Nekonečná kombinatorika

15. apríla 2002

1 Kombinatorické vlastnosti množín

Lema 1.1 (Lema o disjunktnom zjemnení). Nech ⟨A_{α} : α < κ⟩ je systém množín, z ktorých každá má mohutnosť κ . Potom existuje systém ⟨B_{α} : α < κ⟩ taký, že pre každé α < κ platí B_{α} ⊆ A_{α} a |B_{α}| = κ. Hovoríme že, že ⟨B_{α} : α < κ⟩ je disjunktným zjemnením systému ⟨A_{α} : α < κ⟩. ([BŠ, Lema 1.2])

Lema 1.2. Nech ⟨A_{α} : α < κ⟩ je systém podmnožín nejakej množiny X a každé |A_{α}| = κ. Potom existuje κ navzájom disjunktných podmnožín B_{β} ⊆ X, β < κ, pre ktoré platí

|B_{β}| = κ |B_{β} ∩ A_{α}| = κ pre každé α, β ∈ κ.

([BŠ, Lema 1.3])

Príklad 1.1. (a) Rozklad ℚ na spočítateľne veľa hustých podmnožín.

(b) Každá báza uniformného ultrafiltra na κ má mohutnosť väčšiu než κ .

(c) B ⊆ ℝ je bernsteinovská, ak B aj ℝ \ B pretínajú každé nespočítateľnú uzavretú množinu. Existencia vyplýva z lemy 1.3. Ak B je bernsteinovská, tak nie je lebesguovsky merateľná a tiež nemá Bairovu vlastnosť.

Veta 1.1 (O nezávislých rozkladoch). Na nekonečnom kardinále κ existuje systém množín {M(α, β) : α < 2^{κ}, β < κ} taký, že

(i) pre každé α < 2^{κ} je {M(α, β) : β < κ} rozklad množiny κ ,

(ii) pre každú konečnú podmnožinu B ⊆ 2^{κ} a každú funkciu f: B → κ je |⋂|{M(α, f(α)) : α ∈ β} = κ (nezávislosť).

([BŠ, Veta 1.6])

Dôsledok 1.1. Nech ⟨A_{i} : i ∈ I⟩ je súbor množín taký, že |A_{i}| ≤ κ pre každé i ∈ I a |I| ≤ 2^{κ}. Potom existuje množina S ⊆ ∏⟨A_{i} : i ∈ I⟩, ktorá má mohutnosť ≤ κ a pre každú funkciu f ∈ ∏⟨A_{i} : i ∈ I⟩ a každú konečnú podmnožinu J ⊆ I existuje g ∈ S také, že

f|J = g|J.

Definícia 1.1. Ak F je filter na κ , tak charakterom filtra F nazývame kardinál

χ(F) = min{|B| : B je báza filtra F}.

Veta 1.2 (Pospíšil). Pre každé nekonečné κ existuje 2^{2^{κ}} uniformných ultrafiltrov na κ , t.j. |βκ| = |U(x)| = 2^{2^{κ}}. Navyše množina všetkých uniformných ultrafiltrov, ktoré majú maximálny možný charakter 2^{κ}, má tiež mohutnosť 2^{2^{κ}}. ([BŠ, Veta 1.10])

Príklad 1.2. (a) Existujú aj λ-nezávislé systémy (|B| < λ namiesto B je konečná) pre λ ≤ κ. Ľahko sa overí, že na ω nemôže existovať nekonečný ω_{1}- nezávislý systém.

(b) Veta(Hewitt, Marczewski, Pondiczery) Ak S_{i}, i ∈ I sú topologické priestory, z ktorých každý má hustú podmnožinu mohutnosti ≤ κ a ak je |I| ≤ 2^{κ}, tak topologický súčin ∏ S_{i} obsahuje hustú podmnožinu kardinality ≤ κ.

[X]^{λ} ([X]^{<λ}) označuje všetky podmnožiny X, ktoré majú kardinalitu λ (menšiu ako λ).

Definícia 1.2 (Skoro disjunktné systémy). (i) Hovoríme, že dve podmnožiny x, y kardinálu κ sú skoro disjunktné, ak |x ∩ y| < κ.

(ii) Hovoríme, že S je skoro disjunktný systém, krátko AD systém, ak S ⊆ [κ]^{κ} a každé dve rôzne podmnožiny z S sú skoro disjunktné.

(iii) AD systémy na κ sú usporiadané inklúziou. Hovoríme, že S je maximálny skoro disjunktný systém (MAD systém), ak je maximálny vzhľadom na inklúziu.

Z princípu maximality vyplýva, že každý AD systém sa dá rozšíriť na MAD systém. AD systém S na κ je MAD systém práve vtedy, keď pre každé x ∈ [κ]^{κ} existuje y ∈ S také, že |x ∩ y| = κ.

Lema 1.3. Nech κ je nekonečný kardinál.

(i) Žiadny AD systém na κ mohutnosti cf(κ) nie je maximálny.

(ii) Existuje AD systém na κ mohutnosti ≥ κ^{+} . ([BŠ, Lema 1.13])

Najväčšia možná mohutnosť AD systému na κ je 2^{κ}. Ak sa pýtame, či vždy existuje MAD systém na κ mohutnosti 2^{κ}, odpoveď nie je jednoznačná. Za predpokladu GCH existencia vyplýva z Lemy 1.13. Ak nepredpokladáme GCH, J.Baumgartner ukázal, že na ω_{1} nemusí existovať žiadny MAD systém mohutnosti 2^{ω_{1}}. Dôkaz je v [BŠ, kap. IV, veta 3.4.1].

Literatúra

[BŠ] B.Balcar, P.Štěpánek: Teorie množin