Whiteheadova veta

Def: X je lokálne kompaktný, ak pre každý bod x ∈ X existuje okolie U také, že \overline{U} je kompakt. Veta: Whiteheadova veta Nech X je lokálne kompaktný topologický priestor a g : Y → Z je ľubovoľné faktorové zobrazenie. Potom f = id_{X} × g : X × Y → X × Z je faktorové. Dôkaz: Nech W ⊂ X × Z a f^{−1}(W) ⊂ X × Y je otvorená. Nech (x_{0}, y_{0}) ∈ W je ľubovoľný bod z W. Vyberme y_{0} ∈ g^{−1}(z_{0}) a okolie U bodu y_{0} také, že \overline{U} je kompakt a \overline{U} × \{y_{0}\} ⊂ f^{−1}(W). Pre každé y ∈ Y máme

(1)  \overline{U} × g^{−1}g(y) ⊂ f^{−1}(W) ⇔ \overline{U} × \{y\} ⊂ f^{−1}(W)

z čoho \overline{U} × g^{−1}(z_{0}) ⊂ f^{−1}(W). Pre množinu V = \{z ∈ Z : \overline{U} × g^{−1}(z) ⊂ f^{−1}(W)\} platí (x_{0}, z_{0}) ∈ U × V ⊂ W, čiže stačí dokázať, že V je otvorená. Keďže g je faktorové, prejde to na dôkaz otvorenosti množiny g^{−1}(V) = \{y ∈ Y : \overline{U} ×g^{−1}g(y) ⊂ f^{−1}(W)\}. Z (1) vyplýva, že g^{−1}(V) = \{y ∈ Y : \overline{U} × \{y\} ⊂ f^{−1}(W)\} a z Kuratowského vety je g^{−1}(V) otvorené, lebo je doplnkom projekcie uzavretej množiny (\overline{U} ×Y)\f(W) pri projekcii p : \overline{U} ×Y → Y a \overline{U} je kompakt.

Veta: (Kuratowského veta) Nech X je ľubovoľný topologický priestor. Nasledujúce podmienky sú ekvivalentné:

(i) X je kompaktný. (ii) Pre každý topologický priestor Y je zobrazenie p : X × Y → Y uzavreté. (iii) Pre každý normálny topologický priestor Y je zobrazenie p : X × Y → Y uzavreté.

Ukážeme len (i)⇒(ii). (Túto implikáciu sme použili v predchádzajúcom dôkaze.) Na jej dôkaz využijeme nasledovnú jednoduchú lemu: Lema: Nech A je kompaktný topologický priestor, Y ľubovoľný topologický priestor a y ∈ Y. Potom pre každú otvorenú množinu W ⊂ X × Y obsahujúcu A × {y} existujú otvorené množiny U ⊂ X a V ⊂ Y také, že A × {y} ⊂ U × V ⊂ W. Dôkaz: (Lemy) Pre každý x ∈ A má (x, y) okolie tvaru U_{x} × V_{y} ⊂ W.

A × {y} ⊂ ⋃_{x∈A} U_{x} × V_{x}.

Z kompaktnosti A máme existenciu otvoreného podpokrytia.

A × {y} ⊂ ⋃_{x=1}^{k} U_{x_{i}} × V_{x_{i}}

Stačí položiť U := ⋃_{x=1}^{k} U_{x_{i}} a V := ⋂_{x=1}^{k} V_{x_{i}}.

Dôkaz: (i⇒ii) Nech X je kompaktný topologický priestor a F = \overline{F} ⊂ X × Y. Vezmime y ∉ p(F). X × {y} ⊂ X × Y \ F, z čoho na základe predchádzajúcej lemy vyplýva, že existuje okolie V bodu y také, že (X × V) ∩ F = ∅. Máme teda p(F) ∩ V = ∅. Ukázali sme, že Y \ p(F) je otvorená, čiže p(F) je uzavretá množina.

2