Ak g: ℕ → ℕ je zobrazenie také, že ∑ g(n) = +∞, tak I_{g} = {A ⊂ ℕ : ∑_{a∈A} g(n) < +∞} sa nazýva Ulamov ideál.

Problém 1. Platí nasledujúce zovšeobecnenie Olivierovej vety: Ak ∑ a_{n}^{g(n)} < +∞ a ∑ a_{n} < ∞, tak I_{g}-limna_{n} = 0?

Veta 1 (Olivier). Ak a_{1} ≥ a_{2} ≥ … a ∑ a_{n} < +∞, tak lim_{n→∞} na_{n} = 0.

Funkcia g(n) = 1 spĺňa predpoklad ∑ g(n) = +∞. Budeme sa snažiť ukázať, že pre túto funkciu neplatí uvedené zovšeobecnenie Olivierovej vety.

Platí I_{g} = I_{f}, pretože ∑_{n∈A} g(n) < +∞ práve vtedy, keď A je konečná mno-

žina. I_{g}-konvergencia je teda obyčajná konvergencia.

Chceme nájsť postupnosť (a_{n}) tak, aby ∑ a_{n} < +∞ (potom aj ∑ a_{n}^{g(n)} = ∑ a_{n} < +∞) a súčasne lim_{n→∞} na_{n} ≠ 0.^{1} Podľa Olivierovej vety takáto postupnosť nemôže byť monotónna.

Definujme postupnosť (a_{n}) takto:

a_{n} = \begin{cases}\frac{1}{n^{2}} & ak n nie je druhá mocnina prirodzeného čísla, \\ \frac{1}{n} & ak n = k^{2} pre nejaké prirodzené číslo k. \end{cases}

∑ a_{n} = ∑_{n≠k^{2}} \frac{1}{n^{2}} + ∑_{n=k^{2}} \frac{1}{n} ≤ ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} = 2 · \frac{π^{2}}{6} = \frac{π^{2}}{3} .

lim_{n→∞} na_{n} ≠ 0 lebo pre n = k^{2} máme na_{n} = 1 a čísla takéhoto tvaru tvoria neohraničenú podpostupnosť v ℕ.

1Zrejme príklad nejakej takejto postupnosti by mohol byť aj v článku kde je dokázaná Olivierova veta, alebo v nejakom súvisiacom článku.