Okrem toho príkladu, ktorý som sľúbil, som sem dal aj nejaké veľmi jednoduché kritérium, ktoré by malo zabezpečiť, že Γ_{x} je súvislá.

K označeniu, ktoré budem používať: L_{x} = obyčajné hromadné hodnoty, Λ_{x} =statistical limit points, Γ_{x} =statistical cluster points.

Ak K ⊆ ℕ, tak pre podpostupnosť postupnosti x určenú indexovou množinou K budem používať označenie (x)_{K}.

1 Príklad postupnosti s Γ_{x} = ⟨0, 1⟩ takej, že x_{n+1} − x_{n} → 0

Cieľom je zostrojiť postupnosť x reálnych čísel takú, aby platilo lim_{n→∞} x_{n+1} − x_{n} = 0 a súčasne aby Γ_{x} bola súvislá a nie jednobodová.

Postup, ktorý použijeme vychádza z jednej vety z článku [1].

Lema 1.1 ([1, Theorem 2.8]). Ak x je postupnosť komplexných čísel a L_{x} je množina hromadných bodov x, tak existuje natiahnutie w postupnosti x také, že každý hromadný bod postupnosti x je statistical limit point postupnosti w.

Pod natiahnutím sa rozumie postupnosť, ktorá má rovnaké členy, ako postupnosť x, tieto členy sú v rovnakom poradí ako v x, len sa môžu opakovať viackrát za sebou. V spomínanom článku sa vlastne ukáže (a možno to ľahko nahliadnuť), že natiahnutie z lemy 1.1 možno získať tak, že nová postupnosť bude mať vždy od indexu 2^{k} + 1 po 2^{k+1} obsahovať k-ty člen pôvodnej postupnosti.

Z lemy 1.1 vyplýva, že ak najprv skonštruujeme postupnosť y čísel z ⟨0, 1⟩ takú, že L_{y} = ⟨0, 1⟩, tak jej natiahnutím vieme dostať postupnosť takú, že Γ_{x} = L_{y} = ⟨0, 1⟩.

Môžeme zvoliť napríklad y = 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1, \frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 0, \frac{1}{5}, …

Natiahnutá postupnosť bude vyzerať takto y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{3}, y_{4}, y_{4}, y_{4}, y_{4}, y_{5}, …, t.j. pre 2^{k} < n ≤ 2^{k+1} sa x_{n} = y_{k+1} .

Γ_{x} = L_{y} = ⟨0, 1⟩

2 Postačujúca podmienka pre súvislosť

Tu by som chcel uviesť jednoduchú postačujúcu podmienku pre súvislosť Γ_{x}. Táto postačujúca podmienka je však taká, že súčasne zabezpečí platnosť L_{x} = Γ_{x} a x_{n} − x_{n+1} → 0, čiže potom to vyplýva už z tej podmienky pre množinu obyčajných hromadných hodnôt. Teda to nie je nič prevratné.

Ak máme danú postupnosť x označme

M_{n} = max{|x_{n} − x_{k}| : n ≤ k ≤ 2n}  (1)

Všimnime si, že pre postupnosť z predchádzajúceho príkladu platí:^{1}

lim_{n→∞} M_{n} = 0  (2)

Zaujímalo by nás, či táto podmienka nezaručí súvislosť množiny Γ_{x}.

Propozícia 2.1. Ak postupnosť x_{n} reálnych čísel spĺňa (2), tak každá hromadná hodnota postupnosti x je súčasne statistical limit point tejto postupnosti.

Dôkaz. Nech x je postupnosť a t je hromadná hodnota x. Potom existuje podpostupnosť (x)_{K}, ktorá konverguje k t. Chceme nájsť netenkú postupnosť, ktorá konverguje k t.

Položme L = ⋃_{k∈K}{k, k +1, …, 2k}. Pre každé k ∈ K platí L_{2k} ⊇ {k, k +1, …, 2k}, čiže \frac{|L_{2k} |}{2k} ≥ \frac{1}{2}, teda d(L) ≠ 0. (To znamená, že podpostupnosť určená množinou L je netenká.)

Už vieme, že (x)_{L} je netenká podpostupnosť x. Ukážme ešte, že táto podpostupnosť konverguje k t. Nech ε > 0. Potom existuje k_{0} ∈ K také, že pre k > k_{0}, k ∈ K, je |x_{k} − t| < \frac{ε}{2} a tiež existuje n_{0} také, že pre n > n_{0} je M_{n} < \frac{ε}{2}. Označme N = max\{2k_{0}, 2n_{0}\}. Ukážme, že pre l ∈ L a l ≥ N platí |x_{l} − t| < ε.

l patrí do množiny {k, …, 2k} pre niektoré k ∈ K. Pretože 2k ≥ l ≥ 2k_{0}, máme k ≥ k_{0}, teda |x_{k} − t| ≤ \frac{ε}{2}. Súčasne platí k ≥ n_{0} a |x_{k} − x_{l}| ≤ M_{k} ≤ \frac{ε}{2}, čiže

|x_{l} − t| ≤ |x_{k} − x_{l}| + |x_{k} − t| ≤ ε.

Dôsledok 2.1. Ak postupnosť x spĺňa (2), tak Γ_{x} = L_{x}.

Dôkaz. Predchádzajúca propozícia vlastne tvrdí, že L_{x} ⊆ Λ_{x}, súčasne vieme, že pre každú postupnosť platí Λ_{x} ⊂ Γ_{x} ⊂ L_{x}.

Dôsledok 2.2. Ak ohraničená postupnosť reálnych čísel spĺňa (2), tak Γ_{x} je súvislá.

Dôkaz. Z podmienky (2) vyplýva, že x_{n} − x_{n+1} → 0, teda L_{x} je súvislá. Podľa dôsledku 2.1 je Γ_{x} = L_{x}.

Ešte si všimnime, že konštantu 2 v (2) možno nahradiť ľubovoľným reálnym číslom c > 1.

Literatúra

[1] J.Zeager: Statistical limit point theorems, IJMMS, vol.23, No.11 (2000), 741-752.

1Pre n totiž čísla n + 1, …, 2n ležia na rovnakom ţschodíku� ako n alebo na nasledujúcom a výška ţschodov� pre n idúce do ∞ klesá k 0.