Jednobodová kompaktifikácia

Niektoré potrebné tvrdenia z topológie: Tvrdenie: Uzavretá podmnožina kompaktného topologického priestoruje kompaktná. Tvrdenie: Kompaktná podmnožina hausdorffovho topologického priestoruje uzavretá. Tvrdenie: T_{2}-priestor X je lokálne kompaktný ⇔ pre každé a ∈ X existuje kompaktné okolie a. Tvrdenie: Ak Y je uzavretý(otvorený) podpriestor lokálne kompaktného priestoru X, tak Y je lokálne kompaktný. Def: Nech (X, T) je topologický priestor, ktorý nie je kompaktný. Potom topologický priestor Y sa nazýva kompaktifikáciou topologického priestoru X, ak Y je kompaktný a X je hustý podpriestor Y.

Veta: Ak X je ľubovoľný topologický priestor, potom X^{∗} = X ∪ {∞} s topológiou T^{∗} = T ∪ {X^{∗} \ F; F je kompaktná uzavretá podmnožina v X} je jeho kompaktifikácia a nazýva sa jednobodová (Alexandrovova) kompaktifikácia topologického priestoruX.

Dôkaz:1.(X^{∗}, T^{∗}) je topologický priestor. Nech {U_{α}; α ∈ I} je systém otvorených množín v X^{∗}. Ak U_{α} ∈ T ∀α ∈ I, je to O.K. Nech teda I = I_{1} ∪ I_{2}, kde I_{1} sú množiny z T a I_{2} obsahuje množiny obsahujúce ∞.

⋃_{γ∈I} U_{γ} = ( ⋃_{γ∈I_{1}} U_{γ}) ∪ ( ⋃_{γ∈I_{2}} U_{γ}).

A = ⋃_{γ∈I_{1}} U_{γ} je otvorená v X.

B = ⋃_{γ∈I_{2}} U_{γ} = ⋃_{γ∈I_{1}}(X − K_{γ}) ∪ {∞} = (X − ⋂_{γ∈I_{2}} K_{γ}) ∪ {∞} a K = ⋂_{γ∈I_{2}} K_{γ} je uzavretá podmnožina

kompaktnej, je teda kompaktná. Potom B je otvorená množina v X^{∗}. A ∪ B = A ∪ (X^{∗} − K) = X^{∗} − (K ∩ (X − A)) je doplnkom kompaktnej množiny. (K ∩ (X − A) je uzavretá podmnožina kompaktnej a je teda kompaktná.) Ďalej, nech A a B sú otvorené v X^{∗}. Chceme ukázať, že aj A ∩ B ∈ T^{∗}. Uvažujme 3 možnosti:

a) A, B ∈ T ⇒ A ∩ B ∈ T.

b) A ∈ T, B ∈ T^{∗} − T ⇒ A ∩ B = A ∩ (X − K) je otvorená X.

c) A = (X − K_{1}) ∪ {∞}, B = (X − K_{2}) ∪ {∞} ⇒ A ∩ B = X − (K_{1} ∪ K_{2}) ∪ {∞} ∈ T^{∗}. ∅ a X patria do T a teda aj do T^{∗}. Dokázali sme teda, že T^{∗} je topológia. 2.Kompaktnosť X^{∗} Nech {V_{α}; α ∈ J} je otvorené pokrytie topologického priestoruX^{∗}. Potom existuje β ∈ J, že ∞ ∈ V_{β} ⇒ V_{β} = (X − K) ∪ {∞}. {V_{α}; α ∈ J} je otvorené pokrytie kompaktnej množiny K, preto existuje konečné podpokrytie. Toto podpokrytie spolu s množinou V_{β} tvorí pokrytie celého X^{∗}. 3.Hustota X v X^{∗} Každé okolie bodu ∞ má tvar (X − K) ∪ {∞}, kde K je kompaktná. Keďže X nie je kompaktný, znamená to, že každé okolie bodu ∞ má neprázdny prienik s X, čiže ∞ ∈ \overline{X}. Z toho už je jasné, že \overline{X} = X^{∗}.

Tvrdenie: Nech (X, T ) je topologický priestor, X̃ = X ∪ {∞}, (X̃, T̃) je kompaktný T_{2}-priestor a X nie je kompaktný. Potom topológia T̃ = T ∪ {U : ∞ ∈ U ∧ X̃ \ U je kompaktný}. Dôkaz:Označme S = T ∪ {U : ∞ ∈ U ∧ X̃ \ U je kompaktný}. To, že S je topológia sme už ukázali v predchádzajúcej vete. (V hausdorffovských priestoroch sú kompaktné množiny uzavreté.)

S ⊂ T̃ Ak K ⊂ X je kompaktná v X, tak K je kompaktná aj v X̃ (pretože ak máme {U_{i}; i ∈ I} otvorené pokrytie K v X̃, tak {U_{i}∩X; i ∈ I} je otvorenépokrytie K v X Vďaka kompaktnosti existuje J ⊂ I konečná, že {U_{i}∩X; i ∈ J} je pokrytie K, ale potom aj {U_{i}; i ∈ J} je otvorenépokrytie X.) Ako kompaktnápodmnožina T_{2}-priestoru je teda K v X̃ uzavretá, čiže X \ K je otvorená. Ak U ⊂ X je otvorená⇒ U = U_{1} ∩ X , kde U_{1} je otvorená v X̃, ale aj X je otvorená (lebo X̃ \ X = {∞} je ako jednobodová v T_{2}-priestore uzavretá) ⇒ U je otvorená v X̃.

T̃ ⊂ S U ∈ T̃ a ∞ ∉ U ⇒ U ⊂ X ⇒ U = U ∩ X ⇒ U je otvorená v X (podľa definície topologického podpriestoru) ∞ ∈ U ∈ T̃ ⇒ X \ U je kompaktná. Ak máme totiž otvorenépokrytie X \ U v X, je to aj otvorenépokrytie X \ U v X̃ (vďaka otvorenosti X) a pridaním U dostaneme otvorenépokrytie celého priestoru X̃. Z neho sa dá vybrať konečné podpokrytie a prípadným vynechaním U dostaneme konečné podpokrytie X \ U v X.

Bez hausdorffovskosti to nefunguje. Kontrapríklad je veľmi jednoduchý. Stačí zobrať ľubovoľný topologický priestor, ktorý nie je kompaktný a kompaktifikáciu utvoríme tak, že pridáme jeden bod a topológia bude pôvodná topológia + celá množina. Otvorené pokrytie takéhoto priestoru musí obsahovať celú množinu a táto množina súčasne vytvára konečné podpokrytie.

To aby priestor nebol kompaktný je dôležité kvôli tomu, aby bol hustý v celom.

Tvrdenie: X^{∗} je T_{2} ↔ X je T_{2} a lokálne kompaktný. Dôkaz: ⇒ Podpriestor T_{2} je T_{2}. Otvorený podpriestor lokálne kompaktného je lokálne kompaktný. ⇐ a, b ∈ X sa dajú oddeliť už v X, a teda aj v X^{∗} tými istými množinami. a ∈ X a ∞ X je lokálne kompaktný T_{2}-priestor, čiže a ∈ X má lokálne kompaktné okolie. a ∈ U ⊂ K ⊂ X, kde K je kompaktná a U je otvorená⇒ ∞ ∈ V = X \ K, kde V je otvorená v X^{∗}.