lqm.tex 9. marca 2005

Olevskii lema and ℓ_{m}^{q}

Problém: Skúmame pórovitosť ℓ^{q} v ℓ^{r} pre 1 ≤ q < r. Problém je motivovaný nasledujúcou vetou:

Theorem 1 ([2]). Ak 1 ≤ q < r tak ℓ^{q} ⊆ ℓ^{r}, ℓ^{q} je hustá v ℓ^{r}, ℓ^{q} je prvej kategórie v ℓ^{r}.

Lemma 1 ([1]). Konvexná riedka podmnožina v Banachovom priestore je silne pórovitá.

(ℓ^{p}, ∥·∥_{p}) je Banachov priestor

(∥x∥_{p} = (∑ x_{k}^{p})^{\frac{1}{p}} označuje obvyklú normu na ℓ^{p}).

Všimnime si, že ∑ |x_{k}|^{q} ≤ m ⇔ ∥x∥_{q} ≤ m^{\frac{1}{q}}.

Z toho sa dá ľahko ukázať, že množina

ℓ_{m}^{q} = \{x ∈ ℓ_{q} : ∑ |x_{k}|^{q} ≤ m\} = \{x ∈ ℓ_{q} : ∥x∥_{q} ≤ m^{\frac{1}{q}} \}

je konvexná. Platí totiž pre x, y ∈ ℓ_{m}^{q}

∥\frac{x + y}{2} ∥_{q} ≤ ∥\frac{x}{2}∥_{q} + ∥\frac{y}{2} ∥_{q} = \frac{∥x∥_{q}}{2} + \frac{∥y∥_{q}}{2} ≤ m^{\frac{1}{q}}

(z trojuholníkovej nerovnosti v ℓ_{q}, resp. Minkowského nerovnosti).

Predpokladám, že v [2] je dokázané, že množiny ℓ_{m}^{q} sú riedke v ℓ^{r}. (Nemám ten článok, ale tipujem, že takto sa dokázalo, že ℓ_{q} je prvej kategórie.)

Z Olevského lemy vyplýva, že ℓ_{q} je σ-silno pórovitá.

Literatúra

[1] V. Olevskii: A Note on Banach-Steinhaus theorem

[2] T. Šalát: Remark on ℓ^{p} spaces