1 Reálne a komplexné čísla. Elementy topológie

1.1 Bairove kategórie množín

Definícia 1. Podmnožina A topologického priestoru X sa nazýva množina prvej Bairovej kategórie (v X), ak existujú také podmnožiny A_{n} ⊂ X (n = 1, 2, …) riedke v X, že A =

⋃_{n=1}^{∞} A_{n}. Ak množina A ⊂ X nie je prvej Bairovej kategórie v X, tak sa nazýva množinou

druhej Bairovej kategórie.

Množina A ⊂ X je reziduálna v topologickom priestore X, ak A je druhej Bairovej kategórie v X a X \ A je množina prvej Bairovej kategórie v X.

1.2 Bairova veta o úplných metrických priestoroch

Veta 1 (Bairova veta). Nech (X, d) je úplný metrický priestor, X ≠ ∅. Potom X je množina druhej Bairovej kategórie v X.

Veta 2 (Bairova veta o hustote). Nech (X, d) je úplný metrický priestor, X ≠ ∅. Nech

X_{k} ⊂ X (k = 1, 2, …) sú riedke množiny. Potom množina X \ ⋃_{k=1}^{∞} X_{k} je hustá v X.

2 Spojité funkcie

2.1 Zovšeobecnenie pojmu spojitosť funkcie

Definícia 2. Nech X a Y sú topologické priestory. Nech f: X → Y. Hovoríme, že f je kvázispojitá v bode x_{0} ∈ X, ak pre každé okolie U(x_{0}) bodu x_{0} v X a pre každé okolie V (f(x_{0})) bodu f(x_{0}) v Y existuje taká neprázdna otvorená množina G ⊂ U(x_{0}), že f[G] ⊂ V (f(x_{0})). [Na rozdiel od spojitosti nepožadujeme x ∈ G.]

Definícia 3. Nech X je topologický priestor a nech (Y, d) je metrický priestor. Nech f: X → Y. Hovoríme, že funkcia je spríbuznená (cliquish, aparentée) v bode x_{0} ∈ X ak pre každé ε > 0 existuje a každé okolie U(x_{0}) bodu x_{0} v X existuje neprázdna otvorená množina G ⊂ U(x_{0}), že pre každé dva body x_{1}, x_{2} ∈ G platí d(f(x_{1}), f(x_{2})) < ε.

spojitá ⇒ kvázispojitá ⇒ spríbuznená

3 Priestory L_{p}

3.1 Hölderova a Minkowského nerovnosť

Lema 1. Nech a, b sú komplexné čísla, nech p > 1, q > 1 a \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Potom platí

|ab| ≤ \frac{|a|^{p}}{p} + |a|^{q}q

Hölderova nerovnosť: Ak f ∈ L̃_{p} a g ∈ L̃_{q}, tak ∫_{X}|fg|dμ ≤ ∥f∥_{p}∥g∥_{q}.

4 Diferencovateľnosť funkcií

4.1 Absolútne spojité funkcie

Definícia 4. Nech f je reálne funkcia definovaná na ⟨a, b⟩. Hovoríme, že f je absolútne spojitá, ak pre ľubovoľné ε > 0 existuje také δ > 0, že pre ľubovoľný konečný systém na-

vzájom neprekrývajúcich sa intervalov ⟨x_{1}, y_{1}⟩, …, ⟨x_{k}, y_{k}⟩, pre ktorý ∑_{i=1}^{k}|y_{k} − x_{k}| < δ, platí

∑_{i=1}^{k}|f(y_{k}) − f(x_{k})| < ε.

absolútne spojitá ⇒ rovnomerne spojitá

Veta 3. Funkcia F definovaná na ⟨a, b⟩ je absolútne spojitá vtedy a len vtedy, ak existuje taká integrovateľná funkcia f, že F (x) = F (a) + ∫_{a}^{x} f(t)dt. Potom F′(x) = f(x) skoro všade a F (b) − F (a) = ∫ F′(x)dx.

5 Aplikácie matematickej analýzy

Definícia 5. Číslo x sa nazýva g-adicky normálne, ak každá z číslic 0, 1, …, g − 1 vystupuje v jeho g-adickom rozvoji s frekvenciou \frac{1}{g}.

Reálne, číslo sa nazýva absolútne normálne, ak je g-adicky normálne pre každé g = 2, 3, …

Dôkaz nasledujúceho výsledku, ktorý pochádza od E. Borela, patrí medzi prvé aplikácie teórie miery v teórii čísel.

Veta 4. Skoro všetky reálne čísla sú normálne. Skoro všetky reálne čísla sú absolútne normálne. (V zmysle Lebesguovej miery.)

Veta 5. Množina všetkých g-adicky normálnych čísel je prvej Bairovej kategórie v ℝ.

Dôsledok 1. Množina všetkých absolútne normálnych čísel je prvej Bairovej kategórie v ℝ.