Poznámky z Naylor-Sell: Teória lineárnych operátorv v technických a prírodných vedách (str.37) F (t)-sila x(t) = ∫_{0}^{t} v(s)ds = ∫_{0}^{t} ds ∫_{0}^{s} \frac{F (u)}{M} du = \frac{1}{M} ∫_{0}^{t} du ∫_{u}^{t} F (u)ds = \frac{1}{M} ∫_{0}^{t}(t − u)F (u)du.

(str.116/20,21) Dôkaz Weierstrassovej vety pomocou Bernsteinových polynómov. (Ten istý dôkaz je aj v skriptách Barnovská, Smítalová: Matematická analýza 3.)

B_{n}(x, f) = ∑_{k=0}^{n} f(\frac{k}{n})\binom{n}{k}x^{k}(1 − x)^{n−k}

B_{n}(x, f) ⇉ f(x)

z-transformácia - 183/4,187/5

V(A)=lineárny obal A

Dôkaz, že ľubovoľné dve Hamelove bázy majú rovnakú kardinalitu - nekonečnorozmerný prípad.

Dôkaz. Nech B_{1}, B_{2} sú dve Hamelove bázy priestoru X. Pre každé x ∈ B_{1} nech B_{2}(x) je jednoznačne určená konečná množina bodov bázy B_{2}, ktorých lineárnou kombináciou je x. Najprv ukážeme, že pre každé y ∈ B_{2} existuje také x ∈ B_{1}, že y ∈ B_{2}(x).

Nech by to tak nebolo, teda y ∈ B_{2}(x) pre žiadne x. Potom B_{1} ⊆ [B_{2} \ {y}] ([V] označuje lineárny obal množiny V ⊆ X). Keďže B_{1} je báza, tak potom [B_{2} \ {y}] = X, a teda y je lineárna kombinácia prvkov z B_{2} \ {y}. Ukázali sme, že B_{2} nie je lineárne nezávislá, čo je spor s predpokladom, že je to Hamelova báza.

Máme teda ukázané (∀y ∈ B_{2})(∃x ∈ B_{1})y ∈ B_{2}(x). Platí potom B_{2} = ⋃_{x∈B_{1}} B_{2}(x). Pre

kardinality dostávame cardB_{2} = card( ⋃_{x∈B_{1}} B_{2}(x)) ≤ cardB_{1}.ℵ_{0} = cardB_{1} (v poslednej

rovnosti sme využili, že cardB_{1} je nekonečná.) Rovnakým spôsobom ako cardB_{2} ≤ cardB_{1} môžeme ukázať nerovnosť cardB_{1} ≤ cardB_{2}. Z týchto dvoch nerovností (podľa Cantor-Bernsteinovej vety) dostaneme cardB_{2} = cardB_{1}.

Fourierova transformácia - 200/1, 210/1

200/5: časovo invariantné, spojité, lineárne ⇒ komutujú ???

L^{T} označuje duál lineárnej transformácie L: X → Y. R(L) znamená obor hodnôt (range) L a N(L) nulový priestor L. Pre lineárnu transformáciu L: X → Y platí: R(L) = Y práve vtedy, keď L^{T} je prosté. L^{T} je surjektívne ⇒ L je prosté. V druhom tvrdí vo všeobecnosti neplatí ekvivalencia, hoci platí v konečnorozmerných priestoroch.

2