{3 \frac{1}{2}} -) priestor.

(2) Ak (X_{α})_{α∈I} je systém regulárnych (resp. T_{3}-, úplne regulárnych, T_{3 \frac{1}{2}} -) priestorov, tak X = ∏_{α∈I} X_{α}

je regulárny (resp. T_{3}-, úplne regulárny, T_{3 \frac{1}{2}} -) priestor.

Dôkaz.

(1) Nech X je regulárny a Y je podpriestor X. Nech a ∈ Y, B je uzavretá podmnožina Y a a ∉ B. Potom existuje uzavretá podmnožina B′ priestoru X taká, že B′∩Y = B. a ∈ Y, a ∉ B ⇒ a ∉ B′. X je regulárna potom existujú otvorené U, V ∈ X také, že a ∈ U, B′ ⊆ V, U ∩V = ∅. U′ = U ∩Y, V′ = V ∩ Y, U′, V′ sú otvorené v Y, a ∈ U′, B ⊆ V′ a U′ ∩ V′ = ∅.

(2) Nech ∀α∈I X_{α} je regulárny. Nech X = ∏_{α∈I} X_{α}. Nech x∈X. B_{x} = {V ∈P(x), x∈V a V je prvok

štandardnej bázy súčinovej topológie }. Nech V ∈B_{x}, potom existujú α_{1}, ⋯, α_{k}∈I a ∀i = 1, ⋯, k,

U_{i} je otvorená v X_{α_{i}}, V = ⋂_{i=1}^{k}(p_{α_{i}})^{−1}(U_{i}). x ∈ V ⇒ ∀i = 1, ⋯, k : p_{α_{i}}(x) ∈ U_{i}. Systém všetkých

okolí η_{p_{α_{i}}} v X_{α} je báza okolí. X_{α} regulárna. U_{i} ∈ η_{p_{α_{i}}} (x) ⇒ existuje V_{i} ∈ η_{p_{α_{i}}} (x) také, že

V̄_{i} ⊆ U_{i}. U = ⋂_{i=1}^{k}(p_{α_{i}})^{−1}(V_{i}) ∈ B_{x}; x ∈ U ⇒ x ∈ B_{x}. U = ⋂_{i=1}^{k}(p_{α_{i}})^{−1}(V_{i}) ⊆ ⋂_{i=1}^{k}(p_{α_{i}})^{−1}(V̄_{i}) ⊆

⊆ ⋂_{i=1}^{k}(p_{α_{i}})^{−1}(U_{i}) = V ⇒ Ū ⊆ ⋂_{i=1}^{k}(p_{α_{i}})^{−1}(V̄_{i}) ⊆ V.

Dôsledok Vety 5.3. X je regulárny ⇔ ∀c ∈ X ∀U ∈ η(x) ∃V ∈ η(x) : V̄ ⊆ U.

Dôkaz. Nech ∀α∈I X_{α} je úplne regulárny. X= ∏_{α∈I} X_{α}. Nech S je štandardná subbáza súčinovej topológie.

Nech V ∈S, x∈V v X. ∃α_{0} ∈ I ∃U ∈ X_{α_{0}} otvorená: V = (p_{α_{0}})^{−1}(U). x∈V ⇒ p_{α_{0}}(x)∈U. Pretože X_{α_{0}} je úplne regulárny existuje spojité zobrazenie f_{α_{0}} : X_{α_{0}} → [0, 1]; f_{α_{0}}(p_{α_{0}}(x)) = 1, f_{α_{0}}[X_{α_{0}} \ U] ⊆ {0}. Nech f = f_{α_{0}} ∘ p_{α_{0}} : X → [0, 1] je spojité. f(x) = (f_{α_{0}} ∘ p_{α_{0}})(x) = 1. ∀y ∈ X \ V p_{α_{0}}(y) ∈ X_{α_{0}} \ U ⇒ f_{α_{0}}(p_{α_{0}}(y)) = 0 = f(y) ⇒ f[X \ V] ⊆ {0}. Teda X je úplne regulárny.

Veta 5.6. (o reprezentácii T_{3 \frac{1}{2}} -priestorov)

Priestor X je T_{3 \frac{1}{2}} -priestor ⇔ existuje A tak, že X je homeomorfný s niektorým podpriestorom priestoru [0, 1]^{A}.

Dôkaz.

⇒ : Nech X je T_{3 \frac{1}{2}} -priestor. A = C(X, [0, 1]) množina všetkých spojitých zobrazení f : X → [0, 1]. ∀f : p_{f}(h(x)) = f(x). Chceme ukázat’, že X je homeomorfný s h[X]. ∀f ∈ C(X, [0, 1]) : p_{f} ∘ h = f je spojité ⇒ h je spojité. Nech x, x′ ∈ X, x ≠ x′. {x′} je uzavretá. x ∉ {x′} ⇒ ∃f : X → [0, 1] spojité také, že f(x) = 1, f(x′) = 0. p_{f}(h(x)) = f(x) ≠ f(x′) = p_{f}(h(x′)) ⇒ h(x) ≠ h(x′) ⇒ h je spojité.

Nech A je uzavretá v X. Chceme ukázat’, že h[A] je uzavretá v h[X]. Nech y ∈ h[X] \ h[A]. Potom ∃x ∈ X : h(x) = y ⇒ x ∉ A. X je úplne regulárny, potom existuje spojité f : X → [0, 1], f(x) = 1 a f[A] ⊆ {0}. f = p_{f} ∘ h. f(A) = p_{f}(h(A)) ⊆ {0}; f(x) = p_{f}(h(x)) = p_{f}(y) = 1. U = (p_{f})^{−1}(0, 1] je otvorená v C(X, [0, 1]). h[A] ∩ U = ∅, y ∈ U. U′ = U ∩ h(x) otvorená v h[X]. y ∈ U′, U′ ∩ h[A] = ∅. Teda h[A] je uzavretá v h[X] a h : X → h[X] je homeomorfizmus.

⇐ : Nech X je homeomorfný nejakému podpriestoru X′ priestoru [0, 1]^{A}. Priestor [0, 1] je T_{3 \frac{1}{2}} - priestor. [0, 1]^{A} je tiež T_{3 \frac{1}{2}} -priestor ⇒ X′ je T_{3 \frac{1}{2}} -priestor potom X je T_{3 \frac{1}{2}} -priestor.

Poznámka. Ak X je T_{4}-priestor, tak X je T_{3}-priestor.

Príklady.

5.6. Príklad na T_{3 \frac{1}{2}} -priestor, ktorý nie je normálny a teda ani T_{4}-priestor.

P_{6} = (ℝ, τ_{z}) × (ℝ, τ_{z}) {(a, b], a, b ∈ ℝ, a < b} báza τ_{z}.

{(a, b] × (c, d], a, b, c, d ∈ ℝ; a<b<c<d} je báza topológie v (ℝ, τ_{z}) × (ℝ, τ_{z}).

D := {(x, −x); x ∈ ℝ} ⊆ ℝ × ℝ, V := (−b − 1, −b] × (b − 1, b] je otvorená v P_{6}. V ∩ D = {(−b, b)} je otvorená v D. D je diskrétny aj uzavretý v P_{6}. P_{6} je separabilný. ℚ × ℚ je hustá v P_{6}. ((a, b] × (c, d])∩ ∩(ℚ×ℚ) ≠ ∅. Nech P_{6} je normálny. ∀A ⊆ D A je uzavretá v D ⇒ A je uzavretá v P_{6}. Nech teda A ⊆ D je l’ubovol’ná. Potom A, D \ A sú uzavreté v D a teda aj v P_{6} a A ∩ (D \ A) = ∅. Potom existujú otvorené U_{A}, V_{A} v P_{6}: U_{A} ⊇ A, V_{A} ⊇ D \ A, U_{A} ∩ V_{A} = ∅. card P(D) = 2^{C} (kardinalita potenčnej množiny D).

Pre ∀A ∈ P(D) vyberieme U_{A} a položíme U′_{A} = U_{A} ∩ (ℚ × ℚ). P(D) → P(ℚ × ℚ); A ↦ U′_{A}. Nech A, A′ ∈ P(D), A ≠ A′. Potom A \ A′ ≠ ∅ ∨ A′ \ A ≠ ∅. Nech A \ A′ ≠ ∅. Chceme ukázat’, že U′_{A} ≠ U′_{A′}. Nech c ∈ A \ A′. U′_{A} = U_{A} ∩ (ℚ × ℚ), U′_{A′} = U_{A′} ∩ (ℚ × ℚ). ∃V_{A} : A ⊆ U_{A}, D \ A ⊆ V_{A}, U_{A} ∩ V_{A} = ∅, U_{A}, V_{A} sú otvorené. ∃V_{A′} : A′ ⊆ U_{A′}, D \ A′ ⊆ V_{A′}, U_{A′} ∩ V_{A′} = ∅, U_{A′}, V_{A′} sú otvorené.

c ∈ A, c ∈ D \ A′ ⇒ c ∈ U_{A} ∩ V_{A′} ≠ ∅ ⇒ W := (U_{A} ∩ V_{A′}) ∩ (ℚ × ℚ) = ∅, W ⊆ U′_{A}. W ∩ U_{A′} = ∅ ⇒ W ∩ U′_{A′} = ∅ ⇒ U′_{A′} ≠ U′_{A}. card P(D) = 2^{C}, card(ℚ × ℚ) = C spor, lebo neplatí: 2^{C} ≤ C.

Teda P_{6} nie je normálny. (ℝ, τ_{z}) je T_{3 \frac{1}{2}} -priestor ⇒ P_{6} = (ℝ, τ_{z}) × (ℝ, τ_{z}) je T_{3 \frac{1}{2}} -priestor.

Veta 5.7. Ak X je regulárny a má spočitatel’nú bázu, tak X je normálny.

Dôkaz. Nech A, B sú uzavreté v X, A ∩ B = ∅. Nech B je spočitatel’ná báza X. ∀x ∈ A; x ∉ B tj. x ∈ X \ B otvorená tj. X \ B ∈ η(x). X je regulárna ⇒ ∃U′_{x} ∈ η(x) tak, že Ū_{x} ⊆ X \ B tj. Ū_{x} ∩ B = ∅. U_{x} je otvorená, x ∈ U_{x} ⇒ ∃V_{x} ∈ B tak, že x ∈ V_{x} ⊆ U_{x}. Potom V̄_{x} ⊆ Ū_{x} ⇒ V̄_{x} ∩ B = ∅.

S_{A} = {V_{x}, x ∈ A} ⊆ B ⇒ S_{A} = {V_{n}}_{n=1}^{∞}; ⋃_{n∈ℕ} V_{n} = ⋃_{x∈A} V_{x} ⊇ A, ∀n ∈ ℕ : V̄_{n} ∩ B = ∅.

Podobne dostaneme S_{B} = {W_{n}}_{n=1}^{∞} ⊆ B, ⋃_{n∈ℕ} W_{n} ⊇ B a ∀n ∈ ℕ : W̄_{n} ∩ A = ∅. ∀n ∈ ℕ :

Ṽ_{n} = V_{n} \ ⋃_{p≤n} W̄_{p} otvorená. Ṽ = ⋃_{n∈ℕ} Ṽ_{n} ⊇ A. W̃_{m} = W_{m} \ ⋃_{p≤m} V̄_{p} otvorená W̃ = ⋃_{m∈ℕ} W̃_{m} ⊇ B.

Zoberme l’ubovol’né Ṽ_{n}, W̃_{m}. Ukážeme, že sú disjunktné.

1._{)} m ≤ n : Ṽ_{n} ∩ W̃_{m} = ∅, hned’ vidno: Ṽ_{n} ∩ W̃_{m} = ∅, W̃_{m} ⊆ W_{m} ⊆ W̄_{m} ⇒ Ṽ_{n} ∩ W̃_{m} = ∅.

2._{)} n ≤ m : W̃_{m} ∩ V̄_{n} = ∅, Ṽ_{n} ⊆ V_{n} ⊆ V̄_{n} ⇒ Ṽ_{n} ∩ W̃_{m} = ∅.

Príklad.

5.7. ℝ s obvyklou topológiou je normálny priestor.

Veta 5.8. X je normálny ⇒ pre každú uzavretú množinu A a každú otvorenú množinu U ⊇ A existuje otvorená množina V tak, že A ⊆ V, V̄ ⊆ V.

Dôkaz. ⇒ : A uzavretá, U otvorená. A ⊆ U. A, X \ U sú otvorené, A ∩ X \ U = ∅, teda existujú otvorené V, W tak, že A ⊆ V, X \ U ⊆ W, V ∩ W = ∅. X \ U ⊆ W ⇒ U ⊇ X \ W uzavretá. V ∩ W = ∅ ⇒ V ⊆ X \ W uzavretá ⇒ V̄ ⊆ X \ W ⊆ U.

⇐ : podobne.

Veta 5.9. Urysohnova Lema

X je normálny ⇔ pre l’ubovol’né uzavreté množiny A, B v X, A ∩ B = ∅ existuje spojité zobrazenie f : X → [0, 1], f[A] ⊆ {0}, f[B] ⊆ {1}.

Dôkaz. ⇒ : Nech X je normálny, A, B sú uzavreté v X a A∩B = ∅. Nech [0, 1]_{ℚ} := [0, 1]∩ℚ. Utvoríme systém V_{r}, r ∈ [0, 1]_{ℚ} , ktorý má nasledujúce vlastnosti:

(1) ∀r ∈ [0, 1]_{ℚ} je V_{r} otvorená.

(2) Ak r < r′, tak V̄_{r} ⊆ V_{r′}.

(3) A ⊆ V_{0}, B ⊆ X \ V_{1}.

[0, 1]_{ℚ} môžeme zoradit’ do postupnosti {r_{k}}_{k=1}^{∞}, kde r_{1} = 0, r_{2} = 1. Indukciou:

1^{∘}: k = 2 : V_{1} = X \ B otvorená. A ⊆ V_{1} ⇒^{5.8} ∃U otvorená: A ⊆ U, Ū ⊆ V_{1}. V_{0} = U, V_{0} = V_{r_{1}},

V_{1} = V_{r_{2}} otvorené. r_{1} < r_{2} ⇒ V̄_{r_{1}} ⊆ V̄_{r_{2}}, A ⊆ V_{r_{1}}, B ⊆ X \ V_{r_{2}}. V̄_{r_{1}} ⊆ V_{r_{2}} ∃U otvorená V̄_{r_{1}} ⊆ U, Ū ⊆ V_{r_{2}}. V_{r_{3}} = U . V_{r_{1}}, V_{r_{2}}, V_{r_{3}}. V̄_{r_{3}} ⊆ V_{r_{2}}. r_{1} < r_{3} ⇒ V̄_{r_{1}} ⊆ V_{r_{3}}.

2^{∘} Indukčný krok: Nech k ≥ 2 a existuje už systém V_{r_{1}}, ⋯, V_{r_{k}} taký, že

(1_{k}) ∀i ≤ k : V_{r_{i}} je otvorená.

(2_{k}) ∀i, j ≤ k : Ak r_{i} < r_{j} tak V̄_{r_{i}} ⊆ V̄_{r_{j}}.

(3_{k}) A ⊆ V_{r_{1}}, B ⊆ X \ V_{r_{2}}.

r_{k+1}: Nech l, m ≤ k sú také, že r_{l} je najväčšie z r_{i}, i ≤ k také, že r_{l} ≤ r_{k+1} a r_{m} je najmenšie z r_{i}, i ≤ k také, že r_{k+1} < r_{m}. Potom existuje otvorená W tak, že V̄_{r_{l}} ≤ W, W̄ ⊆ V_{r_{m}}, V_{r_{k+1}} = W. Máme systém V_{r_{1}}, ⋯, V_{r_{k+1}} taký, že: (1_{k+1}) ∀i ≤ k + 1 : V_{r_{i}} je otvorená. (2_{k+1}) ∀i, j ≤ k + 1 : ak r_{i} < r_{j}, tak V̄_{r_{i}} ⊆ V_{r_{j}}. Lebo: ak i ≠ k + 1 ≠ j tak OK. Nech j = k + 1, i < k + 1,

r_{i} < r_{k+1}. Potom r_{i} ≤ r_{l} ⇒ V̄_{r_{i}} ⊆ V_{r_{l}} ⊆ V̄_{r_{l}} ⊆ V_{r_{k+1}}. Teraz nech i = k + 1, j ≤ k, r_{k+1} < r_{j}.

Potom r_{m} ≤ r_{j}. V̄_{r_{k+1}} ⊆ V_{r_{m}} ⊆ V_{r_{j}}.

(3_{k+1}) A ⊆ V_{r_{i}}, B ⊆ X \ V_{r_{j}}.

Indukciou dostaneme V_{r_{1}}, ⋯, V_{r_{k}}, ⋯ tj. (V_{r}, r ∈ [0, 1]_{ℚ}) ktorý spĺňa:

(1) ∀r ∈ [0, 1]_{ℚ} : V_{r} je otvorená.

(2) Ak r < r′ tak V̄_{r} ⊆ V_{r′}. Pretože r = r_{i}, r′ = r_{j}. i ≤ j potom pre V_{r_{1}}, ⋯, V_{r_{j}} použijeme (2_{j}) r_{i} < r_{j} ⇒ V̄_{r_{i}} ⊆ V_{r_{j}}.

(3) A ⊆ V_{r_{1}} = V_{0}, B ⊆ X \ V_{r_{2}} = V_{1}.

Teraz definujeme zobrazenie f : X → [0, 1] takto: f(x) = inf{r ∈ [0, 1]_{ℚ}; x ∈ V_{r}}; x ∈ V_{1} a f(x) = 1 pre x ∈ X \ V_{1}. f[B] ⊆ {1} platí. ∀x ∈ A : x ∈ V_{0} ⇒ f(x) = inf{r ∈ [0, 1]_{ℚ}; x ∈ V_{r}} = 0, f[A] ⊆ {0}.

f je spojité: S = {[0, a); a∈(0, 1)} ∪ {(b, 1]; b∈(0, 1)} je subbáza [0, 1]. Zoberme x∈f_{−1}([0, a)) ⇔

f(x)<a ⇔ ∃r∈[0, 1]_{ℚ}, r<a : x∈V_{r} ⇔ x∈ ⋃_{\begin{matrix}r<a \\ r∈[0,1]_{ℚ} \end{matrix}} V_{r} otvorená. x∈f_{−1}[(b, 1)] ⇔ b < f(x) ⇒ ∃r′ ∈ [0, 1]_{ℚ} :

b < r′ < r < f(x) ⇒ ∃r, r′ ∈ [0, 1]_{ℚ} : b < r′ < r : V̄_{r′} ⊆ V_{r} x ∉ V_{r} ⇒ ∃r′ ∈ [0, 1]_{ℚ} : b < r′ x ∈ X \ V̄_{r} ⇒

x ∈ ⋃_{\begin{matrix}r′∈[0,1]_{ℚ} \\ b<r′ \end{matrix}}(X \ V̄_{r′}). Ukázali sme, že f_{−1}[(b, 1]] = ⋃_{b<r′}(X \ V_{r′}) otvorená.

⇐ : Nech A, B sú uzavreté v X, A ∩ B = ∅. Potom existuje spojité zobrazenie f : X → [0, 1]; f[A] ⊆ \{0\}, f[B] ⊆ \{1\}. Potom U = f_{−1}[[0, \frac{1}{3}]], V = f_{−1}[(\frac{2}{3}, 1]]. A ⊆ U, B ⊆ V, U, V otvorené U ∩ V = ∅ ⇒ X je normálny.

Dôsledok. Každý T_{4}-priestor je T_{3}-priestor.

Príklad.

5.8. Ak (X, d) je metrický priestor, tak (X, τ_{d}) je normálny. Nech A, B sú uzavreté v (X, τ_{d}), A∩B = ∅,

A ≠ ∅ ≠ B. f : (X, τ_{d}) → [0, 1], f(x) = \frac{d(x, A)}{d(x, A) + d(x, B)}. f(x) je spojitá.

5.9. Y = (ℝ, τ_{z})×(ℝ, τ_{z}) je T_{3 \frac{1}{2}} -priestor, ale nie je normálny. Y ≅ Y′ ⊆ [0, 1]^{A} kompaktný T_{2}-priestor, teda je normálny. Y′ nie je normálny. Teda Y′ je nenormálny podpriestor normálneho priestoru. (ℝ, τ_{z}) je normálny, ale (ℝ, τ_{z}) × (ℝ, τ_{z}) nie je normálny.

Veta 5.10. (Tietzeho Veta)

Ak X je normálny, A je uzavretý podpriestor priestoru X a f : A → ℝ je spojité zobrazenie, tak existuje spojité zobrazenie g : X → ℝ také, že ∀x ∈ A : g(x) = f(x).

VI. KOMPAKTNÉ PRIESTORY

Definícia 6.1.

(1) Systém S podmnožín priestoru X sa nazýva pokrytie priestoru X (resp. podmnožiny A priestoru X) ak X = ⋃_{S∈S} S (resp. A ⊆ ⋃_{S∈S} S ). Ak všetky prvky S sú otvorené množiny v X, tak U sa

nazýva otvorené pokrytie.

(2) Priestor X sa nazýva kompaktný, ak pre každé otvorené pokrytie U priestoru X existuje konečné podpokrytie U′ priestoru X tak, že U ⊇ U′.

(3) Podmnožina A priestoru X sa nazýva kompaktná, ak podpriestor priestoru X určený A je kompaktný priestor.

Príklady.

6.1. Každý konečný priestor je kompaktný.

6.2. Každý indiskrétny priestor je kompaktný.

6.3. Nech X je množina a τ je kofinitná topológia na X. τ = {U ∈ P(X); X \ U je konečná } ∪ {∅}. (X, τ) je kompaktný T_{1}-priestor. Dôkaz: U je otvorené pokrytie (X, τ). U∈U, U≠∅, X \ U={x_{1}, ⋯, x_{k}} existujú U_{1}, ⋯, U_{k} ∈ U : x_{1} ∈ U_{1}, ⋯, x_{k} ∈ U_{k}. U′ = {U, U_{1}, ⋯, U_{k}} je konečné pokrytie X, U′ ⊆ U.

6.4. [a, b] ⊂ ℝ s obvyklou topológiou je kompaktný T_{2}-priestor. Dôkaz: U je otvorené pokrytie [a, b]. K := {c ∈ [a, b]; existuje konečné pokrytie U′ intervalu [a, c], U ⊆ U′}. K ≠ ∅, lebo a ∈ K. Nech d := sup K. Existuje U ∈ U tak, že d ∈ U. Ak d = a, tak d ∈ K. Nech d > a. ∃ε > 0 tak, že (d − ε, d + ε) ∩ [a, b] ⊆ U. d − ε < d ⇒ ∃c ∈ K : c > d − ε, (c ≤ d). [c, d] ⊆ (d − ε, d] ⊆ U, c ∈ K ⇒ ∃U_{1}, ⋯, U_{k} ∈ U; [a, c] ⊆ U_{1} ∪ ⋯ ∪ U_{k}. Potom [c, d] ⊆ U_{1} ∪ ⋯ ∪ U_{k} ∪ U. Teda d ∈ K. Nech d < b, U ∈ U, d ∈ U. [d, d + ε) ⊆ U. Nech c′ ∈ (d, d + ε). [d, c′] ⊆ U, [a, c′] ⊆ U_{1} ∪ ⋯ ∪ U_{k} ∪ U ⇒ c′ ∈ K, c′ > d … spor. Teda d = b ∈ K.

Veta 6.1. Nech X je priestor a A je podmnožina X. Potom A je kompaktná ⇔ pre l’ubovol’né pokrytie U množiny A otvorenými množinami v X existuje konečné pokrytie S′ množiny A tak, že S′ ⊆ U.

Dôkaz.

⇒ : Nech V je systém otvorených množín v X taký, že ⋃_{V ∈V} V ⊇ A. Potom U = {V ∩ A, V ∈ V}

otvorené pokrytie podpriestoru A. A je kompaktný priestor ⇒ ∃V_{1} ∩ A, …, V_{k} ∩ A tak ⋃_{i=1}^{k}(V_{i} ∩ A) = A.

Potom ⋃_{i=1}^{k} V_{i} ⊇ A tj. {V_{1}, ⋯, V_{k}} ⊆ V je konečné pokrytie A.

⇐ : Nech V je otvorené pokrytie priestoru A. Pre každé V ∈ V vyberme otvorenú množinu U_{V} v priestore X; U_{V} ∩ A = V. Potom U = {U_{V}, V ∈ V} je systém otvorených množín v X, pre ktorý

⋃_{V ∈V} U_{V} ⊇ A. Potom existujú V_{1}, ⋯, V_{k} ∈ V tak, že ⋃_{i=1}^{k} U_{V_{i}} ⊇ A ⇒ ⋃_{i=1}^{k} U_{V_{i}} = A. (U_{V_{i}} ∩ A = V_{i}).

{V_{1}, ⋯, V_{k}} ⊆ V. Teda A je kompaktný.

Definícia 6.2. Systém S podmnožín priestoru X sa nazýva centrovaný, ak pre l’ubovol’ný konečný

neprázdny systém {A_{1}, ⋯, A_{k}} ⊆ S platí ⋂_{i=1}^{k} A_{i} ≠ ∅.

Príklady.

6.6. {A ∈ P(ℝ); 0 ∈ A} je centrovaný.

6.7. S = {U ∈ P(ℝ), ℝ\U je konečná } je centrovaný. Dôkaz: U_{1}, ⋯, U_{k}; ⋂_{i=1}^{k} U_{i} ≠ ∅ ⇔ ℝ\ ⋂_{i=1}^{k} U_{i} ≠ ℝ.

ℝ \ ⋂_{i=1}^{k} U_{i} = ⋃_{i=1}^{k}(ℝ \ U_{i}) je konečná.

Veta 6.2. Ak X je topologický priestor, tak nasledujúce výroky sú ekvivalentné:

(1) X je kompaktný.

(2) Pre každý centrovaný systém V uzavretých podmnožín priestoru X: ⋂_{V ∈V} V ≠ ∅.

(3) Pre každý centrovaný systém S podmnožín X: ⋂_{A∈S} Ā ≠ ∅.

Dôkaz. \underline{(1) ⇒ (2)}: Nech V je centrovaný systém uzavretých podmnožín X taký, že ⋂_{V ∈V} V = ∅. Nech

U = {X \ V; V ∈ V}. ⋃_{V ∈V}(X \ V) = X \ ⋂_{V ∈V} V = X ⇒ U je otvorené pokrytie X. Nech U_{1}, ⋯, U_{k} je

l’ubovol’ný neprázdny konečný systém prvkov z U. Potom existujú V_{1}, ⋯, V_{k} ∈ V tak, že U_{1} = X \ V_{1},

…, U_{k} = X \ V_{k}. ⋃_{i=1}^{k} U_{i} = ⋃_{i=1}^{k}(X \ V_{i}) = X \ ⋂_{i=1}^{k} V_{i} ≠ X, lebo ⋂_{i=1}^{k} V_{i} ≠ ∅.

\underline{(2) ⇒ (3)}: Ak S je centrovaný systém, tak aj S′ = \{Ā; A ∈ S\} je centrovaný systém uzavretých

množín ⇒ ⋂_{A∈S} Ā ≠ ∅.

\underline{(3) ⇒ (1)}: Nech X nie je kompaktný. Potom existuje otvorené pokrytie U priestoru X také, že

pre l’ubovol’ný konečný systém {U_{1}, ⋯, U_{k}} ⊆ U platí ⋃_{i=1}^{k} U_{i} ≠ X. S := {X \ U, U ∈ U} je to

centrovaný systém. Nech ∅ ≠ {X \ U_{1}, ⋯, X \ U_{k}} ⊆ S. ⋂_{i=1}^{k}(X \ U_{i}) = X \ ⋃_{i=1}^{k} U_{i} ≠ ∅. S je centrovaný

⋂_{A∈S} Ā = ⋂_{U∈U} \overline{(X \ U)} = ⋂_{U∈U}(X \ U) = X \ ⋃_{U∈U} U = X \ X = ∅.

Veta 6.3. Nech X je priestor, B je báza topológie X. Potom X je kompaktný ⇔ pre l’ubovol’né pokrytie S priestoru X také, že S ⊆ B existuje konečné pokrytie S′ ⊆ S priestoru X.

Dôkaz. ⇒ : zrejmá. ⇐ : Nech U je otvorené pokrytie X. Pre každé x ∈ X vyberme U_{x} ∈ U tak, že x ∈ U_{x}. Pre každé x vyberme V_{x} ∈ B tak, že x ∈ V_{x} ⊆ U_{x}. S = {V_{x}, x ∈ X} ⊆ B, S je pokrytie X tj. ⋃_{x∈X} V_{x} = X.

Existuje k ∈ ℕ, x_{1}, ⋯, x_{k} ∈ X tak, že V_{x_{1}} ∪ ⋯ ∪ V_{x_{k}} = X. ∀i = 1, ⋯, k : V_{x_{i}} ⊆ U_{x_{i}} a ⋃_{i=1}^{k} U_{x_{i}} = X.

{U_{x_{1}}, ⋯, U_{x_{k}}} ⊆ U.

Príklad 6.8. (0, 1) ⊆ [0, 1], ale (0, 1) nie je kompaktný. Teda podpriestor kompaktnej množiny nemusí byt’ kompaktný.

Veta 6.4.

(1) Každý uzavretý podpriestor A kompaktného priestoru X je kompaktný.

(2) Každý kompaktný podpriestor A T_{2}-priestoru X je uzavretý podpriestor.

Dôkaz.

(1) Nech S je centrovaný systém uzavretých podmnožín priestoru A. Potom, pretože A je uzavretý, S je centrovaný systém uzavretých podmnožín v X, X je kompaktný ⇒ ⋂_{C∈S} C ≠ ∅. Teda A je

kompaktný.

(2) Nech c ∉ A. ∀a ∈ A existujú otvorené množiny U_{a}, V_{a} tak, že a ∈ V_{a}, c ∈ U_{a}. {V_{a}; a ∈ A} je otvorené pokrytie A. Existuje a_{1}, ⋯, a_{k} ∈ A: V := V_{a_{1}} ∪ ⋯ ∪ V_{a_{k}} ⊇ A , U = U_{a_{1}} ∩ ⋯ ∩ U_{a_{k}} otvorená, c ∈ U, U ∩ V = ∅, A ⊆ V ⇒ U ∩ A = ∅. X \ A je otvorená ⇒ A je uzavretá.

Dôsledok. Ak X je kompaktný T_{2}-priestor a A ⊆ X, tak A je kompaktná ⇔ A je uzavretá.

Príklad 6.9. Nech (X, τ_{X}) je l’ubovol’ný topologický priestor. Nech c ∉ X. Y = X ∪ {c}, τ_{Y} = τ_{X} ∪ {Y }. Potom (Y, τ_{Y}) je topológia, je to kompaktný priestor. Ak U je otvorené pokrytie (Y, τ_{Y}), tak existuje U ∈ U : c ∈ U ⇒ U = Y ⇒ {Y } ⊆ U. (X, τ_{X}) je otvorený podpriestor (Y, τ_{Y}). Ak (X, τ_{X}) je T_{0}-priestor, tak aj (Y, τ_{Y}) je T_{0}-priestor. Ak X ≠ ∅, tak (Y, τ_{Y}) nie je T_{1}-priestor.

Veta 6.5. Nech X je T_{2}-priestor a A, B sú kompaktné podmnožiny v X, A ∩ B = ∅. Potom existujú otvorené množiny U, V ∈ X tak, že A ⊆ U, B ⊆ V a U ∩ V = ∅.

Dôkaz.

a) Nech a ∈ A. Potom ∀b ∈ B, a ≠ b a teda existujú otvorené množiny U_{b}, V_{b} tak, že a ∈ U_{b}, b ∈ V_{b} a U_{b} ∩ V_{b} = ∅. V = {V_{b}, b ∈ B} je otvorené pokrytie B – kompaktná, preto existuje b_{1}, ⋯, b_{k} ∈ B, k ∈ ℕ

tak, že B ⊆ V_{b_{1}} ∪ ⋯ ∪ V_{b_{k}} = V je otvorená. U_{b_{1}}, ⋯, U_{b_{k}}, ∀i : a ∈ U_{b_{i}}, U = ⋂_{i=1}^{k} U_{b_{i}} otvorená množina.

∀i = 1, ⋯, k: U ∩ V_{b_{i}} = ∅, (U_{b_{i}} ∩ V_{b_{i}} = ∅). Potom U ∩ V = ∅. a ∈ U, b ∈ V.

b) Podl’a a) pre každé a ∈ A existujú otvorené množiny W_{a}, S_{a} tak, že a ∈ W_{a}, B ⊆ S_{a}, W_{a} ∩ S_{a} = ∅.

W = {W_{a}, a ∈ A} je otvorené pokrytie A – kompaktná ⇒ ∃a_{1}, ⋯, a_{m} ∈ A, m ∈ ℕ, A ⊆ ⋃_{i=1}^{m} W_{a_{i}} = W

otvorená. ∀i : B ⊆ S_{a_{i}} ⇒ B ⊆ ⋂_{i=1}^{m} S_{a_{i}} = S otvorená; ∀i : S ∩ W_{a_{i}} ⊆ S_{a_{i}} ∩ W_{a_{i}} = ∅ ⇒ S ∩ W = ∅, A ⊆ W,

B ⊆ S.

Veta 6.6. Ak X je kompaktný T_{2}-priestor, tak X je normálny (a aj T_{4}-priestor).

Dôkaz. Ak A, B sú uzavreté v X, A ∩ B = ∅, tak A, B sú kompaktné v X. Ďal’ej použijeme vetu 6.5.

Dôsledok. Ak X je kompaktný T_{2}-priestor, tak X a aj každý jeho podpriestor je T_{3 \frac{1}{2}} -priestor (a teda aj T_{3}-priestor).

Veta 6.7. Nech f : X → Y je spojité zobrazenie. Potom platí:

(1) Ak A je kompaktná podmnožina X, tak f[A] je kompaktná podmnožina Y. (Špeciálne: Ak X je kompaktný, tak f[X] je kompaktný v Y.)

(2) Ak X je kompaktný a Y je T_{2}-priestor, tak f je uzavreté zobrazenie. Ak naviac f je surjektívne, tak f je aj faktorové zobrazenie.

(3) Ak X je kompaktný a Y je T_{2}-priestor a f je bijektívne, tak f je homeomorfizmus.

(4) Ak Y = ℝ a X ≠ ∅ je kompaktný, tak existujú a, b ∈ X tak, že ∀x ∈ X: f(a) ≤ f(x) ≤ f(b).

Dôkaz.

(1) Nech V je otvorené pokrytie f[A], tj. f[A] ⊆ ⋃_{V ∈V} V. Potom U = {f_{−1}(V), V ∈ V} je otvorené

pokrytie A v X. Teda ∃V_{1}, ⋯, V_{k} ∈ V, A ⊆ ⋃_{i=1}^{k} f_{−1}(V_{i}) ⇒ f[A] ⊆ ⋃_{i=1}^{k} V_{i}. {V_{1}, ⋯, V_{k}} ⊆ V. f[A]

je kompaktná.

(2) Nech A je uzavretá v X. Potom A je kompaktná v X a teda f[A] je kompaktná v Y. Y je T_{2}-priestor, potom f[A] je uzavretá v Y.

(3) Stačí ukázat’, že f^{−1} je spojité. Nech A je uzavretá v X. Potom (f^{−1})^{−1}[A] = f[A] je uzavretá v Y a teda f je spojité.

(4) f[X] ≠ ∅ je kompaktná v ℝ. Potom f[X] je ohraničená v ℝ. Nech c := inf f[X], d := sup f[X]. f[X] je kompaktná ⇒ f[X] je uzavretá ⇒ c, d ∈ f[X]. Existujú a, b ∈ X tak, že f(a) = c, f(b) = d a ∀x ∈ X : f(a) = c ≤ f(x) ≤ d = f(b).

Definícia 6.3. Priestor X sa nazýva lokálne kompaktný, ak pre každé a ∈ X existuje okolie U bodu a také, že Ū je kompaktná množina v X.

Príklady.

6.10. Každý kompaktný priestor je lokálne kompaktný.

6.11. Každý diskrétny priestor je lokálne kompaktný.

6.12. ℝ s obyčajnou topológiou je lokálne kompaktný.

6.13. ℚ ako podpriestor ℝ je topologický priestor, ktorý nie je lokálne kompaktný. Dôkaz: Nech U je okolie bodu 0 v ℚ také, že Ū je kompaktný v ℚ. Existuje ε > 0 tak, že (−ε, ε)_{Q} = (−ε, ε) ∩ ℚ. (−ε, ε)_{Q} ⊆ U. Nech δ ∈ ℝ \ ℚ : 0 < δ < ε. Potom (−δ, δ)_{Q} ⊆ U. Potom \overline{(−δ, δ)_{Q}} ⊆ Ū a teda \overline{(−δ, δ)_{Q}} je

kompaktná. \overline{(−δ, δ)_{Q}}^{Q} = \overline{(−δ, δ)_{Q}}^{R} = [−δ, δ] ∩ ℚ = (−δ, δ)_{Q}. Potom (−δ, δ)_{Q} je kompaktná v ℚ. Nech {r_{n}}_{n=1}^{∞} je postupnost’ kladných racionálnych čísel taká, že r_{n} → δ v ℝ. ⋃_{n∈ℕ}(−r_{n}, r_{n}) = (−δ, δ). Potom

⋃_{n∈ℕ}(−r_{n}, r_{n})_{Q} = (−δ, δ)_{Q}. Systém {(−r_{n}, r_{n})_{Q}, n ∈ ℕ} je otvorené pokrytie ℚ, ale nedá sa z neho

vybrat’ konečné podpokrytie. Keby áno: (−r_{k_{1}}, r_{k_{1}}), ⋯, (−r_{k_{m}}, r_{k_{m}}). r_{k_{j}} := max{r_{k_{1}}, ⋯, r_{k_{m}}} ⇒

⋃_{i=1}^{m}(−r_{k_{i}}, r_{k_{i}}) = (−r_{k_{j}}, r_{k_{j}}) ⊊ (−δ, δ)_{Q}. Teda (−δ, δ)_{Q} nie je kompaktný. Spor.

Veta 6.8.

(1) Ak X je lokálne kompaktný T_{2}-priestor, tak pre každé a ∈ X a každé okolie U bodu a existuje okolie V bodu a také, že V̄ je kompaktná množina a V̄ ⊆ U.

(2) Ak X je regulárny lokálne kompaktný priestor, tak pre každé a ∈ X a každé okolie U bodu a existuje okolie V bodu a také, že V̄ je kompaktná množina a V̄ ⊆ U.

Dôkaz.

(1) Nech a ∈ X a U je okolie a v X. Existuje okolie W bodu a také, že W̄ je kompaktná množina. Potom U ∩ W =: U′ je okolie bodu a v X a aj v podpriestore W̄. W̄ je kompaktný ⇒ W̄ je regulárny priestor. Potom existuje okolie V bodu a vo W̄ tak, že V̄ ⊆ U′. V je okolie a aj v podpriestore U′ priestoru W̄. (V ∩U′ = V). Teda V je otvorená v U′; U′ je otvorená v X, potom V je otvorená aj v X a teda V je okolie a v X. V ⊆ W̄ uzavretá v X. Potom V̄^{X} = V̄ W̄ resp. (V̄^{X} ⊆ W̄^{X}). V̄ je uzavretý podpriestor W̄. Potom V̄ je kompaktná množina v X, V̄ ⊆ U′ ⊆ U. V je okolie a v X, V̄ je kompaktná, V̄ ⊆ U.

Veta 6.9. Alexandrovova kompaktifikácia

Nech (X, τ_{X}) je lokálne kompaktný T_{2}-priestor, c ∉ X. Nech Y = X∪{c} a τ_{Y} = τ_{X} ∪{V ∈P(Y) : c∈V, X \ V je kompaktná množina v (X, τ_{X})}. Potom (Y, τ_{Y}) je kompaktný T_{2}-priestor, (X, τ_{X}) otvorený podpriestor (Y, τ_{Y}) a ak (X, τ_{X}) nie je kompaktný, tak X̄ = Y v (Y, τ_{Y}).

Dôkaz. Ak V ∈ τ_{Y}, tak V ∩ X ∈ τ_{X}. V ∈ τ_{Y} ⇒ V ∈ τ_{X} alebo c ∈ V a X \ V je kompaktný v (X, τ_{X}). Potom V ∩ X = V ∈ τ_{X} alebo c ∈ V, X \ V = X \ (V ∩ X) je kompaktná a teda uzavretá v (X, τ_{X}). Potom V ∩ X ∈ τ_{X}. Treba ukázat’, že τ_{Y} je topológia na Y:

∅, Y ∈ τ_{Y}. Nech U, V ∈ τ_{Y}. Ak U, V ∈ τ_{X} ⇒ U ∩ V ∈ τ_{X} ⊆ τ_{Y}. Nech U ∈ τ_{X}, V ∈ τ_{Y} \ τ_{X}. Potom V ∩ X ∈ τ_{X} a aj U ∩ V = U ∩ (V ∩ X) ∈ τ_{X} ⊆ τ_{Y}. Podobne ak U ∈ τ_{Y} \ τ_{X}, V ∈ τ_{X}.

Nech U, V ∈ τ_{Y} \ τ_{X}. Potom c ∈ U ∩ V. X \ (U ∩ V) = (X \ U) ∪ (X \ V), X \ U a X \ V sú kompaktné v (X, τ_{X}) a aj ich (konečné) zjednotenie je kompaktné v (X, τ_{X}). Teda U ∩ V ∈ τ_{Y}. Nech S ⊆ τ_{Y}. Ak S ⊆ τ_{X}, tak ⋃_{S∈S} S ∈ τ_{X} ⊆ τ_{Y}. Nech ∃V ∈ S, c ∈ V. Potom X \ V je kompaktná v (X, τ_{X}).

W := ⋃_{A∈S} A ∋ c. Vieme, že ∀A ∈ S : A ∩ X ∈ τ_{X} ⇒ X \ (A ∩ X) = X \ A je uzavretá v (X, τ_{X}).

X \ W = ⋂_{A∈S}(X \ A) je uzavretá v (X, τ_{X}), ⋂_{A∈S}(X \ A) ⊆ X \ V je kompaktná. ⋂_{A∈S}(X \ A) je uzavretá

v (X \ V), potom X \ W = ⋂_{A∈S}(X \ A) je kompaktná v (X \ V), a teda aj v (X, τ_{X}). Teda W ∈ τ_{Y}.

Teda (Y, τ_{Y}) je topologický priestor a (X, τ_{X}) je podpriestor (Y, τ_{Y}).

Nech a, b ∈ Y, a ≠ b. (X, τ_{X}) je T_{2}-priestor, tak existujú U, V ∈ τ_{X} ⊆ τ_{Y}, a ∈ U, b ∈ V, U ∩ V = ∅. Nech a ∈ X, b = c. (X, τ_{X}) je lokálne kompaktný, existuje okolie U bodu a v (X, τ_{X}) tak, že Ū je kompaktná v (X, τ_{X}). c ∉ Ū. V = (X \ Ū) ∪ {c} ∈ τ_{Y}, lebo c ∈ V a X \ V = Ū je kompaktná v (X, τ_{X}); U ∩ V = ∅. Teda (Y, τ_{Y}) je T_{2}-priestor.

Nech U je otvorené pokrytie (Y, τ_{Y}). Potom existuje U_{c} ∈ U tak, že c ∈ U_{c}. Pre každé U ∈ U \ {U_{c}},

U^{X} = U ∩ X je otvorená v (X, τ_{X}). X \ U_{c} je kompaktná v (X, τ_{X}). ⋃_{U∈U\{U_{c}}} U ⊇ X \ U_{c}, X \ U_{c} ⊆ X,

preto ⋃_{U∈U\{U_{c}}} U^{X} ⊇ X \U_{c}. {U^{X} : U ∈ U \{U_{c}}} je otvorené pokrytie X \U_{c} v (X, τ_{X}). Potom existujú

U_{1}, ⋯, U_{k} ∈ U \ {U_{c}}. U_{1}^{X} ∪ ⋯ ∪ U_{k}^{X} ⊇ X \ U_{c} ⇒ U_{1} ∪ ⋯ ∪ U_{k} ⊇ X \ U_{c} ⇒ U_{1} ∪ ⋯ ∪ U_{k} ∪ U_{c} = Y. Teda (Y, τ_{Y}) je kompaktný.

Ak (X, τ_{X}) nie je kompaktný, tak {c} ∉ τ_{Y}, teda pre každé okolie V bodu c platí V ≠ {c} a teda V ∩ X ≠ ∅. Teda c ∈ X̄ v (Y, τ_{Y}). □

Dôsledok. Každý lokálne kompaktný T_{2}-priestor je T_{3 \frac{1}{2}} -priestor.

Príklad 6.14. X = (0, 1), f(x) = (cos 2πx, sin 2πx), Y = f[X]. Kompaktné množiny v Y sú uzavreté intervaly, ktoré neobsahujú bod [1, 0]. Ich komplementy tvoria systém okolí bodu [1, 0].

Veta 6.10.

(1) Ak A je uzavretý podpriestor lokálne kompaktného priestoru X, tak A je lokálne kompaktný.

(2) Ak A je otvorený podpriestor lokálne kompaktného T_{2}-priestoru X, tak A je lokálne kompaktný.

Dôkaz.

(1) Nech c ∈ A. c ∈ X ⇒ existuje okolie U v X bodu c tak, že Ū je kompaktný v X. V = U ∩ A je okolie c v A. V̄^{A} ⊆ Ū, V̄^{A} je uzavretá v A, A ∩ Ū je uzavretá v Ū a teda aj kompaktná. V̄^{A} je uzavretá v A ∩ Ū je kompaktná, potom V̄^{A} je kompaktná v A.

(2) Nech c ∈ A. A je okolie c v X a podl’a vety 6.8 existuje okolie V bodu c v X tak, že V̄ je kompaktná v X a V̄ ⊆ A. Potom V je okolie c v A a V̄^{A} = V̄ kompaktná, teda A je lokálne kompaktná.

Centrované systémy, filtre a ultrafiltre.

Definícia 6.4. Nech X je množina.

(1) Systém C ⊆ P(X) sa nazýva centrovaný systém na X a pre l’ubovol’né k ∈ ℕ a C_{1}, ⋯, C_{k} ∈ C

platí ⋂_{i=1}^{k} C_{i} ≠ ∅.

(2) Systém H sa nazýva báza filtra na X, ak H ≠ ∅, ∅ ∉ H a pre l’ubovol’né U, V ∈ H existuje W ∈ H tak, že W ⊆ U ∩ V.

(3) Systém ∅ ≠ F ⊆ P(X) sa nazýva filter na X, ak 1.) ∅ ∉ F. 2.) Ak F, F′ ∈ F tak F ∩ F′ ∈ F. 3.) Ak F ∈ F a V ∈ P(X) taká, že F ⊆ V, tak V ∈ F.

(4) Filter U na X sa nazýva ultrafilter na X, ak pre každý filter G na X, pre ktorý U ⊆ G platí U = G. tj. U je maximálny vzhl’adom na ⊆.

Príklady. 6.15. C = {ℕ \ {n}; n ∈ ℕ} je centrovaný systém na ℕ, ktorý nie je báza filtra. 6.16. c ∈ ℝ, H = {(c − ε, c + ε), ε > 0} je báza filtra a nie je to filter. 6.17. Každá báza okolí bodu v topologickom priestore je báza filtra. 6.18. F = {A ∈ P(ℝ); ℝ \ A je konečná}, zrejme ∅ ∉ F. Je to filter, ale nie je to ultrafilter. 6.19. G = {A ∈ P(ℝ); ℝ \ A je spočítatel’ná} je filter na ℝ, F ⊊ G, lebo ℝ \ ℕ ∈ G \ F. 6.20. U = {A ∈ P(ℝ), 0 ∈ A} je ultrafilter na ℝ. 6.21. Y ⊆ X, F je filter na Y, tak F je báza filtra na X.

Veta 6.11.

(1) Ak C je centrovaný systém, tak H_{C} = {H ∈ P(X); ∃k ∈ ℕ ∃C_{1}, ⋯, C_{k} ∈ C : H = ⋂_{i=1}^{k} C_{i}} je báza

filtra.

(2) Ak H je báza filtra na X, tak F_{H} = {V ∈ P(X); ∃H ∈ H : H ⊆ V } je filter na X.

(3) Ak F je filter a H ⊆ F taká, že ∀F ∈ F ∃H ∈ H : H ⊆ F, tak H je báza filtra a F_{H} = F. (F je generovaný H).

Dôkaz.

(1) ∅ ≠ C ⊆ H_{C}; ∅ ∉ H_{C}. Ak H, H′ ∈ H_{C}, tak H ∩ H′ ∈ H_{C}.

(2) ∅ ∉ F_{H}. Ak A, B ∈ F_{H} tak ∃H, H′ ∈ H : H ⊆ A, H′ ⊆ B. Potom existuje H′′ ∈ H tak, že H′′ ⊆ H ∩ H′ ⊆ A ∩ B. Teda A ∩ B ∈ F_{H}. Nech F ∈ F_{H} a U ∈ P(X) tak, že F ⊆ U. Potom existuje H ∈ H, H ⊆ F ⊆ U ⇒ U ∈ F_{H}.

Veta 6.12.

(1) Ak C je centrovaný systém na X; f : X → Y je zobrazenie, tak f[C] = {f[C]; C ∈ C} je centrovaný systém na Y.

(2) Ak H je báza filtra na X a f : X → Y je zobrazenie, tak f[H] = {f[H]; H ∈ H} je báza filtra na Y.

Dôkaz.

(2) Ak H ∈ H, tak H ≠ ∅ a f[H] ≠ ∅, teda ∅ ∉ f[H]. Nech A, B ∈ f[H]. Potom existujú C, D ∈ H : A = f[C], B = f[D]. Existuje F ∈ H, F ⊆ C ∩ D. Potom f[F] ⊆ f[C ∩ D] ⊆ f[C] ∩ f[D] = A ∩ B; f[F] ∈ f[H]. Teda f[H] je báza filtra na Y.

Príklad 6.22. Obraz filtra nemusí byt’ filter: F je filter na X; Y má aspoň dva prvky; c ∈ Y a f : X → Y; f(x) = c pre ∀x ∈ X. f[F] = {{c}} je báza filtra, ale nie je to filter, lebo Y ∉ f[F].

Veta 6.13. Ak C je centrovaný systém na X, tak existuje centrovaný systém U na X taký, že C ⊆ U a pre každý centrovaný systém V na X taký, že U ⊆ V platí U = V. (tj. U je maximálny centrovaný systém na X vzhl’adom na ⊆. Naviac U je vždy ultrafilter.)

Dôkaz. Nech S je množina všetkých centrovaných systémov na X, pre ktoré C ⊆ D. S ≠ ∅, (S, ⊆) je čiastočne usporiadaná množina. Nech ∅ ≠ R je ret’azec v (S, ⊆). Nech M = ⋃_{D∈R} D. M ≠ ∅. Nech

M_{1}, ⋯, M_{k} ∈ M. ∀i = 1, ⋯, k ∃D_{i} ∈ R : M_{i} ⊆ D_{i}. Existuje n ∈ {1, ⋯, k} tak, že ∀i = 1, ⋯, k :

D_{i} ⊆ D_{n}. Potom M_{1}, ⋯, M_{k} ∈ D_{n} ⇒ ⋂_{i=1}^{k} M_{i} ≠ ∅. Teda M je centrovaný systém na X. C ⊆ M (lebo

∀D ∈ R : C ⊆ D) tj. M ∈ S a ∀D ∈ R : D ⊆ M, teda M je horné ohraničenie R. Podl’a Zornovej lemy existuje maximálny prvok U v (S, ⊆).

Zrejme C ⊆ U. Nech V je centrovaný systém na X, pre ktorý U ⊆ V. Pretože C ⊆ U ⊆ V, C ⊆ V a teda V ∈ S. U ⊆ V a U je maximálny v (S, ⊆), tak U = V. Ukážeme, že U je ultrafilter. ∅ ∉ U. Nech A, B ∈ U. Nech V = U ∪{A∩B} je centrovaný systém na X; U ⊆ V ⇒ U = V ⇒ A∩B ∈ U. Nech A ∈ U a V ∈ P(X) taká, že A ⊆ V. V := U ∪ {V } je centrovaný systém na X. U ⊆ V ⇒ U = V ⇒ V ∈ U. Teda U je filter na X. Nech U′ je filter na X a U ⊆ U′. Potom U′ je centrovaný systém na X a teda U = U′. Teda U je ultrafilter. □

Dôsledok. Ak F je centrovaný systém (v. báza filtra, v. filter) na X, tak existuje ultrafilter U na X, pre ktorý F ⊆ U.

Veta 6.14. Nech F je filter na X. Potom platí:

(1) F je ultrafilter na X ⇔ pre každé U ∈ P(X), pre ktoré ∀F ∈ F : U ∩ F ≠ ∅ platí U ∈ F.

(2) F je ultrafilter na X ⇔ ∀A ∈ P(X), A ∈ F alebo X \ A ∈ F.

Dôkaz.

(1) ⇒ : U ∈ P(X), ∀F ∈ F : U ∩ F ≠ ∅. V = F ∪ {U} je centrovaný systém. F ⊆ V. Existuje maximálny centrovaný systém W na X, pre ktorý V ⊆ W. W je ultrafilter. F ⊆ W ⇒ F = W a U ∈ W = F. ⇐ : Nech F nie je ultrafilter. Potom ∃G na X taký, že F ⊊ G. Nech U ∈ G \ F. Zrejme ∀F ∈ F : F ∈ G potom F ∩ U ∈ G ⇒ F ∩ U ≠ ∅. tj. ∃U ∈ P(X), U ∉ F a ∀F ∈ F : U ∩ F ≠ ∅.

(2) ⇒ : Nech A ⊆ X taká, že A ∉ F. Podl’a (1) musí existovat’ F ∈ F : A∩F = ∅. Potom F ⊆ X \A a teda X \ A ∈ F. ⇐ : Nech F nie je ultrafilter. Potom existuje filter G na X také, že F ⊊ G. ∃A ∈ G \ F : A ∈ G ⇒ X \ A ∉ G ⇒ X \ A ∉ F. Teda ∃A ⊆ X tak, že A ∉ F a aj X \ A ∉ F.

Kompaktné priestory (pokračovanie).

Veta 6.15. Ak (X_{α}, α ∈ I) je systém kompaktných priestorov, tak aj X = ∏_{α∈I} X_{α} je kompaktný priestor.

Dôkaz. I = ∅ : ∏_{α∈∅} X_{α} = {∗} vždy kompaktný. Ak ∃α ∈ I : X_{α} = ∅, tak X = ∏_{α∈I} X_{α} = ∅ je

kompaktný. Ak I ≠ ∅ a ∀α ∈ I X_{α} ≠ ∅ : X = ∏_{α∈I} X_{α}. Nech C je centrovaný systém na X. Chceme

dokázat’, že ⋂_{C∈C} C̄ ≠ ∅. Nech U je ultrafilter na X taký, že C ⊆ U. ⋂_{V ∈U} V̄ ⊆ ⋂_{C∈C} C̄. Stačí ukázat’, že

⋂_{V ∈U} V̄ ≠ ∅. Nech α ∈ I. Potom p_{α}[U] = {p_{α}[V], V ∈ U} je báza filtra a teda aj centrovaný systém

na X_{α}. Teda ⋂_{V ∈U} \overline{p_{α}[V]} ≠ ∅ (lebo X_{α} je kompaktný.) ∀α ∈ I vyberieme c_{α} ∈ ⋂_{V ∈U} \overline{p_{α}[V]} a zoberieme

c ∈ X taký, že p_{α}(c) = c_{α}. Ukážeme, že c ∈ ⋂_{V ∈U} V̄. Nech V ∈ U a U je l’ubovol’né okolie c v X.

Existujú α_{1}, ⋯, α_{k} ∈ I a U_{1} otvorené v X_{α_{1}}, ⋯, U_{k} otvorené v X_{α_{k}} tak, že c ∈ ⋂_{i=1}^{k}(p_{α_{1}})_{−1}(U_{i}) ⊆ U.

Pre ∀i = 1, ⋯, k : p_{α_{i}}(c)=c_{α_{i}} ∈ U_{i}. c_{α_{i}} ∈ p_{α_{i}}[V] ⇒ U_{i} ∩ p_{α_{i}}[V] ≠ ∅. (p_{α_{i}})_{−1}(U_{i}) ∩ V ≠ ∅. Teda

∀V ∈U : (p_{α_{i}})_{−1}(U_{i}) ∩ V = ∅ ⇒ (p_{α_{i}})_{−1}(U_{i}) ∈ U. ∀i = 1, ⋯, k : (p_{α_{i}})_{−1}(U_{i}) ∈ U ⇒ ⋂_{i=1}^{k}(p_{α_{i}})_{−1}(U_{i})∈U ⇒

U ∈ U ⇒ ∀V ∈ U : U ∩ V ≠ ∅. Potom ∀V ∈ U : c ∈ V̄ a teda c ∈ ⋂_{V ∈U} V̄ ≠ ∅. Teda X je kompaktný.

Poznámka. Veta 6.15. sa občas nazýva aj Tichonovova veta, ale vo všeobecnosti to dokázal Čech. Opačná implikácia platí za predpokladu neprázdneho systému s neprázdnymi množinami.

Dôsledok 1. Pre l’ubovol’nú množinu A je [0, 1]^{A} kompaktný T_{2}-priestor.

Dôsledok 2. Každá uzavretá ohraničená množina v ℝ^{n} je kompaktná.

Veta 6.16. (o reprezentácii kompaktných T_{3 \frac{1}{2}} -priestorov)

Priestor X je kompaktný T_{2}-priestor ⇔ existuje množina A tak, že X je homeomorfný s uzavretým podpriestorom [0, 1]^{A}.

Dôkaz. ⇒ : Nech X je kompaktný T_{2}-priestor. Potom X je T_{3 \frac{1}{2}} -priestor. Potom existuje A tak, že X je homeomorfný s podpriestorom X′ priestoru [0, 1]^{A}. Priestor X′ je kompaktný a teda uzavretý v [0, 1]^{A} (lebo [0, 1]^{A} je T_{2}-priestor.). ⇐ : Nech X je homeomorfný s uzavretým podpriestorom X′ = [0, 1]^{A}. Pretože [0, 1]^{A} je kompaktný T_{2}-priestor ⇒ X′ je kompaktný T_{2}-priestor ⇒ X je kompaktný T_{2}-priestor.

Definícia 6.5. Nech X je priestor. Usporiadaná dvojica (b_{X}, B(X)) sa nazýva kompaktifikácia priestoru X, ak B(X) je kompaktný T_{2}-priestor; b_{X} : X ↪ B(X) je vnorenie a \overline{b_{X}[X]} ⊆ B(X).

Veta 6.17. Pre každý T_{3 \frac{1}{2}} -priestor existuje kompaktifikácia (b_{X}, B(X)).

Dôkaz. Ak X je T_{3 \frac{1}{2}} -priestor, tak existuje množina A a vnorenie j_{X} : X ↪ [0, 1]^{A}. B(X) = \overline{j_{X}[X]} je kompaktný podpriestor [0, 1]^{A}. b_{X} : X → B(X), ∀a ∈ X, b_{X}(a) = j_{X}(a); (b_{X}, B(X)) je kompaktný v X.

Príklad 6.23. Podpriestor normálneho priestoru nemusí byt’ normálny:

X = (ℝ, τ_{z})×(ℝ, τ_{z}) je T_{3 \frac{1}{2}} -priestor, ale nie je normálny. Existuje kompaktifikácia (b_{X}, B(X)) priestoru X. b_{X}(X) = X′ je podpriestor kompaktného T_{2}-priestoru B(X) ⇒ X′ je T_{4}-priestor ⇒ je normálny, ale X′ nebol normálny.

Príklad 6.24. ℕ s diskrétnou topológiou; ℕ^{∗} je Alexandrovova kompaktifikácia na ℕ ∪ {ω}. τ_{ℕ^{∗}} = P(ℕ) ∪ {U ∈ P(ℕ ∪ {ω}); ω ∈ U a ℕ \ U je konečná }.

Príklad 6.25. ℝ s diskrétnou topológiou; ℝ^{∗} je Alexandrovova kompaktifikácia v ℝ na ℝ ∪ {∞}. τ_{ℝ^{∗}} = P(ℝ) ∪ {V ∈ P(ℝ) ∪ {∞}); ∞ ∈ U a ℝ \ U je konečná }. ℕ^{∗}, ℝ^{∗} sú kompaktné T_{2}-priestory a aj ℝ^{∗} × ℕ^{∗} je kompaktný T_{2}-priestor, teda aj T_{4}-priestor.

Nech Y = (ℝ^{∗} × ℕ^{∗}) \ {(∞, ω)} je podpriestor otvoreného priestoru (ℝ^{∗} × ℕ^{∗}), ktorý je lokálne kompaktný. A′ := ℝ^{∗} × {ω} je uzavretá v X := ℝ^{∗} × ℕ^{∗}; B′ := {∞} × ℕ^{∗} je uzavretá v X. A′ ∩ Y = = ℝ × {∞} = A je uzavretá v Y, B′ ∩ Y = {∞} × ℕ = B je uzavretá v Y; A ∩ B = ∅. Nech U je otvorená v Y a platí B ⊆ U. Podpriestor ℝ^{∗} ×{n} v X (n ∈ ℕ) je homeomorfný s ℝ^{∗}. ℝ^{∗} ×{n} je podpriestor v Y.

U_{n} = U ∩ (ℝ^{∗} × {n}) je otvorená v ℝ^{∗} × {n} ⇒ U_{n} = W_{n} × {n}. A_{n} = ℝ \ W_{n} je konečná. A = ⋃_{n∈ℕ} A_{n}

je spočítatel’ná ⇒ ∅ ≠ ℝ \ A = ⋂_{n∈ℕ} ℝ \ A_{n} = ⋂_{n∈ℕ} W_{n} = W. ∀n ∈ ℕ : W × {n} ⊆ W_{n} × {n} = U_{n}. Teda

W × ℕ ⊆ U. Nech V je otvorená v Y taká, že A ⊆ V. Potom V je otvorená aj v X. Zoberme si r ∈ W. {r} × ℕ^{∗} je podpriestor Y; {r} × ℕ^{∗} ≅ ℕ^{∗}. V ∩ ({r} × ℕ^{∗}) je otvorená v {r} × ℕ^{∗} ⇒ V ∩ ({r} × ℕ^{∗}) = = {r} × V_{r}, ℕ \ V_{r} je konečná ⇒ ∅ ≠ V_{r} \ {(r, ω)} tj. ∃k ∈ ℕ : (r, k) ∈ V ∩ ({r} × ℕ^{∗}) ⇒ (r, k) ∈ V. r ∈ W ⇒ (r, k) ∈ W × ℕ ⊆ U ⇒ V ∩ U ≠ ∅. Teda Y je normálny.

VII. SÚVISLÉ PRIESTORY A LINEÁRNE SÚVISLÉ PRIESTORY

Definícia 7.1. Priestor X sa nazýva súvislý, ak sa nedá vyjadrit’ ako zjednotenie dvoch neprázdnych otvorených a disjunktných podmnožín. tj. ak X = U ∪ V, U ∩ V = ∅, U, V sú otvorené ⇒ U = ∅ alebo V = ∅. Podmnožina A priestoru X sa nazýva súvislá, ak podpriestor určený množinou A priestoru X je súvislý. Priestor X sa nazýva lokálne súvislý, ak každý prvok a ∈ X má bázu okolí, ktorej všetky prvky sú súvislé množiny.

Príklad 7.1. Jednoprvkový priestor je súvislý.

7.2. Každý indiskrétny priestor je súvislý.

7.3. Každý diskrétny priestor s aspoň dvomi prvkami nie je súvislý.

7.4. X = (0, 1) ∪ [2, 3] podpriestor priestoru ℝ. U = (0, 1), V = [2, 3] sú otvorené v X, disjunktné, preto X nie je súvislý.

Tvrdenie 7.1. Podmnožina I priestoru ℝ s obvyklou topológiou je súvislá ⇔ I = ∅, alebo I je jednoprvková, alebo I je interval.

Dôkaz. ⇒ : Nech I má aspoň dva prvky a I nie je interval. Teda ∃a, b ∈ I; a < b a ∃c ∈ ℝ : a < c < b a c ∉ I. U := (−∞, c) ∩ I; V := (c, ∞) ∩ I. U, V sú otvorené v I, U ∩ V = ∅, U ∪ V = I. a ∈ U ≠ ∅, b ∈ V ≠ ∅. I nie je súvislá.

⇐ : ∅ √; jednoprvková √. Nech teda I je interval v ℝ. Predpokladajme, že I nie je súvislý podpriestor. Potom existujú U, V otvorené v I, U ∩ V = ∅, U ≠ ∅ ≠ V, U ∪ V = I. Nech a ∈ U, b ∈ V, a < b. Nech A′ = {x ∈ U, x ≤ b} ⊆ U, a ∈ A′ ≠ ∅. Nech c = sup A. Platí teda a ≤ c ≤ b. Potom c ∈ I a teda c ∈ U, alebo c ∈ V. Nech c ∈ U. U je otvorená v I ⇒ ∃ε > 0 : (c − ε, c + ε) ∩ I ⊆ U(⊆ I). Pretože b > c ⇒ b ≥ c + ε. Nech d = c + \frac{ε}{2} ∈ U, ale d < b, d ∈ U ⇒ d ∈ A′. Lenže d > c čiže spor. Teda nech c ∈ V. ∃ε > 0 : (c − ε, c + ε) ∩ I ⊆ V. ∀x ∈ A′, x < c, (c − ε, c) ⊆ V ⇒ ∀x ∈ A′, x ≤ c − ε ⇒ c − ε je horné ohraničenie A′, c − ε < c – spor.

Príklad 7.5. Podpriestory X = [0, 1] ∪ [2, 3], Y = {0, 1} nie sú súvislé podpriestory ℝ.

7.6. [0, 1] je súvislý priestor.

Veta 7.1. Ak f : X → Y je surjektívne zobrazenie a X je súvislý priestor, tak aj Y je súvislý priestor.

Dôkaz. Nech Y nie je súvislý. Potom existujú otvorené podmnožiny U, V v Y tak, že U ≠ ∅ ≠ V, U ∩ V = ∅, U ∪ V = Y. Nech U′ = f_{−1}(U), V′ = f_{−1}(V). Potom U′, V′ sú otvorené, U′ ≠ ∅ ≠ V′, U′ ∩ V′ = ∅ a U′ ∪ V′ = X. Teda X nie je súvislý – spor.

Dôsledok. Ak f je spojité, f : X → Y a A je súvislá podmnožina X, tak f[A] je súvislá podmnožina Y.

Veta 7.2. Nech (A_{α}, α ∈ I) je systém súvislých podmnožín priestoru X a ⋂_{α∈I} A_{α} ≠ ∅. Potom A = ⋃_{α∈I} A_{α}

je súvislá množina.

Dôkaz. Nech p ∈ ⋂_{α∈I} A_{α}; U, V sú otvorené podmnožiny A, U ∩ V = ∅, U ∪ V = A ⇒ p ∈ U alebo p ∈ V.

BUNO p ∈ U a α ∈ I. Potom U_{α} = U ∩ A_{α}, V_{α} = V ∩ A_{α} sú otvorené v A_{α}, U_{α} ∩ V_{α} = ∅, U_{α} ∪ V_{α} = A_{α},

p ∈ U_{α} ≠ ∅ ⇒ V_{α} = ∅. Teda ∀α ∈ I : V ∩ A_{α} = ∅ ⇒ V ∩ ( ⋃_{α∈I} A_{α}) = ∅ ⇒ V ∩ A = V = ∅. Teda A je

súvislý.

Definícia 7.2. Nech p ∈ X a C_{p} = ⋃{A; A je súvislá podmnožina X a p ∈ A}. Potom C_{p} sa nazýva komponenta súvislosti X obsahujúca p.

Veta 7.3. Nech A je súvislá podmnožina v priestore X a A ⊆ B ⊆ Ā. Potom B je súvislá v X.

Dôkaz. Nech B nie je súvislá. Potom existujú otvorené množiny U, V v podpriestore B také, že U ∩V = ∅, U ∪ V = B, U, V ≠ ∅. Nech a ∈ U. Potom a ∈ B ⊆ Ā. Existuje U′ otvorená v X, U′ ∩ B = U. a ∈ U′ okolie a. Potom U′ ∩ A = U ∩ A ≠ ∅. Nech b ∈ V. Potom podobne z toho vyplýva, že V ∩ A ≠ ∅. U_{1} = U ∩ A, V_{1} = V ∩ A sú otvorené v A, U_{1} ∩ V_{1} = ∅, U_{1} ≠ ∅ ≠ V_{1}, U_{1} ∪ V_{1} = A. Teda A nie je súvislá.

Dôsledok. Ak A je súvislá podmnožina X, tak aj Ā je súvislá podmnožina X.

Príklad 7.7. X = ℝ^{2}; A = \{(x, y) ∈ ℝ^{2}; x ∈ (0, 1], y = sin \frac{π}{x} \}. f : (0, 1] → ℝ^{2}, f(x) = (x, sin \frac{π}{x}) je spojité a A = f((0, 1]). A ∪ {(0, 0)}, (0, 0) ∈ Ā. A ∪ {(0, 0)} je súvislá v ℝ^{2}. Ā = A ∪ ({0} × [−1, 1]) je súvislá množina v ℝ^{2}.

Veta 7.4. Nech X je priestor. Potom pre každé p ∈ X komponenta súvislosti C_{p} je najväčšia súvislá množina obsahujúca p a C_{p} je uzavretá. Ak p, q ∈ X, tak C_{p} = C_{q}, alebo C_{p} ∩ C_{q} = ∅.

Dôkaz. maximalita OK. Nech p ∈ X; C_{p} je súvislá a preto C̄_{p} je súvislá. p ∈ C̄_{p} ⇒ C̄_{p} ⊆ C_{p} ⇒ C_{p} = C̄_{p} teda C_{p} je uzavretá.

Nech p, q ∈ X a C_{p} ∩ C_{q} ≠ ∅. Nech a ∈ C_{p} ∩ C_{q}. Potom C_{p} je súvislá množina obsahujúca a, potom C_{a} ⊇ C_{p}. Potom C_{a} je súvislá množina, p ∈ C_{a} ⇒ C_{a} ⊆ C_{p}. Teda C_{p} = C_{a}. Podobne C_{q} = C_{a}. ⋃_{p∈X} C_{p} = X; {C_{p}; p ∈ X} rozklad X na uzavreté súvislé množiny = komponenty súvislosti.

Príklady.

7.8. ℝ; ∀a ∈ ℝ : C_{a} = ℝ.

7.9. X je diskrétny priestor. ∀a ∈ X : C_{a} = {a}.

7.10. (ℝ, τ_{z}), a ∈ ℝ, C_{a} = {a}. Ak b ∈ C_{a}, b < a, tak (−∞, b) ∩ C_{a} je otvorená a súčasne uzavretá v C_{a}; A ≠ ∅, A ≠ C_{a} spor.

Definícia 7.3. Priestor X sa nazýva totálne nesúvislý, ak má aspoň dva rôzne prvky a všetky komponenty súvislosti sú jednoprvkové.

Veta 7.5. Ak (X_{α}, α ∈ I) je l’ubovol’ný systém súvislých priestorov, tak aj X = ∏_{α∈I} X_{α} je súvislý priestor.

Dôkaz. Nech I ≠ ∅ a ∀α ∈ I : X_{α} ≠ ∅. Nech p ∈ X. Nech K = {q ∈ X; {α ∈ I, q_{a} ≠ p_{a}} je konečná }. Dokážeme, že K ⊆ C_{p}. Nech q ∈ K, q ≠ p a {a ∈ I; p_{α} ≠ q_{α}} = {α_{1}, ⋯, α_{n}}. q ∈ C_{p}?

Indukciou vzhl’adom na n:

1^{∘} n = 1, {α ∈ I, q_{α} ≠ p_{α}} = {α_{1}}. X_{p}^{(α_{1})} = {α ∈ X, ∀α ≠ α_{1}, a_{α} = p_{α}} = {⋯ {p_{α}} × ⋯ × ⋯ X_{α_{i}} × ⋯ × {p_{α}} ⋯ }. X_{p}^{(α_{1})} je homeomorfný s X_{α_{1}} a teda súvislý. p ∈ X_{p}^{(α_{1})} ⇒ X_{p}^{(α_{1})} ⊆ C_{p} ⇒ q ∈ C_{p}.

2^{∘} Platí pre l’ubovol’né p a n ∈ ℕ. Dokážeme, že platí pre l’ubovol’né p a n + 1. Nech {α ∈ I, q_{α} ≠ p_{α}} = {α_{1}, ⋯, α_{n}, α_{n+1}}. Nech q′ ∈ X. q′_{α_{1}} = q_{α_{1}}, ⋯, q′_{α_{n}} = q_{α_{n}}, q′_{α_{n+1}} = p_{α_{n+1}}. {α ∈ I, q′_{α} ≠ p_{α}} = {α_{1}, ⋯, α_{n}} a z indukčného predpokladu q′ ∈ C_{p}. Teda C′_{q} = C_{p}. q′ ∈ X. {α ∈ I; q′_{α} ≠ q_{α}} = {α_{n+1}}. X_{q′}^{(α_{n+1})} ≅ X_{α_{n+1}} je súvislý ⇒ X_{q′}^{(α_{n+1})} ⊆ C_{q′}, q ∈ X_{q′}^{(α_{n+1})} ⇒ q ∈ C_{q′} = C_{p}. Teda pre ∀q ∈ K : q ∈ C_{p} ⇒ K ⊆ C_{p}. Platí K̄ = X, C_{p} je uzavretý ⇒ X = K̄ ⊆ C_{p}.

Príklad 7.11. P_{7} = ([0, ∞), τ); B(a) = \{(a − ε, a + ε) ∩ [0, ∞); ε > 0; B(0) = \{[0, ε) \ \{\frac{1}{n}, n ∈ ℕ\}, ε > 0\}. P_{7} je súvislý, ale nie je lokálne súvislý. Totiž: Y = (0, ∞) je podpriestor P_{7}, je totožný s podpriestorom v ℝ. Y je súvislý podpriestor. P_{7} = Ȳ je súvislý. V bode 0 neexistuje báza okolí, ktoré sú všetky súvislé. Nepriamo: Nech B′(0) je taká báza okolí. O_{1} = [0, 1) \ \{\frac{1}{n}, n ∈ ℕ\} okolie 0. Existuje V ∈ B′(0), V ⊆ O_{1}, 0 ∈ V, ∃ε > 0 : [0, ε) \ \{\frac{1}{n}, n ∈ ℕ\} ⊆ V, 0 ∈ V : ∃a ∈ V, a > 0. Potom ∃k ∈ ℕ : \frac{1}{k} < a, \frac{1}{k} ∉ O_{1} ⇒ \frac{1}{k} ∉ V. [0, \frac{1}{k}) je otvorená v P_{7}. (\frac{1}{k} , ∞) je otvorená v P_{7}. U_{1} = [0, \frac{1}{k}) ∩ V otvorená vo V; U_{2} = (\frac{1}{k} , ∞) ∩ V je otvorená vo V. U_{1} ∪ U_{2} = V, U_{1} ∩ U_{2} = ∅ ⇒ V nie je súvislá, spor.

Lineárne súvislé priestory.

Definícia 7.4. Priestor X sa nazýva lineárne súvislý, ak pre každé a, b ∈ X existuje spojité zobrazenie f : [0, 1] → X tak, že f(0) = a, f(1) = b. Podmnožina A priestoru X sa nazýva lineárne súvislá, ak podpriestor určený A je lineárne súvislý.

X je lokálne lineárne súvislý, ak ∀a ∈ X existuje báza okolí a, ktoré sú všetky lineárne súvislé.

Príklad 7.12. (ℝ, τ_{d}) je lineárne súvislý; je aj lokálne lineárne súvislý.

7.13. Každý interval v ℝ je lineárne súvislá množina.

7.14. ℝ^{n} je lineárne súvislý a aj lokálne lineárne súvislý.

7.15. (ℝ, τ_{z}) nie je lineárne súvislý.

Veta 7.6. Ak X je lineárne súvislý, tak X je súvislý.

Dôkaz. Nech a ∈ X, C_{a} je komponenta súvislosti a. Nech b ∈ X. Potom existuje spojité zobrazenie f : [0, 1] → X, f(0) = a, f(1) = b. B = f[0, 1] je súvislý podpriestor X, a ∈ B ⇒ B ⊆ C_{a}, b ∈ B ⇒ b∈C_{a}. Teda X ⊆ C_{a} ⇒ X je súvislý.

Príklad 7.16. P_{8} je podpriestor ℝ × ℝ. A = \{(x, sin \frac{π}{x}), x ∈ (0, 1]\}. f : x ↦ (x, sin \frac{π}{x}) je spojité zobrazenie. A = f[[0, 1]] je súvislá. (0, 0) ∈ Ā ⇒ P_{8} = A ∪ {(0, 0)} je súvislý. Zoberme si body (0, 0) a (1, 0) ∈ P_{8}. Nech existuje spojité zobrazenie g : [0, 1] → P_{8}, g(0) = (0, 0), g(1) = (1, 0). Nech existuje a ∈ (0, 1) : (a, sin \frac{π}{a}) ≠ g(t) pre ∀t ∈ [0, 1]. g([0, 1]) je súvislá množina v P_{8}. Nech p je priamka x = a. p ∩ g([0, 1]) = ∅. Zoberme si U = {(x, y) , x > a} je otvorená v ℝ × ℝ. V = {(x, y), x < a} je otvorená v ℝ × ℝ. U′ = U ∩ g([0, 1]) je otvorená v g([0, 1]). V′ = V ∩ g([0, 1]) je otvorená v g([0, 1]). (0, 0) ∈ U′, (1, 0) ∈ V′ ⇒ U′ ≠ ∅, V′ ≠ ∅, U′ ∪ V′ = g([0, 1]). Teda g([0, 1]) nie je súvislý. Spor. Teda g([0, 1]) = P_{8} ⇒ P_{8} je kompaktný ⇒ P_{8} je uzavretý podpriestor v ℝ × ℝ. spor. P_{8} nie je lineárne súvislý.

Veta 7.7. Ak X je lineárne súvislý, f : X → Y je spojité a surjektívne zobrazenie, tak aj Y je lineárne súvislý.

Dôkaz. Nech c, d ∈ Y. Potom ∃a, b ∈ X tak, že f(a) = c, f(b) = d. X je lineárne súvislý, potom existuje spojité g : [0, 1] → X, g(0) = a, g(1) = b. h = f ∘ g : [0, 1] → Y, h(0) = f(g(0)) = c, h(1) = f(g(1)) = d. Teda Y je lineárne súvislý.

Dôsledok. Ak f : X → Y je spojité, A je lineárne súvislá podmnožina X, tak f[A] je lineárne súvislá podmnožina Y.

Veta 7.8. Ak (X_{α}, α ∈ I) je systém lineárne súvislých priestorov, tak X = ∏_{α∈I} X_{α} je lineárne súvislý.

Dôkaz. Nech I ≠ ∅, ∀α ∈ I : X_{α} ≠ ∅. (Inak triviálne platí.) Nech a, b ∈ X. ∀α ∈ I, p_{α}(a), p_{α}(b) ∈ X_{α} a teda existuje spojité f_{α} : [0, 1] → X_{α}; f_{α}(0) = p_{α}(a), f_{α}(1) = p_{α}(b). p_{α} ∘ f = f_{α}, f je spojité. f(0) = a, f(1) = b. p_{α}(f(0)) = p_{α}(a) = f_{α}(0), p_{α}(f(1)) = p_{α}(b) = f_{α}(1). Teda X je lineárne súvislý.

Veta 7.9. Nech X je priestor a ∼ je relácia na X definovaná nasledovne: Pre každé x, y ∈ X : x ∼ y ⇒ existuje spojité f : [0, 1] → X, f(0) = x, f(1) = y. Potom ∼ je relácia ekvivalencie na X a všetky triedy ekvivalencie sú lineárne súvislé množiny. Ak A je lineárne súvislá podmnožina X, tak existuje L ∈ X/ ∼ tak, že A ⊆ L.

Dôkaz. ∀x ∈ X: x ∼ x je zrejmé. Nech x ∼ y. Potom existuje spojité f : [0, 1] → X, f(0) = x, f(1) = y. Potom g : [0, 1] → X, ∀t ∈ [0, 1] : g(t) = f(1 − t) je spojité a g(0) = f(1) = y, g(1) = f(0) = x a teda y ∼ x. Tranzitívnost’: Nech x ∼ y, y ∼ z. Potom existujú spojité zobrazenia f, g : [0, 1] → X, f(0) = x,

f(1) = y, g(0) = y, g(1) = z. Definujme h : [0, 1] → X, h(t) = \{ \begin{matrix}f(2t) pre t ∈ [0, \frac{1}{2}] \\ g(2t − 1) pre t ∈ [\frac{1}{2}, 1] \end{matrix} je spojité.

h(0) = x, h(1) = z ⇒ x ∼ z.

∀A ∈ X/ ∼ je A lineárne súvislá: Nech a, b ∈ A ⇒ a ∼ b a existuje spojité f : [0, 1] → X, f(0) = a, f(1) = b. Ukážeme, že f([0, 1]) ⊆ A tj. f je spojié zobrazenie z [0, 1] do A. Nech c ∈ f([0, 1]). Potom ∃r ∈ [0, 1] : f(r) = c. Nech c ≠ a, b ⇒ r ∈ (0, 1). Nech g : [0, 1] → [0, r], g(t) = r · t, g je spojité g(0) = 0, g(1) = r. Potom h : [0, 1] → X, h(t) = f(g(t)) je spojité, h(0) = f(g(0)) = f(0) = a, h(1) = f(g(1)) = f(r) = c ⇒ a ∼ c ⇒ c ∈ A. Teda f([0, 1]) ⊆ A, a f : [0, 1] → A je spojité, f(0) = a, f(1) = b, teda A je lineárne súvislý priestor. Nech B je lineárne súvislá podmnožina X, B ≠ ∅, nech a ∈ B potom B ⊆ L(a) = {c ∈ X; c ∼ a}. Nech b ∈ B ⇒ existuje spojité f : [0, 1] → B, f(0) = a, f(1) = b. B podpriestor X ⇒ f : [0, 1] → X je spojité, potom a ∼ b v X potom b ∈ L(a) ⇒ B ⊆ L(a). □

Definícia 7.4. Triedy ekvivalencie relácie ∼ z vety 7.9 sa nazývajú komponenty lineárnej súvislosti priestoru X. tj. ak a ∈ X, tak L(a) = {b ∈ X, a ∼ b} je komponenta lineárnej súvislosti obsahujúca a.

(b ∈ L(a) ⇔ L(a) = L(b), b ∉ L(a) ⇔ L(a) ∩ L(b) = ∅); a ∈ X ⇒ L(a) ⊆ C_{a}.

VIII. KONVERGENCIA V TOPOLOGICKÝCH PRIESTOROCH

Definícia 8.1. Nech {a_{n}}_{n∈ℕ} je postupnost’ v priestore X. Hovoríme, že {a_{n}}_{n∈ℕ} konverguje k a ∈ X, ak pre l’ubovol’né okolie U bodu a existuje n_{0} ∈ ℕ tak, že ∀n ≥ n_{0} : a_{n} ∈ U.

Príklady.

8.1. (ℝ, τ_{ind}) {n} : 1, 2, 3, ⋯ lim_{n→∞} n = a, ∀a ∈ ℝ, ℝ je jediné okolie obsahujúce všetky prvky.

8.2. (ℝ, τ_{dis}), (ℝ, τ), τ = {U ∈ P(ℝ), ℝ \ V je spočítatel’ná } ∪ {∅}. a_{n}→a v (ℝ, τ_{dis}). {a} je okolie a,

∃n_{0} : ∀n ≥ n_{0} : a_{n} = a. V (ℝ, τ): a_{n} → a, \{n ∈ ℕ, a_{n} ≠ a\} = K; U = ℝ \ \underbrace{\{a_{n}, n ∈ K\}}_{spoč.} ∈ τ, a ∈ U, U je

okolie a, ∃n_{0} : ∀n ≥ n_{0} : a_{n} ∈ U ⇒ n ∉ K; ∀n ∈ K : n ≤ n_{0} ⇒ K je konečná= {n ∈ ℕ, a_{n} ≠ a}. (skoro konštantná postupnost’)

Konvergencia pomocou filtrov.

Nech a_{n} → a v X, ∀n ∈ ℕ : F_{n} = {a_{k}, k ≥ n} , ∅ ≠ H = {F_{n}, n ∈ ℕ} je báza filtra v X. a_{n} ∈ F_{n} ≠ ∅, n ≤ m : F_{n} ∩ F_{m} = F_{m}. Pre každé okolie U bodu a existuje n_{0} ∈ ℕ : A_{n_{0}} ⊆ U. a_{n} → a ⇔ F_{H} ⊇ η(a); a_{n} → a ⇔ ∃F_{n} ∈ H : F_{n} ⊆ U.

Definícia 8.2. c je hromadný bod {a_{n}}_{n∈ℕ}, ak ∀U ∈ η(c) ∀n ∈ ℕ ∃k > n : a_{k} ∈ U ⇔ ∀U∈η(c) ∀F_{n}∈H,

F_{n} ∩ U ≠ ∅ ⇔ ∀F_{n} ∈ H : a ∈ F̄_{n} ⇔ a ∈ ⋂_{F_{n}∈H} F̄_{n}.

Definícia 8.3. Nech X je topologický priestor, a ∈ X, H je báza filtra na X, F je filter na X a η(a) je systém všetkých okolí bodu a. Potom hovoríme, že:

(1) F konverguje k a v X, ak F ⊇ η(a).

(2) a je hromadný bod filtra F, ak a ∈ ⋂_{F ∈F} F̄.

(3) H konverguje k a, ak ∀U ∈ η(a) ∃H ∈ H tak, že H ⊆ U. (tj. F_{H} ⊇ η(a))

(4) a je hromadný bod H, ak a ∈ ⋂_{H∈H} H̄.

Ozn. F → a, a ∈ lim F, a = limita F ak F → a. H → a ⇔ F_{H} → a.

Veta 8.1.

(1) Ak H je báza filtra v priestore X, H → a, tak a je hromadný bod H.

(2) Ak U je ultrafilter na X; a je hromadný bod U, tak U → a.

Dôkaz.

(1) Nech U ∈ η(a) a F ∈ H. Existuje F′ ∈ H, F′ ⊆ U. Existuje F′′ ∈ H také, že F′′ ⊆ F′ ∩ F.

Potom F′′ ⊆ U, F′′ ⊆ F ⇒ ∅ ≠ F′′ ⊆ U ∩ F ≠ ∅ ⇒ ∀F ∈ H, a ∈ F ⇒ a ∈ ⋂_{F ∈H} F̄.

(2) Nech U ∈ η(a), a ∈ ⋂_{F ∈U} F̄ ⇒ ∀F ∈ U : U ∩ F ≠ ∅ ⇒ U ⊇ η(a) ⇒ U → a. □

Poznámka. {a_{n}}_{n∈ℕ}, F_{n} = {a}, ∀n ∈ ℕ : H = {{a}}, F_{H} = {F ⊆ P(X); a ∈ F }.

Príklad.

8.3. Treba nájst’ filter G, ktorý konverguje k 0 v ℝ s obvyklou topológiou. G = {G ∈ P(ℝ), ∃ε > 0 : (−ε, ε) ∩ ℚ ⊆ G} je filter na ℝ. G → 0: U ∈ η(a), ∃ε > 0 : (−ε, ε) ⊆ U ⇒ (−ε, ε) ∩ ℚ ⊆ U.

Veta 8.2.

(1) Ak F_{a} je filter v priestore X taký, že F_{a} = {F ∈ P(X); a ∈ F }, tak F_{a} → a.

(2) Ak F, G sú filtre v priestore X, F ⊆ G a F → a v X, tak aj G → a.

(3) Ak a je hromadný bod filtra F v X, tak existuje filter G v X, G ⊇ F a G → a.

Dôkaz. F → a ⇔ F ⊇ η(a); báza filtra H → a ⇔ F_{H} → a. F ∈ F_{H} ⇔ ∃H ∈ H : H ⊆ F, η(a) ⊆ F_{H}, H → a ⇔ ∀U ∈ η(a) ∃H ∈ H : H ⊆ U. a je hromadný bod filtra (bázy filtra) F ⇔ a ∈ ⋂_{F ∈F} F̄.

(1) η(a) ⊆ F_{a} ⇒ F_{a} → a.

(2) F → a, G ⊇ F ⇒ η(a) ⊆ F ⊆ G ⇒ η(a) ⊆ G ⇒ G → a.

(3) a ∈ ⋂_{F ∈F} F̄ ⇔ ∀U ∈ η(a), ∀F ∈ F : U ∩F ≠ ∅. Nech H = {U ∩F, U ∈ η(a), F ∈ F}. H bude báza

filtra X. ∅ ∉ H. Ak H_{1}, H_{2} ∈ H, tak existujú U_{1}, U_{2} ∈ η(a), F_{1}, F_{2} ∈ F tak, že H_{1} = U_{1} ∩ F_{1},

H_{2} = U_{2} ∩ F_{2} a H_{1} ∩ H_{2} = U_{1} ∩ F_{1} ∩ U_{2} ∩ F_{2} = \underbrace{U_{1} ∩ U_{2}}_{∈η(a)} ∩ \underbrace{F_{1} ∩ F_{2}}_{∈F} ∈ H. η(a) ⊆ H ⊆ F_{H};

F ⊆ H ⊆ F_{H} ⇒ G := F_{H} → a ⇒ G ⊇ F.

x_{n} → a v x, ak ∀U ∈ η(a), ∃n_{0} ∈ ℕ ∀n ≥ n_{0} : x_{n} ∈ U.

Príklady.

8.4. (ℝ, τ) τ = {U ∈ P(ℝ), ℝ \ U je spočítatel’ná} ∪ {∅}. x_{n} → a {k ∈ ℕ, x_{k} ≠ a} je spočítatel’ná, potom {x_{k}, x_{k} ≠ a} je spočítatel’ná, potom ℝ \ {x_{k}, x_{k} ≠ a} = U je okolie a. ∃n_{0} ∈ ℕ, ∀n ≥ n_{0}: x_{n}∈U ⇔ x_{n} = a.

8.5. {x_{n}, n ∈ ℕ}, x_{n} → a. Ako k tomu priradit’ filter? A_{n} = {x_{k}, k ≥ n}, H = {A_{n}, n ∈ ℕ} bude báza filtra. x_{n} → a ⇔ ∀U ∈ η(a) ∃A_{n_{0}} ∈ H : A_{n_{0}} ⊆ U; F_{H}; x_{n} → a ⇔ η(a) ⊆ F_{H}.

8.6. Podpostupnosti: n_{1} < n_{2} < ⋯ < n_{k} < · · ·. {x_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} H′ = {A′_{n_{k}}, k ∈ ℕ}. A′_{n_{k}} = {x_{n_{k}}, l ≥ k} ⊆ A_{n_{k}} = {x_{p}, p ≥ n_{k}}. A′_{n_{k}} ⊆ A_{n_{k}} ⊆ A_{k} ⇒ F_{H′} ⊇ H ⇒ F_{H′} ⊇ F_{H}.

8.7. Konštantné postupnosti: x_{n} = a, ∀n : A_{n} = {a}.

Cvičenie. A ⊆ X a G je báza filtra (filter) na A, tak G je báza filtra v X.

Veta 8.3. Nech X je topologický priestor, A ⊆ X, c ∈ X. Potom platí c ∈ Ā ⇔ existuje báza filtra na A, ktorá konverguje k c v X. (tj. ako báza filtra na X.)

Dôkaz.

⇒ : Nech c ∈ Ā. Položme H = {U ∩ A, U ∈ η(c)}. H je báza filtra na A. H → c v X ? Nech U ∈ η(c). Potom U ∩ A ∈ H a U ∩ A ⊆ U. Teda H → c v X.

⇐ : Nech H je báza filtra na A a H → c v X. Nech U ∈ η(c). Potom ∃H ∈ H : H ⊆ U. Potom ∅ ≠ H ⊆ U ∩ A ⇒ U ∩ A ≠ ∅. Teda c ∈ Ā.

Veta 8.4. Priestor X je T_{2}-priestor ⇔ každý filter v X má najviac jednu limitu.

Dôkaz.

⇒ : Nepriamo. Nech existuje filter F na X taký, že F → a, F → b a a ≠ b. Potom existuje U ∈ η(a), V ∈ η(b) tak, že U ∩ V = ∅. F → a ⇒ U ∈ F, F → b ⇒ V ∈ F ⇒ U, V ∈ F ⇒ ∅ = U ∩ V ∈ F spor.

⇐ : Nepriamo. Nech X nie je T_{2}-priestor. Potom ∃a, b ∈ X, a ≠ b také, že ∀U ∈ η(a), ∀U ∈ η(b) platí U ∩ V ≠ ∅. Nech H = {U ∩ V, U ∈ η(a), V ∈ η(b)} je báza filtra. η(a) ⊆ H, η(b) ⊆ H ⇒ η(a) ∩ η(b)⊆F_{H} ⇒ F_{H} → a, b spor.

Veta 8.5. Nech (X_{α}, α ∈ I) je systém topologických priestorov, X = ∏_{α∈I} X_{α} je topologický súčin (X_{α}, α ∈

I) a F je báza filtra (filter) na X, c ∈ X. Potom F → c v X ⇔ ∀α ∈ I : p_{α}[F] → p_{α}(c), kde p_{α}[F] = {p_{α}[F], F ∈ F}.

Dôkaz.

⇒ : Nech F → c v X a α ∈ I. Nech U je okolie p_{α}(c) v X_{α}. Potom (p_{α})_{−1}(U) je okolie c v X. Potom ∃F ∈ F tak, že F ⊆ (p_{α})_{−1}(U). Potom p_{α}[F] ⊆ U. Teda p_{α}[F] → p_{α}(c) v X_{α}.

⇐ : Nech ∀α ∈ I : p_{α}[F] → p_{α}(c) v X_{α}. Nech W je okolie c v X. Potom ∃α_{1}, ⋯, α_{k} ∈ I a

otvorené množiny U_{1} v X_{α_{1}}, …, U_{k} v X_{α_{k}} tak, že c ∈ ⋂_{i=1}^{k}(p_{α_{i}})_{−1}(U_{i}) ⊆ W. Potom ∀i = 1, ⋯, k:

p_{α_{i}}(c) ∈ U_{i} tj. U_{i} je okolie p_{α_{i}}(c). Potom ∀i = 1, ⋯, k ∃F_{i} ∈ F tak, že p_{α_{i}}(F_{i}) ⊆ U_{i}. Potom

∀i = 1, ⋯, k : F_{i} ⊆ (p_{α_{i}})_{−1}(U_{i}) ⇒ ⋂_{i=1}^{k} F_{i} ⊆ ⋂_{i=1}^{k}(p_{α_{i}})_{−1}(U_{i}) ⊆ W. Existuje F ∈ F tak, že F ⊆ ⋂_{i=1}^{k} F_{i} a

teda F ⊆ W. Teda F → c.

Príklad 8.8. id:(ℝ, τ) → (ℝ, τ_{dis}). x_{n} → a v (ℝ, τ) ⇔ ∃n_{0} ∈ ℕ, ∀n ∈ ℕ, n ≥ n_{0} : x_{n} = a ⇒ id(x_{n}) → a v (ℝ, τ_{dis}). Zachováva konvergenciu, ale nie je spojitá.

Veta 8.6. Nech X, Y sú topologické priestory, f : X → Y je zobrazenie. Potom f je spojité ⇔ pre každé a ∈ X a každú bázu filtra G v X takú, že G → a platí f[G] → f(a) v Y.

Dôkaz.

⇒ : Nech V je okolie f(a) v Y. Potom f_{−1}(V) je okolie bodu a v X. Potom ∃H ∈ G tak, že H ⊆ f_{−1}(V). Potom f(H) ⊆ V, f(H) ∈ f[G]. Teda f[G] → f(a) v Y.

⇐ : Nech f nie je spojité. Potom ∃a ∈ X a okolie V bodu f(a) v Y tak, že pre každé okolie U ∈ η(a) platí f[U] ⊈ V. η(a) je báza filtra v X. η(a) → a. f[η(a)] = {f(U), U ∈ η(a)} ↛ f(a), lebo existuje okolie V bodu f(a) také, že ∀H ∈ f[η(a)], H ⊈ V. □

Príklad.

8.9. F je ultrafilter a ∈ ⋂_{F ∈F} F̄, U ∈ η(a), ∀F ∈ F, U ∩ F ≠ ∅. Potom U ∈ F ⇒ F → a.

8.10. ℝ, F = {F ∈ P(ℝ), ℝ \ F je konečná} je filter. (a − 1, a + 1) ∉ F ⇒ F ↛ a. a ∈ ℝ, F ∈ F, ℝ \ F je konečná. U je okolie a. U ⊈ ℝ \ F ⇔ U ∩ F ≠ ∅. a ∈ ⋂_{F ∈F} F̄. a je limitou, ale nie je hromadným

bodom. (ℝ, τ_{cof}), τ = {U ∈ P(ℝ), ℝ \ U je konečná} ∪ {∅}. F → a pre ∀a ∈ ℝ v (ℝ, τ_{cof}).

IX. SIETE

Definícia 9.1. Usporiadaná dvojica (A, ≤), kde A ≠ ∅ je množina a ≤ je relácia na A, sa nazýva usmernená množina, ak platí:

(1) ∀a ∈ A : a ≤ a.

(2) ∀a, b, c ∈ A : a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c.

(3) ∀a, b ∈ A ∃c ∈ A : a ≤ c ∧ b ≤ c.

Príklady.

9.1. (ℕ, ≤) je usmernená množina.

9.2. A = {K ∈ P(ℝ), K je konečná}, (A, ⊆) usmernená množina. K, L ∈ A ⇒ K ∪ L ∈ A, K, L ⊆ K ∪ L.

9.3. X je topologický priestor a ∈ X, B(a) je báza okolí a; (B(a), ≤), U ≤ V ⇔ U ⊇ V, (B(a), ⊇). 9.4. (ℝ, ≤), kde a ≤ b ⇔ a = b; nie je usmernená, lebo neplatí (3).

Definícia 9.2. Nech (Σ, ≤) je usmernená množina, X je topologický priestor. Potom l’ubovol’né zobrazenie f : Σ → X sa nazýva siet’ v X. Ozn. S = (X_{σ}, σ ∈ Σ).

Definícia 9.3. Nech X je topologický priestor, c ∈ X a S = (X_{σ}, σ ∈ Σ) je siet’ v X. Hovoríme, že siet’ S = (X_{σ}, σ ∈ Σ) konverguje k c v X, ak pre každé okolie U ∈ η(c) existuje σ_{0} ∈ Σ tak, že ∀σ ≥ σ_{0} : X_{σ} ∈ U. Bod c sa nazýva limita siete S. Ozn. lim_{σ∈Σ} X_{σ} = c; X_{σ} → c. Bod c sa nazýva

hromadný bod siete S, ak pre každé U ∈ η(c) a σ ∈ Σ existuje σ′ ∈ Σ tak, že σ′ ≥ σ a X_{σ′} ∈ U.

Veta 9.1. Nech X je priestor, A ⊆ X, c ∈ X. Potom c ∈ Ā ⇔ existuje siet’ (X_{σ}, σ ∈ Σ) v A taká, že X_{σ} → c.

Dôkaz.

⇒ : Nech c ∈ Ā. (Σ, ≤) = (η(c), ⊆) je usmernená množina. η(c) ↦ A, X_{U} ∈ U ∩ A(≠ ∅), (X_{U}, U∈η(c)) je siet’ v A. Ukážeme, že X_{U} → c. Nech V je l’ubovol’né okolie bodu c (tj. V ∈ η(c)). U_{0} = V, ∀U ∈ η(c), U_{0} ⊇ U, X_{U} ∈ U ⊆ U_{0} = V.

⇐ : Nech (X_{σ}, σ ∈ Σ) je siet’ v A, X_{σ} → c. Nech U ∈ η(c). Potom ∃σ_{0} ∈ Σ ∀σ ≥ σ_{0} : X_{σ} ∈ U. Potom X_{σ} ∈ U ∩ A ⇒ U ∩ A ≠ ∅.

Príklad 9.5. (ℝ, τ), τ = P(ℝ \ \{0\}) ∪ \{U ∈ P(ℝ), 0 ∈ U a ℝ \ U je spočítatel’ná\}. Je jasné, že 0 ∈ \overline{ℝ \ \{0\}}. Nech (X_{n}, n ∈ ℕ) je l’ubovol’ná postupnost’ v ℝ \ {0}. tj. ∀n ∈ ℕ : x_{n} ≠ 0. U = ℝ \ {x_{n}, n ∈ ℕ} je okolie 0. Neplatí, že x_{n} → 0.

Definícia 9.4. Nech (X_{σ}, σ ∈ Σ) a (Y_{σ′}, σ′ ∈ Σ′) sú siete v X. Potom siet’ (Y_{σ′}, σ′ ∈ Σ′) sa nazýva podsiet’ siete (zjemnenie) (X_{σ}, σ ∈ Σ), ak existuje zobrazenie ϕ : Σ′ → Σ tak, že platí:

(1) Pre každé σ_{0} ∈ Σ existuje σ′_{0} ∈ Σ′ tak, že pre všetky σ′ ∈ Σ′: ak σ′ ≥ σ′_{0}, tak ϕ(σ′) ≥ σ_{0}.

(2) Pre každé σ′ : X_{ϕ(σ′)} = Y_{σ′}.

Veta 9.2. Nech X je priestor, S = (X_{σ}, σ ∈ Σ) je siet’ v X a c ∈ X. Potom platí:

(1) Ak X_{σ} → c, tak pre každú podsiet’ (Y_{σ′}, σ′ ∈ Σ′) siete (X_{σ}, σ ∈ Σ) platí Y_{σ′} → c.

(2) Ak c je hromadný bod siete (X_{σ}, σ ∈ Σ), tak existuje podsiet’ (Y_{σ′}, σ′ ∈ Σ′) siete (X_{σ}, σ ∈ Σ) taká, že Y_{σ′} → c.

Dôkaz.

(1) Nech X_{σ} → c a (Y_{σ′}, σ′ ∈ Σ′) je podsiet’ (X_{σ}, σ ∈ Σ). Teda ∃ϕ : Σ′ → Σ také, že ∀σ_{0} ∈ Σ ∃σ′_{0} ∈ Σ′ ∀σ > σ_{0} : ϕ(σ) ≥ σ′_{0} a Y_{σ′} = X_{ϕ(σ′)} pre ∀σ′ ∈ Σ′. Nech U ∈ η(c). Potom ∃σ_{0} ∈ Σ tak, že ∀σ ≥ σ_{0} : X_{σ} ∈ U. ∃σ′_{0} ∈ Σ′ tak, že ∀σ′ ≥ σ′_{0} : ϕ(σ′) ≥ σ_{0}. Nech σ′ ≥ σ′_{0}. Potom ϕ(σ′) ≥ σ_{0} a Y_{σ′} = X_{ϕ(σ′)} ∈ U, teda Y_{σ′} → c.

(2) Nech c je hromadný bod (X_{σ}, σ ∈ Σ). Teda ∀U ∈ η(c) ∀σ_{0} ∈ Σ ∃σ ≥ σ_{0} : X_{σ} ∈ U. Σ′ = {(σ, U) ∈ Σ×η(c); X_{σ} ∈ U} ≠ ∅. Definujme: (σ_{1}, U_{1}) ≤ (σ_{2}, U_{2}) ⇔ U_{1} ⊇ U_{2} ∧ σ_{1} ≤ σ_{2}. (Σ′, ≤) je usmernená množina. (σ, U) ≤ (σ, U) ⇔ U ⊇ U ∧ σ ≤ σ. (σ_{1}, U_{1}) ≤ (σ_{2}, U_{2}), (σ_{2}, U_{2}) ≤ (σ_{3}, U_{3}) ⇒ U_{1} ⊇ U_{2}, U_{2} ⊇ U_{3}, σ_{1} ≤ σ_{2}, σ_{2} ≤ σ_{3} ⇒ U_{1} ⊇ U_{3} ∧ σ_{1} ≤ σ_{3}. (σ_{1}, U_{1}), (σ_{2}, U_{2}) ∈ Σ′; U = U_{1} ∩ U_{2} ∈ η(c) : ∃σ_{3} ≥ σ_{1}, σ_{3} ≥ σ_{2} ∃σ_{4} ≥ σ_{3} : X_{σ_{4}} ∈ U. Potom (σ_{4}, U) ∈ Σ′, σ_{1} ≤ σ_{4}, U_{1} ⊇ U a σ_{2} ≤ σ_{4}, U_{2} ⊇ U ⇒ (σ_{1}, U_{1}) ≤ (σ_{4}, U) a (σ_{2}, U_{2}) ≤ (σ_{4}, U). Nech σ_{0} ∈ Σ. Existuje σ ≥ σ_{0}, X_{σ} ∈ U. Potom (σ, U) ∈ Σ′. U_{1} ⊇ U ⇒ (σ_{1}, U_{1}) ≤ (σ, U); U_{2} ⊇ U ⇒ (σ_{2}, U_{2}) ≤ (σ, U). (Σ′, ≤) je usmernená množina. ϕ : Σ′ → Σ, ϕ(σ, U) = σ. Nech σ_{0} ∈ Σ. Potom existuje σ_{1} ∈ Σ, σ_{1} ≥ σ_{0} tak, že X_{σ_{1}} ∈ U. σ′_{0} = (σ_{1}, U). Nech (σ, V) ∈ Σ′ a (σ, V) ≥ σ′_{0} = (σ_{1}, U). Potom ϕ(σ, V) = σ ≥ σ_{1} ≥ σ_{0} tj. ϕ(σ, V) ≥ σ_{0}. (Y_{(σ,V)}, (σ, V) ∈ Σ′). Y_{(σ,V)} = X_{σ} = X_{ϕ(σ,V)} je to siet’ v X tj. ∀(σ, V) ∈ Σ′ platí Y_{(σ,V)} = X_{ϕ(σ,V)}. (Y_{(σ,V)}, (σ, V) ∈ Σ′) je podsiet’ (X_{σ}, σ ∈ Σ). Nech U ∈ η(c). Potom ∃σ_{0} ∈ Σ tak, že X_{σ_{0}} ∈ U tj. (σ_{0}, U) ∈ Σ′. Nech Σ′ ∋ (σ, V) ≥ (σ_{0}, U). Potom X_{σ} ∈ V, σ ≥ σ_{0}, V ⊆ U. Potom Y_{(σ,V)} = X_{σ} ∈ V ⊆ U. Ukázali sme, že Y_{(σ,V)} → c.

Veta 9.3. Ak S = (X_{σ}, σ ∈ Σ) je siet’ v priestore X, tak F_{S} = {F ∈ P(X); ∃σ_{0} ∈ Σ : {X_{σ}, σ ≥ σ_{0}} ⊆ F } je filter v X a platí: Ak c ∈ X, tak S → c ⇔ F_{S} → c.

Dôkaz. X ∈ F_{S} ⇒ F ≠ ∅. F, F′ ∈ F_{S} : ∃σ_{0}, σ′_{0} ∈ Σ : {X_{σ}, σ ≥ σ_{0}} ⊆ F, {X_{σ}, σ ≥ σ′_{0}} ⊆ F′. Ked’že Σ je usmernená potom ∃σ_{1} ∈ Σ tak, že σ_{0}, σ′_{0} ≤ σ_{1}. {X_{σ}, σ ≥ σ_{1}} ⊆ F ∩ F′ ⇒ F ∩ F′ ∈ F_{S}. Ak F ∈ F_{S}, U ⊆ X, F ⊆ U. ∃σ_{0} ∈ Σ ∀σ ≥ σ_{0} : {X_{σ}, σ ≥ σ_{0}} ⊆ F ⊆ U ⇒ U ∈ F_{S}. F_{S} je filter.

⇒ : Nech S → c. Nech U je l’ubovol’né okolie c. Potom ∃σ_{0} ∈ Σ : {X_{σ}, σ ≥ σ_{0}} ⊆ U ⇒ U ∈ F_{S} ⇒ F_{S} → c.

⇐ : Nech F_{S} → c. Nech U je l’ubovol’né okolie c. Potom U ∈ F_{S}. Potom ∃σ_{0} : {X_{σ}, σ ≥ σ_{0}} ⊆ U ⇒ ∃σ_{0} ∈ Σ ∀σ ≥ σ_{0} : X_{σ} ∈ U ⇒ S → c.

Veta 9.4. Nech F je filter v priestore X ≠ ∅, Σ = {(x, F) ∈ X×F; x ∈ F} a (x, F) ≤ (y, G) ⇔ F ⊇ G. Potom (Σ, ≤) je usmernená množina, S_{F} = {X_{(x,F)}, (x, F) ∈ Σ}, kde X_{(x,F)} = x je siet’ v X a platí: ak c ∈ X, tak F → c ⇔ S_{F} → c.

Dôkaz. x ∈ X, (x, X) ∈ Σ ≠ ∅. (x, F) ≤ (x, F) ⇔ F ⊇ F platí reflexívnost’. (x, F) ≤ (y, G), (y, G) ≤ (z, H) ⇒ F ⊇ G, G ⊇ H ⇒ F ⊇ H ⇒ (x, F) ≤ (z, H) tranzitívnost’. (x, F), (y, G) ∈ Σ ⇒ F, G ∈ F ⇒ F ∩ G ∈ F. z l’ubovol’né v F ∩ G, (z, F ∩ G) ∈ Σ, (x, F) ≤ (z, F ∩ G) ⇔ F ⊇ F ∩ G, (y, G) ≤ (z, F ∩ G) ⇔ G ⊇ F ∩ G. Teda (Σ, ≤) je usmernená množina. (x, F) ↦ x je zobrazenie Σ → X. tj. S_{F} = {X_{(x,F)}, (x, F) ∈ Σ} je siet’ v X.

⇒ : Nech F → c. Nech U je l’ubovol’né okolie c. Potom U ∈ F, σ_{0} = (c, U) ∈ Σ. Pre každé (x, F) ∈ Σ také, že (x, F) ≥ (c, U) platí F ⊆ U a teda X_{(x,F)} = x ∈ F ⊆ U tj. X_{(x,F)} ∈ U. Teda sme dokázali, že S_{F} → c.

⇐ : Predpokladajme, že S_{F} → c. Nech U je okolie c. Potom ∃(x_{0}, F_{0}) ∈ Σ tak, že ∀(x, F) ≥ (x_{0}, F_{0}) : X_{(x,F)} ∈ U. Nech x ∈ F_{0}. Potom (x, F) ≥ (x_{0}, F_{0}). Potom X_{(x,F_{0})} = x ∈ U. Teda F_{0} ⊆ U ⇒ U ∈ F. Teda F → c.

Príklad 9.6.

Nech f je ohraničená funkcia na [a, b]. D = {a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} = b} je delenie. d_{i} = [x_{i−1}, x_{i}]. (ξ_{i}) = (ξ_{1}, ⋯, ξ_{n}), ∀i : ξ_{i} ∈ d_{i}. Σ = {(D, (ξ_{i})), D je delenie intervalu a (ξ_{i}) = (ξ_{1}, ⋯, ξ_{n}) ∈ ℝ^{n}, ξ_{i} ∈ d_{i}}. (D, (ξ_{i})) ≤ (D′, (ξ′_{i})) ⇔ γ(D′) ≤ γ(D). (γ(D) je norma delenia D). (D, (ξ_{i})) ↦ S_{f}(D, (ξ_{i})) =

= ∑_{i=1}^{n} f(ξ_{i}) · (x_{i} − x_{i−1}). S_{f}(D, (ξ_{i})) → a. ∀ε > 0 ∃(D_{0}, (ξ_{i}^{0})) ∈ Σ : (D, (ξ_{i})) ≥ (D_{0}, (ξ_{i}^{0})). δ = γ(D_{0}) > 0.

X. METRIZOVATEĽNÉ PRIESTORY, METRIZÁCIA TOPOLOGICKÝCH PRIESTOROV

Definícia 10.1. Nech X je množina. Zobrazenie d : X × X → ℝ sa nazýva pseudometrika, ak platí: (1) ∀x, y ∈ X : d(x, y) ≥ 0.

(2) ∀x ∈ X : d(x, x) = 0.

(3) ∀x, y ∈ X : d(x, y) = d(y, x).

(4) ∀x, y, z ∈ X : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Ak naviac platí:

(5) ∀x, y ∈ X : ak d(x, y) = 0 ⇒ x = y, potom d sa nazýva metrika na X.

Príklady.

10.1. ℝ, d(x, y) = |x − y| je metrika na ℝ.

10.2. ℝ, d_{1}(x, y) = \{ \begin{matrix}0 ak x = y \\ 1 inak \end{matrix} je metrika na ℝ.

10.3. ℝ, d_{2}(x, y) = min{|x − y|, 1} je metrika na ℝ.

10.4. ℝ, ρ(x, y) = 0 pre ∀x, y ∈ ℝ potom ρ je pseudometrika a nie je metrika.

Poznámka. Nech d je (pseudo-) metrika na X. Potom τ_{d} = {U ∈ P(X); ∀a ∈ U ∃ε > 0 : O_{ε}(a) = {x ∈ X, d(a, x) < ε} ⊆ U} je topológia na X.

Príklady.

10.5. X, d(x, y) = 0 pre ∀x, y ∈ X. τ_{d} = {∅, X} indiskrétna topológia.

10.6. X, d_{1}(x, y) = \{ \begin{matrix}1 x ≠ y \\ 0 x = y \end{matrix} , a ∈ X, 0 < ε < 1: O_{ε}(a) = \{a\}, τ_{d_{1}} = P(X) diskrétna topológia.

Definícia 10.2. Priestor (X, τ) sa nazýva metrizovatel’ný, ak existuje metrika d na X tak, že τ_{d} = τ.

Príklady.

10.7. (ℝ, τ), τ– obvyklá topológia; d(x, y) = |x − y| ⇒ τ = τ_{d}; d_{1}(x, y) = min{|x − y|, 1}. τ_{d_{1}} = τ_{d} = τ. B^{d}(a) = {(a − ε, a + ε); 0 < ε < 1}; B^{d_{1}}(a) = {(a − ε, a + ε); 0 < ε < 1}. O_{2}^{d_{1}}(a) = ℝ.

10.8. Priestor, ktorý nie je metrizovatel’ný: (ℝ, τ_{→}), τ_{→} = {(a, ∞), a ∈ ℝ} ∪ {∅, ℝ}. Nie je metrizovatel’ný, lebo d(x, y) = r, zoberme si O_{r/2}(x) ∩ O_{r/2}(y) = ∅. To znamená, že každý metrizovatel’ný priestor je T_{2}-priestor.

Veta 10.1. Ak (X, τ) je metrizovatel’ný, tak každý podpriestor priestoru (X, τ) je metrizovatel’ný.

Dôkaz. Y ⊆ X; (Y, τ_{Y}) podpriestor (X, τ). τ_{Y} = {U ∩ Y, U ∈ τ}. Existuje d : X × X → ℝ, τ_{d} = τ. d′ = d ↾_{Y ×Y}: Y × Y → ℝ ⇒ d′ je metrika. U ∈ τ_{d′} ⇔ ∀c ∈ U ∃ε > 0 O_{ε}^{d′}(c) ⊆ U ⇔ ∀c ∈ U ∃ε > 0 O_{ε}^{d}(c) ∩ Y ⊆ U ⇔ U ∈ τ_{Y}.

Lema 10.1. Ak (X, τ) je metrizovatel’ný priestor, tak existuje metrika d_{1} na X ohraničená 1, (tj. ∀x, y ∈ X : d_{1}(x, y) ≤ 1) tak, že τ_{d} = τ.

Dôkaz. (X, τ) je metrizovatel’ný, potom existuje metrika d na X tak, že τ_{d} = τ. Nech d_{1} : X × X → ℝ je

definovaná d_{1}(x, y) = min\{d(x, y), 1\}. Potom d_{1} je metrika na X a τ_{d_{1}} = τ_{d} = τ, d_{2}(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)}.

Veta 10.2.

(1) Ak (X_{α}, τ_{α})_{α∈I} je systém metrizovatel’ných priestorov a pre α, β ∈ I, α ≠ β : X_{α} ∩ X_{β} = ∅, tak aj priestor (X, τ) = ⨁_{α∈I}(X_{α}, τ_{α}) je metrizovatel’ný.

(2) Ak ((X_{n}, τ_{n}))_{n∈ℕ} je systém metrizovatel’ných priestorov, tak aj (X, τ) = ∏_{n∈ℕ}(X_{n}, τ_{n}) je metrizo-

vatel’ný.

Dôkaz.

(1) X = ⋃_{α∈I} X_{α}, ∀α ∈ I nech d_{α} je metrika na X_{α} okrem 1 taká, že τ_{d_{α}} = τ_{α}. Definujme d : X×X→ℝ,

d(x, y) = \{ \begin{matrix}d_{α}(x, y) ak existuje α ∈ I tak, že x, y ∈ X_{α} \\ 1 ak x ∈ X_{α}, y ∈ X_{β} a α ≠ β \end{matrix} d je metrikou na X a τ_{d} = τ.

(2) (X, τ) = ∏_{n∈ℕ}(X_{n}, τ_{n}). Pre ∀n ∈ ℕ nech d_{n} je metrika na X_{n} okrem 1 taká, že τ_{d_{n}} = τ_{n}.

X = ∏_{n∈ℕ}(X_{n}, τ_{n}). Definujme d : X × X → ℝ, d(x, y) = ∑_{n∈ℕ} \frac{1}{2^{n}} · d_{n}(p_{n}(x), p_{n}(y)).

0 ≤ \frac{1}{2^{n}} d_{n}(p_{n}(x), p_{n}(y)) ≤ \frac{1}{2^{n}}. ∑_{n∈ℕ} \frac{1}{2^{n}} = 1. d(x, x) = 0, d(x, y) = d(y, x). ∀x, y, z ∈ X ∀n ∈ ℕ:

d_{n}(p_{n}(x), p_{n}(z)) ≤ d_{n}(p_{n}(x), p_{n}(y)) + d_{n}(p_{n}(y), p_{n}(z)) ⇒ ∑_{n∈ℕ} \frac{1}{2^{n}} d_{n}(p_{n}(x), p_{n}(z)) ≤

≤ ∑_{n∈ℕ} \frac{1}{2^{n}} (d_{n}(p_{n}(x), p_{n}(y)) + d_{n}(p_{n}(y), p_{n}(z))) = ∑_{n∈ℕ} \frac{1}{2^{n}} d_{n}(p_{n}(x), p_{n}(y))+

+ ∑_{n∈ℕ} \frac{1}{2^{n}} d_{n}(p_{n}(y), p_{n}(z))=d(x, y)+d(y, z).

p_{n} : (X, τ_{d}) → (X_{n}, τ_{n}) = (X_{n}, τ_{d_{n}}) je spojité. Nech x ∈ X, ε > 0. ∀y ∈ X pre ktoré

d(x, y) < \frac{ε}{2^{n}} platí: \frac{1}{2^{n}} d_{n}(p_{n}(x), p_{n}(y)) ≤ d(x, y) ⇒ d_{n}(p_{n}(x), p_{n}(y)) ≤ 2^{n}d(x, y) < ε. p_{n} je

spojité pre ∀n, preto id : (X, τ_{d_{n}}) → ∏_{n∈ℕ}(X_{n}, τ_{n}) = (X, τ) je spojité. p_{n}∘id = p_{n} je spojité pre

∀n ∈ ℕ. Platí τ ⊆ τ_{d}. Nech U ∈ τ_{d}, x ∈ U. ∃ε > 0 tak, že O_{ε}^{d}(x) ⊆ U.

y ∈ O_{ε}^{d}(x) ⇔ d(x, y) = \frac{1}{2}d_{1}(p_{1}(x), p_{1}(y)) + ⋯ + \frac{1}{2^{k}} d_{k}(p_{k}(x), p_{k}(y)) + ∑_{n=k+1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} d_{n}(p_{n}(x), p_{n}(y)).

∑_{n∈ℕ} \frac{1}{2^{n}} = 1 ⇒ pre \frac{ε}{2} > 0 ∃k ∈ ℕ : ∑_{n=k+1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} <\frac{ε}{2} ⇒ ∑_{n=k+1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} d_{n}(p_{n}(x), p_{n}(y)) ≤ ∑_{n=k+1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} < \frac{ε}{2}.

O_{ε/2}^{d_{k}}(p_{k}(x)) je okolie p_{k}(x) v (X_{k}, τ_{k}). Množina W = O_{ε/2}^{d_{1}}(p_{1}(x))×⋯×O_{ε/2}^{d_{k}}(p_{k}(x))×X_{k+1}×⋯ =

= (p_{1})_{−1} (O_{ε/2}^{d_{1}}(p_{1}(x)))∩⋯∩(p_{k})_{−1} (O_{ε/2}^{d_{k}}(p_{k}(x))) je prvkom štandardnej bázy τ a teda W ∈ τ,

x ∈ W. Nech y ∈ W. Potom d_{1}(p_{1}(x), p_{1}(y)) < \frac{ε}{2}, …,d_{k}(p_{k}(x), p_{k}(y)) < \frac{ε}{2} ⇒ \frac{1}{2}d_{1}(p_{1}(x), p_{1}(y))+

+ ⋯ + \frac{1}{2^{k}} d_{k}(p_{k}(x), p_{k}(y)) < \frac{ε}{2} (\frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{2^{k}} ) < \frac{ε}{2}. Potom d(x, y) = \frac{1}{2}d_{1}(p_{1}(x), p_{1}(y)) + ⋯ +

+\frac{1}{2^{k}} d_{k}(p_{k}(x), p_{k}(y)) + ∑_{n=k+1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} d_{n}(p_{n}(x), p_{n}(y)) < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} < ε. Teda y ∈ O_{ε}^{d}(x) ⊆ U. Teda

W ⊆ U, U ∈ τ tj. τ_{d} = τ.

Dôsledok.

[0, 1]^{ℕ} je metrizovatel’ný priestor. napr. d(x, y) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} |x_{n} − y_{n}|, kde x_{n} = p_{n}(x), y_{n} = p_{n}(y).

Veta 10.3. Urysohnova metrizačná Ak X je regulárny T_{1}-priestor (=T_{3}-priestor) so spočítatel’nou bázou, tak X je metrizovatel’ný.

Dôkaz. X je T_{3}-priestor so spočítatel’nou bázou, potom X je T_{4}-priestor, a teda normálny. Nech B je spočítatel’ná báza topológie na X. Položme C = {(U, V) ∈ B × B; Ū ⊆ V }. Je to spočitatel’ný systém a teda [0, 1]^{C} je metrizovatel’ný. Ukážeme, že X je homeomorfný s podpriestorom priestoru [0, 1]^{C}. Nech (U, V) ∈ C, potom Ū ⊆ V a potom Ū ∩ (X \ V) = ∅ a Ū, X \ V sú uzavreté. X je normálny, potom (z Urysohnovej lemy) existuje spojité zobrazenie f_{(U,V)} : X → [0, 1]; f[Ū] ⊆ {0}, f[X \ V] ⊆ {1}. Potom existuje spojité f : X → [0, 1]^{C} také, že ∀(U, V) ∈ C platí: p_{(U,V)} ∘ f = f_{(U,V)}.

f je prosté: Nech x, y ∈ X, x ≠ y. x ∈ X \ {y} je otvorená. Existuje V ∈ B : x ∈ V ⊆ X \ {y}. B_{x} = {W ∈ B, x ∈ W } je báza okolí v x. X je regulárny. V ∈ B_{x} ⇒ ∃U ∈ B_{x} : Ū ⊆ V. Potom x∈U, U∈B. (U, V) ∈ C. f_{(U,V)} : X → [0, 1]; f_{(U,V)}(x) = 0. x ∈ Ū, f_{(U,V)}(y) = 1. f_{(U,V)}(x) = p_{(U,V)}(f(x)) ≠ ≠ p_{(U,V)}(f(y)) = f_{(U,V)}(y) ⇒ f(x) ≠ f(y). f : X → f[X] podpriestor [0, 1]^{C}. Treba ešte ukázat’, že ak A je uzavretá v X, tak f[A] je uzavretá v f[X]. Nech b ∈ f[X] \ f[A]. Potom existuje a ∈ X : f(a) = b, pričom a ∉ A. a ∈ X \ A je otvorená v X, potom ∃V_{1} ∈ B, a_{1} ∈ V_{1} ⊆ X \ A. X je regulárny potom ∃U_{1} ∈ B, u ∈ U_{1}, Ū_{1} ⊆ V_{1}. f_{(U_{1},V_{1})} : X → [0, 1], f_{(U_{1},V_{1})}(a) = 0, f_{(U_{1},V_{1})}[A] ⊆ {1}, lebo A ⊆ X \ V_{1}. W = (p_{(U_{1},V_{1})})_{−1}([0, \frac{1}{2}]) je otvorená v [0, 1]^{C}, p_{(U_{1},V_{1})}(b) = p_{(U_{1},V_{1})}(f(a)) = f_{(U_{1},V_{1})}(a) = 0. Teda b ∈ W. Ak y ∈ f[A], tak y = f(x), x ∈ A. Potom p_{(U_{1},V_{1})}(y) = p_{(U_{1},V_{1})}(f(x)) = f_{(U_{1},V_{1})}(x) = 1. Teda f[A] ∩ W = ∅. Nech W′ = W ∩ f[X]. Potom W′ je otvorená v f[X], b ∈ W′, W′ ∩ f[A] = ∅. Teda f[A] je uzavretá v f[X] a teda f : X → f[X] je homeomorfizmus. f[X] je metrizovatel’ný, potom X je metrizovatel’ný.

Veta 10.4. Ak (X, d) je metrický priestor, tak d : (X, τ_{d}) × (X, τ_{d}) → ℝ je spojité zobrazenie.

Dôkaz. (x, y), (x′, y′) ∈ X × X. d(x, y), d(x′, y′). d(x, y) ≤ d(x, x′) + d(x′, y) ≤ d(x, x′) + d(y′, y)+ +d(x′, y′) ⇒ d(x, y) − d(x′, y′) ≤ d(x, x′) + d(y, y′). Podobne d(x′, y′) − d(x, y) ≤ d(x, x′) + d(y′, y). Z toho: |d(x, y) − d(x′, y′)| ≤ d(x, x′) + d(y, y′). Nech ε > 0. Zoberme O_{ε/2}^{d}(x) × O_{ε/2}^{d}(y) okolie (x, y)

v (X, τ_{d}) × (X, τ_{d}). ∀(x′, y′) ∈ O_{ε/2}(x) × O_{ε/2}(y). |d(x, y) − d(x′, y′)| ≤ d(x, x′) + d(y, y′) < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε.

Veta 10.5. Ak (X, ρ) je pseudometrický priestor, tak d : (X, τ_{ρ}) × (X, τ_{ρ}) → ℝ je spojité zobrazenie.

Vzdialenosti. (X, d) je metrický priestor; A ≠ ∅, A ⊆ X, c ∈ X: d(c, A) := inf{d(c, a), a ∈ A}. A, B ⊆ X, A ≠ ∅, B ≠ ∅, d(A, B) = inf{d(a, b), a ∈ A , b ∈ B}.

Veta 10.6. Ak (X, τ) je topologický priestor, d je metrika na X taká, že d : (X, τ)×(X, τ) → ℝ je spojité zobrazenie a A je l’ubovol’ná neprázdna podmnožina v X, tak zobrazenie f_{A} : (X, τ) → ℝ, f_{A}(x) = d(x, A) je spojité. (Špeciálne f_{A} : (X, τ_{d}) → ℝ je spojité.)

Dôkaz. Nech x, y ∈ X. Ukážeme, že |f_{A}(x)−f_{A}(y)| ≤ d(x, y), f_{A}(x) = d(x, A), f_{A}(y) = d(y, A). ∀a ∈ A: d(x, A) ≤ d(x, y) + d(y, a), d(x, A) ≤ d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a). ∀a ∈ A : d(x, A) − d(x, y) ≤ d(y, a) ⇒ d(x, A) − d(x, y) ≤ d(y, A); d(x, A) − d(y, A) ≤ d(x, y). Podobne: d(y, A) − d(x, A) ≤ d(y, x) = d(x, y) ⇒ |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y). Nech ε > 0 , (x, x) ∈ (X, τ) × (X, τ), d je spojité, existuje okolie U × V bodu (x, x) tak, že ∀(y, y′) ∈ U × V a |d(x, x′) − d(y, y′)| < ε. U, V sú otvorené v (X, τ). U je okolie x. Nech y ∈ U. Potom (y, x) ∈ U × V. Potom |d(x, x) − d(y, x)| = d(x, y) < ε. Teda existuje U okolie X také, že ∀y ∈ U : |f_{A}(x) − f_{A}(y)| ≤ d(x, y) < ε. f_{A} je spojité.

Definícia 10.3. Nech X je topologický priestor.

(1) Systém S ⊆ P(X) sa nazýva lokálne konečný (diskrétny) v X, ak pre každý a ∈ X existuje okolie U_{a} ∈ η(a) tak, že {V ∈ S, V ∩ U_{a}} je konečná. (má najviac jeden prvok).

(2) Systém S ⊆ P(X) sa nazýva σ-lokálne konečný (diskrétny), ak S je zjednotením spočítatel’ného systému lokálne konečných (resp. diskrétnych) systémov v X.

(3) Nech U, V sú pokrytia X. Hovoríme, že U je zjemnenie V (píšeme U < V), ak ∀U ∈ U ∃V ∈ V : U ⊆ V.

Príklady.

10.9. Každý konečný systém S ⊆ P(X) je lokálne konečný.

10.10. S = {(n, n + 1), n ∈ ℕ} lokálne konečný systém v ℝ s obvyklou topológiou; nie je diskrétny. 10.11. Ak S je diskrétny systém v X, tak ∀U, V ∈ S : U ∩ V = ∅. 10.12. Ak S je systém množín v metrickom priestore (X, d) a ∃r ∈ ℝ^{+} tak, že ∀U, V ∈ S : d(U, V) ≥ r,

tak S je diskrétny v (X, τ_{d}).

10.13. X, S = P(X), S′ = {X} ⇒ S < S′ a aj S′ < S.

Veta 10.7. Nech (X, τ) je metrický priestor. Potom pre každé otvorené pokrytie U priestoru (X, τ) existuje σ-diskrétne otvorené pokrytie S priestoru (X, τ) také, že S < U.

Dôkaz. Nech ∀U∈U: U≠∅. Vyberme U∈U. Nech ≤ je dobré usporiadanie U tj. (U, ≤) je dobre uspori-

adaná množina. U_{n} = \{x∈U; d(x, X \ U) ≥ \frac{1}{2^{n}} \}. U_{1} ⊆ ⋯ ⊆ U_{n} ⊆ · · ·. Platí d(U_{n}, X \ U_{n+1}) ≥ \frac{1}{2^{n+1}} .

Nech a ∈ U_{n}, b ∈ X \ U_{n+1}. Potom d(b, X \ U) < \frac{1}{2^{n+1}} . Potom ∃c ∈ X \ U : d(b, c) < \frac{1}{2^{n+1}} ⇒

d(a, c)≥\frac{1}{2^{n}} ⇒ −d(b, c) > \frac{−1}{2^{n+1}} . d(a, c) ≤ d(a, b)+d(b, c) ⇒ d(a, b) ≥ d(a, c)−d(b, c) ≥ \frac{1}{2^{n}} − \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^{n+1}} .

U_{n}^{∗} = U_{n} \ ⋃_{V <U} V_{n+1}, U_{n}^{∗} ⊆ U_{n}. Nech U, V ∈ U, V < U. V_{n}^{∗} ⊆ V_{n}, U_{n}^{∗} ∩ V_{n+1} = ∅ ⇒ U_{n}^{∗} ⊆ X \ V_{n+1},

d(V_{n}, X \ V_{n+1}) ≥ \frac{1}{2^{n+1}} ; d(U_{n}^{∗}, V_{n}^{∗}) ≥ d(V_{n}, X \ V_{n+1}) ≥ \frac{1}{2^{n+1}} . Ũ_{n} = \{x ∈ X; d(x, U_{n}^{∗}) < \frac{1}{2^{n+3}} \} je

otvorená. (f_{U_{n}^{∗}} : (X, τ_{d}) → ℝ je spojité a Ũ_{n} = (f_{U_{n}^{∗}})_{−1}(−∞, \frac{1}{2^{n+3}} )). ∀U, V ∈ U, U ≠ V: U < V alebo

V < U ⇒ d(U_{n}^{∗}, V_{n}^{∗}) ≥ \frac{1}{2^{n+2}} . ∀n ∈ ℕ : S_{n} = \{Ũ_{n}, U ∈ U\} je diskrétny systém otvorených množín.

Nech S ∈ S. Potom ∃U ∈ U, n ∈ ℕ : S = Ũ_{n} ⊆ U ⇒ S < U. Nech a ∈ X. Existuje najmenší prvok

U ∈ (U, ≤) tak, že a ∈ U. X \ U je uzavretá, ∃δ > 0 : O_{δ}(a) ∩ X \ U = ∅. ∃n ∈ ℕ : \frac{1}{2^{n}} < δ. Platí:

d(a, X \ U) ≥ δ > \frac{1}{2^{n}} ⇒ a ∈ U_{n} tj. ∃n ∈ ℕ : a ∈ U_{n}. ∀V < U, a ∉ V ⇒ a ∉ V_{n+1}. (V_{n+1} ⊆ V). Teda

a ∈ U_{n}^{∗} = U_{n} \ ⋃_{V <U} V_{n+1}. ∀U ∈ U, n ∈ ℕ U_{n} je otvorená. a ∈ U_{n}^{∗} ⊆ Ũ_{n} ∈ S_{n} ⊆ S ⇒ S je pokrytie (X, τ).

Veta 10.8. Každý metrizovatel’ný priestor má bázu B, ktorá je σ-diskrétna.

Dôkaz. U_{n} = {O_{1/n}(x), x ∈ X} je otvorené pokrytie (X, τ_{d}). Predpokladali sme, že existuje metrika d na X tak, že τ_{d} = τ. Potom existuje σ-diskrétne otvorené pokrytie B_{n} priestoru (X, τ_{d}) také, že

B_{n} < U_{n}, B = ⋃_{n∈ℕ} B_{n}. Ak B_{n} = ⋃_{k∈ℕ} S_{n,k} ⇒ B = ⋃_{n∈ℕ} ⋃_{k∈ℕ} S_{n,k}. B je σ-diskrétny. Ukážeme, že B

je báza τ. B ⊆ τ. ∃n ∈ ℕ tak, že O_{1/n}(c) ⊆ U. B_{n} je pokrytie (X, τ) ⇒ ∃V ∈ B_{n} : c ∈ V. B_{n} < U_{n} tj. ∃O_{1/n}(y) ∈ U_{n} tak, že V ⊆ O_{1/n}(y). c ∈ V ⇒ c ∈ O_{1/n}(y). Nech z ∈ O_{1/n}(y). Potom d(c, z) ≤ d(c, y) + d(y, z) < \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n} ⇒ z ∈ O_{1/n}(c); V ⊆ O_{1/n}(y) ⊆ O_{2/n}(c) ⊆ U. Teda ∃V ∈ B : c ∈ V ⊆ U. B je báza v (X, τ).

Veta 10.9. Nech X je regulárny T_{1}-priestor (tj. T_{3}-priestor). Potom nasledujúce výroky sú ekvivalentné: (1) X je metrizovatel’ný.

(2) X má σ-diskrétnu bázu.

(3) X má σ-lokálne konečnú bázu.

Dôkaz.

(1) ⇒ (2) sme dokázali. (2) ⇒ (3) je triviálna. (3) ⇒ (1) je náročná.

Veta 10.10. Každý kompaktný metrizovatel’ný priestor má spočítatel’nú bázu (a teda je homeomorfný s uzavretým podpriestorom [0, 1]^{ℕ}).

Dôkaz. Nech B je σ-diskrétna báza v X. B = ⋃_{n∈ℕ} B_{n}; B_{n} je diskrétny systém. ∀x ∈ X ∃U(x) ∈ η(x):

{V ∈ B_{n}, V ∩U(x) ≠ ∅} má najviac jeden prvok. {U(x), x ∈ X} je otvorené pokrytie X ⇒ ∃x_{1}, ⋯, x_{k}∈X tak, že U(x_{1})∪⋯∪U(x_{k}) = X. ∅ ≠ V ∈ B_{n} ⇒ ∃!V ∩U(x_{j}) ≠ ∅. B_{n} → {1, ⋯, j}, V ↦ j, V ∩U(x_{j}) ≠ ∅ je prosté zobrazenie. Teda B_{n} je konečná, potom aj B je spočítatel’ná.

XI. CVIČENIA

1. Základné pojmy.

Cvičenie 1.1. Nech X je množina a V je systém podmnožín množiny X spĺňajúci nasledujúce podmienky:

(1) ∅, X ∈ V.

(2) Ak A, B ∈ V, tak A ∪ B ∈ V.

(3) Ak S ⊆ V, tak ⋂_{A∈S} A ∈ V.

Dokážte, že τ_{V} = {X \ A, A ∈ V} je topológia na X a taká, že V je systém všetkých uzavretých množín v (X, τ_{V}).

Cvičenie 1.2. Nech S je neprázdny systém topológií na množine X. Dokážte, že τ_{S} := ⋂_{τ∈S} τ je topológia na X.

Cvičenie 1.3. Nájdite všetky topológie na {0, 1} resp. na {0, 1, 2}.

2. Metrika.

Cvičenie 2.1. ℝ × ℝ = ℝ^{2}, d(x, y) = \sqrt{(x_{1} − y_{1})^{2} + (x_{2} − y_{2})^{2}}, d_{1}(x, y) = max\{|x_{1} − y_{1}|, |x_{2} − y_{2}|\}, d_{2}(x, y) = |x_{1} − y_{1}| + |x_{2} − y_{2}|. Dokážte, že τ_{d} = τ_{d_{1}} = τ_{d_{2}}.

Cvičenie 2.2. Nech d je metrika na X. Dokážte, že d_{1} : X × X → ℝ^{2}, d_{1}(x, y) = min{d(x, y), 1} aj

d_{2} : X × X → ℝ^{2}, d_{2}(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)} sú metriky na X a τ_{d} = τ_{d_{1}} = τ_{d_{2}}.

Cvičenie 2.3. Nech ℕ je množina všetkých prirodzených čísel, a, b ∈ ℕ. Označme ℕ_{a,b} = {a + n · b, n ∈ ℕ ∪ {0}}. Dokážte, že:

(1) Systém B = {ℕ_{a,b}; a, b ∈ ℕ} je báza topológie na ℕ.

(2) V topológii τ_{B} určenej bázou B sú množiny ℕ_{a,b} súčasne otvorené aj uzavreté.

(3) S využitím poznatku, že pre každé n ∈ ℕ, n > 1 existuje prvočíslo p také, že p delí n a s použitím topológie τ_{B} dokážte, že prvočísel je nekonečne vel’a.

Cvičenie 2.4. Nech B_{1} je báza topológie τ_{1} a B_{2} je báza topológie τ_{2} na X. Nech pre každé V ∈ B_{1} a a ∈ V existuje W ∈ B_{2} tak, že x ∈ W ⊆ V. Dokážte, že τ_{1} ⊆ τ_{2}.

Cvičenie 2.5. Definujte pojem bázy (subbázy) pre systém všetkých uzavretých množín v topologickom priestore. Sformulujte analogické tvrdenia k tvrdeniam o báze (subbáze) topológie.

Cvičenie 2.6. Dokážte, že v l’ubovol’nom topologickom priestore platí \overline{A ∩ B} = Ā ∩ B̄. Uved’te príklad topologického priestoru a jeho podmnožín A, B tak, aby platilo \overline{A ∩ B} ⊊ Ā ∩ B̄.

Cvičenie 2.7. Nech X je topologický priestor, A ⊆ X, Int A = ⋃{U ∈ P(X), U je otv., U ⊆ A}. Dokážte:

(1) Int A ⊆ A pre ∀A ∈ P(X).

(2) Int X = X.

(3) Int (A ∩ B) = Int A ∩ Int B.

(4) Int (Int A) = Int A.

(5) A je ohraničená v X práve vtedy, ked’ Int A = A.

Cvičenie 2.8. Nech (X, τ) je topologický priestor, A ⊆ X. Bod c ∈ X sa nazýva hraničný bod množiny A v (X, τ), ak pre každé okolie U bodu c: U ∩ A ≠ ∅ aj U ∩ (X \ A) ≠ ∅. b(A) označuje množinu všetkých hraničných bodov množiny A.

(1) Určte b(ℚ), b(ℕ), b((0, 1)), b([0, 1]) v (ℝ, τ_{d}), (ℝ, τ_{z}), (ℝ, τ_{→}), (ℝ, τ_{dis}).

(2) Dokážte, že b(A) = Ā ∩ \overline{X \ A}.

(3) Dokážte, že Ā = A ∪ b(A).

Cvičenie 2.9. Nech (X, τ) je topologický priestor, A ⊆ B ⊆ X. Dokážte, že (A, τ|_{A}) je podpriestor (B, τ|_{B}) a A, (τ|_{B})_{A}) je podpriestor (X, τ).

Cvičenie 2.10. Určte nutnú a postačujúcu podmienku pre podmnožinu A priestoru (X, τ) tak, aby platilo:

(1) M ⊆ A je otvorená v (A, τ|_{A}) ⇔ M je otvorená v (X, τ).

(2) M ⊆ A je uzavretá v (X, τ|_{A}) ⇔ M je uzavretá v (X, τ).

3. Zobrazenia.

Cvičenie 3.1. Nech X, Y sú topologické priestory, f : X → Y je zobrazenie, a ∈ X, B(a) je báza okolí a v X, B(f(a)) je báza okolí f(a) v Y. Dokážte, že nasledujúce výroky sú ekvivalentné:

(1) f je spojité v a.

(2) Pre každé V ∈ B(f(a)) existuje U ∈ B(a) tak, že f[U] ⊆ V.

(3) Pre každú podmnožinu A ⊆ X ak a ∈ Ā, tak f(a) ∈ \overline{f[A]}.

Cvičenie 3.2. Dokážte, že ak f : X → Y, g : Y → Z sú sekvenciálne spojité zobrazenia, tak zobrazenie g ∘ f : X → Z je sekvenciálne spojité.

Cvičenie 3.3. Dokážte, že ak f : X → Y je spojité v bode a a g : Y → Z je spojité v bode f(a), tak g ∘ f : X → Z je spojité v a.

Cvičenie 3.4. Nech τ, τ′ sú topológie na X. Dokážte, že id_{X} : (X, τ) → (X, τ′) je spojité zobrazenie práve vtedy, ked’ τ ⊇ τ′.

Cvičenie 3.5. Overte, že priestory (ℝ, τ_{d}) a (ℝ, τ_{z}) nie sú homeomorfné.

Cvičenie 3.6. Nech X = {a, b, c, d}, τ = {∅, {a}, {b}, {a, b}, {c, d}, X}. Nájdite všetky homeomorfizmy (X, τ) → (X, τ).

Cvičenie 3.7. Overte, že platí:

(1) sin : [0, 2π] → ℝ je uzavreté a nie je otvorené.

(2) sin : ℝ → [−1, 1] je otvorené, ale nie je uzavreté.

Cvičenie 3.8. Nech D_{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2}, x^{2} + y^{2} ≤ 1} je podpriestor ℝ^{2} s obvyklou topológiou a [−1, 1] × [−1, 1] je tiež podpriestor ℝ^{2} s obvyklou topológiou. Ukážte, že D_{2} je homeomorfný s [−1, 1] × [−1, 1].

Cvičenie 3.9. Dokážte, že ak f : X → Y a g : Y → Z sú vnorenia, tak g ∘ f : X → Z je vnorenie.

Cvičenie 3.10. Nech f : X → Y je faktorové zobrazenie, A je podpriestor X, f[A] je podpriestor Y. Ukážte na príklade, že f|_{A} : A → f[A] nemusí byt’ faktorové zobrazenie.

Cvičenie 3.11. Nech f : X → Y je faktorové zobrazenie, B ⊆ Y. Dokážte, že ak B je uzavreté alebo otvorené v Y, tak zobrazenie f ↾_{f_{−1}(B)}: f_{−1}(B) → B je faktorové zobrazenie.

Cvičenie 3.12. Dokážte, že zobrazenia + : ℝ × ℝ → ℝ, (a, b) ↦ a + b, · : ℝ × ℝ → ℝ, (a, b) ↦ a · b, f : ℝ^{n} → ℝ, f(a_{1}, ⋯, a_{n}) = max{a_{1}, ⋯, a_{n}}, g : ℝ^{n} → ℝ, g(a_{1}, ⋯, a_{n}) = min{a_{1}, ⋯, a_{n}} sú spojité.

Cvičenie 3.13. Nech (X, d_{1}), (Y, d_{2}) sú metrické priestory. Dokážte, že d : (X, Y) × (X, Y) → ℝ, d((a, b), (c, d)) = d_{1}(a, c)+d_{2}(b, d) je metrika na X ×Y. Ďalej dokážte, že (X ×Y, τ_{d}) = (X, τ_{d_{1}})×(Y, τ_{d_{2}}).

Cvičenie 3.14. Nech X, Y sú priestory a X × Y je ich topologický súčin. Dokážte, že:

(1) Pre každé a ∈ X je podpriestor {a} × Y priestoru X × Y homeomorfný s Y.

(2) Pre každé b ∈ Y je podpriestor X × {b} priestoru X × Y homeomorfný s X.

Cvičenie 3.15. Nech f, g : X → Y sú spojité zobrazenia, Y je T_{2}-priestor a E = {a ∈ X, f(a) = g(a)}. Dokážte, že E je uzavretá podmnožina X.

4. Faktorové priestory.

Cvičenie 4.1. Nech S^{1}={(x, y)∈ℝ^{2}, x^{2}+y^{2}=1} je podpriestor priestoru ℝ^{2} a I=[0, 1] je podpriestor ℝ.

(1) Nech E je relácia ekvivalencie na I taká, že xEy ⇔ x = y alebo {x, y} = {0, 1}. Dokážte, že faktorový priestor I/E je homeomorfný s S^{1}.

(2) Nech E je relácia ekvivalencie na I × I taká, že (x, y)E(x′, y′) ⇔ (x, y)=(x′, y′) alebo (y=y′ ∧ {x, x′}={0, 1}). Dokážte, že (I × I)/E je homeomorfný s priestorom S^{1} × I.

(3) Nech E je relácia ekvivalencie na I × I taká, že (x, y)E(x′, y′) ⇔ (x, y)=(x′, y′) ∨ (y = y′ ∧ {x, x′} = {0, 1}) ∨ (x=x′ ∧ {y, y′} = {0, 1}). Dokážte, že (I ×I)/E je homeomorfný s priestorom S^{1} × S^{1}.

Cvičenie 4.2. Dokážte, že X je T_{2}-priestor práve vtedy, ked’ podmnožina Δ_{x} = {(x, x); x ∈ X} priestoru X × X je uzavretá v X × X.

Cvičenie 4.3. Nech X, Y sú priestory, Y je T_{2}-priestor a f : X → Y je spojité zobrazenie. Dokážte, že potom množina {(x, f(x)), x ∈ X} je uzavretá v X × Y. Platí obrátené tvrdenie?

Cvičenie 4.4. Nech ∀α ∈ I : M_{α} je podpriestor X_{α}. Dokážte, že ∏_{α∈I} M_{α} je podpriestor ∏_{α∈I} X_{α}.

Cvičenie 4.5. Nech X = ⨁_{α∈I} X_{α}. Dokážte, že ak ∀α ∈ I : X_{α} je T_{1} (T_{2}, T_{3}, T_{3 \frac{1}{2}} , T_{4}, regulárny, úplne

regulárny, normálny) tak aj X je T_{1} (T_{2}, T_{3}, T_{3 \frac{1}{2}} , T_{4}, regulárny, úplne regulárny, normálny).

Cvičenie 4.6. Nech f_{1} : X_{1} → Y_{1}, f_{2} : X_{2} → Y_{2} sú spojité zobrazenia. Dokážte, že potom aj f_{1} × f_{2} : X_{1} × X_{2} → Y_{1} × Y_{2}, (f_{1} × f_{2})(x, y) = (f_{1}(x), f_{2}(y)) je spojité zobrazenie.

Cvičenie 4.7. Nech X = ∏ X_{α} a ∀α ∈ I je X_{α} ≠ ∅. Zistite, či platí: ak X je (úplne) regulárny, tak ∀α ∈ I X_{α} je (úplne) regulárny.

Cvičenie 4.8. Ukážte, že:

(1) Každý uzavretý podpriestor normálneho priestoru je normálny priestor.

(2) X je normálny ⇔ pre všetky otvorené množiny U, V v X také, že U ∪ V = X existujú uzavreté podmnožiny A, B priestoru X také, že A ⊆ U, B ⊆ V a A ∪ B = X.

(3) Ak X je normálny a f : X → Y je surjektívne, spojité, uzavreté zobrazenie, tak Y je normálny.

(4) Nájdite príklad faktorového zobrazenia f : X → Y takého, že X je normálny a Y nie je normálny. (Návod: 3-prvkový nenormálny, faktorové zobrazenie.)

5. Konvergencia.

Cvičenie 5.1. Zistite, či nasledujúci systém podmnožín danej množiny je báza filtra, resp. filter na danej množine.

(1) F_{1} = {A ∈ P(ℝ), ℝ/A je spočítatel’ná} v ℝ.

(2) F_{2} = {(a, ∞), a ∈ ℚ} v ℝ.

(3) B(a) – báza okolí bodu a v topologickom priestore X.

Cvičenie 5.2. Určte všetky hromadné body, resp. limity daných báz filtrov, resp. filtrov v daných topologických priestoroch

(1) F_{1} = {A ∈ P(ℝ), ℝ/A je spočítatel’ná} v ℝ s obyčajnou topológiou.

(2) F_{2} = {(a, ∞), a ∈ ℚ} v ℝ s obyčajnou topológiou a v ℝ s topológiou τ_{→} = {(a, ∞), a ∈ ℝ}∪{∅, ℝ}

Cvičenie 5.3. Nech X je topologický priestor. Dokážte, že nasledujúce výroky sú ekvivalentné: (1) X je kompaktný.

(2) Každý filter v X má hromadný bod.

(3) Každý ultrafilter v X konverguje.

Cvičenie 5.4. Nech X je topologický priestor, a ∈ X a F je filter na X. Nech X_{a} je topologický priestor definovaný na množine priestoru X nasledovne: U je otvorené v X_{a} ⇔ U ⊆ X/{a} alebo existuje F ∈ F tak, že U = F ∪ {a}. Nech id_{X} : X_{a} → X je identické zobrazenie. Dokážte, že F → a ⇔ id_{X} : X_{a} → X je spojité zobrazenie.

Cvičenie 5.5. Dokážte, že priestor X je T_{2}-priestor práve vtedy, ked’ každá siet’ v X má najviac jednu limitu.

Cvičenie 5.6. Nech f : X → Y je zobrazenie, X, Y sú topologické priestory, a ∈ X. Dokážte, že f je spojité v a práve vtedy, ked’ pre l’ubovol’nú siet’ (x_{σ}, σ ∈ Σ) v X taká, že x_{σ} → a platí f(x_{σ}) → f(a).

Cvičenie 5.7. Nech X = ∏ X_{α} je topologický súčin priestorov, (x_{σ}, σ ∈ Σ) je siet’ v X. Dokážte, že x_{σ} → a v X ⇔ ∀α ∈ I: p_{α}(x_{σ}) → p_{α}(a).