Exponent konvergencie a hustoty postupností prirodzených čísel

28. februára 2005

Úvod

Nech 0 < r_{1} ≤ r_{2} ≤ … ≤ r_{n} ≤ …, lim_{n→∞} r_{n} = +∞. Potom existuje také

reálne číslo τ ∈ [0, +∞], že pre každé σ > τ rad ∑_{n=1}^{∞} r_{n}^{−σ} < +∞ (konverguje)

a pre každé σ, 0 ≤ σ ≤ τ rad ∑_{n=1}^{∞} r_{n}^{−σ} = +∞ (diverguje) (pozri [10]). Číslo

τ sa nazýva exponent konvergencie postupnosti (r_{n})_{n=1}^{∞} V prácach [3], [4] a [13] sa exponent konvergencie študuje ako reálna funkcia definovaná na triede neklesajúcich postupností reálnych čísel.^{1}

V tomto článku sa zameriame na štúdium exponentu konvergencie postupností prirodzených čísel. To nám umožní študovať túto otázku v súvislosti s rôznymi typmi hustôt týchto postupností (v prvej časti práce). Využijeme známu metódu dyadických hodnôt množín prirodzených čísel a pomocou nej budeme pri použití pojmu exponentu konvergenciu študovať istú reálnu funkciu g definovanú na intervale (0, 1].

Definície a označenia

Nech A = (a_{k})_{k=1}^{∞} , 0 < a_{1} < a_{2} < … < a_{k} < …, a_{k} ∈ ℕ (k = 1, 2 …) je postupnosť prirodzených čísel. Budeme ju stotožňovať s množinou

{a_{1}, a_{2}, …, a_{k}, …}

jej členov. Podľa predošlého existuje také τ ≥ 0, že pre σ > τ je ∑_{k=1}^{∞} a_{k}^{−σ} < +∞

a pre σ, 0 ≤ σ < τ je ∑_{k=1}^{∞} a_{k}^{−σ} = +∞. Toto číslo τ budeme nazývať exponentom

konvergencie postupnosti A a teda τ = τ(A).

τ(A) = inf{t > 0 : ∑_{n=1}^{∞}a_{n}^{−t} < +∞}  (1)

1V prvom zošite so seminára: strana 2, 20, 23.

Je známe ([10, str. 40]), že pre τ(A) platí^{2}

τ(A) = lim sup_{n→∞} \frac{logn}{loga_{n}} .

Príklady: A = \{1, 2^{k}, 3^{k}, …\} ⇒ τ(A) = \frac{1}{k} A = {1!, 2!, 3!, …} ⇒ τ(A) = 0.

Pre ďalšie potreby pripomenieme pojem asymptotickej hustoty a rovnomernej hustoty postupností (množín) prirodzených čísel. Ak A = (a_{k})_{k=1}^{∞} , a_{1} < a_{2} < …, a_{k} ∈ ℕ tak znakom A(p + 1, p + s) (p, s ∈ ℕ) označíme počet prvkov množiny A ∩ [p + 1, p + s]. Potom čísla

\underline{d}(A) = lim inf_{s→∞} \frac{A(1, s)}{s}, \overline{d}(A) = lim sup_{s→∞} \frac{A(1, s)}{s},

nazývame dolnou resp. hornou asymptotickou hustotou množiny A (postupnosti A). Ak \underline{d}(A) = \overline{d}(A) =: d(A), tak číslo d(A) = lim_{s→∞} \frac{A(1,s)}{s} nazývame asymptotickou hustotou množiny A (pozri [9, str. 70–71]). Namiesto A(1, s) píšeme aj A(s). Ďalej je dobre známe, že

\underline{d}(A) = lim inf_{k→∞} \frac{k}{a_{k}} , \overline{d}(A) = lim sup_{k→∞} \frac{k}{a_{k}}  (2)

a ak existuje d(A), tak

d(A) = lim_{k→∞} \frac{k}{a_{k}} .  (2^{∗})

Položme

α_{s} = lim inf_{p→∞} A(p + 1, p + s),

α^{s} = lim sup_{p→∞} A(p + 1, p + s).

Potom existujú

\underline{u}(A) = lim_{s→∞} \frac{α_{s}}{s} , \overline{u}(A) = lim_{s→∞} \frac{α^{s}}{s}

a nazývajú sa dolná resp. horná rovnomerná hustota množiny (postupnosti) A. Ak \underline{u}(A) = \overline{u}(A) =: u(A), tak u(A) nazývame rovnomerná hustota množiny (postupnosti) A (pozri [2]).

Pre ľubovoľnú množinu A ⊆ ℕ platí

\underline{u}(A) ≤ \underline{d}(A) ≤ \overline{d}(A) ≤ \overline{u}(A)  (3)

Ak x ∈ (0, 1] a x = ∑_{n=1}^{∞} \frac{ε_{n}(x)}{2^{n}} je jeho nekonečný dyadický rozvoj, tak kladúc

A_{x} = {n : ε_{n}(x) = 1} dostaneme priradenie x ↦ A_{x}, ktoré je bijektívnym zobrazením intervalu (0, 1] na triedu U všetkých nekonečných množín A ⊂ ℕ.

2Na workshope profesor Grekos spomínal exponenciálnu hustotu, εA = lim log A(n)/ log n.

Vidíme, že \overline{ε}A = τ(A). Možno by mohli byť zaujímavé v tejto súvislosti známe výsledky o exponenciálnej hustote.

Píšeme aj ρ(A_{x}) = x, vo všeobecnosti ak A = {a_{1} < a_{2} < …}, tak ρ(A) =

∑_{k=1}^{∞} 2^{−a_{k}} ∈ (0, 1]. Číslo ρ(A) sa nazýva dyadické číslo množiny A.

Pri pevnom n sa interval (0, 1] rozpadá na 2^{n} intervalov (n-tého poradia)

i_{n}^{(j)} = (\frac{j}{2^{n}}, \frac{j + 1}{2^{n}} ] ,

j = 0, 1, 2, …, 2^{n} − 1. Dyadický rozvoj každého čísla z i_{n}^{(j)} začína tou istou nticou prvých číslic ε_{1}^{0}, …, ε_{n}^{0}. Stručne hovoríme, že i_{n}^{(j)} patrí k n-tici ε_{1}^{0}, …, ε_{n}^{0} (ε_{k}^{0} je 0 alebo 1, k = 1, 2, …, n).

1 Exponent konvergencie a hustoty postupností prirodzených čísel

Nech A = (a_{n})_{n=1}^{∞} , a_{1} < a_{2} < …, a_{k} ∈ ℕ (k = 1, 2, …). Potom (pozri [10, str. 40])

τ(A) = lim sup_{n→∞} \frac{logn}{loga_{n}} .

Tento fakt dáva tušiť, že existuje nejaká súvislosť medzi veľkosťou exponentu konvergencie a jej hustotami.

Všimnime si, že n ≤ a_{n}, preto pre každú nekonečnú množinu A (A ∈ U)

τ(A) ≤ 1.  (4)

Ak každej množine A ∈ U priradíme číslo τ(A), dostaneme tak zobrazenie τ: U → [0, 1].

Veta 1.1. (i) Ak \underline{d}(A) > 0, tak τ(A) = 1.

(ii) Ak τ(A) < 1, tak d(A) = 0.

S výrokom (i) je ekvivalentný výrok (v): Ak τ(A) < 1, tak \underline{d}(A) = 0. Preto (ii) je vlastne zosilnením výroku (v).

(Ako dôsledok dostávame, že τ(A) < 1, tak δ(A) = 0.)

Dôkaz: strana 6, 7

M. Mačaj: Nemôže súčasne platiť d(A) = 0 a τ(A) = 1. Kontrapríklad: množina P všetkých prvočísel. (k-te prvočíslo je rádovo k logk.)

Veta 1.2. Platí τ[U] = [0, 1].

Dôkaz: strana 8.

Preskúmame súvis exponentu konvergencie s rovnomernou hustotou.

Propozícia 1.1. Ak \underline{u}(A) > 0, tak τ(A) = 1.

Dôkaz. Ak \underline{u}(A) > 0, tak \underline{d}(A) > 0 a tvrdenie vyplýva z Vety 1.1 (i).

V súvislosti s vetou 1.1 (ii) poznamenajme, že ak τ(A) < 1, tak ešte nemusí

platiť u(A) = 0. Pre A = ⋃_{k=1}^{∞} {10^{k} + 1, …, 10^{k} + k} platí τ(A) = 0 a pritom

\underline{u}(A) = 0, \overline{u}(A) = 1.

A = \{11, 101, 102, 1001, 1002, 1003, …\}. Čísla a_{\frac{k(k−1)}{2} +1} = 10^{k}+1, …, a_{\frac{k(k+1)}{2}} =

10^{k} + k, čiže tieto členy sú medzi 10^{k} a 10^{k+1} .

\frac{log n}{loga_{n}} ≤ \begin{matrix}log & \frac{k(k+1)}{2} \\ log & 10^{k} \end{matrix} ≤ \frac{2 log(k+1)}{k} → 0 ⇒ τ(A) = 0

\frac{n}{a_{n}} ≤ \frac{\frac{k(k+1)}{2}}{10^{k}} → 0 ⇒ d(A) = 0 ⇒ \underline{u}(A) = 0

\frac{A(10^{k}+1,10^{k}+k)}{k} = 1 ⇒ \underline{u}(A) = 0

Logaritmická hustota: Z vety 1.1 tiež ľahko vyplýva, že τ(A) < 1 ⇒ δ(A) = 0. Otázky: Súvislosť exponentu konvergencie s gap-density.

2 Exponent konvergencie a Baireov priestor rastúcich postupností

Znakom (U, ρ) označíme Baireov priestor rastúcich postupností prirodzených čísel ([1, str. 185], [7, str. 15]). Ak X = (x_{n})_{n=1}^{∞} , Y = (y_{n})_{n=1}^{∞} ∈ U, tak ρ(X, Y) = 0, keď X = Y a

ρ(X, Y) = \frac{1}{min\{n : x_{n} ≠ y_{n}\}} ,

keď X ≠ Y.

Ľahko možno overiť, že (U, ρ) je úplný metrický priestor.

Pomocou pojmu exponent konvergencie možno na U definovať funkciu τ: U → [0, 1],

τ(X) = lim sup_{n→∞} \frac{logn}{logx_{n}}

pre X = (x_{n})_{n=1}^{∞} ∈ U.

Zobrazenie τ je surjektívne zobrazenie priestoru U na interval [0, 1] (pozri Vetu 1.2).

Pri pevnom n ≥ 2 položme

τ_{n}(X) = \frac{logn}{logx_{n}} .

Lema 2.1. Funkcia τ_{n} (n ≥ 2) je spojitá na U.

Dôkaz. Nech A = (a_{k})_{k=1}^{∞} ∈ U. Uvážme, že funkcia τ_{n} (n ≥ 2) je konštantná v guli B(A, \frac{1}{n}) = \{X = (x_{k})_{k=1}^{∞} ∈ U : ρ(X, A) < \frac{1}{n}\}. Z toho je tvrdenie už zrejmé.

Poznámka: Z predošlej lemy možno odvodiť, že funkcia τ, τ(X) = lim sup_{n→∞} τ_{n}(X)

pre X ∈ U patrí nanajvýš do druhej Bairovej triedy B_{2} (pozri [8, str. 429, Veta 3].^{3})

Lema 2.2. Funkcia τ je nespojitá v každom bode priestoru U.

Dôkaz: strany 12–14.

Veta 2.1. Funkcia τ: U → [0, 1] patrí presne do druhej Baireovej triedy B_{2}.

3Tam je to robené pre funkcie definované na ℝ, ale určite sa to dá rozšíriť na metrické priestory. TODO: skús nájsť inde.

Dôkaz. Podľa poznámky za Lemou 2.1 patrí buď do B_{1} alebo do B_{2} (do B_{0} nepatrí, lebo je všade nespojitá). Keby patrila do B_{1}, tak množina jej bodov nespojitosti by bola prvej kategórie v U. To je v spore s Lemou 2.2.

Na záver tejto časti ešte preskúmame štruktúru priestoru (U, ρ) z hľadiska veľkosti exponentu konvergencie prvkov z U.

Položme

U_{0} = {X = (x_{n})_{n=1}^{∞} ∈ U : τ(X) < 1},
U_{1} = {X = (x_{n})_{n=1}^{∞} ∈ U : τ(X) = 1}.

Veta 2.2. Množina U_{0} je prvej Baireovej kategórie hustá v U.

Dôsledok 2.1. Množina U_{1} je reziduálna v U.

Dôkaz vety 2.2: strana 15, využije sa Veta 2 z [12]. Iný dôkaz vety 2.2 môže byť založený na Vete 1.1 (ii).

Keď už vieme, že funkcia prvej Bairovej kategórie, ľahko zistíme Borelovu triedu množiny U_{0}. Podľa [5, §27] je zobrazenie f: X → Y, kde X, Y sú metrické priestory a Y je navyše separabilný, Bairovej triedy α práve vtedy, keď vzor ľubovoľnej uzavretej množiny je multiplikatívnej Borelovej triedy α, ekvivalentne vzor každej otvorenej množiny je z aditívnej Borelovej triedy α. U_{0} = τ^{−1}(0, 1), preto U_{0} je typu G_{δσ}. Komplement tejto množiny, čiže množina U_{1}, je typu F_{σδ}.^{4}

2.1 Pórovitosť

Zaujímala by nás aj pórovitosť množiny U_{0}.^{5} Pripomeňme najprv niektoré základné pojmy súvisiace s pórovitosťou.

Nech (Y, d) je ľubovoľný metrický priestor. Potom označme

γ(y, r, M) = sup{t > 0 : (∃z ∈ Y)(B(z, t) ⊆ B(y, r)) ∧ (B(z, t) ∩ M = ∅)}.

Hodnoty \overline{p}(y, M) = lim sup_{r→0^{+}} \frac{γ(y,r,M)}{γ} a \underline{p}(y, M) = lim inf_{r→0^{+}} \frac{γ(y,r,M)}{γ} nazývame hor-

nou a dolnou pórovitosťou množiny M v bode y. Ak \overline{p}(y, M) = \underline{p}(y, M), tak sa spoločná hodnota označuje p(y, M) a nazýva póroviotosť množiny M v bode y. Čísla \overline{p}(y, M), \underline{p}(y, M), p(y, M) vždy ležia v intervale [0, 1].

Množina M sa nazýva porous (very porous) v y ak \overline{p}(y, M) > 0 (\underline{p}(y, M) > 0). Ak 0 < c ≤ 1, tak M je c-porous (very c-porous) v y, ak \overline{p}(y, M) ≥ c (\underline{p}(y, M) ≥ c). Množina M sa nazýva strongly porous v y, ak \underline{p}(y, M) = 1 (⇔ p(y, M = 1)).

Ak niektorá s týchto vlastností platí pre všetky y ∈ Y, hovoríme, že Y je porous, very porous… Ak M je spočítateľným zjednotením množín, ktoré majú danú vlastnosť, voláme ju σ-porous, σ-very porous…

Každá množina, ktorá je pórovitá v Y je riedka. Každá σ-pórovitá množina je prvej Bairovej kategórie.

Na dôkaz σ-pórovitosti využijeme postup využitý v článku [6] pri dôkaze Theorem 2.2. Vlastne uvedený postup možno využiť bezo zmeny, treba si len uvedomiť, ktoré predpoklady sú v spomínanom dôkaze nevyhnutné.

4TODO Nejaký iný spôsob, ako ukázať, že to nie je prvej Borelovej triedy?

5Keďže každá pórovitá množina je riedka, U_{0} nie je pórovitá (v celom priestore).

Predpokladajme, že máme dané funkcie h_{n}: U → [0, 1] pre n ≥ 2, pričom h_{n}(A) závisí len od prvých n členov a_{1} < a_{2} < … < a_{n} postupnosti A. Ďalej nech

h(A) = lim suph_{n}(A),
V_{0} = {A ∈ U : h(A) < 1},
V_{1} = {A ∈ U : h(A) = 1}.

(Tieto podmienky sú splnené pre funkcie τ_{n} ako aj pre funkcie h_{n} z [6].) Definujme podobne ako v [6] pre m = 2, 3, … a p = 1, 2, …

T_{m} = \{A ∈ U : h(A) < 1 − \frac{1}{m}\}

T_{m,p} = \{A ∈ U : ∀_{n≥p}h_{n}(A) < 1 − \frac{1}{m}\}

Zrejme platí

V_{0} = ⋃_{n=2}^{∞} T_{m}

T_{m} ⊆ ⋃_{p=1}^{∞} T_{m,p}

Veta 2.3. Množina V_{0} je σ-1-pórovitá na V_{1}.^{6}

Dôkaz. Ak A ∈ V_{1}, tak lim sup_{n→∞} h_{n}(A) = 1, čiže existuje postupnosť (n_{k})_{k=1}^{∞}

taká, že

lim_{k→∞} h_{n_{k}}(A) = 1.

Voľbou dostatočne veľkého k vieme dosiahnuť, že n_{k} > p a h_{n_{k}}(A) > 1 − \frac{1}{m}. Potom pre každú postupnosť C ∈ B(A, \frac{1}{n_{k}}) tiež platí h_{n_{k}}(C) > 1 − \frac{1}{m} (pretože prvých n_{k} členov postupností A a C je rovnakých). Z toho dostaneme, že

B(A, \frac{1}{n_{k}}) ∩ T_{m,p} = ∅.

Preto \overline{p}(A, T_{m,p}) = 1.

Dôsledok 2.2. Množina U_{0} je σ-1-pórovitá na U_{1}.

Samozrejme, zostávajú tu ďalšie zaujímavé otázky týkajúce sa pórovitosti.

3 Funkcia g(x) = τ(A_{x}) a jej vlastnosti

Súvis medzi číslami x ∈ [0, 1] a priradenými množinami A_{x} = {n ∈ ℕ : ε_{n}(x) =

1}, x = ∑_{n=1}^{∞} ε_{k}(x)2^{−k}, nás vedie k vyšetrovaniu vlastností funkcie g: (0, 1] →

[0, 1], g(x) = τ(A_{x}) pre x ∈ (0, 1]. Pritom odvodíme aj isté metrické výsledky, ktoré dopĺňajú výsledky z predošlej časti práce.

Najprv uvedieme jednoduché vlastnosti funkcie g.

6Myslí sa tým, že existuje postupnosť množín 1-pórovitých v každom bode V_{1}, ktorých zjednotením je V_{0}. Čiže voľba postupnosti množín nezávisí od výberu bodu z V_{1}, v ktorom skúmame pórovitosť.

Propozícia 3.1. Pre každý interval I ⊆ (0, 1] platí g[I] = [0, 1].

Dôkaz: 17,18

Teda funkcia g nadobúda všetky svoje hodnoty na každom intervale. Z tohoto faktu ihneď vyplýva Propozícia 3.2.

(i) Funkcia g má Darbouxovu vlastnosť. (ii) Funkcia g je nespojitá v každom bode intervalu (0, 1].

Naskytá sa prirodzená otázka do ktorej Bairovej triedy patrí funkcia g. Veta 3.1. Funkcia g patrí presne do druhej Bairovej triedy B_{2} na (0, 1].

Dôkaz: strany 19–21 Propozícia 3.3. Zobrazenie h: (U, d_{B}) → ((0, 1⟩, |·|) definované ako h(A_{x}) = x je spojité.^{7} Dôkaz. Ak d_{B}(A_{x}, A_{y}) < \frac{1}{n}, tak x aj y ležia v tom istom intervale n-tého poradia a platí |x − y| < \frac{1}{2^{n}}.

Poznámka: Keďže sme ukázali, že g ∈ B_{2} a τ: U → [0, 1] možno vyjadriť ako τ = g ∘ h, vyplýva z Propozície 3.3, že τ je najviac druhej Bairovej triedy.

Ešte sa zmienime o hladinových množinách funkcie g(x) = τ(A_{x}).

Pre t ∈ ℝ položme

E(t) = {x ∈ (0, 1] : g(x) = τ(A_{x}) < t}.

Potom pre t > 1 je E(t) = (0, 1], pre t ≤ 0 zase E(t) = ∅. Veta 3.2. Pre t ≤ 1 platí dimE(t) = 0.

Dôkaz: 22, [7] Dôsledok 3.1. Pre t ≤ 1 platí λ(E_{t}) = 0.

Uvážme, že ak položíme F (1) = {x ∈ [0, 1] : g(x) = τ(A_{x}) = 1}, tak

(0, 1] = E(1) ∪ F (1),  (5)

pričom E(1) ∩ F (1) = ∅. Veta 3.3.

(i) Platí λ(E_{1}) = 0, λ(F (1)) = 1. (ii) Funkcia g je ekvivalentná na intervale (0, 1] s funkciou identicky rovnou

1.

7Pôvodne som myslel, že je to homeomorfizmus, to však neplatí.

4 Exponent konvergencie a subaditívne miery

Množinová funkcia m: P(ℕ) → [0, ∞) sa nazýva submiera, ak

(i) A ⊆ B ⇒ m(A) ≤ m(B),

(ii) m(A ∪ B) ≤ m(A) + m(B),

(iii) m({a}) = 0

Ak navyše pre ľubovoľné ε > 0 existujú množiny A_{1}, …, A_{n} také, že A_{1} ∪ … ∪ A_{k} = ℕ a m(A_{i}) < ε pre i = 1, …, k.

Pomocou exponentu konvergencie možno definovať subaditívnu mieru μ_{τ} na 2^{ℕ} = P(ℕ) tak, že položíme μ_{τ} (A) = 0 pre každú konečnú podmnožinu A ⊆ ℕ a pre nekonečné kladieme μ_{τ} (A) = τ(A) = lim sup_{n→∞} \frac{log n}{log a_{n}}.

Propozícia 4.1.

(i) Funkcia μ_{τ} je subaditívna.

(ii) Funkcia μ_{τ} je monotónna.

Propozícia 4.2. Pre ľubovoľné 2 množiny A, B ⊆ ℕ platí μ_{τ} (A, ∪B) = max{μ_{τ} (A), μ_{τ} (B)}.

Propozícia 4.3. Submiera μ_{τ} nie je kompaktná.

TODO (moje otázky): Aký vzťah je medzi d_{B} a d_{F} na U? Dá sa vymyslieť nejaká pekná metrika na U, aby A_{x} ↦ x bol homeomorfizmus. (Intervaly (\frac{j}{2^{n}} , \frac{j+k}{2^{n}} ) tvoria bázu (0, 1). Stačilo by asi, aby po prenesení topológie z U boli tieto otvorené.)

Literatúra

[1] P. S. Alexandrov. Úvod do obecní theorie množin a funkcí. NČSAV, Praha, 1954.

[2] T. C. Brown and A. R. Sember. The uniform density of sets of integers and Fermat’s last theorem. C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada, XII:1–6, 1990.

[3] P. Kostyrko. Note to the exponent of convergence. Acta Fac. Rer. Nat. Univ. Com., 34:29–38, 1979.

[4] P. Kostyrko and T. Šalát. On the exponent of convergence. Rend. Circ. Mat. Palermo, XXXI:187–194, 1982.

[5] K. Kuratowski. Topologie I. PWN, Warszawa, 1958.

[6] M. Mačaj, L. Mišík, T. Šalát, and J. Tomanová. On a class of densities of sets of positive integers. Acta Math. Univ. Comeniane, 72:213–221, 2003.

[7] J.-I. Nagata. Modern General Topology. Morth-Holland Publ. Comp., Amsterdam, London - Groningen - New York, 1968.

[8] I. P. Natanson. Theory of functions of a real variable. Moskva, 1957.

[9] H. H. Ostmann. Additive Zahlentheorie I. Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1956.

[10] G. Pólya and G. Szegö. Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis. Nauka, Moskva, 1978.

[11] B. J. Powell and T. Šalát. Convergence of subseries of the harmonic series and asymptotic densities of sets of positive integers. Publ. Inst. Math. (Beograd), 50(6):60–70, 1991.

[12] T. Šalát. Remarks on the Riemann’s theorem on divergent series. Mat.-fyz. Čas. SAV, 5:94–100, 1955.

[13] T. Šalát. On exponent of convergence of subsequences. Czechosl. Math. J., 34(109):362–370, 1984.