Odpísané z Balcar-Štěpánek: Teorie množin.

1 Limita postupnosti podľa filtra

Definícia 1.1. F-limita postupnosti. Nech F je filter na ω (=na ℕ) a P je topologický priestor. Hovoríme, že bod a je limitou postupnosti (x_{n}) podľa filtra F alebo, že postupnosť (x_{n}) konverguje k a podľa F, označujeme F −limx_{n} = a, ak pre každé okolie V bodu a skoro všetky členy postupnosti ležia vo V, to znamená, že {n : x_{n} ∈ V } ∈ F.

Obvyklý pojem limity postupnosti zodpovedá limite podľa Fréchetovho filtra, ktorý obsahuje práve doplnky konečných množín.

F-limita zachováva súčet a súčin postupností.

a je hromadným bodom postupnosti x_{n} práve vtedy, keď existuje taký filter, že G − limx_{n} = a.

Veta 1.1. Každá postupnosť reálnych čísel má jednoznačne určenú (vlastnú alebo nevlastnú) F-limitu pre ľubovoľný ultrafilter F.

Pomocou pojmu F-limity tu ukazujú existenciu konečne aditívnej miery na algebre všetkých podmnožín prirodzených čísel rozširujúcej asymptotickú hustotu. Tá sa vraj obyčajne ukazuje pomocou Hahn-Banacha.

2 Banachova limita

Ak limitu chápeme ako lineárny operátor z podpriestoru priestoru l_{∞}, tak má tieto vlastnosti:

(i) LIM(c.f + d.g) = c. LIMf + d. LIMg

(ii) f ≥ 0 ⇒ LIMf ≥ 0

(iii) LIMf = LIMfs, kde fs označuje posunutie postupnosti f o jeden člen.

(iv) Ak existuje limita limf v obvyklom zmysle, tak LIMf má tú istú hodnotu.

Vzniká otázka, či by sme vedeli rozšíriť tento operátor na všetky ohraničené postupnosti, aby sa zachovali uvedené vlastnosti. Takýto lineárny operátor sa nazýva Banachova limita.

Existencia Banachovej limity a konečno-aditívnych mier rozširujúcich hustotu sa obvykle ukazuje z Hahn-Banachovej vety (rozširujeme funkcionál definovaný na podpriestore všetkých konvergentných funkcií). Tu tvrdia, že ich ukázali ţjednoduchšími prostriedkami,� než cez Hahn-Banachovu vetu.

Nech F je netriviálny ultrafilter. Potom Banachovu limitu môžeme zostrojiť takto:

limf = F − lim\frac{f(0) + f(1) + … + f(n)}{n + 1} ,

čiže ako F-limitu postupností aritmetických priemerov.

Patrilo by sa spomenúť, že oba postupy využívajú AC. (Raz je skrytá v Hahn-Banachovi, druhýkrát v existencii ultrafiltrov.)

Dá sa ukázať, že nemôžeme ţvylepšiť� Banachovu limitu tak, aby zachovávala aj súčin. Ak vezmeme postupnosti 0, 1, 0, 1, … a 1, 0, 1, 0, …, tak podľa (iii) majú rovnakú Banachovu limitu L. Ich sčítaním dostaneme postupnosť 1, 1, 1, 1, …, preto L = \frac{1}{2}. Ale ich súčinom dostaneme postupnosť 0, 0, 0, 0, …, ktorá má limitu 0, a teda Banachova limita nezachováva súčin.

Keby sme vynechali podmienku o posunutí a chceli zachovať súčin, tak tieto podmienky spĺňa F-limita pre ľubovoľný ultrafilter F.