Poznámky z V.J.Arsenin: Matematická fyzika. Základné rovnice a špeciálne funkcie. (str. 90) Tu je dokázaná jednoznačnosť riešenia hyperbolickej a parabolickej úlohy na ohraničenej oblasti pomocou Steklovovej vety o rozvoji. (str. 108) Tu sa spomína, že Fourierov rad ľubovoľnej kvadraticky integrovateľnej funkcie podľa úplného ortonormálneho systému možno člen po člene integrovať bez ohľadu na to, či tento rad konverguje alebo nie. (To vyplýva z toho, že Fourierov rad konverguje k f v strede.) (str. 121) Jednoznačnosť pre jednorozmernú úlohu bez použitia vety o rozvoji. (Vlastne sa ukáže, že energia kmitajúcej struny zostane konštantná, bude teda nulová.)

5 METÓDA FUNKCIÍ ZDROJOV (GREENOVEJ FUNKCIE) PRE ROVNICE PARA-BOLICKÉHO TYPU

5.2. Fundamentálne riešenie (Greenova funkcia) a^{2}u_{xx} = u_{t}; u(x, 0) = δ(x − x_{0})

G(x − x_{0}, t) = \frac{1}{\sqrt{4πa^{2} t}}e^{− \frac{(x−x_{0} )^{2}}{4a^{2} t}}

5.3. Riešenie úlohy o šírení tepla na priamke a^{2}u_{xx} = u_{t}; u(x, 0) = φ(0) bodové zdroje tepla: dQ = cρφ(ξ)dξ teplota spôsobená bodovým zdrojom: \frac{dQ}{cρ}G(x − ξ, t) = φ(ξ)G(x − ξ, t) u(x, t) = ∫_{−∞}^{∞} φ(ξ)G(x − ξ, t) u(x, t) = G(x, t) ∗ φ(x) a^{2}u_{xx} + f(x, t) = u_{t}; u(x, 0) = 0 f(ξ, τ)G(x − ξ, t − τ)dξdτ = teplo od zdrojov na úsečke dĺžky dξ za čas dτ u(x, t) = ∫_{0}^{t} ∫_{−∞}^{∞} f(ξ, τ)G(x − ξ, t − τ)dξdτ = G(x, t) ∗ f(x, t)

5.4. Riešenie úlohy o vedení tepla v trojrozmernom (dvojrozmernom) priestore a^{2}△u = u_{t} Fundamentálne riešenie G(M, M_{0}; t) je riešenie pre počiatočnú podmienku u(M, 0) = δ(M, M_{0}) Lema: Ak v Cauchyho úlohe a^{2}△u = u_{t}, u(M, 0) = φ(M) je začiatočná funkcia v tvare φ(M) = φ_{1}(x)φ_{2}(y)φ_{3}(z), tak riešením danej úlohy je funkcia u(M, t) = u_{1}(x, t)u_{2}(y, t)u_{3}(z, t), kde u_{1}, u_{2}, u_{3} sú riešenia jednorozmerných úloh s počiatočnou podmienkou φ_{1}, φ_{2}, φ_{3}. δ(M, M_{0}) = δ(x − x_{0})δ(y − y_{0})δ(z − z_{0})

G(M, M_{0}; t) = (\frac{1}{\sqrt{4πa^{2} t}})^{3} e^{− \frac{(x−x_{0} )^{2} +(y−y_{0} )^{2} +(z−z_{0} )^{2}}{4a^{2} t}}

G(M, M_{0}; t) = (\frac{1}{\sqrt{4πa^{2} t}})^{2} e^{− \frac{(x−x_{0} )^{2} +(y−y_{0} )^{2}}{4a^{2} t}}

u(x, y, z, t) = G(x, y, z, t) ∗ φ(x, y, z) = ∫∫∫_{ℝ^{3}} G(x − ξ, y − η, z − ζ)

6 ROVNICE ELIPTICKÉHO TYPU

6.1. Greenov vzorec. Najjednoduchšie vlastnosti harmonických funkcií L(u) = div(k∇u) − qu

R[u, v] = − ∫_{D} vL(u)dτ = ∫_{D} k(∇u.∇v)dτ + ∫_{D} quvdτ − ∫_{S} kv \frac{∂u}{∂n}dσ  (1)

R[v, u] − R[u, v] = ∫_{D}\{vL(u) − uL(v)\}dτ = ∫_{S} k (v \frac{∂u}{∂n} − u\frac{∂v}{∂n})(2)

v = 1, L(u) = f(M):

∫_{S} k \frac{∂u}{∂n}dσ = ∫_{D} f(M)dτ(3)  (1)

L(u) = △u = 0 - harmonické funkcie V ℝ^{2} ln \frac{1}{r} a v ℝ^{3} \frac{1}{r} (mimo r = 0) Pre harmonické funkcie dostaneme z (3):

∫_{S} \frac{∂u}{∂n}dσ = 0

Veta o strednej hodnote:

u(M_{0}) = \frac{1}{4ΠR^{2}} ∫_{S_{R}} u(M)dσ(6)  (2)

v ℝ^{2}:

u(M_{0}) = \frac{1}{2ΠR} ∫_{C_{R}} u(M)dσ(7)  (3)

ak u je harmonická a spojitá aj s prvými parciálnymi deriváciami.

6.2. Jednoznačnosť riešenia okrajových úloh (str. 181) Veta o maxime a minimi a veta o jednoznačnosti

6.3. Metóda greenovej funkcie