1 Topológia

Ak E je súvislá podmnožina metrického priestoru, t, u ∈ E, tak existuje konečná postupnosť bodov t_{0}, …, t_{k} ∈ E, t_{0} = t, t_{k} = u, d(t_{i}, t_{i+1} ) < ε.

1.1 Bairove kategórie

Podmnožina A topologického priestoru X sa nazýva množina prvej Bairovej kategórie (v

X), ak existujú také podmnožiny A_{n} ⊂ X (n = 1, 2, …) riedke v X, že A = ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}. Ak

množina A ⊂ X nie je prvej Bairovej kategórie v X, tak sa nazýva množinou druhej Bairovej kategórie.

Množina A ⊂ X je reziduálna v topologickom priestore X, ak A je druhej Bairovej kategórie v X a X \ A je množina prvej Bairovej kategórie v X.

Veta 1 (Bairova veta). Nech (X, d) je úplný metrický priestor, X ≠ ∅. Potom X je množina druhej Bairovej kategórie v X.

Veta 2 (Bairova veta o hustote). Nech (X, d) je úplný metrický priestor, X ≠ ∅. Nech

X_{k} ⊂ X (k = 1, 2, …) sú riedke množiny. Potom množina X \ ⋃_{k=1}^{∞} X_{k} je hustá v X.

A má Bairovu vlastnosť, ak existuje otvorená množina G tak, že A \ G aj G \ A sú prvej kategórie, t.j. A = (G \ B) ∪ C, kde B a C sú prvej kategórie.

Spočítateľné zjednotenie množína, ktoré majú Bairovu vlastnosť má Bairovu vlastnosť. Ak A má Bairovu vlastnosť, tak aj komplement X \ A má Bairovu vlastnosť. Všetky Borelovské množiny majú Bairovu vlastnosť.

Veta 3 (Banach Subgroup Theorem). Ak G je vlastná podgrupa lineárneho topologického priestoru E, potom buď G je prvej kategórie alebo G nespĺňa Bairovu podmienku.

1.2 Metrické priestory

Podmnožina M metrického priestoru (X, ϱ) je pórovitá v x ∈ X, ak existuje α > 0 tak, že pre ľubovoľné ε > 0 existuje bod y v B(x, ε) tak, že B(y, αρ(x, y)) ∩ M = ∅. Ak α možno zvoliť ľubovoľne blízko k 1, tak M je silno pórovitá v x.

Množina M je (silno) pórovitá, ak je (silno) pórovitá v každom bode x ∈ M.

σ-pórovitá množina=zjednotenie spočítateľného systému pórovitých množín.

Lema 1 (Olevskii). Nech M je konvexná riedka množina v Banachovom priestore X. Potom M je silne pórovitá.

2 Hausdorffova miera

Uvedieme definíciu z [ŠŠN].

(X, d) bude stále predstavovať separabilný metrický priestor. Znakom S_{n} budeme označovať systém všetkých gúľ s priemerom nepresahujúcim \frac{1}{n} a ∅. Nech p ≥ 0. Definujme na S_{n} funkciu τ_{n}^{(p)} takto:

τ_{n}^{(p)} = \begin{cases}0, & ak E = ∅ \\ (d(E))^{p}, & ak E ≠ ∅. \end{cases}

Veta 4. Nech pre n = 1, 2, … sú μ_{n}^{∗(p)} vonkajšie miery na systéme všetkých podmnožín množiny X indukované pomocou funkcií τ_{n}^{(p)} a systémov S_{n}. Potom funkcia μ^{∗(p)} definovaná tak, že pre E ⊂ X platí μ^{∗(p)} = lim_{n→∞} μ^{∗(p)}(E), je metrickou vonkajšou mierou. Nazývame ju Hausdorffova p-rozmerná vonkajšia miera.

Mieru μ^{(p)} definovanú na systém S_{μ^{∗(p)}} všetkých μ^{∗(p)}-merateľných množín nazývame Hausdorffova p-rozmerná miera.

Veta 5. Ak pre nejakú množinu E ⊂ X je μ^{∗(p)}(E) < +∞, tak pre p′ > p platí μ^{∗(p′)}(E) = 0.

Definícia 1. Nech E ⊂ X, Hausdorffovou dimeziou množiny E ⊂ X nazývame číslo

dimE = sup{p : μ^{∗(p)}(E) = +∞}.

Ak X je separabilný priestor, tak dimenzia každej spočítateľnej množiny je 0.

Veta 6. Nech A ⊂ X je ľubovoľná množina. Potom existuje množina E typu G_{δ} tak, že E ⊃ A a μ^{(p)}(E) = μ^{∗(p)}(E) = μ^{∗(p)}(A).

Veta 7. 1-dimenzionálna vonkajšia Hausdorffova miera pre metrický priestor (−∞, ∞) sa zhoduje s vonkajšou Lebesguovou mierou.

TODO? Je podmnožina množiny s Hausdorffovou dimenziou 0 tiež dimenzie 0?

3 Hustoty

3.1 Asymptotická hustota

Nech A ⊂ ℕ, označme d_{n}(A) = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} χ_{A}(k), \underline{d}(A) = lim inf d_{n}(A), \overline{d}(A) = lim supd_{n}(A). Ak \underline{d}(A) = \overline{d}(A), tak ich spoločnú hodnotu označujeme d(A) a nazývame asymptotická hustota množiny A. (Teda d(A) = limd_{n}(A), ak táto limita existuje.)

\overline{d}(ℕ \ A) = 1 − \underline{d}(A)
Ak existuje d(A), tak existuje aj d(ℕ \ A) a d(ℕ \ A) = 1 − d(A).

M = \{m_{1} < m_{2} < …\} ⇒ \underline{d}(M) = lim inf \frac{k}{m_{k}} ,

\overline{d}(M) = lim sup \frac{k}{m_{k}} , d(M) = lim \frac{k}{m_{k}}

Ak A = {a_{1} < a_{2} < …} a ∑ a_{k}^{−1} < +∞, tak d(A) = 0.

Ak \overline{d}(A) > 0, tak množina A obsahuje ľubovoľne dlhú konečnú aritmetickú postupnosť. (Szemerédi) Problém, či množina P všetkých prvočísel obsahuje ľubovoľne dlhú aritmetickú postupnosť, je otvorený problém, ktorý je považovaný za veľmi obtiažny až beznádejný. ([BŠ])

It has been conjectured that ’positive density’ could here be relaxed to ’positive logarithmic density’, i.e. a sequence whose series of reciprocals, implying that the sequence of primes numbers contains arithmetic progressions of any length.

A proof of this result on primes was announced by Tao and Green in April 2004.

Veta 8 (Van der Waerden, 1927). Ak množina prirodzených čísel A_{1} ∪ A_{2} obsahuje ľubovoľne dlhé aritmetické postupnosti, tak aspoň jedna z množín A_{1}, A_{2} má tú istú vlastnosť.

Van der Waerdedenov ideál = množiny, ktoré neobsahujú ľubovoľne dlhú aritmetickú postupnosť.

3.2 Logaritmická hustota

δ_{n}(A) = \frac{1}{S_{n}} ∑_{k=1}^{n} \frac{χ_{A}(k)}{k}, kde S_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k}

\underline{δ}(A) = lim inf δ_{n}(A), \overline{δ}(A) = lim supδ_{n}(A), δA = limδ_{n}(A), ak táto limita existuje.

\underline{d}(A) ≤ \underline{δ}(A) ≤ \overline{δ}(A) ≤ \overline{d}(A)

Na základe formuly S_{n} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k} = lnn+γ +o(\frac{1}{n}) môžeme písať lnn namiesto S_{n} v definícii logaritmickej hustoty.

3.3 Rovnomerná hustota

A(t + 1, t + s) := card{n ∈ A : t + 1 ≤ n ≤ n + s} β_{s} = lim inf A(t + 1, t + s), β^{s} = lim supA(t + 1, t + s) \underline{u}(A) = lim_{s→∞} \frac{β_{s}}{s}, \overline{u}(A) = lim_{s→∞} \frac{β^{s}}{s} Ak \underline{u}(A) = \overline{u}(A), tak je to rovnomerná hustota - u(A).

\underline{u}(A) ≤ \underline{d}(A) ≤ \overline{d}(A) ≤ \overline{u}(A)

Postupnosť a_{1} < a_{2} < … prirodzených čísel sa nazýva lakunárna, ak lim_{n→∞} a_{n+1} −a_{n} = ∞. Lakunárna množina = konečná, alebo je množinou členov lakunárnej postupnosti. Ak A je lakunárna, tak \overline{u}(A) = 0.

Kompaktná submiera, je zobrazenie m: P(ℕ) → ⟨0, ∞) také, že:

(i) A ⊆ B ⇒ m(A) ≤ m(B)

(ii) m(A ∪ B) ≤ m(A) + m(B)

(iii) m({a}) = 0

(iv) Pre každé ε > 0 existujú množiny A_{1}, …, A_{k} tak, že A_{1} ∪ … A_{k} = ℕ a m(A_{i}) < ε pre i = 1, …, k

4 Konvergencia

4.1 Štatistická konvergencia

st-limx_{n} = L ⇔ ∀ε d({k ∈ N : |x_{k} − L| ≥ ε}) = 0

st-limx_{n} = L ⇔ existuje konvergentná podpostupnosť y tak, že limy = L a d{k ∈ ℕ : x_{k} = y_{k}} = 0 (x_{k} = y_{k} pre skoro všetky k). L_{x}=množina obyčajných hromadný bodov postupnosti x Statistical limit point= existuje netenká postupnosť konvergujúca k L. Λ_{x}=statistical limit points of x Statistical cluster point= pre každé ε > 0 množina {k ∈ ℕ : |x_{k} − L| < ε} nemá hustotu 0. Γ_{x}=statistical cluster points

Λ_{x} ⊂ Γ_{x} ⊂ L_{x}

Ak x, y sú postupnosti a x_{k} = y_{k} pre skoro všetky k, tak Λ_{x} = Λ_{y} Γ_{x} = Γ_{y}. Ak x je ľubovoľná postupnosť, tak existuje postupnosť y tak, že L_{y} = Γ_{x} a y_{k} = x_{k} pre skoro všetky k, navyše Rng(y) ⊂ Rng(x). Ak x je postupnosť komplexných čísel a L_{x} je množina hromadných bodov x, tak existuje natiahnutie w postupnosti x také, že každý hromadný bod postupnosti x je statistical limit point postupnosti w.

Veta 9. Ak (X, d) je kompaktný metrický priestor, ξ = (x_{n}) je postupnosť taká, že limd(x_{n}, x_{n+1} ) = 0, tak L_{ξ} je súvislá.

Veta 10. Ak X je metrický priestor, ξ = (x_{n}) je postupnosť a L_{x} ≠ ∅ je súvislá množina, tak existuje podpostupnosť η = (y_{n}) tak, že limd(y_{n}, y_{n+1} ) = 0, L_{ξ} = L_{η}.

Veta 11. Nech x = (x_{n}) je ohraničená. Potom x štatisticky konverguje k číslu L práve vtedy, keď x je silno C-sumovateľná k L.

4.2 I-konvergencia

Netriviálny ideál I nazývame prípustný, (admissible) ak {x} ∈ I pre každé x ∈ X.

Definícia 2. Nech I je netriviálny ideál na ℕ. Postupnosť x = (x_{n}) prvkov metrického priestoru I-konverguje k L ∈ X, (L = I-limx_{n}) ak pre každé ε > 0 množina A(ε) = {n ∈ ℕ : ϱ(x_{n}, t) ≥ ε} patrí do I.

I_{d} = {A ⊂ ℕ; d(A) = 0} je prípustný ideál, I_{d}-konvergencia je štatistická konvergencia. I_{δ} - logaritmická štatistická konvergencia I_{u} - rovnomerná štatistická konvergencia I_{c} = {A ⊂ N : ∑_{a∈A} a^{−1} < +∞} Z I_{c}-konvergencie vyplýva štatistická konvergencia. Ak I je prípustný, tak z obvyklej konvergencie vyplýva I-konvergencia. Ak I je prípustný ideál, ktorý neobsahuje nekonečnú množinu, tak I-konvergencia koinciduje s obvyklou konvergenciou.

Ak I je maximálny, tak každá postupnosť má limitu (konečnú alebo ∞). Špeciálne, každá ohraničená postupnosť má konečnú limitu.

4.3 I^{∗}-konvergencia

Definícia 3. Postupnosť (x_{n}) I^{∗}-konverguje ku L, ak existuje množina M ∈ F(I), M = {m_{1} < m_{2} < …} tak, že vybraná podpostupnosť x_{m_{k}} konverguje ku L.

Ak I je prípustný ideál, tak I^{*}-limx_{n} = L ⇒ I-limx_{n} = L.

I_{d}-konvergencia je ekvivalentná s I_{d}^{∗}-konvergenciou. I_{δ}-konvergencia je ekvivalentná s I_{δ}^{∗}-konvergenciou.

Definícia 4. Prípustný ideál I spĺňa podmienku (AP), ak pre každý spočítateľný systém {A_{1}, A_{2}, …} po dvoch disjunktných množín z I existuje spočítateľný systém množín B_{j} ⊂ ℕ taký, že A_{j} ÷ B_{j} sú konečné a B = ⋃_{j=1}^{n} B_{j} patrí do I. [Zrejme aj všetky B_{j} ∈ I.]

Ekvivalentné podmienky (pozri [BDK]): (AP’) Ako (AP) ale nepredpokladáme, že sú po 2 disjunktné. Každý spočítateľný systém množín z I má pseudoprienik v I (t.j. existuje A ∈ I také, že všetky A_{n} \ A sú konečné).

Pre ideál spĺňajúci túto podmienku sa tiež používa názov P-ideál.

TODO Ďalšia zaujímavá ekvivalentná podmienka je [GMZ, Theorem 6b] (ekvivalencia je dokázaná v [GMZ, Theorem ?])

Veta 12. Z I-konvergencie vyplýva I^{∗}-konvergencia práve vtedy, keď ideál I spĺňa podmienku (AP).

4.4 I-variácia

Variácia postupnosti x = Varx = ∑|x_{n} − x_{n+1} |. Variácia na množine K = {k_{1} < k_{2} < …} = Varx|K = ∑|x_{k_{n}} − x_{k_{n+1}} | Postupnosť x má konečnú I-variáciu, ak existuje K ∈ F(I) taká, že Varx|K < +∞.

4.5 Banachova limita

Ak limitu chápeme ako lineárny operátor z podpriestoru priestoru l_{∞}, tak má tieto vlastnosti:

(i) LIM(c.f + d.g) = c. LIMf + d. LIMg

(ii) f ≥ 0 ⇒ LIMf ≥ 0

(iii) LIMf = LIMfs, kde fs označuje posunutie postupnosti f o jeden člen.

(iv) Ak existuje limita limf v obvyklom zmysle, tak LIMf má tú istú hodnotu.

Lineárny operátor na priestore všetkých ohraničených postupností, ktorý má tieto vlastnosti, sa nazýva Banachova limita.

TODO z Connors-Grosse: jednoznačnosť Bl a almost convergence, citacia, strong matrix methods

TODO μ-statistical convergence

5 Priestory postupností

K-priestor - lineárny topologický priestor, všetky projekcie sú spojité. FK-priestor - K-priestor, kde topológia je daná metrikou.

Veta 13 (Landau). Nech \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Ak pre ľubovoľný rad (x_{k}) ∈ ℓq rad ∑ a_{k}x_{k} konverguje, tak (a_{k}) ∈ ℓ_{p}.

Hölderova nerovnosť: (x_{k}) ∈ ℓ_{p}, (y_{k}) ∈ ℓ_{q} ⇒ |∑ x_{k}y_{k}| ≤ (∑ x_{k}^{p})^{\frac{1}{p}} (∑ y_{k}^{q})^{\frac{1}{q}} Metriky na priestore všetkých postupností:

Fréchetova metrika: d_{F} (a, b) = ∑_{i=1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} \frac{|a_{n}−b_{n}|}{1+|a_{n}−b_{n}|}

Bairova metrika d_{B}(a, b) = \frac{1}{min \{n∈ℕ;a_{n}≠b_{n}\}} pre a ≠ b. Dindošova metrika (pre ohraničené postupnosti): d_{D}(a, b) = sup\{|\frac{a_{1} −b_{1}}{1} |, |\frac{a_{1} +a_{2} −b_{1} −b_{2}}{2} |, |\frac{a_{1} +a_{2} +a_{3} −b_{1} −b_{2} −b_{3}}{1} |, …\} Pre φ: {0, 1}^{ℕ} → ⟨0, 1⟩, φ((a_{n})_{n=1}^{∞} ) je d_{E}(a, b) = |φ(a) − φ(b)| pseudometrika, vynechaním postupností, ktoré konečia samými jednotkami, dostaneme metrický priestor.

6 Metódy sumovateľnosti

S označuje priestor všetkých postupností, S_{1} ⊂ S. T: S_{1} → S nech je lineárna transformácia. Znakom F(T) označíme množinu všetkých x ∈ S_{1}, pre ktoré T x ∈ C (T x je konvergentná postupnosť). Limitu postupnosti T x označujeme T − limx. Postupnosti x ∈ F(T) nazývame T -limitovateľné. Množinu F(T) voláme konvergenčným poľom lineárnej transformácie T.

Lineárna transformácia T: S_{1} → S sa nazýva metódou limitovania, ak S_{1} obsahuje všetky ohraničené postupnosti a pre každú ohraničenú postupnosť x ∈ S_{1} je T x zasa ohraničená.

Metóda limitovania T′ sa nazýva silnejšia než metóda T, ak F(T) ⊊ F(T′).

Definícia 5. Lineárna transformácia T: S_{1} → S sa nazýva regulárnou, ak C ⊂ F(T) a pre x ∈ C

T − limξ_{k} = limξ_{k}.

Metóda sumovateľnosti (sumability) nekonečných radov = metóda limitovateľnosti pre postupnosť čiastočných súčtov.

Maticové metódy limitovania a sumovateľnosti: T = (a_{m,n}) je nekonečná matica, ktorej členy sú reálne čísla. Ak x = (x_{k}) ∈ S, zostrojíme rady

t_{m} = ∑_{n=1}^{∞}a_{m,n}x_{n}.

Za predpokladu, že všetky tieto číselné rady konvergujú dostaneme číselnú postupnosť (t_{m}), ktorú označíme znakom T x.

Veta 14. Nech T = a_{m,n} je nekonečná matica s reálnymi členmi.

Nutná a postačujúca podmienka k tomu, aby T x existovalo pre každú ohraničenú postupnosť x je, aby T x existovalo pre každú postupnosť x = (x_{k}), x_{k} → 0.

Nutná a postačujúca podmienka k tomu, aby T x existovalo pre každú postupnosť x = (x_{k}), x_{k} → 0 je, aby

∑_{n=1}^{∞}|a_{m,n}| < +∞.

Veta 15. Lineárna transformácia T definovaná maticou (a_{m,n}) zobrazuje každú ohraničenú postupnosť na ohraničenú postupnosť vtedy a len vtedy, keď existuje také M_{0} > 0, že pre každé m = 1, 2, …

∑_{n=1}^{∞}|a_{m,n}| ≤ M_{0}.

Veta 16. Lineárna transformácia T definovaná maticou (a_{m,n}) je regulárnou metódou limitovania práve vtedy, keď súčasne platí:

a) Existuje také M > 0, že pre každé m = 1, 2, …

∑_{n=1}^{∞}|a_{m,n}| ≤ M;

b) Pre každé n = 1, 2, … platí lim_{m→∞}a_{m,n} = 0;

c) lim_{m→∞} ∑_{n=1}^{∞} a_{m,n} = 1.

Cesárova metóda: T x = lim_{n→∞} \frac{x_{1} +...+x_{n}}{n} , t.j. a_{m,n} = \frac{1}{m} pre n ≤ m, inak 0.

Norlundova metóda: (p_{m}) je postupnosť nezáporných reálnych čísel, P_{m} = p_{1} + … + p_{m}, a_{m,n} = p_{m−n+1} /P_{m} pre n ≤ m, 0 inak.

t_{m} = \frac{p_{m}x_{1} + p_{m−1}x_{2} + … + p_{1}x_{m}}{P_{m}}

Norlundova metóda je regulárna práve vtedy, keď lim \frac{p_{n}}{P_{n}} = 0.

Rieszova metóda

t_{m} = \frac{p_{1}x_{1} + p_{2}x_{2} + … + p_{m}x_{m}}{P_{m}}

Hovoríme, že (x_{n}) je (R, p_{n})-sumovateľná ku ξ, tak lim_{m→∞} t_{m} = ξ.

Rieszova metóda je regulárna práve vtedy, keď limP_{m} = ∞.

Ak p_{n} = 1 pre každé n, dostaneme Césarovu metódu.

Postupnosť (x_{n}) je silno α − (R, p_{n})-sumovateľná ku ξ, ak lim_{n→∞} \frac{1}{P_{n}} ∑_{k=1}^{∞} p_{k}|x_{k} − ξ|^{α} = 0.

Abelova metóda: Označme s_{n} = a_{0} + a_{1} + … + a_{n}. Ak existuje lim_{x→1^{−}} a_{n}x^{n} = s, potom

hovoríme, že postupnosť (s_{n}) je A-limitovateľná (rad ∑ a_{n} je A-sumovateľný) k číslu s.

Abelova metóda je regulárna. Ak je rad Césarovsky sumovateľný, tak je sumovateľný Abelovou metódou k tomu istému súčtu.

Vety Tauberovho typu = ak rad je sumovateľný nejakou metódou a platí nejaké dodatočná podmienka, tak z toho vyplýva konvergencia tohto radu.

Veta 17. Nech rad ∑ a_{n} (s reálnymi členmi) je sumovateľný Abelovou metódou k súčtu s a nech na_{n} → 0. Potom ten rad konverguje a má súčet s.

Veta 18 (Steinhaus). Nech T je regulárna metóda definovaná maticou (a_{n,k}). Potom existuje postupnosť núl a jednotiek nelimitovateľná metódou T.

Hovoríme, že postupnosť x = (x_{n}) je silno C-sumovateľná k L, ak lim_{n→∞} \frac{|x_{1} −L|+...+|x_{n}−L|}{n} = 0.

7 Exponent konvergencie

Nech A = {a_{1} < a_{2} < …}. Položíme σ(A) = 0, ak A je konečná a σ(A) = inf{t > 0; ∑_{k=1}^{∞} a_{k}^{−t} <

+∞}

σ(A) = lim sup \frac{logn}{loga_{n}}

8 Zovšeobecnenia spojitosti

Definícia 6. Nech X a Y sú topologické priestory. Nech f: X → Y. Hovoríme, že f je kvázispojitá v bode x_{0} ∈ X, ak pre každé okolie U(x_{0}) bodu x_{0} v X a pre každé okolie V (f(x_{0})) bodu f(x_{0}) v Y existuje taká neprázdna otvorená množina G ⊂ U(x_{0}), že f[G] ⊂ V (f(x_{0})). [Na rozdiel od spojitosti nepožadujeme x ∈ G.]

Veta 19 (Kempisty). Ak je funkcia viacerých premenných kvázispojitá v každej premennej, tak je spojitá.

Definícia 7. Funkcia f: X → Y je trochaspojitá v X ak pre každú otvorenú podmnžinu G ⊂ Y takú, že f^{−1}(G) ≠ ∅ platí Intf^{−1}(G) ≠ ∅

kvázispojitá ⇒ trochaspojitá

Veta 20. g: X → Y je kvázispojitá ⇔ pre každú otvorenú neprázdnu podmnožinu G ⊂ X je f|_{G} trochaspojitá.

Veta 21. Funkcia f: X → Y je trochaspojitá ⇔ pre každú podmnožinu M hustú v X platí, že f[M] je hustá v f[X].

Definícia 8. Funkcia f: X → Y je slabospojitá v x_{0} ∈ X, ak pre každé okolie V = V (f(x_{0})) existuje okolie U = U(x_{0}) tak, že f[U] ⊂ \overline{V}.

Ak Y je regulárny priestor, tak spojitosť je ekvivalentná so slabou spojitosťou.

9 Zovšeobecnenia konvergencie

Postupnosť f_{n}: X → ℝ kvázinormálne konverguje k f: X → ℝ na X, ak pre každú postupnosť (ε_{n}), takú že ε_{n} > 0, ε_{n} → 0 existuje n_{x} tak, že pre každé n ≥ n_{x} |f_{n}(x) − f(x)| < ε_{n}.^{1}

Literatúra

[BDK] M. Balcerzak, K. Dems, and A. Komisarski. Statistical convergence and ideal convergence for sequences of functions.

[BŠ] B. Balcar and P. Štěpánek. Teorie množin. Academia, Praha, 2001.

[GMZ] G. Grekos, L. Mišík, and M. Ziman. I-convergence and property (T). 2006. preprint.

[ŠŠN] M. Švec, T. Šalát, and T. Neubrunn. Matematická analýza funkcií reálnej premennej. Alfa, Bratislava, 1987.

1?Čo znamená index x v n_{x}? Ako že to závisí od bodu x?