0.1 Úvod do kategórií

Táto časť je tu uvedená kvôli tomu, aby prácu mohol čítať aj ten, kto nepozná teóriu kategórií. Je to teda veľmi stručný úvod do teórie kategórií, ktorý obsahuje pojmy, ktoré budeme používať. Časť venovaná kategóriám Top a Haus je vlastne akýmsi prekladovým slovníkom medzi topologickými a kategoriálnymi pojmami.

0.1.1 Kategórie, podkategórie, funktory

Definícia 1. Kategóriou nazývame usporiadanú štvoricu A = (Ob, hom, id, ∘), kde

(i) Ob je trieda, ktorej prvky sa nazývajú objekty kategórie A (A-objekty).

(ii) Každej usporiadnej dvojici (A, B) A-objektov je priradená práve jedna množina, ktorú označíme hom(A, B), ktorej prvky sa nazývajú A-morfiz-my z objektu A do objektu B.

(iii) Pre každý A-objekt A existuje A-morfizmus id_{A} ∈ hom(A, A).

(iv) Pre ľubovoľné A-objekty A, B, C a ľubovoľné A-morfizmy f ∈ hom(A, B), g ∈ hom(B, C) existuje práve jeden A-morfizmus g ∘ f ∈ hom(A, C), pričom platí:

(a) Pre ľubovoľné f ∈ hom(A, B), g ∈ hom(B, C), h ∈ hom(C, D) platí:

h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f.

(b) Pre ľubovoľné f ∈ hom(A, B) platí:

f ∘ id_{A} = f = id_{B} ∘ f.

(c) Pre ľubovoľné A-objekty A, B, C, D také, že (A, B) ≠ (C, D), platí hom(A, B) ∩ hom(C, D) = ∅.

id_{A} sa nazýva identita na A a ∘ skladanie morfizmov. Trieda všetkých A-morfizmov sa označuje Mor(A).

Príklad 1. Príklady kategórií: Kategória Set množín a zobrazení medzi nimi. Kategória Top topologických priestorov a spojitých zobrazení medzi nimi. Kategória Haus hausdorffovských topologických priestorov a spojitých zobrazení medzi nimi. Vo všetkých uvedených kategóriách je ∘ obvyklé skladanie zobrazení a id je identické zobrazenie.

Morfizmy nemusia vždy predstavovať zobrazenia, ako ukazujú nasledovné dva príklady.

Príklad 2 (Monoid ako kategória). Pre každý monoid (pologrupu s jednotkou) (M, •, e) je C(M, •, e) = (Ob, hom, id, ∘) kategória s jediným objektom, ak položíme Ob = {M}, hom(M, M) = M, id_{M} = e, y ∘ x = y • x.

Príklad 3 (Usporiadaná trieda ako kategória). Ak X je trieda a ≤ je usporiadanie na X (t.j. reflexívna, antisymetrická a tranzitívna triedová relácia na X). Potom môžeme definovať kategóriu C tak, že položíme Ob(C) = X,

hom(x, y) = \begin{cases}(x, y) & ak x ≤ y \\ ∅ & inak, \end{cases} id_{X} = (x, x) a (y, z) ∘ (x, y) = (x, z).

Morfizmy sa často zvyknú znázorňovať v diagramoch pomocou šípok, napríklad nasledovný diagram znázorňuje dva morfizmy f, g ∈ hom(A, B).

\xymatrix{A \ar[r]^{f} \ar[r]_{g} & B}

Definícia 2. Pre ľubovoľnú kategóriu A = (Ob, hom, id, ∘) duálna kategória ku A je kategória A^{op} = (Ob, hom^{op}, id, ∘^{op}), kde hom^{op}(A, B) = hom(B, A) a f ∘^{op} g = g ∘ f.

Prechod od kategórie A ku duálnej kategórii vlastne znamená obrátenie všetkých šípok v diagramoch znázorňujúcich morfizmy.

Každú vlastnosť S_{A^{op}} (X) A^{op}-objektu X možno súčasne vysloviť ako vlastnosť S_{A}^{op}(X) (lebo X je súčasne aj A-objektom). S^{op} sa nazýva duálna vlastnosť k S. Podobne k ľubovoľnému výroku P týkajúcemu sa nejakých morfizmov a objektov kategórie A možno vysloviť duálny výrok P^{op}. Duálny výrok bude platiť v A^{op} práve vtedy, keď v A platí pôvodný výrok. Pretože (A^{op})^{op} = A, tak platí:

Veta 1 (Princíp duality). Ak výrok P platí pre ľubovoľnú kategóriu A, tak aj P^{op} platí pre ľubovoľnú kategóriu A.

Definícia 3. Ak S ⇔ S^{op}, tak S sa nazýva samoduálna vlastnosť.

Vďaka princípu duality, ak dokážeme nejaké tvrdenie, dokázali sme už aj duálne tvrdenie. (“Jednou ranou zabijeme dve muchy, avšak niekedy sa tie dve muchy rovnajú.”)

Definícia 4. Kategória A sa nazýva podkategória kategórie B, ak sú splnené nasledovné podmienky:

(i) Ob(A) ⊆ Ob(B),

(ii) pre každé A, B ∈ Ob(A), hom_{A} (A, B) ⊆ hom_{B}(A, B),

(iii) pre každý A-objekt A B-identita na A je A-identita na A.

(iv) skladanie v A je zúžením skladania v B na A-morfizmy.

A sa nazýva plná podkategória B, ak navyše platí pre každé A, B ∈ A hom_{A} (A, B) = hom_{B}(A, B).

Z definície vyplýva, že plná podkategória je úplne určená triedou svojich objektov.

Definícia 5. Kategória sa nazýva malá, ak jej trieda objektov je množina.

Definícia 6. Ak A a B sú kategórie, tak funktor F z A do B je zobrazenie, ktoré priradí každému A-objektu A B-objekt F (A) a každému A-morfizmu f: A → A′ B-morfizmus F (f): F (A) → F (A′), pričom platí:

(i) F zachováva skladanie, t.j. F (f ∘ g) = F (f) ∘ F (g),

(ii) F zachováva identitu, t.j. F (id_{A}) = id_{F (A)}.

Pod skladaním funktorov rozumieme ich zloženie ako zloženie zobrazení t.j. G ∘ F (A) = G(F (A)), G ∘ F (f) = G(F (f)).

Definícia 7. Ak A je podkategória kategórie B, tak funktor E: A → B, taký, že E(A) = A pre ľubovoľný A-objekt A a E(f) = f pre ľubovoľný A-morfizmus f sa nazýva funktor vloženia.

Niektoré výsledky o reflektívnych podkategóriách, ktorými sa budeme zaoberať, vyplývajú z tvrdení o adjungovaných funktoroch. My však tieto tvrdenia dokážeme bez použitia adjungovaných funktorov, preto tu ani neuvádzame definície pojmov súvisiacich s touto problematikou.

0.1.2 Špeciálne morfizmy

Vo zvyšku kapitoly budeme predpokladať, že pracujeme s nejakou kategóriou A, budeme preto skrátene písať morfizmus namiesto A-morfizmus, objekt namiesto A-objekt a pod. Rovnakú dohodu budeme používať všade tam, kde v tvrdení budú vystupovať objekty a morfizmy len z jednej kategórie a od danej kategórie nebudeme požadovať nijaké špeciálne vlastnosti.

Definícia 8. Morfizmus f: A → B sa nazýva monomorfizmus, ak pre každé dva morfizmy g, h: B → C z rovnosti f ∘ g = f ∘ h vyplýva rovnosť h = g.

Duálny pojem: Morfizmus f: A → B sa nazýva epimorfizmus, ak pre každé dva morfizmy g, h: B → C z rovnosti g ∘ f = h ∘ f vyplýva rovnosť h = g.

f je bimorfizmus , ak je monomorfizmus aj epimorfizmus.

Tvrdenie 1. Ak f: A → B, g: B → C sú monomorfizmy (epimorfizmy, bimorfizmy), tak g ∘ f je monomorfizmus (epimorfizmus, bimorfizmus).

Dôkaz. a) g ∘ f ∘ h = g ∘ f ∘ k ⇒ f ∘ h = f ∘ k ⇒ h = k

b) h ∘ g ∘ f = k ∘ g ∘ f ⇒ h ∘ g = k ∘ g ⇒ h = k

c) Priamy dôsledok a) a b).

Tvrdenie 2. Nech f ∘ g je monomorfizmus. Potom g je monomorfizmus. Duálne tvrdenie: Ak g ∘ f je epimorfizmus, tak g je epimorfizmus.

Dôkaz. g ∘ h = g ∘ k ⇒ f ∘ g ∘ h = f ∘ g ∘ k ⇒ h = k Definícia 9. Morfizmus f: A → B sa nazýva retrakcia, ak existuje morfizmus g: B → A taký, že f ∘ g = id_{B}.

Duálny pojem: Morfizmus f: A → B sa nazýva koretrakcia, ak existuje morfizmus g: B → A taký, že g ∘ f = id_{A}.

Morfizmus f: A → B je izomorfizmus, ak je retrakcia aj koretrakcia.

Bimorfizmus a izomorfizmus sú príklady samoduálnych vlastností.

Tvrdenie 3. Ak f: A → B, g: B → C sú retrakcie (koretrakcie, izomorfizmy), tak g ∘ f je retrakcia (koretrakcia, izomorfizmus).

Dôkaz. Majme h: B → A, k: C → B také, že f ∘ h = id_{B}, g ∘ k = id_{C}. Potom (g ∘ f) ∘ (h ∘ k) = g ∘ (f ∘ h) ∘ k = g ∘ id_{B} ∘ k = g ∘ k = id_{C}. Tým je ukázaná prvá časť tvrdenia. Druhá časť je duálne tvrdenie k prvej a tretia časť vyplýva z prvých dvoch.

Tvrdenie 4. Nech f: A → B, g: B → C sú morfizmy. Ak g ∘f je koretrakcia, tak f je koretrakcia. Ak g ∘ f je retrakcia, tak g je retrakcia.

Dôkaz. g∘f je koretrakcia znamená, že existuje morfizmus h taký, že h∘(g∘f) = (h ∘ g) ∘ f = id_{A}, teda aj f je koretrakcia.

Tvrdenie 5. Každá koretrakcia je monomorfizmus. Každá retrakcia je epimorfizmus.

Dôkaz. Nech f: A → B je koretrakcia a g: B → A je ľavý inverzný morfizmus k f, t.j. g: B → A, g ∘ f = id_{A}. Ak f ∘ h = f ∘ k, tak h = id_{A} ∘ h = g ∘ f ∘ h = g ∘ f ∘ k = id_{A} ∘ k = k. Druhá časť tvrdenia vyplýva z duality.

Lema 1. Ak f: A → B, g, h: B → A sú morfizmy také, že g ∘ f = id_{A} a f ∘ h = id_{B}, tak g = h.

Dôkaz. h = id_{A} ∘ h = (g ∘ f) ∘ h = g ∘ (f ∘ h) = g ∘ id_{B} = g

Tvrdenie 6. Morfizmus f: A → B je izomorfizmus práve vtedy, keď existuje morfizmus g: B → A taký, že g ∘ f = id_{A}, f ∘ g = id_{B}. Takýto morfizmus je určený jednoznačne.

Dôkaz. Implikácia ⇐ je zrejmá. Implikácia ⇒ vyplýva z prechádzajúcej lemy.

Definícia 10. Ak f je izomorfizmus, tak morfizmus g: B → A taký, že f ∘ g = id_{B} a g ∘ f = id_{A} sa nazýva inverzný morfizmus k f a označuje sa f^{−1}.

Ako dôsledok predchádzajúceho tvrdenia dostávame:

Tvrdenie 7. Ak f je izomorfizmus, tak aj f^{−1} je izomorfizmus.

Definícia 11. Ak existuje izomorfizmus f: A → B, tak hovoríme, že objekty A a B sú izomorfné, označujeme A ≅ B.

Z tvrdenia 3, tvrdenia 7 a z toho, že každá identita je izomorfizmus vyplýva, že relácia ≅ je relácia ekvivalencie na triede objektov.

Definícia 12. Plná podkategória A kategórie B sa nazýva uzavretá na izomorfizmy, ak každý B-objekt, ktorý je izomorfný s nejakým A-objektom, je A-objekt.

Definícia 13. Nech f, g: A → B sú morfizmy. Morfizmus e: E → A sa nazýva ekvalizátor f a g, ak sú splnené nasledovné podmienky:

(i) f ∘ e = g ∘ e,

(ii) pre ľubovoľný morfizmus e′: E′ → A taký, že f ∘ e′ = g ∘ e′ existuje jediný morfizmus \overline{e}: E′ → E taký, že diagram

\xymatrix{E′ \ar[d]_{\overline{e}} \ar[dr]^{e′} \\ E \ar[r]_{e} & A \ar[r]^{f} \ar[r]_{g} & B}

komutuje, t.j. taký, že e ∘ \overline{e} = e′.

Ekvalizátor f a g označujeme e = Eq(f, g).

Duálny pojem: Morfizmus c: A → C sa nazýva koekvalizátor dvojice morfizmov f a g, ak

(i) c ∘ f = c ∘ g,

(ii) pre každý morfizmus c′ taký, že c′ ∘ f = c′ ∘ g existuje jediný morfizmus \overline{c} taký, že \overline{c} ∘ c = c′.

Morfizmus e: E → A sa nazýva regulárny monomorfizmus, ak je ekvalizátor nejakej dvojice morfizmov. Morfizmus c: A → C sa nazýva regulárny epimorfizmus, ak je koekvalizátor nejakej dvojice morfizmov.

Tvrdenie 8. Regulárny monomorfizmus je monomorfizmus. (Regulárny epimorfizmus je epimorfizmus.)

Dôkaz. Nech f = Eq(r, s). Nech f ∘ g = f ∘ h. Potom r ∘ (f ∘ g) = s ∘ (f ∘ g) a podľa definície existuje jediný morfizmus h taký, že f ∘g = f ∘h, teda g = h.

Definícia 14. Monomorfizmus m sa nazýva extrémny monomorfizmus , ak spĺňa nasledovnú podmienku: Ak m = f ∘ e, kde e je epimorfizmus, tak e je izomorfizmus.

Duálny pojem: Epimorfizmus e sa nazýva extrémny epimorfizmus , ak spĺňa nasledovnú podmienku: Ak e = m ∘ f, kde m je monomorfizmus, tak m je izomorfizmus.

Tvrdenie 9. Ak g ∘ f je extrémny monomorfizmus, tak f je extrémny monomorfizmus. Ak g ∘ f je extrémny epimorfizmus, tak g je extrémny epimorfizmus.

Dôkaz. Z tvrdenia 2 vieme, že f je monomorfizmus. Nech f = h ∘ e a e je epimorfizmus. Potom g ∘ f = g ∘ h ∘ e, ale g ∘ f je extrémny monomorfizmus, a teda e je izomorfizmus.

Druhá časť tvrdenia je duálna k prvej.

Tvrdenie 10. Ak f: X → Y je morfizmus, tak každá z uvedených podmienok implikuje nasledujúcu:

(i) f je izomorfizmus

(ii) f je koretrakcia

(iii) f je regulárny monomorfizmus

(iv) f je extrémny monomorfizmus

(v) f je monomorfizmus.

(Duálne tvrdenie: f je izomorfizmus ⇒ retrakcia ⇒ regulárny epimorfizmus ⇒ extrémy epimorfizmus ⇒ epimorfizmus.)

Dôkaz. (i)⇒(ii) vyplýva priamo z definície.

(ii)⇒(iii) Ak g ∘ f = id_{A} ukážeme, že f = Eq(id_{B}, f ∘ g). Platí (f ∘ g) ∘ f = f ∘ (g ∘ f) = f ∘ id_{A} = f = id_{B} ∘ f. Ak (f ∘ g) ∘ h = h, tak h = f ∘ (g ∘ h) a takýto morfizmus existuje jediný, lebo f je monomorfizmus.

(iii)⇒(iv) Nech f = Eq(r, s) a f = g ∘ e, pričom e je epimorfizmus. Platí: (r ∘ g) ∘ e = r ∘ (g ∘ e) = r ∘ f = s ∘ f = s ∘ (g ∘ e) = (s ∘ g) ∘ e, a teda aj r ∘ g = s ∘ g (lebo e je epimorfizmus). Podľa univerzálnej vlastnosti v definícii ekvalizátora musí potom existovať jediný morfizmus e′ taký, že g = f ∘e′. Máme potom f ∘ id_{A} = f = g ∘ e = f ∘ e′ ∘ e a f je monomorfizmus, čiže e′ ∘ e = id_{A}, t.j. e je koretrakcia. Ďalej id_{E} ∘ e = e = e ∘ id_{A} = e ∘ (e′ ∘ e) = (e ∘ e′) ∘ e a e je epimorfizmus, čiže id_{E} = e∘e′, t.j. e je koretrakcia. e je retrakcia aj koretrakcia, teda e je izomorfizmus.

(iv)⇒(v) Vyplýva priamo z definície.

Tvrdenie 11. Nech f: A → B je morfizmus. Nasledovné podmienky sú potom ekvivalentné:

(i) f je izomorfizmus

(ii) f je epimorfizmus a koretrakcia

(iii) f je epimorfizmus a extrémny monomorfizmus

(iv) f je monomorfizmus a retrakcia

(v) f je monomorfizmus a extrémny epimorfizmus.

Dôkaz. Vďaka dualite stačí dokazovať len ekvivalenciu prvých troch podmienok.

(i) ⇒ (ii) vyplýva priamo z definície a (ii) ⇒ (iii) z predchádzajúceho tvrdenia. (iii) ⇒ (i): f = id_{B} ∘ f a f je epimorfizmus a extrémny monomorfizmus znamená, že f je izomorfizmus.

Definícia 15. Usporiadaná dvojica (M, m), kde m: M → A je monomorfizmus sa nazýva podobjekt objektu A.

Usporiadaná dvojica (M, m), kde m: M → A je extrémny monomorfizmus sa nazýva extrémny podobjekt objektu A.

Usporiadaná dvojica (k, K), kde k: A → K je epimorfizmus sa nazýva kvocient objektu A.

Usporiadaná dvojica (k, K), kde k: A → K je extrémny epimorfizmus sa nazýva extrémny kvocient objektu A.

Definícia 16. Kategória sa nazýva lokálne malá, ak pre každý jej objekt A existuje množina podobjektov (M_{i}, m_{i}), i ∈ I taká, že pre každý podobjekt (M, m) objektu A existuje i ∈ I a izomorfizmus f: M_{i} → M taký, že m_{i} = m∘f.

Kategória sa nazýva extrémne lokálne malá, ak pre každý jej objekt A existuje množina extrémnych podobjektov (M_{i}, m_{i}), i ∈ I taká, že pre každý extrémny podobjekt (M, m) objektu A existuje i ∈ I a izomorfizmus f: M_{i} → M taký, že m_{i} = m ∘ f.

Kategória sa nazýva kolokálne malá, ak pre každý jej objekt A existuje množina kvocientov (k_{i}, K_{i}), i ∈ I taká, že pre každý kvocient (k, K) objektu A existuje i ∈ I a izomorfizmus f: M_{i} → M taký, že k_{i} = k ∘ f.

Kategória sa nazýva extrémne kolokálne malá, ak pre každý jej objekt A existuje množina extrémnych kvocientov (k_{i}, K_{i}), i ∈ I taká, že pre každý extrémny kvocient (k, K) objektu A existuje i ∈ I a izomorfizmus f: M_{i} → M taký, že k_{i} = k ∘ f.

Definícia 17. Morfizmus f: A → B sa nazýva konštantný, ak pre každé dva morfizmy g, h: C → A platí k ∘ g = k ∘ h. f je kokonštantný, ak pre každé dva morfizmy g, h: B → C platí g ∘ h = g ∘ k.

Morfizmus, ktorý je konštantný aj kokonštantný sa nazýva nulový morfizmus .

0.1.3 Špeciálne objekty

Definícia 18. Objekt I sa nazýva iniciálny objekt, ak pre každý objekt A existuje práve jeden morfizmus f: I → A.

Duálny pojem: Objekt T sa nazýva terminálny objekt, ak pre každý objekt A existuje práve jeden morfizmus f: A → T.

Objekt, ktorý je iniciálny aj terminálny, sa nazýva nulový objekt.

Definícia 19. Objekt S sa nazýva separátor (generátor), ak pre každé dva rôzne morfizmy f, g: A → B existuje morfizmus h: S → A taký, že f ∘h ≠ g ∘h.

Objekt C sa nazýva koseparátor, ak pre každé dva rôzne morfizmy f, g: A → B existuje morfizmus h: B → C taký, že h ∘ f ≠ h ∘ g.

0.1.4 Limity a kolimity

Definícia 20. Zdroj je dvojica (A, (f_{i})_{i∈I}), kde A je objekt a f_{i}: A → A_{i} sú morfizmy.

Ústie je dvojica ((f_{i})_{i∈I}, A), kde A je objekt a f_{i}: A → A_{i} sú morfizmy.

Ak S = (A, (f_{i})_{i∈I} je zdroj a f: B → A je morfizmus, tak označíme zdroj (B, (f_{i} ∘ f)_{i∈I}) = S ∘ f. Podobne pre ústia používame značenie f ∘ S = ((f ∘ f_{i})_{i∈I}, B), ak S = ((f_{i})_{i∈I}, A) je ústie a f: A → B je morfizmus.

Definícia 21. Zdroj S = (A, (f_{i})_{i∈I}) sa nazýva monozdroj, ak pre každú dvojicu morfizmov r, s: B → A z rovnosti S ∘ r = S ∘ s vyplýva rovnosť r = s.

Ústie S = ((f_{i})_{i∈I}, A) sa nazýva epiústie, ak pre každú dvojicu morfizmov r, s: A → B z rovnosti r ∘ S = s ∘ S vyplýva rovnosť r = s.

Monozdroj sa nazýva extrémny monozdroj , ak platí: Ak S = \overline{S} ∘e pre nejaký epimorfizmus e, tak e je izomorfizmus.

Epiústie sa nazýva extrémne epiústie, ak platí: Ak S = m ∘ \overline{S} pre nejaký monomorfizmus m, tak m je izomorfizmus.

Definícia 22. Diagram v kategórii A je funktor D: I → A. I sa nazýva schéma diagramu. Diagram s malou (konečnou) schémou sa nazýva malý (konečný) diagram.

Pre diagramy zvykneme písať D_{i} namiesto D(i).

Definícia 23. Nech D: I → A je diagram.

A-zdroj (A, (f_{i})_{i∈Ob(I)} ) (f_{i}: A → D_{i}) sa nazýva prirodzený zdroj pre D, ak pre každý I-morfizmus d: i → j komutuje diagram:

\xymatrix{ & A \ar[dl]_{f_{i}} \ar[dr]^{f_{j}} \\ D_{i} \ar[rr]_{Dd} &  & D_{j}}

Prirodzený A-zdroj (L, (l_{i})_{i∈Ob(I)} ) sa nazýva limita D, ak má univerzálnu vlastnosť, že pre každý prirodzený zdroj (A, (f_{i})_{i∈Ob((I)}) pre D existuje jediný morfizmus f: A → L taký, že f_{i} = l_{i} ∘ f pre všetky i ∈ Ob(I).

\xymatrix{A \ar[rr]^{f} \ar[dr]_{f_{i}} &  & L \ar[dl]^{l_{i}} \\  & D_{i}}

A-ústie ((f_{i})_{i∈Ob(I)} , A) sa nazýva prirodzené ústie pre D, ak pre každý I-morfizmus d: i → j komutuje diagram:

\xymatrix{D_{i} \ar[rr]^{Dd} \ar[dr]_{f_{i}} &  & D_{j} \ar[dl]^{f_{j}} \\  & A}

Prirodzené ústie ((c_{i})_{i∈Ob(I)} , C) pre D sa nazýva kolimita D, ak pre každé prirodzené ústie ((f_{i})_{i∈Ob(I)} , A) pre D existuje jediný morfizmus f: C → A taký, že f_{i} = f ∘ c_{i} pre každé i ∈ Ob(I).

\xymatrix{A &  & C \ar[ll]_{f} \\  & D_{i} \ar@{-->}[ul]^{f_{i}} \ar@{-->}[ur]_{c_{i}}}

Tvrdenie 12. Každá limita je extrémny monozdroj. Každá kolimita je extrémne epiústie.

Dôkaz. Nech S ∘ r = S ∘ s. S ∘ r je tiež ústie, podľa definície limity teda existuje jediný morfizmus s taký, že S ∘ r = S ∘ s, teda r = s.

Nech L = S ∘ e a e je epimorfizmus. Podľa definície limity existuje h také, že pre každé i ∈ Ob(I) l_{i} ∘ h = s_{i}. Potom l_{i} ∘ h ∘ e = s_{i} ∘ e = l_{i} = l_{i} ∘ id_{L}. V prvej časti dôkazu sme už ukázali, že limita je monozdroj, z čoho vyplýva h ∘ e = id_{L}. Keďže e je epimorfizmus a koretrakcia, podľa tvrdenia 11 je izomorfizmus.

Druhá časť tvrdenia je duálna k prvej.

Tvrdenie 13 (Jednoznačnosť limity). Ak L = (l_{i})_{i∈Ob(I)} , l_{i}: L → D_{i} je limita diagramu D: I → A, tak

(i) pre každú limitu K = (k_{i})_{i∈Ob(I)} , k_{i}: K → D_{i}, diagramu D existuje izomorfizmus h: K → L taký, že K = L ∘ h,

(ii) pre každý izomorfizmus h: A → L je zdroj L ∘ h limita diagramu D.

Dôkaz. (i) Z definície limity vieme, že existuje jediný morfizmus h taký, že K = L ∘ h. Keďže K je tiež limita, súčasne existuje jediný morfizmus h′ taký, že L = K∘h′. Keďže K∘h′∘h = L∘h = K = K∘id_{K} a K je podľa predchádzajúceho tvrdenia monozdroj, tak h′ ∘ h = id_{K}. Analogicky sa ukáže aj h ∘ h′ = id_{L}, čo znamená, že h je izomorfizmus.

\xymatrix{K \ar[rr]^{h} \ar[dr]_{h_{i}} &  & L \ar[ll]^{h′} \ar[dl]^{l_{i}} \\  & D_{i}}

(ii) Pretože L je prirodzený zdroj, aj L ∘ h je prirodzený zdroj vzhľadom na D. Označme jeho morfizmy l′_{i} = h ∘ l_{i}: L′ → D Ak K je prirodzený zdroj vzhľadom na D, tak existuje jediný morfizmus k: K → L taký, že K = L ∘ k. Potom h^{−1} ∘ k: K → L′ je morfizmus taký, že K = L′ ∘ (h^{−1} ∘ k). Jednoznačnosť vyplýva z toho, že L′ = h ∘ L je monozdroj. Ak totiž r ∘ h ∘ L = s ∘ h ∘ L, tak r ∘ h = s ∘ h, a pretože každý izomorfizmus je monomorfizmus, potom aj r = s.

Súčin a kosúčin

Definícia 24. Ústie P = (p_{i}: P → A_{i})_{i∈I} sa nazýva súčin ak pre každé ústie S = (f_{i}: A → A_{i})_{i∈I} existuje jediný morfizmus f: A → P taký, že S = P ∘ f.

Príklad 4. V Set je súčinom ľubovoľného systému množín ich kartézsky súčin, projekcie sú projekcie na zložky p_{j}: ∏_{i∈I} A_{i} → A_{j}.

Súčin môžeme interpretovať ako limitu funktora z diskrétnej kategórie (t.j. schéma diagramu je kategória, ktorá okrem identít neobsahuje žiadne iné morfizmy).

Z tvrdenia o jednoznačnosti limity potom vyplýva, že súčin je jednoznačne (až na izomorfizmus) určený objektami A_{i}.

Súčin systému objektov (A_{i})_{i∈I} označujeme ∏_{i∈I} A_{i}, morfizmy p_{j}: ∏_{i∈I} A_{i} →

A_{j} sa nazývajú projekcie. Pre súčin konečného systému používame tiež značenie A_{1} × ⋯ × A_{k}, resp. A × B.

Ak (∏ A_{i}, p_{i}: ∏ A_{i} → A_{i})_{i∈I} je súčin a (A, f_{i}: A → A_{i})_{i∈I} je ústie, tak podľa definície súčinu existuje jediný morfizmus f: A → ∏ A_{i} taký, že f_{j} = p_{j}∘f pre všetky j ∈ I. Tento morfizmus značíme ⟨f_{i}⟩.

\xymatrix{A \ar[r]^{⟨f_{i}⟩} \ar[dr]_{f_{j}} & ∏ A_{i} \ar[d]^{p_{j}} \\  & A_{j}}

V prípade, že množina I je konečná, používame tiež značenie ⟨f_{i}⟩ = ⟨f_{1}, …, f_{n}⟩.

Tvrdenie 14. Ak (p_{i}: P → A_{i})_{i∈I} je súčin a i_{0} ∈ I je také, že pre všetky i ∈ I platí hom(A_{i_{0}}, A_{i}) ≠ ∅, tak p_{i_{0}} je retrakcia.

Dôkaz. Pre každé i ∈ I vyberme f_{i} ∈ hom(A_{i_{0}}, A_{i}), pričom f_{i_{0}} = id_{A_{i_{0}}} . Potom ⟨f_{i}⟩: A_{i_{0}} → P je morfizmus s vlastnosťou p_{i_{0}} ∘ ⟨f_{i}⟩ = f_{i_{0}} = id_{A_{i_{0}}} .

Definícia 25. Hovoríme, že kategória má súčiny, ak pre každý systém objektov (A_{i})_{i∈I} (I je množina) existuje súčin (∏ A_{i}, p_{j}: ∏ A_{i} → A_{j})_{j∈I}.

Definícia 26. Ak f_{i}: A_{i} → B_{i} sú morfizmy a (∏ A_{i}, π_{j}: ∏ A_{i} → A_{j})_{j∈I}, (∏ B_{i}, p_{j}: ∏ B_{i} → B_{j})_{j∈I}, sú súčiny, tak podľa definície súčinu existuje jediný morfizmus f taký, že diagram

\xymatrix{∏ A_{i} \ar[r]^{f=∏ f_{i}} \ar[d]_{π_{j}} & ∏ B_{i} \ar[d]^{p_{j}} \\ A_{j} \ar[r]_{f_{j}} & B_{j}}

komutuje pre každé j ∈ I. Potom f označujeme ∏_{i∈I} f_{i} a nazývame súčinom

systému morfizmov (f_{i})_{i∈I}. Ak I je konečná, používame tiež označenie f_{1} × … × f_{2}.

Lema 2. ∏_{i∈I} g_{i} ∘ ∏_{i∈I} f_{i} = ∏_{i∈I}(g_{i} ∘ f_{i})

Dôkaz. Nech f_{i}: A_{i} → B_{i}, g_{i}: B_{i} → C_{i}, projekcie označme p_{A_{i}}, p_{B_{i}}, p_{C_{i}}. Potom platí p_{C_{j}} ∘ ∏(g_{i} ∘ f_{i}) = g_{j} ∘ f_{j} ∘ p_{A_{j}} = g_{j} ∘ p_{B_{j}} ∘ ∏ f_{i} = p_{C_{j}} ∘ ∏ g_{i} ∘ ∏ f_{i}. Priamo z definície súčinu (alebo z toho, že súčin je limita, a teda monozdroj) už potom vyplýva, že ∏(g_{i} ∘ f_{i}) = ∏ g_{i} ∘ ∏ f_{i}.

\xymatrix{∏ A_{i} \ar[r]^{∏ f_{i}} \ar[d]_{p_{A_{j}}} & ∏ B_{i} \ar[r]^{∏ g_{i}} \ar[d]_{p_{B_{j}}} & ∏ C_{i} \ar[d]_{p_{C_{j}}} \\ A_{j} \ar[r]_{f_{j}} & B_{j} \ar[r]_{g_{j}} & C}

Dôsledok 1. ∏ id_{A_{i}} = id_{∏ A_{i}}.

Dôkaz. p_{j} ∘ ∏ id_{A_{i}} = id_{A_{j}} ∘ p_{j} = p_{j} = p_{j} ∘ id_{∏ A_{j}} pre všetky j ∈ I. Keďže produkt je monozdroj, tak z toho dostaneme ∏ id_{A_{i}} = id_{∏ A_{i}}.

Tvrdenie 15. (i) Ak f_{i} je retrakcia pre každé i ∈ I, tak ∏ f_{i} je retrakcia. (Súčin retrakcií je retrakcia).

(ii) Ak f_{i} je koretrakcia pre každé i ∈ I, tak ∏ f_{i} je koretrakcia. (Súčin koretrakcií je koretrakcia).

(iii) Ak f_{i} je izomorfizmus pre každé i ∈ I, tak ∏ f_{i} je izomorfizmus. (Súčin izomorfizmov je izomorfizmus).

(iv) Ak f_{i} je monomorfizmus pre každé i ∈ I, tak ∏ f_{i} je monomorfizmus. (Súčin monomorfizmov je monomorfizmus).

Dôkaz. (i): Ak f_{j} ∘g_{j} = id_{A_{j}}, tak podľa predchádzajúcej lemy a dôsledku ∏ f_{j} ∘ ∏ g_{j} = id_{∏ A_{j}}. (ii) sa ukáže úplne analogicky ako (i) a (iii) vyplýva z (i) a (ii).

(iv): Označme m = ∏ m_{i}. Nech f, g: C → ∏ A_{i} sú také, že m ∘ f = m ∘ g.

\xymatrix{C \ar[r]^{f} \ar[r]_{g} & ∏ A_{i} \ar[r]^{m=∏ m_{i}} \ar[d]_{p_{j}} & ∏ B_{i} \ar[d]^{q_{j}} \\  & A_{j} \ar@{^{(}->}[r]_{m_{j}} & B_{j}}

Potom m_{j} ∘ p_{j} ∘ f = q_{j} ∘ m = f = q_{j} ∘ m ∘ g = m_{j} ∘ p_{j} ∘ g. Pretože m je monomorfizmus, tak potom p_{j} ∘ f = p_{j} ∘ g. Vďaka tomu, že súčin je monozdroj, vyplýva z toho f = g.

Lema 3. Nech A má súčiny. Nech I je množina a e_{i}: E_{i} → A_{i} je A-ekvalizátor f_{i}, g_{i}: A_{i} → B_{i} pre každé i ∈ I. Potom ∏ e_{i}: ∏ A_{i} → ∏ B_{i} je ekvalizátor ∏ f_{i}, ∏ g_{i}: ∏ A_{i} → ∏ B_{i}.

Dôkaz.

\xymatrix{∏ E_{i} \ar[r]^{∏ e_{i}} \ar[d]_{π_{j}} & ∏ A_{i} \ar[r]^{∏ f_{i}} \ar[r]_{∏ g_{i}} \ar[d]^{p_{j}} & ∏ B_{i} \ar[d]^{q_{j}} \\ E_{j} \ar[r]^{e_{j}} & A_{j} \ar[r]^{f_{j}} \ar[r]_{g_{j}} & B_{j}}

Súčin je limita, a teda monozdroj. Preto z q_{j} ∘ ∏ f_{i} ∘ ∏ e_{i} = f_{j} ∘ e_{j} = q_{j} ∘ e_{j} = q_{j} ∘ ∏ g_{i} ∘ ∏ e_{i} pre všetky j ∈ I dostaneme, že ∏ f_{i} ∘ ∏ e_{i} = ∏ g_{i} ∘ ∏ e_{i}.

Nech h: E → ∏ A_{i} je morfizmus taký, že ∏ f_{i} ∘ h = ∏ g_{i} ∘ h. Potom f_{j} ∘ p_{j} ∘ h = g_{j} ∘ p_{j} ∘ h pre všetky j ∈ I. Preto pre každé j ∈ I existuje morfizmus h_{j} taký, že p_{j} ∘ h = e_{j} ∘ h_{j} (využili sme, že (E_{j}, e_{j}) je ekvalizátor.) Potom pre ⟨f_{i}⟩: E → ∏ E_{i} platí p_{j} ∘ ∏ e_{i} ∘ ⟨h_{i}⟩ = e_{j} ∘ π_{j} ∘ ⟨h_{j}⟩ = e_{j} ∘ h_{j} = p_{j} ∘ h, teda ∏ e_{i} ∘ ⟨h_{i}⟩ = h. Jednoznačnosť takéhoto morfizmu vyplýva z toho, že ∏ e_{i} je monomorfizmus (predchádzajúce tvrdenie).

\xymatrix{∏ E_{i} \ar[rr]^{∏ e_{i}} \ar[dd]_{π_{j}} &  & ∏ A_{i} \ar[r]^{∏ f_{i}} \ar[r]_{∏ g_{i}} \ar[dd]^{p_{j}} & ∏ B_{i} \ar[dd]^{q_{j}} \\  & E \ar@{-->}[ul]_{⟨h_{i}⟩} \ar[dl]_{h_{j}} \ar@{-->}[ur]^{h} \\ E_{j} \ar[rr]^{e_{j}} &  & A_{j} \ar[r]^{f_{j}} \ar[r]_{g_{j}} & B_{j}}

Z tejto lemy ľahko vyplýva, že:

Tvrdenie 16. V kategórii, ktorá má súčiny platí, že ak f_{i} je regulárny monomorfizmus pre každé i ∈ I, tak ∏ f_{i} je regulárny monomorfizmus. (Súčin regulárnych monomorfizmov je regulárny monomorfizmus).

Duálny pojem k súčinu je kosúčin.

Definícia 27. Zdroj P = (p_{i}: A_{i} → P)_{i∈I} sa nazýva kosúčin ak pre každé ústie S = (f_{i}: A_{i} → A)_{i∈I} existuje jediný morfizmus f: P → A taký, že S = f ∘ P.

Pre kosúčin platia duálne tvrdenia ako pre súčin. Prehľad označení používaných pre kosúčin je v tabuľke

súčin  kosúčin
(∏ A_{i}, p_{j}) (i_{j}, ∐ A_{i})
projekcia p_{j} injekcia i_{j}
A × B  A ⊔ B
⟨f_{i}⟩  [f_{i}]
f × g  f ⊔ g
∏ f_{i}  ∐ f_{i}

0.1. ÚVOD DO KATEGÓRIÍ 13 Pushout a pullback Definícia 28. Diagram

\xymatrix{C \ar[r]^{f} \ar[d]_{g} & A \ar[d]^{\overline{g}} \\ B \ar[r]_{\overline{f}} & P}

sa nazýva pushout, ak komutuje a pre každý komutujúci diagram tvaru

\xymatrix{C \ar[r]^{f} \ar[d]_{g} & A \ar[d]^{ĝ} \\ B \ar[r]_{f̂} & P̂}

existuje jediný morfizmus k: P → P̂ taký, že komutuje diagram

\xymatrix{C \ar[r]^{f} \ar[d]_{g} & A \ar[d]_{\overline{g}} \ar[ddr]^{ĝ} \\ B \ar[r]^{\overline{f}} \ar[drr]|{f̂} & P \ar[dr]^{k} \\  &  & P̂}

Duálny pojem k pushoutu je pullback: Definícia 29. Diagram

\xymatrix{P \ar[r]^{\overline{f}} \ar[d]_{\overline{g}} & B \ar[d]^{g} \\ A \ar[r]_{f} & C}

sa nazýva pullback, ak komutuje a pre každý komutujúci diagram tvaru

\xymatrix{P̂ \ar[r]^{f̂} \ar[d]_{ĝ} & B \ar[d]^{g} \\ A \ar[r]_{f} & C}

existuje jediný morfizmus k: P̂ → P taký, že komutuje diagram

\xymatrix{P̂ \ar[dr]_{k} \ar[drr]^{f̂} \ar[ddr]_{ĝ} \\  & P \ar[r]_{\overline{f}} \ar[d]^{\overline{g}} & B \ar[d]^{g} \\  & A \ar[r]_{f} & C}

Pushout je kolimita diagramu

\xymatrix{• \ar[r] \ar[d] & • \\ •}

Pullback je limita duálneho diagramu.

Niektoré tvrdenia budeme formulovať pre pushout a niektoré pre pullback, vždy samozrejme platí aj duálne tvrdenie.

Tvrdenie 17 (Kanonická konštrukcia pushoutu). Nech f:C →A, g:C → B sú morfizmy, A ⊔ B je kosúčin s injekciami q_{A}: A → A ⊔ B, q_{B}: B → A ⊔ B. Nech c: A ⊔ B → P je c = Coeq(q_{A} ∘ f, q_{B} ∘ f). Potom

\xymatrix{C \ar[r]^{f} \ar[d]_{g} & A \ar[d]^{c∘q_{A}} \\ B \ar[r]_{c∘q_{B}} & P}

je pushout.

Dôkaz.

\xymatrix{C \ar[dd]_{g} \ar[rr]^{f} &  & A \ar[dd]^{h_{1}} \ar[dl]^{q_{A}} \\  & A ⊔ B \ar[dr]^{h} \\ B \ar[ur]^{q_{B}} \ar[rr]_{h_{2}} &  & H}

Nech h_{1} : A → H, h_{2} : B → H a h_{2} ∘ g = h_{1} ∘ f a h = [h_{1}, h_{2}]: A ⊔ B → H. Pre h platí h ∘ q_{A} ∘ f = h_{1} ∘ f = h_{2} ∘ g = h ∘ q_{b} ∘ g a z definície koekvalizátora máme, že existuje morfizmus k: P → H taký, že h = k ∘ c. Jednoznačnosť existencie takéhoto morfizmu vyplýva z toho, že c ∘ q_{A}, c ∘ q_{B} ako zloženie epiústí je epiústie.

Tvrdenie 18 (Konštrukcia ekvalizátorov pomocou súčinov a pullbackov). Ak f, g: A → B sú morfizmy, (A × B, π_{A}, π_{B}) je súčin A a B, a

\xymatrix{P \ar[r]^{p_{1}} \ar[d]_{p_{2}} & A \ar[d]^{id_{A}×f} \\ A \ar[r]_{id_{A}×g} & A × B}

je pullback, tak p_{1} = p_{2} je ekvalizátor f a g.

Dôkaz. Pretože (id_{A} × f) ∘ p_{1} = (id_{A} × g) ∘ p_{2}, máme

p_{1} = π_{A} ∘ (id_{A} × f) ∘ p_{1} = π_{A} ∘ (id_{A} × g) ∘ p_{2} = p_{2}.

Nech k: K → A je morfizmus taký, že f ∘ k = g ∘ k. Potom

π_{B} ∘ (id_{A} × f) ∘ k = π_{B} ∘ (id_{A} × g) ∘ k a
π_{A} ∘ (id_{A} × f) ∘ k = π_{A} ∘ (id_{A} × g) ∘ k.

Pretože súčin je monozdroj, dostaneme (id_{A} × f) ∘ k = (id_{B} × f) ∘ k, a pretože uvedený diagram je pullback, existuje jediné h: K → P také, že k = p_{1} ∘ h.

Definícia 30. Trieda morfizmov M sa nazýva uzavretá na tvorbu pullbackov, ak pre každý pullback

\xymatrix{P \ar[r]^{\overline{f}} \ar[d]_{\overline{g}} & B \ar[d]^{g} \\ A \ar[r]_{f} & C},

ak f ∈ M, tak aj \overline{f} ∈ M.

Tvrdenie 19. Monomorfizmy, regulárne monomorfizmy a retrakcie sú uzavreté na tvorbu pullbackov.

Dôkaz. Nech f je monomorfizmus a predchádzajúci diagram je pullback.

(i) Nech h, k: Q → P sú morfizmy také, že \overline{f} ∘ h = \overline{f} ∘ k, tak \overline{g} ∘ h = \overline{g} ∘ k. Pretože pullback je monozdroj, vyplýva z toho už h = k.

(ii) Nech f je ekvalizátor p a q. Potom (p ∘ g) ∘ \overline{f} = (q ∘ g) ∘ \overline{f}. Chceme ukázať, že \overline{f} je ekvalizátor p ∘ g a q ∘ g. Nech t: Q → B je morfizmus taký, že (p∘g)∘t = (q∘g)∘t. Potom podľa definície ekvalizátora existuje nejaké u: Q → A také, že f ∘ u = g ∘ t. Potom podľa definície pullbacku existuje nejaké h: Q → P také, že t = \overline{f} ∘ h. Jednoznačnosť h vyplýva z toho, že \overline{f} je monomorfizmus.

(iii) Ak f je retrakcia, tak existuje nejaké s: C → A také, že f ∘ s = id_{C}. Potom f ∘ (s ∘ g) = g ∘ id_{B} a podľa definície pullbacku existuje nejaké h: B → P také, že id_{B} = \overline{f} ∘ h.

Prieniky a koprieniky

Definícia 31. Nech (A_{i}, m_{i})_{i∈I} je systém podobjektov objektu A. Potom usporiadaná dvojica (M, m), kde m: M → A je morfizmus, sa nazýva prienikom systému (A_{i}, m_{i})i ∈ I, ak

(i) pre každé i ∈ I existuje d_{i}: M → A_{i} tak, že m_{i} ∘ d_{i} = m,

(ii) pre ľubovoľnú usporiadanú dvojicu (K, k), kde k: K → A je morfizmus taký, že pre každé i ∈ I existuje morfizmus k_{i}: K → A_{i} a m_{i} ∘ k_{i} = k, existuje práve jeden morfizmus h: K → M taký, že m ∘ h = k.

Označujeme (M, m) = ⋂_{i∈I}(A_{i}, m_{i}).

\xymatrix{A_{i} \ar[rr]^{m_{i}} &  & A \\  & M \ar[ul]^{d_{i}} \ar[ur]_{m} \\  & K \ar[uul]|{k_{i}} \ar@{-->}[u]_{!h} \ar[uur]_{k}}

Prienik možno interpretovať ako limitu diagramu A_{i} ⟶^{m_{i}} A.

[figure: •; •; …; •; •; I; •]

Tvrdenie 20. Ak (A_{1}, m_{1}), (A_{2}, m_{2}) sú podobjekty B, tak prienik je diagonálny morfizmus pullbacku A_{1} ⟶^{m_{1}} B ⟵^{m_{2}} A_{2}.

Dôkaz. Vyplýva priamo z definície.

Veta 2. Ak (M, m) = ⋂_{i∈I}(A_{i}, m_{i}), m_{i}: A_{i} → A, tak (M, m) je podobjekt A.

Ak (A_{i}, m_{i}) sú regulárne podobjekty a kategória A má súčiny, tak aj (M, m) je regulárny podobjekt A.

Dôkaz. Keďže prienik sme interpretovali ako limitu, tak (M, (d_{i})_{i∈I}, m) je monozdroj. m ∘ r = m ∘ s ⇒ m_{i} ∘ d_{i} ∘ r = m_{i} ∘ d_{i} ∘ s ⇒ d_{i} ∘ r = d_{i} ∘ s. Keď platí m ∘ r = m ∘ s, d_{i} ∘ r = d_{i} ∘ s tak aj r = s (vďaka tomu, že prienik je monozdroj).

Nech m_{i} = Eq(f_{i}, g_{i}), f_{i}, g_{i}: A → C_{i}. ∏ C_{i} nech je súčin a p_{i}: ∏ C_{i} → C_{i} projekcie. Označme f = ⟨f_{i}⟩: A → ∏ C_{i}, g = ⟨g_{i}⟩: A → ∏ C_{i}. Tvrdíme, že m = Eq(f, g).

\xymatrix{A_{i} \ar[dr]^{m_{i}} &  & ∏ C_{i} \ar[dd]^{p_{i}} \\  & A \ar[ur]_{f} \ar[ur]^{g} \ar[dr]_{f_{i}} \ar[dr]^{g_{i}} \\ M \ar[uu]^{d_{i}} \ar@{-->}[ur]_{m} &  & C_{i}}

p_{i} ∘f ∘m = p_{i} ∘m_{i} ∘d_{i} = f_{i} ∘m_{i} ∘d_{i} = g_{i} ∘m_{i} ∘d_{i} = p_{i} ∘g ∘m_{i} ∘d_{i} = p_{i} ∘g ∘m ⇒ f ∘ m = g ∘ m (lebo súčin je extrémny monozdroj).

Nech t: C → A je morfizmus taký, že f ∘ t = g ∘ t. Potom p_{i} ∘ f ∘ t = p_{i} ∘ g ∘ t t.j. f_{i} ∘ t = g_{i} ∘ t pre všetky i. Pretože m_{i} je ekvalizátor f_{i} a g_{i}, tak pre každé i ∈ I existuje jediný morfizmus c_{i}: C → A_{i} taký, že m_{i} ∘ c_{i} = t. Podľa definície prieniku potom existuje jediný morfizmus h: C → D taký, že m ∘ h = t.

Duálny pojem k prieniku sa nazýva koprienik.

Ďalšie limity Ekvalizátor dvojice morfizmov môžeme interpretovať ako limitu diagramu so schémou \xymatrix{• \ar[r] \ar[r] & •}.

Terminálny objekt možno chápať ako limitu prázdneho diagramu.

Definícia 32. Usmernená kolimita (nazývaná tiež induktívna limita) je kolimita diagramu, ktorého schéma je nahor usmernená množina interpretovaná ako kategória (príklad 3).

0.1.5 Úplnosť a koúplnosť

Definícia 33. Hovoríme, že kategória A

(i) má súčiny, ak pre každý systém (indexovaný množinou) A-objektov existuje súčin v A.

(ii) má konečné súčiny, ak pre každý konečný systém A-objektov existuje súčin v A.

(iii) má ekvalizátory, ak pre každú dvojicu morfizmov s rovnakým oborom a kooborom existuje ekvalizátor v A.

(iv) má pullbacky, ak pre každú dvojicu morfizmov s rovnakým kooborom existuje pullback v A.

(v) má prieniky, ak pre každý A-objekt A a každý systém jeho podobjektov existuje prienik.

(vi) má konečné prieniky, ak pre každý A-objekt A a každý konečný systém jeho podobjektov existuje prienik.

Duálne pojmy: Kat A má (konečné) kosúčiny, koekvalizátory, pushouty, (konečné) prieniky.

Definícia 34. Kategória A sa nazýva úplná, ak pre každý malý diagram (t.j. taký, ktorého schéma je malá kategória) existuje v A limita.

Dôkaz ďalšej vety je súčasne dôkazom, že ľubovoľnú limitu možno zostrojiť pomocou súčinov a ekvalizátorov (a duálne ľubovoľnú kolimitu pomocou kosúčinov a koekvalizátorov).

Veta 3. Pre kategóriu A sú nasledovné podmienky ekvivalentné:

(i) A je úplná,

(ii) A má súčiny a ekvalizátory,

(iii) A má súčiny a konečné prieniky.

Dôkaz. (i) ⇒ (iii) vyplýva z toho, že súčiny a prieniky sú limity malých diagramov.

(iii) ⇒ (ii) vyplýva z tvrdenia 18 a tvrdenia 20.

(ii) ⇒ (i) Nech kategória A má súčiny a ekvalizátory, a nech D: I → A je malý diagram. Pre každý I-morfizmus t: i → j položme d(t) = i a c(t) = j. Nech ∏_{i∈Ob(I)} D_{i} a ∏_{t∈Mor (A)} D_{c(t)} sú súčiny s projekciami π_{j}: ∏_{i∈Ob(I)} D_{i} → D_{j},

π̂: ∏_{t∈Mor (I)} D_{c(t} → D_{c(s)}. Pre každé t ∈ Mor(I) máme teda dvojicu morfizmov

π_{c(t)}, Dt∘π_{d(t)} : ∏_{i∈Ob(I)} → D_{c(t)}, môžeme teda definovať dvojicu morfizmov f =

⟨D_{t}∘π_{d(t)}⟩, g = ⟨π_{c(t)}⟩, f, g: ∏_{i∈Ob(I)} D_{i} → ∏_{t∈Mor (I)} D_{c(t)}. Nech e: E → ∏_{i∈Ob(I)} D_{i}

je ekvalizátor tejto dvojice a pre každé i ∈ Ob(I) e_{i} = π_{i} ∘ e. Tvrdíme, že (E, e_{i})_{i∈Ob(I)} je limita diagramu D v A.

Najprv overme, že je to prirodzený zdroj pre D. Nech s: i → j je I-morfizmus. Potom e_{j} = π_{j} ∘e = π_{c(s)}∘e = π̂_{s}∘⟨π_{c(t)}⟩∘e = π̂_{s}∘⟨D_{t}∘π_{d(t)}⟩∘e = D_{s}∘π_{d(s)}∘e = D_{s} ∘ π_{i} ∘ e = D_{s} ∘ e_{i}.

\xymatrix{E \ar[r]^{e} \ar[dr]_{e_{i}} & ∏_{i∈Ob(I)} D_{i} \ar[d]^{π_{i}} \ar[r]_{⟨D_{t}∘π_{d(t)} ⟩} \ar[r]^{⟨π_{c(t)} ⟩} & ∏_{t∈Mor (I)} D_{c(t)} \ar[d]^{π̂_{s}} \\  & D_{i} \ar[r]_{D_{s}} & D_{c(s)}}

Nech (K, k_{i}) je prirodzený zdroj vzhľadom na D a nech k = ⟨k_{i}⟩: K → ∏_{i∈Ob(I)} D_{i}. Keďže je to prirodzený zdroj, pre každé s ∈ Mor(I) platí k_{c(s)} =

D_{s} ∘ k_{d(s)}. Potom π̂_{s} ∘ ⟨π_{c(t)}⟩ ∘ k = π_{c(s)} ∘ k = k_{c(s)} = D_{s} ∘ k_{d(s)} = D_{s} ∘ π_{d(s)} ∘ k = π̂(s) ∘ ⟨D_{t} ∘ π_{d(t)}⟩ ∘ k.

\xymatrix{E \ar[r]^{e} & ∏_{i∈Ob(I)} D_{i} \ar[d]^{π_{i}} \ar[r]_{⟨D_{t}∘π_{d(t)} ⟩} \ar[r]^{⟨π_{c(t)} ⟩} & ∏_{t∈Mor (I)} D_{c(t)} \ar[d]^{π̂_{s}} \\ K \ar[u]^{k′} \ar[ur]_{k} \ar[r]_{k_{i}} & D_{i} \ar[r]_{D_{s}} & D_{c(s)}}

To znamená, že ⟨π_{c(t)}⟩ ∘ k = ⟨D_{t} ∘ π_{d(t)}⟩ ∘ k, a pretože (E, e) je ekvalizátor, existuje jediné k′: K → E také, že k = e ∘ k′. Potom e_{i} ∘ k′ = k a jednoznačnosť k′ zabezpečí to, že e_{i} je zloženie dvoch (extrémnych) monozdrojov, teda je to monozdroj.

0.1.6 Faktorizácie

Definícia 35. Nech E (M) je trieda epimorfizmov (monomorfizmov) uzavretá na skladanie s izomorfizmami v kategórii A. Hovoríme, že A je (E, M)-fakto-rizovateľná, ak pre každý A-morfizmus f existujú e ∈ E a n ∈ M také, že f = m ∘ e.

A sa nazýva jednoznačne (E,M)-faktorizovateľná kategória, ak navyše požadujeme, že (E, M)-faktorizácia je jednoznačná až na izomorfizmus v tom zmysle, že ak f = m ∘ e = m′ ∘ e′, e, e′ ∈ E, m, m′ ∈ M, sú rôzne (E, M)-faktorizácie, tak existuje izomorfizmus taký, že diagram

\xymatrix{• \ar[r]^{e} \ar[d]_{e′} & • \ar[d]^{m} \ar@{-->}[dl]_{j} \\ • \ar[r]_{m′} & •}

komutuje.

A je (E, M)-kategória, ak je jednoznačne (E, M)-faktorizovateľná a navyše E a M sú uzavreté vzhľadom na skladanie.

Ak špeciálne zvolíme za E triedu všetkých epimorfizmov a za M triedu všetkých extrémnych monomorfizmov v A, tak dostaneme pojmy (epi,extrémne mono)-faktorizovateľná kategória, jednoznačne (epi,extrémne mono)-faktorizo-vateľná kategória a (epi,extrémne mono)-kategória.

Duálne pojmy k týmto pojmom dostaneme, ak položíme za E triedu všetkých extrémnych epimorfizmov a za M triedu všetkých monomorfizmov: (extrémne epi, mono)-faktorizovateľná kategória, jednoznačne (extrémne epi,mono)-fakto-rizovateľná kategória, (extrémne epi, mono)-kategória.

Definícia 36. Ak E(M) je trieda epimorfizmov (monomorfizmov) uzavretá na skladanie s izomorfizmami, tak hovoríme, že B je E-kvocient (M-podobjekt) objektu A, ak existuje morfizmus e: A → B (m: B → A) také, že e ∈ E (m ∈ M).

Tvrdenie 21. Ak C je (E, M)-faktorizovateľná kategória, tak sú ekvivalentné tieto podmienky:

(i) C je (E, M)-kategória

(ii) Pre každý komutatívny diagram v C

\xymatrix{• \ar[r]^{e} \ar[d]_{g} & • \ar[d]^{h} \\ • \ar[r]_{m} & •}

taký, že e ∈ E a m ∈ M, existuje C-morfizmus k taký, že diagram

\xymatrix{• \ar[r]^{e} \ar[d]_{g} & • \ar[d]^{h} \ar@{-->}[dl]_{k} \\ • \ar[r]_{m} & •}

komutuje. ((E, M)-diagonálna vlastnosť)

Dôkaz. ⇒ Nech g = m′ ∘ e′ a h = m′′ ∘ e′′ sú (E, M)-faktorizácie morfizmov g a h a nech f = h ∘ e = m ∘ g. Potom f = m′′ ∘ (e′′ ∘ e) a f = (m ∘ m′) ∘ e′ sú dve (E, M)-faktorizácie f. Potom existuje izomorfizmus j taký, že diagram

\xymatrix{• \ar[rrr]^{e} \ar[dr]^{e′} \ar[dd]_{g} &  &  & • \ar[dd]^{h} \ar[dl]_{e′′} \\  & • \ar[dl]_{m′} & • \ar@{-->}[l]_{j} \ar[dr]^{m′′} \\ • \ar[rrr]_{m} &  &  & •}

komutuje. Potom k = m′ ∘ j ∘ e′′ je hľadaný diagonálny morfizmus.

⇐

(i) Ak f = m ∘ e = m ∘ e′ sú (E, M)-faktorizácie morfizmu f, tak existujú morfizmy k a k′ také, že diagramy

\xymatrix{• \ar[r]^{e} \ar[d]_{e′} & • \ar[d]^{m} \ar@{-->}[dl]_{k} & • \ar[r]^{e′} \ar[d]_{e} & • \ar[d]^{m′} \ar@{-->}[dl]_{k′} \\ • \ar[r]_{m′} & • & • \ar[r]_{m′} & •}

komutujú. Pretože e je epimorfizmus z id ∘ e = e = (k′ ∘ k) ∘ e vyplýva, že id = k′ ∘ k a pretože e′ je epimorfizmus z id ∘ e′ = e′ = (k ∘ k′) ∘ e′ vyplýva, že id = k′ ∘ k. Teda k je izomorfizmus. Tým sme ukázali, že C je jednoznačne (E, M)-faktorizovateľná.

(ii) Ak m_{1}, m_{2} ∈ M sú také, že sa dajú skladať, overme či aj m_{2} ∘ m_{1} ∈ M. Nech m_{2} ∘ m_{1} = m ∘ e je (E, M)-faktorizácia ich zloženia. Potom musí podľa (ii) existovať morfizmus k taký, že diagram

\xymatrix{• \ar[r]^{e} \ar[d]_{m_{1}} & • \ar[d]^{m} \ar@{-->}[dl]_{k} \\ • \ar[r]_{m_{2}} & •}

komutuje. Tiež existuje k′ také, že diagram

\xymatrix{• \ar[r]^{e} \ar[d]_{id} & • \ar[d]^{k} \ar@{-->}[dl]_{k′} \\ • \ar[r]_{m_{1}} & •}

komutuje. Pretože k′ ∘ e = id, e je koretrakcia. e je súčasne epimorfizmus, teda e je izomorfizmus. m ∈ M, preto aj m_{2} ∘ m_{1} = m ∘ e ∈ M.

(iii) Uvažujme opäť (E, M)-faktorizáciu e_{2} ∘ e_{1} = m ∘ e. Podľa predpokladu existuje k také, že komutuje diagram

\xymatrix{• \ar[r]^{e_{1}} \ar[d]_{e} & • \ar[d]^{e_{2}} \ar@{-->}[dl]_{k} \\ • \ar[r]_{m} & •} .

Potom tiež existuje k′ také, že komutuje diagram

\xymatrix{• \ar[r]^{e_{2}} \ar[d]_{k} & • \ar[d]^{id} \ar@{-->}[dl]_{k′} \\ • \ar[r]_{m} & •} .

Teda m ∘ k′ = id, čo znamená, že k′ je retrakcia. k′ je retrakcia aj monomorfizmus, musí to teda byť izomorfizmus. Keďže E je uzavretá na skladanie s izomorfizmami, tak e_{2} ∘ e_{1} = m ∘ e ∈ E.

Lema 4. Nech A je (E, M)-kategória, e, f, m sú A-morfizmy, e ∈ E, m ∈ M, m = f ∘ e. Potom e je izomorfizmus.

Dôkaz. Podľa (E, M)-diagonálnej podmienky existuje morfizmis g taký, že diagram

\xymatrix{• \ar[r]^{e} \ar[d]_{id} & • \ar[d]^{f} \ar@{-->}[dl]_{g} \\ • \ar[r]_{m} & •}

komutuje. Keďže g ∘ e = id, tak e je koretrakcia. e je súčasne epimorfizmus, preto e je izomorfizmus.

Tvrdenie 22. Ak C je (E, M)-kategória a m_{i} ∈ I, tak ⊓m_{i} ∈ M.

Dôkaz. Označme m = ⊓m_{i}. Nech m = m′ ∘ e je (E, M)-faktorizácia m, pričom e: ⊓ X_{i} → Z, m′: Z → ⊓Y_{i} Podľa (E, M)-diagonálnej vlastnosti existuje pre každé i ∈ I morfizmus h_{i} taký, že h_{i} ∘ e = p_{i} a m_{i} ∘ h_{i} = q_{i} ∘ m′. Podľa definície súčinu potom existuje h: Z → ⊓X_{i} také, že h ∘ p_{i} = h_{i}.

[figure: ⊓X_{i}; m; p_{i}; e; ⊓Y_{i}; q_{i}; h; m′; h_{i}; X_{i}; m_{i}; Y_{i}]

Pretože p_{i} ∘ id_{⊓X_{i}} = p_{i} − h_{i} ∘ e = p_{i} ∘ h ∘ e, máme h ∘ e = id_{⊓X_{i}}. e je teda epimorfizmus a retrakcia, čiže izomorfizmus. m′ ∈ M a M je uzavretá na skladanie s izomorfizmami, teda m ∈ M.

0.1.7 Kategórie Top a Haus

Špeciálne morfizmy

Tvrdenie 23. V kategóriách Top a Haus sú monomorfizmy práve prosté spojité zobrazenia. V Top sú epimorfizmy práve surjektívne spojité zobrazenia. V Haus sú epimorfizmy práve husté spojité zobrazenia. (Spojité zobrazenie f: X → Y je husté, ak \overline{f[X]}= Y.)

Dôkaz. Najprv ukážeme, že f je Top (Haus )-monomorfizmus ⇔ f je prosté. Nech f: X → Y je Top -monomorfizmus a f(a) = f(b). Zoberme zobrazenia g a h z jednoprvkového topologického priestoru {0} do X, pričom g(0) = a a f(0) = b. Keďže f ∘ g = f ∘ h, tak z definície monomorfizmu musí byť aj a = b. Naopak, nech f: X → Y je prosté. Ak f ∘ g = f ∘ h tak pre každé x ∈ X f(g(x)) = f(h(x)) a z injektívnosti f potom vyplýva g(x) = h(x), teda g = h.

Ďalej ukážme, že Top -epimorfizmy sú práve surjektívne spojité zobrazenia. Nech by f: X → Y, ktoré nie je surjektívne, bol Top -epimorfizmus. Zoberme dvojprvkový indiskrétny priestor I = {0, 1}. Zvolíme 2 zobrazenia g, h: Y → I tak, že g ≡ 0 a h|_{f(X}) ≡ 0, h|_{Y −f(X)} ≡ 1. Tieto zobrazenia sú spojité, lebo každé zobrazenie do indiskrétneho priestoru je spojité. Navyše platí g ∘f = h∘f a g ≠ h (Y \ f(X) ≠ ∅, lebo f nie je surjektívne), čo je spor s predpokladom, že f je epimorfizmus. Opačná implikácia vyplýva z lemy 6.

Haus -epimorfizmy sú práve husté spojité zobrazenia. Jeden smer vyplýva z nasledujúcej lemy a jej dôsledku. Opačný smer vyplýva z lemy 6.

Lema 5. Pre každé dve spojité zobrazenia f, g: X → Y, kde Y je hausdorffovský, je množina {x ∈ X|f(x) = g(x)} uzavretá.

Dôkaz. Ukážeme, že A = {x ∈ X|f(x) ≠ g(x)} je otvorená. Ak f(x) ≠ g(x), tak existujú otvorené množiny U a V také, že f(x) ∈ U, g(x) ∈ V a U ∩ V = ∅. Potom f^{−1}(U) ∩ g^{−1}(V) je otvorené okolie x, ktoré leží pod A.

Dôsledok 2. Ak f, g: X → Y sú spojité, Y je hausdorffovský a f|_{A} = g|_{A} pre nejakú množinu A hustú v X, tak f = g.

Lema 6. Ku každému (T_{2}−)priestoru Y a každému (uzavretému) podpriestoru U ⊆ Y existujú (T_{2}-)priestor Q a spojité zobrazenia r, s: Y → Q také, že U = {y ∈ Y |r(y) = s(y)}.

Dôkaz. Q dostaneme tak, že v Y ⊔ Y stotožníme U v oboch kópiách priestoru Y. Teda Q bude faktorový priestor Y ⊔ Y podľa relácie ekvivalencie definovanej x ∼ y ⇔ x = y ∨u_{1}^{−1}(x) = u_{2}^{−1}(y) ∈ U ∨u_{1}^{−1}(y) = u_{2}^{−1}(x) ∈ U, kde u_{1}, u_{2} : Y → Y ⊔ Y sú vloženia. Ak Y je T_{2} a Q je uzavretá, tak dostaneme opäť T_{2}-priestor. (Dva body toho istého sčítanca, ktoré sa v ňom dajú oddeliť pomocou U a V, oddelíme vo faktorovom topologickom priestore otvorenými množinami u_{i}(U) a u_{i}(V). Ak sú z rôznych sčítancov (t.j. ani jeden nemôže byť z U), tak ich oddelia 2 kópie množiny Y \ U.) Ak označíme h: Y ⊔ Y → Q, h = [u_{1}, u_{2}] tak za r a s spĺňajúce vlastnosti z tvrdenia lemy možno zvoliť r = h ∘ u_{1} a s = h ∘ u_{2}.

Tvrdenie 24. f je Top (Haus )-izomorfizmus práve vtedy, keď f je homeomorfizmus.

Definícia 37. Podpriestor A topologického priestoru Y sa nazýva retrakt topologického priestoru Y, ak existuje spojité zobrazenie r: Y → A, ktoré ponecháva na mieste každý bod A (t.j. r ∘ i = id_{A}; kde i je vloženie). Takéto zobrazenie r sa nazýva topologická retrakcia.

Tvrdenie 25. f je Top -koretrakcia práve vtedy, keď f je topologické vloženie a f[X] je retrakt, čiže koretrakcie v Top sú (až na homeomorfizmus) práve vloženia retraktov. f je retrakcia v Top práve vtedy, keď existuje topologická retrakcia r a homeomorfizmus h, že f = h ∘ r, t.j. retrakcie sú (až na homeomorfizmus) topologické retrakcie.

Dôkaz. Nech f: A → X, g: X → A, g ∘ f = id_{A}. Potom f: A → f[A] je bijektívne a pre U ⊆ A je f[U] = g^{−1}(U) otvorená, tzn. f je homeomorfizmus medzi A a podpriestorom X, teda f je vloženie. Pritom komutuje diagram

\xymatrix{A \ar[r]^{f} & f[A] \ar[l]^{f^{−1}} \ar@{^{(}->}[r]^{i} & X \ar[l]^{f∘g}}

Označme r = f ∘g. Potom r∘i = f ∘(g ∘i) = f ∘f^{−1} = id_{f[A]}. Teda f je vloženie a f[A] je retrakt. Tiež g je (až na homeomorfizmus) retrakcia, lebo f: A → f[A] je homeomorfizmus.

Keďže Haus je plná podkategória Top , tak retrakcie a koretrakcie v Haus sú tie isté ako v Top .

Tvrdenie 26. Nech X, Y ∈ Top (X, Y ∈ Haus ) a f, g: X → Y sú spojité. Potom ekvalizátor f a g v Top (Haus ) je podpriestor Z = {x ∈ X: f(x) = g(x)} priestoru X spolu s vložením i: Z ↪ X.

Dôkaz. Platnosť f ∘ i = g ∘ i je zrejmá. Nech f ∘ h = g ∘ h pre nejaké spojité zobrazenie f: Z → X. Potom musí platiť h[X] ⊆ Z. Ak teda vezmeme \overline{h}: Z′ → X, \overline{h}(x) = h(x), tak platí i∘\overline{h} = h. Jednoznačnosť takéhoto morfizmu zabezpečí fakt, že i je monomorfizmus.

\xymatrix{Z \ar@{^{(}->}[r]^{i} & X \ar[r]^{f} \ar[r]_{g} & Y \\ Z′ \ar@{-->}[u]^{\overline{h}} \ar[ur]_{h}}

Tvrdenie 27. Nech X, Y ∈ Top (X, Y ∈ Haus ) a f, g: X → Y sú spojité. Označme R reláciu ekvivalencie na Y určenú tým, že f(x)Rg(x) pre všetky x ∈ X. Nech Y/R je faktorový priestor a p: Y → Y/R prirodzená projekcia. Potom (p, Y/R) je koekvalizátor dvojice f, g.

Dôkaz. Pre každé x ∈ X platí f(x)Rg(x), z čoho vyplýva p(f(x)) = p(g(x)), teda p ∘ f = p ∘ g.

Nech h: Y → Y′ je spojité zobrazenie také, že h ∘ f = h ∘ g. Definujme potom \overline{h}: Y/R → Y′ predpisom \overline{h}(p(y)) = h(y). Aby sme ukázali, že tento predpis dobre definuje zobrazenie treba overiť, či platí y_{1}Ry_{2} ⇒ h(y_{1}) = h(y_{2}). Označme R′ = {(y_{1}, y_{2}): h(y_{1}) = h(y_{2})}. Zrejme R′ je relácia ekvivalencie a pre každé x ∈ X platí f(x)R′g(x). Keďže R je najmenšia relácia ekvivalencie s týmito vlastnosťami, tak R ⊆ R′, čo je vlastne implikácia, ktorú sme chceli dokázať. Spojitosť \overline{h} vyplýva z toho, že \overline{h} ∘ p = h je spojité a p je faktorové zobrazenie.

Ukázali sme teda, že existuje spojité zobrazenie také, že \overline{h} ∘ p = h. Jednoznačnosť takéhoto zobrazenia vyplýva z toho, že p je surjektívne, a teda je to epimorfizmus.

Tvrdenie 28. Nech f: A → B je Top (Haus )-morfizmus. Potom sú nasledovné podmienky ekvivalentné:

(i) f je vloženie (uzavreté vloženie),

(ii) f je regulárny monomorfizmus,

(iii) f je extrémny monomorfizmus.

(Pod uzavretým vložením sa rozumie, že f[A] je uzavretý podpriestor B, čo je ekvivalentné s tým, že vloženie f je uzavreté zobrazenie.)

Dôkaz. (i) ⇒ (ii) Ak v leme 6 položíme U = f[X], tak pre r, s, ktorých existenciu táto lema zaručuje platí f = Eq(r, s).

(ii) ⇒ (iii) Tvrdenie 10.

(iii) ⇒ (i) Nech U = f[X] (resp. U = \overline{f[X]}) a h: U → Y je vloženie (resp. uzavreté vloženie). Potom existuje práve jedno spojité zobrazenie g: X → U také, že h ∘ g = f a g je surjektívne (husté), je to teda epimorfizmus. Potom g musí byť izomorfizmus (lebo f je extrémny monomorfizmus). Potom aj f = h∘g je vloženie (uzavreté vloženie).

Tvrdenie 29. Nech f: A → B je Top (Haus )-morfizmus. Potom sú nasledovné podmienky ekvivalentné:

(i) f je faktorové zobrazenie,

(ii) f je regulárny epimorfizmus,

(iii) f je extrémny epimorfizmus.

Dôkaz. (i) ⇒ (ii) Nech X × X je súčin s projekciami p_{i} a k = Eq(f ∘ p_{1}, f ∘ p_{2}). Tvrdíme, že potom f = Coeq(p_{1}∘k, p_{2}∘k). Podľa tvrdenia 26 a vety 13 hovoriacej o jednoznačnosti limít, môžeme predpokladať, že k: K ↪ X × X je vloženie, pričom K = {(x, y) ∈ X × X: f(x) = f(y)}. Overme, či (f, Y) má vlastnosti koekvalizátora.

Rovnosť f ∘ p_{1} ∘ k = f ∘ p_{2} ∘ k je zrejmá. Nech platí g ∘ p_{1} ∘ k = g ∘ p_{2} ∘ k pre nejaký morfizmus g: X → Z. Potom zrejme platí implikácia f(x) = f(y) ⇒ g(x) = g(y). Z toho vyplýva, že môžeme nájsť \overline{g}: Y → Z tak, aby \overline{g} ∘ f = g.

\xymatrix{ &  &  & Z \\ K \ar@{^{(}->}[r]^{k} & X × X \ar[r]^{p_{1}} \ar[r]_{p_{2}} & X \ar[r]_{f} \ar[ur]^{g} & Y \ar@{-->}[u]_{\overline{g}}}

(ii) ⇒ (iii) Tvrdenie 10.

(iii) ⇒ (i) Na Z = f[X] definujeme topológiu, ktorá je faktorová vzhľadom na zobrazenie g: X → Z, ktoré je zúžením f. Nech h: Z → Y je zobrazenie také, že h|_{Z} = id_{Z}. Potom f = h∘g a h je monomorfizmus. Potom h je izomorfizmus, lebo f je extrémny a keďže g je faktorové zobrazenie, aj f je faktorové zobrazenie.

Tvrdenie 30. f je konštantný morfizmus v Top (Haus ) práve vtedy, keď f je konštantné zobrazenie.

Špeciálne morfizmy

Tvrdenie 31. Každý neprázdny priestor v Top (Haus ) je generátor.

Dôkaz. Nech X ≠ ∅ a f, g: Y → Z sú nejaké morfizmy také, že f ≠ g. Potom existuje y ∈ Y také, že f(y) ≠ g(y). Pre konštantné zobrazenie h: X → Y, h(x) ≡ y potom platí f ∘ h ≠ g ∘ h, a konštantné zobrazenie je samozrejme spojité.

Limity a kolimity

Tvrdenie 32. Súčin v kategórii Top (Haus ) je topologický súčin topologických priestorov. Kosúčin v kategórii Top (Haus ) je topologický súčet topologických priestorov.

Keďže kategórie Top a Haus majú, ako sme videli, súčiny, ekvalizátory, kosúčiny a koekvalizátory, tak na základe vety 3 platí:

Tvrdenie 33. Kategórie Top a Haus sú úplné a koúplné.

V topológii sa definuje adjungovaný priestor takto:

Definícia 38. Nech X, Y sú topologické priestory, M ⊂ X je topologický podpriestor a f: M → Y je spojité. X ∪_{f} Y = (X ⊔ Y)/E, kde E je najmenšia ekvivalencia na X ∪ Y taká, že xEf(x) pre všetky x ∈ M.

Poznamenajme, že napríklad v [ENG] sa navyše požaduje, aby M bol uzavretý podpriestor X, my to vyžadovať nebudeme.

Keď porovnáme uvedenú definíciu s kanonickou konštrukciou pushoutu (trvdenie 17), vidíme, že ide o tú istú konštrukciu, s tým rozdielom, že pri pushoute nežiadame, aby m: M → X bolo vloženie, teda pushout je všeobecnejší. Platí teda tvrdenie:

Tvrdenie 34. Nasledujúci diagram je pushout:

\xymatrix{M \ar[r]^{f} \ar@{^{(}->}[d]_{m} & Y \ar[d]^{k} \\ X \ar[r]^{j} & X ∪_{f} Y}

Ak Y je jednobodový, tak X ∪_{f} Y ≅ X/M.

Nech i_{X}: X ↪ X ⊔ Y, i_{Y} : Y ↪ X ⊔ Y sú vloženia a q: X ⊕ Y → X ∪_{f} Y je prirodzená projekcia. Ich zloženia

j = qi_{X}: X → X ∪_{f} Y a k = qi_{Y} : Y → X ∪_{f} Y

sú spojité a množina C ⊂ X∪_{f} Y je otvorená (uzavretá) práve vtedy, keď j^{−1}(C) a k^{−1}(C) sú otvorené (uzavreté) v X resp. v Y.

[C je otvorená (uzavretá) v X ∪_{f} Y ⇔ q^{−1}(C) v X ⊕ Y ⇔ i_{X}^{−1}q^{−1}(C) v X a i_{Y}^{−1}q^{−1}(C) v Y ]

Ľahko sa overí, že:

j^{−1}k(B) = f^{−1}(B) a k^{−1}k(B) = B pre B ⊂ Y,  (1)
j^{−1}j(A) = A ∪ f^{−1}f(A ∩ M) a k^{−1}j(A) = f(A ∩ M) pre A ⊂ X.  (2)

[j^{−1}k(B) = prvky z X, ktoré sú ekvivalentné s prvkami z B = f^{−1}(B) k^{−1}k(B) = prvky z Y, ktoré sú ekvivalentné s prvkami z B = B j^{−1}j(A) = prvky z X, ktoré sú ekvivalentné s prvkami z A = A ∪ f^{−1}f(A) k^{−1}j(A) = prvky z Y, ktoré sú ekvivalentné s prvkami z A = f(A ∩ M)]

Na základe týchto vzťahov môžeme ukázať, že platí:

Tvrdenie 35. Nech X, Y sú topologické priestory, A ⊂ X, f: A → Y je faktorové zobrazenie. (Nepredpokladám uzavretosť A.) Potom k: Y ↪ X ∪_{f} Y je vloženie a j: X → X ∪_{f} Y je faktorové zobrazenie. Ak navyše M ⊆ Y je otvorený (uzavretý) podpriestor, tak k(Y) je otvorený (uzavretý) podpriestor.

Dôkaz. Nech U ⊂ Y je otvorená. Treba zistiť, či k(U) je otvorená v Y. Využitím (1) a (2) dostaneme, že k^{−1}(k[U]) = U je otvorená v Y a j^{−1}k(U) = f^{−1}(U) je otvorená v X, čiže k(U) je otvorená. Tým sme overili, že k je vloženie.

Overme tiež, či j je faktorové. Ak j^{−1}(U) je otvorená v X, tak f^{−1}k^{−1}(U) = j^{−1}(U) ∩ A je otvorená v A, čiže aj k^{−1}(U) je otvorená (f je faktorové). Keďže j^{−1}(U) aj k^{−1}(U) sú otvorené, U musí byť otvorená.

Ak platí, že M je otvorená (uzavretá) v Y, tak j^{−1}(k(Y)) = f^{−1}(Y) = M aj k^{−1}(k(Y)) = Y sú otvorené (uzavreté), teda aj k(Y) je uzavretá. otvorené (uzavreté)

Definícia 39. Nech A je usmernená množina a {R_{α}; α ∈ A} je systém navzájom topologických priestorov. Nech pre každú dvojicu α, β ∈ A takú, že α < β je dané spojité zobrazenie φ_{β}^{α}: R_{α} → R_{β} a platí φ_{γ}^{α} = φ_{β}^{α} ∘ φ_{γ}^{β} pre α < β < γ. Potom systém {R_{α}, φ_{β}^{α}; α, β ∈ A, α < β} nazývame usmernený (induktívny) systém topologických priestorov.

Nech R = ⨆_{α∈A} R_{α}, definujme na R ekvivalenciu tak, že p_{α} ∈ R_{α} a p_{β} ∈ R_{β}

sú ekvivalentné práve vtedy, keď φ_{γ}^{α}(p_{α}) = φ_{γ}^{β}(p_{β}) pre nejaké γ ∈ A. Potom faktorový priestor R^{∗} priestoru R vzhľadom na túto ekvivalenciu sa nazýva priama (induktívna, usmernená) limita systému {R_{α}, φ_{β}^{α}}. a označuje sa R^{∗} = \underrightarrow{lim}\{R_{α}, φ_{β}^{α}; α, β ∈ A, α < β\}.

Napríklad ak A = ℕ a φ_{n+1}^{n} sú vloženia, tak R^{∗} je priestor obsahujúci všetky R_{n} ako svoje podpriestory, každý z nich je induktívne vložený v nasledujúcom.

Vlastnosti kategórií Top a Haus

Lema 7. Ak X je hausdorffovský priestor a A ⊆ X, tak platí card \overline{A} ≤ 2^{2^{card A}}.

Dôkaz. Pre každé x ∈ \overline{A} definujme systém množín A(x) = \{U ⊆ A : x ∈ U a U je otvorená v A}. Z oddeliteľnosti ľubovoľných dvoch bodov otvorenými množinami vyplýva, že pre x ≠ y A(x) ≠ A(y). Pretože kardinalita všetkých systémov podmnožina A nemôže prevýšiť 2^{2^{card A}}, máme card \overline{A} ≤ 2^{2^{card A}}.

Tvrdenie 36. Kategórie Top a Haus sú lokálne malé, kolokálne malé, extrémne lokálne malé, extrémne kolokálne malé.

Dôkaz. Reprezentatívnu množinu podobjektov a extrémnych podobjektov X možno vybrať z topologických priestorov na podmnožinách X. Podobne pre kvocienty a extrémne kvocienty v Top , lebo kardinalita obrazu v surjektívnom zobrazení nepresiahne kardinalitu oboru zobrazenia. V Haus platí nerovnosť card \overline{A} ≤ 2^{2^{card A}}, a teda epimorfizmy a extrémne epimorfizmy môžeme reprezentovať pomocou zobrazení do množiny P(P(X)), ktorá má kardinalitu 2^{2^{card X}}.

Lema 8. V Top (Haus ) sa každý morfizmus f dá napísať v tvare f = m∘b∘e, kde m je monomorfizmus, b je bimorfizmus a e je epimorfizmus.

Dôkaz. Nech f: X → Y je spojité. Nech B je podpriestor Y na množine f[X] (\overline{f[X]}). Nech A je topologický priestor na množine f[X] (\overline{f[X]}), ktorý je faktorový vzhľadom na zobrazenie f (resp..jeho príslušné zúženie). Potom b = id: A → B je spojité (lebo A má najhrubšiu topológiu, pri ktorej je f spojité, teda B má jemnejšiu topológiu ako A). Potom f = m ∘ b ∘ e je hľadaná faktorizácia.

Tvrdenie 37. Top (Haus ) je (epi, extrémne mono)-faktorizovateľná kategória a (extrémne epi, mono)-faktorizovateľná kategória.

Dôkaz. Uzavretosť vystupujúcich tried epimorfizmov a monomorfizmov je zrejmá z toho, ako sú tieto typy morfizmov charakterizované v kategóriach Top a Haus . Ak f = m ∘ b ∘ e je faktorizácia morfizmu f: X → Y z predchádzajúcej lemy, tak f = (m ∘ b) ∘ e je (extrémne epi,mono)-faktorizácia a f = m ∘ (b ∘ e) je (epi, extrémne mono)-faktorizácia f. Aby sme ukázali jednoznačnosť v oboch týchto faktorizáciach, stačí ukázať jednoznačnosť v rozklade z predchádzajúcej lemy. Nech teda f = m_{1} ∘ b_{1} ∘ e_{1} = m_{2} ∘ b_{2} ∘ e_{2} sú takéto faktorizácie f cez A_{1} a B_{1} resp. cez A_{2} a B_{2}. m_{1} a m_{2} sú homeomorfizmy medzi svojím oborom a f[X] (\overline{f[X]}), to znamená, že B_{1} a B_{2} sú navzájom homeomorfné podpriestory Y. b_{1} a b_{2} môžeme (homeomorfne) nahradiť identitou, a potom dostaneme homeomorfizmus medzi faktorovými priestormi A_{1} a A_{2}, lebo budú homeomorfné s faktorovým priestorom daným tým istým faktorovým zobrazením.