Prehľad poznatkov o ordinálnych číslach. V zdrojáku sú uvedené presné čísla viet a definícií, ktoré sú citované.

Šalát, Smítal: Teória množín A ⊂ B sa tu označuje ostrá inklúzia, čiže A ≠ B. 9.1.Základné vlastnosti dobre usporiadaných množín

Definícia. Usporiadaná množina sa nazýva dobre usporiadaná, ak každá jej neprázdna podmnožina má prvý prvok.

Definícia. Nech (A, <_{A}), (B, <_{B}) sú čiastočne usporiadané množiny. Zobrazenie f: A → B sa nazýva podobné (izotónne) zobrazenie, ak je prosté a pre každé x, y ∈ A platí:

x <_{A} y ⇒ f(x) <_{B} f(y)

Čiastočne usporiadaná množina A je podobná čiastočne usporiadanej množine B (A ≅ B), ak existuje podobné zobrazenie z množiny A na množinu B.

Definícia. Množina I ⊂ A je úsek usporiadanej množiny (A, <), ak existuje také a ∈ A, že I = {x ∈ A; x < a}; označujeme I = A_{a}. Množina I ⫅ A je primitívny interval usporiadanej množiny A, ak I obsahuje s každým x aj všetky prvky y ∈ A menšie ako x.

Veta. Nech J je primitívny interval dobre usporiadanej množiny (A, <). Potom alebo J = A, alebo J je úsekom množiny A, t.j. pre vhodné a ∈ A sa J = A_{a}

Veta. Každá podmnožina dobre usporiadanej množiny je dobre usporiadaná.

Veta. Nech (A, <) je dobre usporiadaná množina a nech f je podobné zobrazenie množiny A do A. Potom pre žiadne a ∈ A neplatí f(a) < a.

Veta. Nech (A, <) a (A^{∗}, <^{∗}) sú dobre usporiadané množiny. Potom existuje najviac jedno podobné zobrazenie množiny A na A^{∗}.

Základná veta o dobre usporiadaných množinách. Nech (A, <_{A}), (B, <_{B}) sú dobre usporiadané množiny. Potom alebo A a B sú podobné množiny, alebo jedna z nich je podobná úseku druhej.

9.2.Ordinálne čísla

Axióma ordinálnych čísel. Ku každej dobre usporiadanej množine A existuje množina Ord(A) dobre usporiadaná reláciou inklúzie ⊂ s týmito vlastnosťami:

(1) A ≅ Ord(A)

(2) Ak (A, <), (A^{∗}, <^{∗}) sú dobre usporiadané množiny, tak A ≅ A^{∗} platí práve vtedy, keď Ord(A) ≅ Ord(A^{∗}).

Definícia. Množina Ord(A), kde A je dobre usporiadaná množina, sa nazýva ordinálne číslo množiny A.

Definícia. Ordinálne číslo α je menšie ako ordinálne číslo β, ak α je podobné nejakému úseku množiny β. Namiesto α ≅ β_{b} potom píšeme α < β.

Lema. Každá množina M ordinálnych čísel je usporiadaná reláciou <.

Veta. Ak α je ľubovoľné ordinálne číslo, tak množina W (α) ordinálnych čísel všetkých úsekov množiny α je dobre usporiadaná a W (α) ≅ α, t.j. Ord(W (α)) = α. Veta. Každá množina M ordinálnych čísel je dobre usporiadaná. Veta. Neexistuje množina ordinálnych čísel, ktorá by obsahovala všetky ordinálne čísla. 9.3.Konštrukcia ordinálnych čísel - ordinálne čísla sa nemusia zavádzať axiomaticky Veta. Nech (A, <) je usporiadaná množina. Potom množina B všetkých úsekov množiny A usporiadaná reláciou inklúzie ⊂ je podobná množine A. Definícia. Usporiadaná množina A sa nazýva ordinálne číslo, ak a = A_{a} pre každé a ∈ A. Veta. Nech A je ordinálne číslo a nech a ∈ A. Potom A_{a} je ordinálne číslo. Veta. Nech A, B sú ordinálne čísla a nech B ⊂ A. Potom pre vhodné a ∈ A sa B = A_{a}. Veta. Prienik dvoch ordinálnych čísel je ordinálne číslo. Veta. Nech A, B sú ordinálne čísla, A ≠ B. Potom jedno nich je úsekom druhého. Veta. Ak A a B sú podobné ordinálne čísla, tak A = B. Veta. Nech (A, <) je dobre usporiadaná množina, ktorej každý úsek A_{a} je podobný nejakému ordinálnemu číslu. Potom aj množina A je podobná ordinálnemu číslu. Veta. Každá dobre usporiadaná množina je podobná práve jednému ordinálnemu číslu. Veta. Pre ľubovoľné dve ordinálne čísla α, β sú nasledujúce výroky ekvivalentné:

(1) α < β

(2) α ⊂ β

(3) α ∈ β 9.4.Aritmetika ordinálnych čísel Lema. Nech (A, <_{A}), (B, <_{B}) sú disjunktné dobre usporiadané množiny. Potom množina C = A ∪ B je dobre usporiadaná reláciou <_{C}= (<_{A}) ∪ (<_{B}) ∪ A × B. Definícia. Nech (A, <_{A}), (B, <_{B}) sú disjunktné dobre usporiadané množiny. Nech C = A ∪ B je množina usporiadaná relciou z predchádzajúcej definície. Potom ordinálne číslo γ = Ord(C) sa nazýva súčet ordinálnych čísel α = Ord(A) a β = Ord(B). Píšeme γ = α + β. Veta. Ak α, β sú ordinálne čísla, β ≠ 0, tak α < α + β.

ω + 1 ≠ ω = 1 + ω

Definícia. Nech (A, <_{A}) a (B, <_{B}) sú usporiadané množiny. Potom usporiadanie <_{C} karteziánskeho súčinu C = A × B dané vzťahom

[x_{1}, y_{1}] <_{c} [x_{2}, y_{2}] ⇔ (y_{1} <_{B} y_{2}) ∨ (y_{1} = y_{2} ∧ x_{1} <_{A} x_{2})

sa nazýva lexikografické usporiadanie množiny A × B.

Lema. Ak (A, <_{A}) a (B, <_{B}) sú usporiadané množiny, tak lexikografické usporiadanie súčinu A × B je tiež dobré usporiadanie.

Definícia. Nech A, B sú dobre usporiadané množiny. Nech C je karteziánsky súčin A × B s lexikografickým usporiadaním. Potom γ = Ord(C) sa nazýva súčin ordinálnych čísel α = Ord(A) a β = Ord(B). Píšeme γ = α.β alebo len γ = αβ.

ω.2 = ω + ω ≠ 2ω = ω

Definícia. Nech α je ordinálne číslo, A množina. Potom každé zobrazenie f: W (α) → A sa nazýva transfinitná postupnosť typu α prvkov množiny A.

Definícia. Súčet ordinálnych čísel možno zovšeobecniť aj pre nekonečne veľa sčítancov. Nech α je ordinálne číslo a nech (β_{ξ})_{ξ<α} je transfinitná postupnosť ordinálnych čísel. Potom definujeme ∑_{ξ<α} β_{ξ} ako ordinálne číslo množiny ⋃_{ξ<α} β_{ξ} × {ξ}

usporiadanej tak, že prvky každej z množín β_{ξ} × {ξ} sú usporiadané medzi sebou podobne ako v množine b_{ξ} a prvky množiny β_{ξ}×{ξ} ležia naľavo od prvkov množiny β_{η} × {η}, ak ξ < η.

9.5.Transfinitná indukcia

Princíp transfinitnej indukcie. Nech (A, <) je dobre usporiadaná množina a nech Γ(X) je výroková funkcia definovaná na množine A. Nech sú splnené tieto podmienky:

(1) Ak y_{0} je prvý prvok množiny A, tak Γ(y_{0}).

(2) Nech y ∈ A. Ak Γ(x) platí pre všetky x ∈ A, ktoré sú menšie ako y, tak platí aj Γ(y).

Za týchto predpokladov Γ(x) platí pre každé x ∈ A.

9.6. Definícia transfinitnou indukciou

Princíp definície transfinitnou indukciou. Nech Φ(x, y) je “funkcia”, ktorá každému ordinálnemu číslu x a každej množine y priradí práve jednu množinu Φ(x, y). Potom ku každému ordinálnemu číslu λ existuje práve jedna funkcia f definovaná na množine W (λ) všetkých ordinálnych čísel menších ako λ a s hodnotami v nejakej množine A, ktorá spĺňa podmienku

f(α) = Φ(α, f|W (α)) pre každé α ∈ W (λ)

Balcar, Štěpánek: Teorie množin Ordinální čísla (II.1)

Definícia. Tranzitívne triedy a množiny. Hovoríme, že trieda X je tranzitívna, ak každý prvok x ∈ X je podmnožinou X, to znamená, ak platí x ∈ X → x ⊆ X.

Lema.

(1) Ak sú X a Y tranzitívne triedy, potom X ∩ Y a X ∪ Y sú tranzitívne.

(2) Ak je každý prvok triedy X tranzitívna množina, tak ⋂ X a ⋃ X sú tranzitívne.

(3) Ak je X tranzitívna trieda, tak relácia ∈ je tranzitívna na X práve vtedy, keď každé x ∈ X je tranzitívna množina.

Definícia. Ordinálne čísla. Hovoríme, že množina x je ordinálne číslo, alebo krátko ordinál, ak x je tranzitívna a relácia ∈ je dobré (ostré) usporiadanie množiny x. Triedu všetkých ordinálnych čísel označíme On, teda

On = {x : x je ordinálne číslo}.

Lema. On je tranzitívna trieda.

Lema. Ak x, y sú ordinály, tak platí (1) x ∉ x,

(2) x ∩ y je ordinál,

(3) x ∈ y ↔ x ⊂ y.

Veta. Relácia ∈ je dobré usporiadanie triedy On.

Dôsledok. Trieda On nie je množinou.

Dôsledok. Ak je X tranzitívna vlastná trieda dobre usporiadaná reláciou ∈, tak X = On.

Lema.

(1) Množina x ⊆ On je ordinálnym číslom práve vtedy, keď x je ordinálna množina.

(2) Ak je A neprázdna trieda ordinálnych čísel, potom ∩A je najmenší prvok triedy A vzhľadom na usporiadanie <.

(3) Ak je a množina ordinálnych čísel, tak ∪a je tiež ordinálne číslo a je to suprémum množiny a vzhľadom na usporiadanie <.

Dôsledok. Ordinál ω je suprémum množiny všetkých prirodzených čísel v triede On. To znamená, že ω je najmenšie nekonečné kardinálne číslo. Konečné ordinály sú práve prirodzené čísla.

Lema. Ak je α ordinálne číslo, tak α ∪ {α} je najmenšie ordinálne číslo väčšie než α. Hovoríme, že α ∪ {α} je nasledovníkom α a α je predchodcom α ∪ {α} v usporiadaní <.

Definícia. Izolované a limitné ordinálne čísla.

(1) Hovoríme, že ordinálne číslo α je izolované, ak α = 0, alebo α má predchodcu.

(2) Hovoríme, že ordinálne číslo α je limitné, ak je nenulové a nemá predchodcu.

Veta. Ak je R dobré usporiadanie množiny A, tak existuje práve jedno ordinálne číslo α a jednoznačne určený izomorfizmus α a A vzhľadom k < a R.

Dôsledok. Dva rôzne ordinály nie sú izomorfné.

Definícia. Lexikografické a maximo-lexikografické usporiadanie.

Na triede On^{2} definujeme lexikografické usporiadanie <_{Le} tak, že pre ľubovoľné ordinály α_{1}, α_{2}, β_{1}, β_{2} položíme

⟨α_{1}, β_{1}⟩ <_{Le} ⟨α_{2}, β_{2}⟩ ↔ α_{1} < α_{2} ∨ (α_{1} = α_{2} & β_{1} < β_{2}).

(1) Maximo-lexikografické usporiadanie <_{MLe} na On^{2}

⟨α_{1}, β_{1}⟩ <_{MLe} ⟨α_{2}, β_{2}⟩ ↔ Max{α_{1}, β_{1}} < Max{α_{2}, β_{2}}∨

∨ (Max{α_{1}, β_{1}} = Max{α_{2}, β_{2}}  &  ⟨α_{1}, β_{1}⟩ <_{Le} ⟨α_{2}, β_{2}⟩).

Veta.

(1) Lexikografické usporiadanie je dobré ostré usporiadanie na On^{2}.

(2) Maximo-lexikografické usporiadanie je dobré ostré usporiadanie na On^{2}. Navyše každá dvojica ⟨α, β⟩ má len množinu predchodcov. Maximo-lexi-kografické usporiadanie je teda úzka relácia.

Definícia. Nech [On]^{<ω} označuje triedu všetkých konečných podmnožín On, teda

[On]^{<ω} = {x : x ⊆ On & F in(x)}.

Pre ľubovoľné dve množiny ordinálov x, y definujeme

x ◁ y ↔ (x ≠ y & max((x − y) ∪ (y − x)) ∈ y),

inými slovami x predchádza y, ak symetrický rozdiel množín x, y je neprázdny a jeho najväčší prvok patrí do množiny y.

Veta. Relácia ◁ je úzke dobré usporiadanie na [On]^{<ω}.

Veta - princíp transfinitnej indukcie. Nech A je trieda ordinálnych čísel taká, že pre každý ordinál α platí

α ⊆ A → α ∈ A,

potom A = On.

Veta. Nech A je trieda ordinálnych čísel taká, že

(1) 0 ∈ A a pre každý ordinál α platí

(2) α ∈ A → α ∪ {α} ∈ A

(3) α ⊆ A → α ∈ A, ak α je limitný. Potom A = On.

Ordinální aritmetika Definícia. Hovoríme, že zobrazenie F je ordinálna funkcia, ak jeho definičným oborom je nejaký ordinál alebo On a RngF ⊆ On.

Hovoríme, že ordinálna funkcia je rastúca (neklesajúca), ak pre ľubovoľné β ∈ Dom(F) a α < β platí F (α) < F (β) (F (α) ≦ F (β)).

Veta.

(1) Ak je F rastúca ordinálna funkcia, potom α ≦ F (α) pre každé α ∈ Dom(F).

(2) Ak je A dobre usporiadaná množina a B ⊆ A, pre ordinálne typy α, β množín A, B platí α ≦ β.

Definícia. Hovoríme, že ordinálna funkcia F je normálna, ak je rastúca a spojitá. To znamená, že pre každý limitný ordinál λ ∈ Dom(F) platí

F (λ) = sup{F (α) : α < λ}.

Lema. Ak je F normálna funkcia, tak pre každý ordinál β taký, že F (0) ≦ β < supRng(F), existuje najväčší ordinál α, pre ktorý platí F (α) ≦ β.

Lema. Ak sú F, G normálne funkcie na On, tak aj F ∘ G je normálna.

Definícia. Hovoríme, že ordinál ξ je pevným bodom ordinálnej funkcie F, ak F (ξ) = ξ.

Veta o pevných bodoch normálnej funkcie. Nech F je normálna funkcia definovaná na On.

(1) Ku každému ordinálu α existuje β ≧ α, ktoré je pevným bodom funkcie F.

Trieda všetkých pevných bodov funkcie F je teda neohraničená.

Navyše, ak definujeme postupnosť ordinálov ⟨α_{n} : n < ω⟩ tak, že α_{0} = α a pre každé prirodzené n je α_{n+1} = F (α), potom suprémum tejto postupnosti je najmenší zo všetkých pevných bodov ξ ≧ α funkcie F.

(2) Trieda všetkých pevných bodov funkcie F je uzavretá. To znamená, že suprémum každej množiny pevných bodov je tiež pevným bodom funkcie F.

Dôsledok. Ak je F normálna funkcia na On, tak podľa 2.11 existuje izomorfné zobrazenie J triedy On na triedu pevných bodov funkcie F. Navyše J je normálna funkcia, pretože K(F) je uzavretá trieda.

Definícia. Nech α, β sú ordinálne čísla.

(1) Ordinálne číslo, ktoré je typom množiny ({0} × α) ∪ ({1} × β) pri lexikografickom usporiadaní, označujeme α + β a nazývame súčet ordinálnych čísel α a β.

(2) Ordinálne číslo, ktoré je typom množiny β × α pri lexikografickom usporiadaní, označujeme α.β a nazývame súčin ordinálnych čísel α a β.

Tvrdenie.

α + 0 = α = 0 + α
α + (β + γ) = (α + β) + γ
α.0 = α = 0.α
α.1 = α = 1.α

α.2 = α + α
α.(β.γ) = (α.β).γ
1 + ω = ω ≠ ω + 1
2.ω = ω ≠ ω.2

Lema - monotónnosť sčítania. Pre ľubovoľné ordinály α, β, γ platí

(1)

α < β → γ + α < γ + β

(2)

α ≦ β → α + γ ≦ β + γ

Lema - monotónnosť súčinu. Pre ľubovoľné ordinály α, β, γ platí

(1)

α < β → γ.α < γ.β

(2)

α ≦ β → α.γ ≦ β.γ

Distributívnosť.

α(β + γ) = αβ + αγ
(1 + 1).ω ≠ ω + ω

Lema. Ak α ≦ β, tak existuje práve jeden ordinál ρ taký, že α + ρ = β. Lema. Pre ľubovoľný ordinál α v množine všetkých riešení ⟨ξ, η⟩ rovnice

ξ + η = α

nájdeme len konečne veľa rôznych hodnôt η. Lema. Ak β > 0, pre každý ordinál α existujú jednoznačne určené ordinály δ ≦ α a ρ < β také, že

α = β.δ + ρ.

Veta.

(1) Pre každý ordinál α je ordinálna funkcia F (ξ) = α + ξ normálna.

(2) Pre každé α > 0 je ordinálna funkcia F (ξ) = α.ξ normálna.

Definícia. Pre ľubovoľné α definujeme mocninu α^{β} rekurziou podľa β (1) α^{0} = 1,

(2) α^{(β+1)} = α^{β}.α

(3) α^{β} = sup{α^{γ} : 0 < γ < β}, ak β je limitný ordinál.

Tvrdenie.

(1) 0^{0} = 1 a 0^{β} = 0, ak β > 0,

(2) 1^{β} = 1,

(3) α^{1} = α, α^{2} = α.α, α^{3} = (α.α).α.

Lema. Pre ľubovoľné α, β, γ platí:

(1) α ≦ β → α^{γ} ≦ β^{γ}

(2) (1 < α & β < γ) → α^{β} < α^{γ}

(3) pre každé α > 1 je α^{ξ} normálna funkcia premennej ξ.

Lema. Pre ľubovoľné α, β, γ platí:

(1)

α^{(β+γ)} = α^{β}.α^{γ},

(2)

(α^{β})^{γ} = α^{β.γ}.

Veta. Ak sú m, n prirodzené čísla, tak m + n, m.n a m^{n} sú tiež prirodzené čísla. Navyše m+n = n+m, m.n = n.m. Súčet a súčin prirodzených čísel sú komutatívne operácie, a pretože súčin ordinálnych čísel je distributívny zľava, súčin prirodzených čísel je distributívny.

Lema. Ak sú k, m_{0}, m_{1}, …, m_{k} prirodzené čísla a γ_{0}, γ_{1}, …, γ_{k} menšie než δ, tak

ω^{δ} > ω^{γ_{0}}.m_{0} + ω^{γ_{1}}.m_{1} + … + ω^{γ_{k}}.m_{k}.

Veta o rozvoji ordinálnych čísel v mocninách ω. Ku každému ordinálu α > 0 možno jednoznačne priradiť prirodzené čísla k, m_{0}, m_{1}, …, m_{k} rôzne od nuly a ordinály γ_{0} > γ_{1} > … > γ_{k} tak, že

α = ω^{γ_{0}}.m_{0} + ω^{γ_{1}}.m_{1} + … + ω^{γ_{k}}.m_{k}.

Výraz na pravej strane sa nazýva Cantorovým normálnym tvarom ordinálu α.

Ak je

β = ω^{δ_{0}}.n_{0} + ω^{δ_{1}}.n_{1} + … + ω^{δ_{k}}.n_{k}

vyjadrenie ordinálu β v Cantorovom normálnom tvare, potom α < β nastane práve vtedy, keď nastane niektorý z dvoch nasledujúcich prípadov:

(1) k < l a pre každé i ≦ k je ⟨γ_{i}, m_{i}⟩ = ⟨δ_{i}, n + i⟩,

(2) existuje i ≦ min(k, l) také, že ⟨γ_{i}, m_{i}⟩ ≠ ⟨δ_{i}, n + i⟩, a pre najmenší taký index i je buď γ_{i} < δ_{i} alebo γ_{i} = δ_{i} a m_{i} < n_{i}.

Dôsledok. Ak je α > 0, potom platí:

(1) existuje práve jedno prirodzené číslo l > 0 a jednoznačne určené ordinály γ_{0} ≧ γ_{1} ≧ … ≧ γ_{l} tak, že

α = ω^{γ_{0}} + ω^{γ_{1}} + … + ω^{γ_{l}},

(2) existujú jednoznačne určené ordinály β, γ také, že

α = ω^{γ}(β + 1).

Definícia. Hovoríme, že ordinál ξ je ε-číslo, ak je pevným bodom funkcie ω^{ξ}, to znamená, že ξ je ε-číslom, ak ξ = ω^{ξ}.

Časť o Goodsteinových postupnostiach som vynechal. Kardinální čísla (II.4)

Definícia. Kardinálne čísla. Hovoríme, že κ je kardinálne číslo, ak κ je ordinál, ktorý sa nedá prosto zobraziť na žiadne menšie ordinálne číslo. Triedu všetkých kardinálnych čísel označíme Cn, teda Cn = {κ ∈ On : (∀ξ < κ)(ξ ≉ κ)}.

Hovoríme, že kardinálne číslo κ je mohutnosť množiny x a píšeme |x| = κ, ak existuje prosté zobrazenie množiny x na κ.

Lema. Ak X je množina kardinálnych čísel, tak supX je tiež kardinálne číslo. To znamená, že Cn je uzavretá na supréma.

Veta.

(1) Ku každému kardinálu existuje väčší kardinál.

(2) Cn je vlastná trieda.

Definícia. Nasledovník kardinálu, limitný kardinál.

(1) Ak κ ∈ Cn, tak najmenšie zo všetkých kardinálnych čísel λ > κ nazveme nasledovníkom kardinálu κ a označíme κ^{+} . Hovoríme, že kardinál κ je predchodcom karidnálu λ, ak λ = κ^{+} .

(2) Hovoríme, že kardinál λ je limitný, ak nemá predchodcu.

Označenie. Jednoznačne určenú normálnu funkciu, ktorá zobrazuje On na triedu všetkých nekonečných kardinálnych čísel označíme ℵ a jej hodnoty ℵ(α) zančíme krátko ℵ_{α}.

Je zrejmé, že ℵ_{0} je limitný kardinál a pre α > 0 je ℵ_{α} izolovaný (limitný) kardinál práve vtedy, keď α je izolované (limitné) ordinálne číslo.

Veta. Pre každé α ∈ On a limitný ordinál ξ platí (1) α ≤ ℵ_{α},

(2) ω_{α} je limitný ordinál,

(3) ℵ_{ξ} = sup{ℵ_{α}: α < ξ},

(4) |ℵ_{α} × ℵ_{α}| = ℵ_{α}

(5) |[ℵ_{α}]^{<ω} = ℵ_{α}|.

Definícia. Súčet a súčin kardinálnych čísel. Ak sú κ, λ kardinálne čísla, ich súčet a súčin definujeme vzťahmi

κ + λ = |({0} × κ) ∪ ({1} × λ)|,
κ.λ = |λ × κ|.

Veta.

(1) Pre každé α, β ∈ On platí

ℵ_{α} + ℵ_{β} = ℵ_{α}.ℵ_{β} = max{ℵ_{α}, ℵ_{β}}.

(2) Ak sú κ, λ kardinálne čísla a aspoň jedno z nich je nekonečné, potom

κ + λ = max{κ, λ},
κ.λ = max{κ, λ} ak je κ, λ > 0.

Definícia. Kofinálna množina. Nech X je množina usporiadaná reláciou ≤. Hovoríme, že Y ⊆ X je kofinálna s X alebo že Y je kofinálna podmnožina X vzhľadom k usporiadaniu ≤, ak k ľubovoľnému x ∈ X existuje y ∈ Y, x ≤ y.

Definícia. Kofinál. Nech α je limitný ordinál. Najmenší ordinál β, ktorý je typom usporiadania nejakej kofinálnej podmnožiny ordinálu α sa nazýva kofinálom α a označíme ho cf(α).

Pre každé limitné α platí ω ≤ cf(α) ≤ α a cf(α) je limitný ordinál.

cf(ω) = ω,

cf(ℵ_{ω}) = ω,

cf(ω + ω) = cf(ω.ω) = cf(ω^{ω}) = ω

Ak α je spočítateľný limitný ordinál, tak cf(α) = ω.

Aj α je limitný ordinál, tak cf(ℵ_{α}) = cf(α).

Lema. Pre každý limitný ordinál α platí:

(1) cf(cf(α)) = cf(α),

(2) cf(α) je nekonečné kardinálne číslo.

Definícia. Regulárne a singulárne kardinály. Nech κ je nekonečné kardinálne číslo. Hovoríme, že κ je regulárny kardinál, ak cf(κ) = κ. Hovoríme, že κ je singulárny kardinál, ak cf(κ) < κ.

ℵ_{0} je regulárny kardinál, ℵ_{α} je singulárny kardinál. Kofinál limitného ordinálu je vždy regulárne kardinálne číslo.

Veta. Nekonečné kardinálne číslo κ je singulárne práve vtedy, keď κ = ∪X, kde X je nejaká množina mohutnosti menšej než κ a (∀x ∈ X)(|κ| < κ).

Dôsledok. Ak κ je regulárny kardinál a κ = ∪X, kde |X| < κ, tak pre nejaký prvok x ∈ X platí |x| = κ.

Lema. (AC). Nech |X| ≤ ℵ_{α} a nech pre každé x ∈ X je tiež |x| ≤ ℵ_{α}. Potom | ∪ X| ≤ ℵ_{α}. Je tiež zrejmé, že ak je nejaké x ∈ X mohutnosti ℵ_{α}, platí rovnosť. Nie je to však nutná podmienka.

Veta. (AC). Pre každý ordinál α je ℵ_{α+1} regulárny kardinál.

Definícia. Slabo nedosiahnuteľné kardinály. Hovoríme, že kardinálne číslo κ je slabo nedosiahnuteľné, ak κ je nespočítateľný limitný a regulárny kardinál.

Existencia slabo nedosiahnuteľného kardinálu sa nedá dokázať z axiómov teórie množín.

Lema. Každá perfektná množina reálnych čísel má mohutnosť kontinua.

Veta. (Cantor, Bendixson) Každá nespočítateľná uzavretá množina reálnych čísel obsahuje perfektnú množinu.

Hypotéza kontinua: 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1}.

Zovšeobecnená hypotéza kontinua: (∀α)(2^{ℵ_{α}} = ℵ_{α+1} ).

Gödel dokázal, že zovšeobecnená hypotéza kontinua je bezosporná vzhľadom k axiómam teórie množín. Cohen (a nezávisle od neho Vopěnka) ukázal, že hypotéza kontinua je nezávislá na axiómach teórie množín.

Kardinální aritmetika (II.5)

Definícia. Kardinálna mocnina. Ak sú κ, λ kardinálne čísla, kardinálnu mocninu κ^{α} definujeme vzťahom κ^{λ} = |^{λ}κ| ako kardinálne číslo, ktoré je mohutnosťou všetkých zobrazení λ do κ.

2^{κ} = |P(κ)| > κ

(0 ≠ κ ≤ μ & λ ≤ ν) → κ^{λ} ≤ μ^{ν}

κ^{(μ+ν)} = κ^{μ}.κ^{ν}

(κ^{μ})^{ν} = κ^{μ.ν}

Veta. Pre ľubovoľné kardinálne čísla κ, λ platí (1) 0^{0} = 1, λ ≠ 0 → 0^{λ} = 0,

(2) κ^{0} = 1, 1^{κ} = 1,

(3) (κ ≥ ω & 0 < λ < ω) → κ^{λ} = κ,

(4) (2 ≤ κ ≤ λ & λ ≥ ω) → κ^{λ} = 2^{λ}.

Definícia. Súčet a súčin systému kardinálnych čísel. Nech ⟨κ_{i}: i ∈ I⟩ je systém kardinálnych čísel. Jeho súčet

∑_{i∈I} κ_{i} = | ∪_{i∈I} {i} × κ_{i})|

definujeme ako mohutnosť disjunktného zjednotenia kardinálov a súčin ∏_{i∈I} κ_{i} = | ×_{i∈I} κ_{i}| definujeme ako mohutnosť karteziánskeho súčinu kardinálov κ_{i}. Špeciálne ak je κ_{i} = κ pre každé i ∈ I a |I| = λ, tak

∏_{i∈I} κ_{i} = κ^{λ}.

Definícia. Ak je X množina a λ kardinálne číslo, definujeme

[X]^{λ} = {x: x ⊆ X & |X| = λ},
[X]^{<λ} = {x: x ⊆ X & |X| < λ}.

Lema. Nech X je množina mohutnosti κ a λ je kardinálne číslo. Potom (1) |[X]^{λ}|= κ^{λ}, ak λ ≤ κ,

(2) |[X]^{λ}|= ∑_{μ<λ} κ^{λ}, ak λ ≤ μ^{+} .

Definícia. Slabá mocnina κ^{<λ}. Pre ľubovoľné kardinály definujeme

κ^{<λ} = ∑_{μ<λ} κ^{λ},

kde na pravej strane sčitujeme cez kardinálne čísla menšie než λ. Hovoríme, že κ^{<λ} je slabá mocnina kardinálov κ, λ.

Lema. Nech κ_{i}, i ∈ I sú nenulové kardinálne čísla. Ak je |I| alebo niektoré z κ_{i} nekonečné kardinálne číslo, tak

∑_{i∈I} κ_{i} = max(|I|, sup{κ_{i}: i ∈ I}).

Dôsledok.

(1) Ak sú X_{i} množiny také, že pre každé i ∈ I je |X_{i}| = κ_{i}, a sup{κ_{i}: i ∈ I} je nekonečný kardinál väčší alebo rovný |I|, potom

| ∪ X_{i}| = sup{κ_{i}: i ∈ I} = ∑ κ_{i}.

(2) Kardinál κ je singulárny práve vtedy, keď existujú kardinály λ < κ a κ_{i} < κ

pre i < λ také, že

κ = ∑_{i<λ} κ_{i}.

Lema. Ak je κ_{i} ≥ 2 pre každé i ∈ I, potom

∑_{i∈I} κ_{i} ≤ ∏_{i∈I} κ_{i}.

Veta. Königova nerovnosť. Ak sú κ_{i}, λ_{i} kardinálne čísla také, že κ_{i} < λ_{i} pre každé i ∈ I, potom

∑_{i∈I} κ_{i} < ∏_{i∈I} λ_{i}.

Dôsledok. Ak sú κ, α kardinálne čísla také, že κ ≥ 2 a λ ≥ ω, potom (1) cf(2^{λ}) > λ,

(2) cf(κ^{λ}) > λ,

(3) λ^{cf(λ)>}λ.

Lema. Ak je κ limitný kardinál, potom

2^{κ} = (2^{<κ})^{cf(κ)}.

Definícia. Funkcia gimel. Pre ľubovoľný nekonečný kardinál κ definujeme funkciu ℷ(κ) = ℵ^{cf(κ)}, ktorú nazývame gimel. Je to kardinálna funkcia, ktorá zobrazeje triedu všetkých nekonečných kardinálnych čísel do Cn. Vieme, že ℷ(κ) > κ, a z Königovej nerovnosti tiež plynie cf(ℷ(κ)) > cf(κ), špeciálne cf(ℷ(κ)) > ℵ_{0} pre každý nekonečný kardinál κ.

Veta. Priebeh funkcie 2^{ℵ_{α}} (1) Ak je ℵ_{α}regulárny kardinál, potom

2^{ℵ_{α}} = ℷ(ℵ_{α}).

(2) (Bukovský) Ak je ℵ_{α}singulárny kardinál, môžu nastať dva prípady: (a) existuje β < α tak, že pre každý ordinál v intervale β ≤ γ < α platí 2^{ℵ_{γ}} = 2^{ℵ_{β}}, potom

2^{ℵ_{α}} = 2^{ℵ_{β}} = 2^{<ℵ_{α}}.

b) Ku každému β < α existuje γ, β < γ < α také, že 2^{ℵ_{β}} < 2^{ℵ_{α}}. Potom

2^{ℵ_{α}} = ℷ(2^{<ℵ_{α}}).

Veta. (Silver) Ak je ℵ_{α}singulárny kardinál taký, že cf(ℵ_{α}) > ω, a pre každé β < α platí 2^{ℵ_{β}} = ℵ_{β+1} , potom aj 2^{ℵ_{α}} = ℵ_{α+1} .

Definícia. Silne limitné kardinálne čísla. Hovoríme, že kardinálne číslo κ je silne limitné, ak pre každý kardinál λ < κ platí 2^{λ} < κ.

Veta. (Galvin, Hajnal, Shelah) Ak je ℵ_{α}silne limitný singulárny kardinál, potom

2^{ℵ_{α}} < ℵ_{(|α|^{cf(α)} )^{+}} .

Navyše, ak α = β + γ, potom

2^{ℵ_{α}} < ℵ_{β+(|γ|^{cf(γ)} )^{+}} .

Špeciálne, ak sú ℵ_{ω} a ℵ_{ω_{1} +ω} silne limitné kardinály dostávame

2^{ℵ_{ω}} < ℵ_{(2^{ℵ_{0}} )^{+}}

a

2^{ℵ_{ω_{1} +ω}} < ℵ_{ω_{1} +(2^{ℵ_{0}} )^{+}}

Lema. Ak je ℵ_{α}limitný kardinál a cf(ℵ_{α}) ≤ ℵ_{β}, potom

ℵ_{α}^{ℵ_{β}} = (∑_{γ<α} ℵ_{γ}^{ℵ_{β}})^{cf(ℵ_{α}}.

Veta. Pre mocniny ℵ_{α}^{ℵ_{β}} plati nasledujće tvrdenia:

(1) Ak je α ≤ β, potom ℵ_{α}^{ℵ_{β}} = 2^{ℵ_{β}}.

(2) (Hausdorff) Ak je α = γ + 1, potom

ℵ_{γ+1}^{ℵ_{β}} = ℵ_{γ+1} .ℵ_{γ}^{ℵ_{β}}.

(3) (Tarski) Ak je α limitný a ℵ_{β} < cf(ℵ_{α}), potom

ℵ_{α}^{ℵ_{β}} = ∑_{γ<α} ℵ_{γ}^{ℵ_{β}}.

(4) (Bukovský) Ak je cf(ℵ_{α}) ≤ ℵ_{β} < ℵ_{α}, môžu nastať dva prípady: (a) Existuje γ < α také, že ℵ_{γ}^{ℵ_{β}} = ℵ_{δ}^{ℵ_{β}} pre každé δ, γ ≤ δ < α, potom

ℵ_{α}^{ℵ_{β}} = ℵ_{γ}^{ℵ_{β}}.

(b) Pre každé γ < α existuje δ γ < δ < α také, že ℵ_{α}^{ℵ_{β}} < ℵ_{δ}^{ℵ_{β}}, potom

ℵ_{α}^{ℵ_{β}} = ℷ(ℵ_{ε}) kde ℵ_{ε} = ∑_{γ<α} ℵ_{γ}^{ℵ_{β}}.

Dôsledok. Induktívny výpočet ℵ_{α}^{ℵ_{β}}. Pre ľubovoľné α a pevné β platí:

(1) AK existuje kardinál κ < ℵ_{α} taký, že κ^{ℵ_{β}} ≥ ℵ_{α}, potom ℵ_{α}^{ℵ_{β}} = κ^{ℵ_{β}}. Špeciálne, ak je α ≤ β, dostanem ℵ_{α}^{ℵ_{β}} = 2^{ℵ_{β}}.

(2) Ak je κ^{ℵ_{β}} < ℵ_{α}, pre každý ordinál κ < ℵ_{α}, potom

ℵ_{α}^{ℵ_{β}} = \{ \begin{matrix}ℵ_{α}, & ak ℵ_{β} < cf(ℵ_{α}) \\ ℵ_{α}^{cf(ℵ_{α})}, & ak cf(ℵ_{α}) ≤ ℵ_{β} < ℵ_{α} \end{matrix} .

Dôsledok. (GCH). Pre ľubovoľné ordinály α, β platí

ℵ_{α}^{ℵ_{β}} = \{ \begin{matrix}ℵ_{α}, & ak ℵ_{β} < cf(ℵ_{α}) \\ ℵ_{α+1} , & ak cf(ℵ_{α}) ≤ ℵ_{β} < ℵ_{α} \\ ℵ_{β+1} , & ak α ≤ β. \end{matrix}

Vynechal som časť o hypotéze singulárnych kardinálov.