Verzia: 25. júna 2002

Problém homeomorfnosti topologických priestorov

Def: D^{n} = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n}; x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2} ≤ 1} je tzv. (uzavretá) jednotková guľa v ℝ^{n}. Def: D̊^{n} = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n}; x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2} < 1} je tzv. n-rozmerná jednotková bunka v ℝ^{n}. D̊^{n} ≈ ℝ^{n} h : D̊^{n} → ℝ^{n} h(x) = \frac{x}{1−∥x∥} h^{−1}(y) = \frac{y}{1+∥y∥}

Def: Každý topologický priestor homeomorfný s D̊^{n} sa nazýva n-rozmerná bunka (n-bunka). Každý topologický priestor homeomorfný s D^{n} sa nazýva n-rozmerná guľa. Tvrdenie: D̊^{k} × D̊^{p} je (k + p)-rozmerná bunka. Def: S^{n} := {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n+1} , x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n+1}^{2} = 1} je n-rozmerná jednotková sféra. Každý priestor homeomorfný s S^{n} sa nazýva n-rozmerná sféra. D_{+}^{n} = {(x_{1}, …, x_{n} ∈ S^{n}; x_{n+1} ≥ 0} = horná hemisféra D_{−}^{n} = {(x_{1}, …, x_{n} ∈ S^{n}; x_{n+1} ≤ 0} = dolná hemisféra S^{n} = D_{+}^{n} ∪ D_{−}^{n} D_{+}^{n} ∩ D_{−}^{n} = {(x_{1}, …, x_{n} ∈ S^{n}; x_{n+1} = 0} = rovník D_{+}^{n} ∩ D_{−}^{n} ≈ S^{n−1} Tvrdenie: Nech x_{0} ∈ S^{n} je ľubovoľný bod. Potom S^{n} − {x_{0}} ≈ ℝ^{n}. Lema: Nech h : X → Y je homeomorfizmus, X a Y sú T_{1}-priestory (t.j. jednobodové množiny sú uzavreté). Potom pre ľubovoľný bod x_{0} ∈ X je h|_{X−{x_{0} }} : X − {x_{0}} → Y − {h(x_{0})} homeomorfizmus. Poznámka: Podľa mňa tu vôbec netreba predpoklad T_{1}, ale ak ide o T_{1}-priestory, tak možno lemu obrátiť. Def: Pre ľubovoľný topologický priestor X a x_{0} ∈ X definujeme číslo P_{x_{0}}(X) = počet komponentov súvislosti priestoru X − {x_{0}}. P_{x_{0}}(X) = sa nazýva index bodu x_{0} v X. Tvrdenie: Ak existuje homeomorfizmus h : X → Y, tak pre ľubovoľné x_{0} ∈ X máme P_{x_{0}}(X) = P_{h(x_{0} )}(Y). Def: Oblasť je otvorená súvislá podmnožina priestoru ℝ^{n}. Veta: (o invariantnosti oblastí) Ak X, Y sú 2 podpriestory v ℝ^{n} a existuje homeomorfizmus medzi nimi, tak z otvorenosti X vyplýva otvorenosť Y. Dôsledok: Homeomorfný obraz oblasti je oblasť. Veta: (o invariantnosti dimenzie) ℝ^{m} ≈ ℝ^{n} ⇔ m = n. Dôsledok: S^{m} ≈ S^{n} ⇔ m = n. Veta: (O invariantnosti okraja) Nech h : D^{n} → D^{n} je homeomorfizmus. Potom h(S^{n−1}) = S^{n−1}.

Konštrukcia topologických priestorov

Veta: Nech X je topologický priestor s reláciou ekvivalencie ∼_{R} a Y je topologický priestor s reláciou ekvivalencie ∼_{S}. Nech f : X → Y je spojité zobrazenie také, že rešpektuje dané relácie ekvivalencie (teda x ∼_{R} y ⇒ f(x) ∼_{S} f(y)), potom predpis [x] ↦ [f(x)] dobre definuje zobrazenie f̃ : X/∼_{R} → Y/∼_{S}, f̃ je spojité. Okrem toho ak f je homeomorfizmus rešpektujúci dané relácie a f^{−1} tiež rešpektuje dané relácie ekvivalencie, tak f̃: X/∼_{R} → Y/ ∼_{S} je homeomorfizmus. Dohoda: Budeme stále predpokladať, že pri konštrukciách nových priestorov všetko, čo použijeme má také vlastnosti, aby aj výsledný priestor bol Hausdorffovský.

Faktorový priestor podľa podpriestoru

Def: Nech X je topologický priestor a nech A ≠ ∅ je uzavretý topologický podpriestor X. Potom na X máme reláciu ekvivalencie ∼ určenú podpriestorom A: x ∼ y ⇔ {x, y} ⊂ A ∨ x = y. Faktorový topologický priestor X/ ∼ potom značíme X/A = faktorový priestor topologického priestoru X podľa topologického podpriestoru A. (”X podľa A”) Def: Ak X je topologický priestor, A jeho ľubovoľný topologický podpriestor, tak dvojica (X, A) sa nazýva (topologický) pár priestorov. zobrazenie párov f : (X, A) → (Y, B) je spojité zobrazenie f : X → Y také, že f(A) ⊂ B. Zobrazenie párov f : (X, A) → (Y, B) je homeomorfizmus párov, ak f : X → Y je homeomorfizmus taký, že f(A) = B. Veta: Nech f : (X, A) → (Y, B) je zobrazenie topologických párov, predpokladajme, že podpriestory A, B sú uzavreté. Potom predpis [x] ↦ [f(x)] definuje spojité zobrazenie \overline{f} : X/A → Y/B. navyše, ak f je homeomorfizmus párov, tak \overline{f} : X/A → Y/B je homeomorfizmus.

Def: Zobrazenie topologických párov sa nazýva relatívny homeomorfizmus, ak f|_{X−A} : X − A → Y − B je homeomorfizmus. Veta: Nech A ≠ ∅ je uzavretý topologický podpriestor X, potom p : (X, A) → (X/A, {[A]}) je relatívny homeomorfizmus. Veta: Nech X je kompaktný priestor a A ≠ ∅ nech je uzavretý podpriestor. Potom X/A je jednobodová kompaktifikácia priestoru X − A. D^{n}/S^{n−1} ≈ S^{n} Def: Valec (cylinder) nad priestorom X je X × I, kde I =< 0, 1 > Faktorový priestor X × I/X × {1} sa nazýva kužeľ (kónus) nad X a značíme ho CX. CS^{n−1} ≈ D^{n} Def: Nech {X_{j}}_{j∈J} je systém navzájom disjunktných topologických priestorov. Z každého X_{j} vyberme x̊_{j} ∈ X_{j}. Faktorový priestor +_{j∈J} X_{j}/{x̊_{j}}_{j∈J} sa nazýva jednobodové spojenie (wedge) priestorov

X_{j}, označuje sa ⋁_{j∈J} X_{j}, pri konečnom počte X_{1} ∨ X_{2} ∨ X_{3}

Zliepanie topologických priestorov

Def: Nech X, Y sú topologické priestory a nech A ⊂ X je uzavretý podpriestor. Ak máme dáke spojité zobrazenie f : A → Y , tak môžeme definovať nový topologický priestor Y ∪_{f} X (”Y zlepené s X pomocou f pozdĺž A”), takto: na topologickej sume X + Y zoberieme reláciu ekvivalencie ∼ určenú tým, že a ∼ f(a) pre všetky a ∈ A. Potom Y ∪_{f} X := (X + Y)/_{∼}.

Plochy

Def: Plocha je hausdorffovský topologický priestor P so spočítateľnou bázou topológie taký, že každý jeho bod má okolie homeomorfné s uzavretým diskom D^{2}. Ak P je plocha a pre daný bod x ∈ P je h : A → D^{2} homeomorfizmus z okolia A bodu x na D^{2}, tak x sa nazýva vnútorný bod plochy P, ak h(x) ∈ D̊^{2}, a x sa volá okrajový bod (hraničný bod) plochy P, ak h(x) ∈ S^{1} ⊂ D^{2}. Tvrdenie: Táto definícia nezávisí od výberu okolia A ani homeomorfizmu h. Def: Množina všetkých okrajových bodov plochy P sa nazýva okraj plochy P, označujeme ∂P, P − ∂P sa nazýva vnútro plochy. Plocha, ktorá je kompaktná a taká, že ∂P = ∅ sa nazýva uzavretá plocha. Def: Plocha P sa nazýva orientovateľná, ak pri obehnutí po ploche P po ľubovoľnej uzavretej ceste prenesieme zvolený súradnicový systém do koncového (=začiatočného) bodu tak, že výsledný súradnicový systém súhlasí s pôvodným, pri prenose dávame pozor, aby sme súradnicový systém ”nezmenili”. neorientovateľná = ak nie je orientovateľná.

Klasifikácia uzavretých plôch

Def: Nech P_{1}, P_{2} sú dve uzavreté plochy. Nech x_{1} ∈ P_{1}, x_{2} ∈ P_{2}, h_{1} : D_{1} → D^{2} , h_{2} : D_{2} → D^{2} sú homeomorfizmy, pričom x_{1} ∈ D_{1}, x_{2} ∈ D_{2}. h_{2}^{−1} ∘ h_{1} : D_{1} → D_{2} je homeomorfizmus, zobrazuje okraj na okraj. Vyrežme D̊_{1} z P_{1} a D̊_{2} z P_{2}. Dostaneme P_{1} − D̊_{1}, P_{2} − D̊_{2} plochy s okrajom. ∂(P_{1} − D̊_{1}) ≈ ∂D_{1} ∂(P_{2} − D̊_{2}) ≈ ∂D_{2} h_{2}^{−1} ∘ h_{1} : ∂D_{1} → P_{2} − D̊_{2} ∂D_{1} je uzavretý podpriestor v P_{1} − D̊_{1}, čiže môžeme prilepiť plochu P_{1} − D̊_{1} k ploche P_{2} − D̊_{2} pomocou h_{2}^{−1} ∘ h_{1}. Výsledok zlepenia je tiež plocha a topologicky nezávisí od výberu homeomorfizmov h_{1}, h_{2}. Výslednú plochu značíme P_{1}#P_{2}, je to tzv. súvislá suma plôch P_{1} a P_{2}. Veta: Každá uzavretá plocha je homeomorfná s jednou (a iba jednou) z týchto plôch: P_{m} = S^{2}#T^{2}# … #T^{2}, kde m ≥ 0 P̃_{k} = S^{2}#ℝP^{2}# … #ℝP^{2}, kde k ≥ 1 Plocha P_{m} sa nazýva orientovateľná plocha rodu m, plocha P̃_{k} sa nazýva neorientovateľná plocha rodu k.

Topologické variety s okrajom

Def: Hausdorffovský topologický priestor M so spočítateľnou bázou topológie je n-rozmerná topologická varieta s okrajom, ak každý bod má okolie homeomorfné s uzavretým diskom D^{n}.

Ak M je n-rozmerná topologická varieta s okrajom a pre x ∈ M je h : A → D^{n} homeomorfizmus, tak bod x je vnútorný bod M, ak h(x) ∈ D̊^{n} a x je okrajový bod M, ak x ∈ S^{n−1} ⊂ D^{n}. ∂M je množina všetkých okrajových bodov variety M, nazýva sa okraj variety M. Ak M je kompaktná a ∂M = ∅, tak je to tzv. uzavretá varieta. Tvrdenie: Ak ∂M je okraj n-rozmernej topologickej variety, tak ∂M je (n − 1)-rozmerná varieta bez okraja. Lema: Nech M je n-rozmerná topologická varieta, nech ∂M ≠ ∅. Potom pre ľubovoľný bod z ∈ ∂M existuje okolie W ∋ z také, že existuje homeomorfizmus h : D^{n−1} × I → W taký, že h(0, 0) = z a h(D^{n−1} × {0}) = W ∩ ∂M.

Priliepanie n-rozmernej bunky k priestoru

Def: Nech X je topologický priestor (podľa dohody hausdorffovský) a nech f : S^{n−1} → X je spojité zobrazenie. S^{n−1} je uzavretý podpriestor v D^{n}. Prilepme D^{n} k X pomocou f pozdĺž S^{n−1}, vznikne priestor X ∪_{f} D^{n} X ∪_{f} D^{n} = X + D^{n}/ ∼, kde ∼ je generované tým, že a ∼ f(a) pre a ∈ S^{n−1}. p : X + D^{n} → X + D^{n}/ ∼= X ∪_{f} D^{n} je kanonická projekcia, p(z) = [z]. e^{n} := p(D̊^{n}) ≈ D̊^{n} sa volá n-rozmerná bunka priestoru X ∪_{f} e^{n} Tvrdenie: p|_{D^{n}} : (D^{n}, S^{n−1}) → (X ∪_{f} e^{n}, p(X)) je relatívny homeomorfizmus. Tvrdenie: Pár priestorov (Z, X) a relatívny homeormorfizmus F : (D^{n}, S^{n−1}) → (Z,X), kde Z je hausdorffovský a X je uzavretý. Potom Z je priestor, vzniknutý z X prilepením jednej n-rozmernej bunky pomocou F |_{S^{n−1}}, t.j. Z ≈ X ∪_{F |S^{n−1}} e^{n}. Veta: Nech f : X → Y je spojité zobrazenie, nech na X je relácia ekvivalencie ∼_{R} a na Y je relácia ekvivalencie daná rovnosťou. Ak f rešpektuje dané relácie ekvivalencie, tak \overline{f} : X/ ∼_{R}→ Y ; \overline{f}([z]) = f(z) je dobre definované spojité zobrazenie. Veta: Nech f : X → Y je spojité zobrazenie, ∼_{R} je relácia na X, ∼_{S} je relácia daná rovnosťou na Y. Ak pre každé z ∈ X je množina f(p^{−1}[z]) jednobodová, tak máme dobre definované zobrazenie fp^{−1} : X/ ∼_{R}→ Y fp^{−1}([z]) = f(p^{−1}[z]). Veta: Nech A je uzavretý podpriestor priestoru X a f : A → Y je spojité zobrazenie. Nech φ : X → Z,

ψ : Y → Z sú spojité zobrazenia také, že diagram \begin{matrix}A & ↪^{i} & X \\ ↓ f & & ↓ φ \\ Y & →^{ψ} & Z \end{matrix} komutuje.

Potom (φ + ψ)p^{−1} : Y ∪_{f} X → Z je dobre definované a spojité. [φ + ψ : X + Y → Z je spojité zobrazenie. (φ + ψ)|_{X} = φ, (φ + ψ)|_{Y} = ψ] Veta: Nech Z je hausdorffovský topologický priestor a nech X je jeho uzavretý podpriestor taký, že existuje relatívny homeomorfizmus F : (D^{n}, S^{n−1}) → (Z, X) . Potom priestor Z je homeomorfný s priestorom, ktorý vznikne z X tak, že k X prilepíme pomocou zobrazenie F |_{S^{n−1}} jednu n-rozmernú bunku. Tvrdenie: Projektívny priestor ℝP^{n} sa dostane z ℝP^{n−1} tak, že k ℝP^{n−1} vhodne prilepíme jednu n-rozmernú bunku, t.j. ℝP^{n} = ℝP^{n−1} ∪ e^{n} (Z toho: ℝP^{n} = e^{0} ∪ e^{1} ∪ ⋯ ∪ e^{n−1} ∪ e^{n})

Súvislé a lineárne súvislé priestory

Def: Topologický priestor X ≠ ∅ je súvislý, ak okrem ∅ a X v ňom nie sú iné obojaké (t.j. otvorené aj uzavreté) množiny. Def: Cesta v topologickom priestore X je ľubovoľné spojité zobrazenie c : I =< 0, 1 >→ X , presnejšie c je cesta z bodu c(0) do c(1). Hovoríme tiež, že c sa začína v c(0) a končí v c(1). Hovoríme, že x_{0}, x_{1} ∈ X sa dajú spojiť cestou v X, ak existuje cesta c v X taká, že c(0) = x_{0} a c(1) = x_{1}. opačná cesta k c: \overline{c}(t) = c(1 − t) spojenie ciest c a d:

c ∗ d(t) = \{ \begin{matrix}c(2t) t ∈< 0, \frac{1}{2} > \\ d(2t − 1) t ∈< \frac{1}{2}, 1 > \end{matrix}

Lema: Nech X = A_{1} ∪ ⋯ ∪ A_{k}, kde všetky A_{i} sú uzavreté v X. Potom ľubovoľné zobrazenie f : X → Y je spojité ⇔ f|_{A_{i}} je spojité pre i = 1, …, k. Tvrdenie: Relácia ∼ definovaná: x ∼ y ⇔ existuje cesta v X z x do y, je relácia ekvivalencie. Def: Trieda ekvivalencie priestoru X vzhľadom na reláciu ekvivalencie ∼ sa nazýva komponent lineárnej súvislosti priestoru X. X je lineárne súvislý, ak má jediný komponent súvislosti (t.j. každé 2 body sa dajú spojiť cestou v X). Veta: Každý lineárne súvislý topologický priestor je súvislý. Lema: Nech X ≠ ∅ je priestor taký, že každé 2 body z X ležia v súvislom podpriestore. Potom X je súvislý priestor. Lema: Nech A ⊂ B ⊂ \overline{A}. Ak A je súvislý, tak aj B je súvislý. Priestor \overline{X}, kde X = \{(x, sin(\frac{1}{x})); x ∈ ℝ\}, je príklad priestoru, ktorý je súvislý, ale nie je lineárne súvislý. Def: Pre daný topologický priestor X označujeme Π_{0}(X) množinu komponentov lineárnej súvislosti priestoru X. Tvrdenie: Nech f : X → Y je spojité. Ak X je lineárne súvislý, tak aj f(X) je lineárne súvislý. Veta: Nech f : X → Y je spojité zobrazenie. Potom f zobrazí každý komponent lineárnej súvislosti priestoru X do nejakého komponentu lineárnej súvislosti priestoru Y. Teda f jednoznačne určuje zobrazenie Π_{0}(f) : Π_{0}(X) → Π_{0}(Y) . Π_{0}(f)(K_{L}(x)) = K_{L}(f(x)) Ak f je homeomorfizmus, tak Π_{0}(f) : Π_{0}(X) → Π_{0}(Y) je bijekcia.

Lokálne lineárne súvislé priestory

Def: Topologický priestor X je lokálne lineárne súvislý, ak každý jeho bod v každom svojom okolí obsahuje lineárne súvislé podokolie. Poznámka: Lineárne súvislý topologický priestor nemusí byť lokálne lineárne súvislý. Veta: Nech X je lokálne lineárne súvislý topologický priestor. Potom komponenty lineárnej súvislosti priestoru X sú otvorené aj uzavreté (obojaké). Dôsledok: Priestor, ktorý je súvislý a lokálne lineárne súvislý je aj lineárne súvislý.

Homotópia

Def: Nech f, g : X → Y sú spojité zobrazenia. Hovoríme, že f je homotopné s g (f ≃ g, f sa dá homotopicky zdeformovať na g), ak existuje spojité zobrazenie H : X × I → Y také, že H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x) pre každé x ∈ X. H je homotópia od f ku g. Vlastne: ∀t ∈ I H definuje spojité zobrazenie h_{t} : X → Y ; h_{t}(x) = H(x, t). To, že H je spojité znamená to, že systém zobrazení {h_{t}}_{t∈I} je spojitý. To, že H je homotópia od f ku g znamená, že h_{0} = f a h_{1} = g. Def: Ak f, g : X → Y sú spojité zobrazenia, také, že pre dáku podmnožinu A ⊂ X máme f(a) = g(a) pre ∀a ∈ A, hovoríme, že f a g sú homotopné rel A, ak existuje homotópia H : X × I → Y taká, že H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x) a H(a, t) = f(a) = g(a) pre ∀a ∈ A, t ∈ I. H=homotópia rel A od f ku g. f ≃ g(relA) Tvrdenie: Na triede spojitých zobrazení z X do Y (pre dané X, Y) je relácia ≃ reláciou ekvivalencie. Def: Triedy ekvivalencie ≃ sa nazývajú homotopické triedy zobrazení z X do Y. Veta: Spojité zobrazenie f : S^{n} → X sa dá rozšíriť na spojité zobrazenie F : D^{n+1} → X ⇔ f je homotopné s konštantným zobrazením; f ≃ const. Def: Zobrazenie, ktoré je homotopné s konštantným zobrazením sa tiež nazýva nula-homotopné (alebo homotopné s nulou). Veta: 1.Nech f, g : X → Y , nech A ⊂ X a f|_{A} = g|_{A}. Nech h : Y → Z je ľubovoľné spojité zobrazenie. Ak f ≃ g(relA), tak aj h ∘ f ≃ h ∘ g(relA).

2. V situácii z 1, ak k : W → X a f ≃ g(relA), tak f ∘ k ≃ g ∘ k(rel k^{−1}(A)) Def: Zobrazenie f : X → Y sa nazýva homotopická ekvivalencia, ak existuje spojité zobrazenie g : Y → X také, že g ∘ f ≃ id_{X}, f ∘ g ≃ id_{Y}. (g sa tiež zvykne volať ľavé homotopicky inverzné zobrazenie ku f a naopak, f a g sú navzájom homotopicky inverzné.) Priestory X, Y sú homotopicky ekvivalentné (=majú ten istý homotopický typ), ak existuje homotopická ekvivalencia f : X → Y. Budeme označovať X ∼ Y (v literatúre aj X ≅ Y) Platí: Topologicky ekvivalentné topologické priestory sú homotopicky ekvivalentné (homeomorfizmus je homotopická ekvivalencia). Tvrdenie: Relácia homotopickej ekvivalencie je relácia ekvivalencie na triede topologických priestorov. ℝ^{n} ∼ {x} ℝ^{n} − {0} ∼ S^{n−1} Def: Ak A je topologický podpriestor X a i : A ↪ X a r : X → A je (spojité) také, že r ∘ i = id_{A} (t.j. r|_{A} ≡ id_{A}), tak r sa nazýva retrakcia (stiahnutie) priestoru X na podpriestor A. (A je retrakt X.) Ak r : X → A je retrakcia taká, že i ∘ r ≃ id_{X}, tak r sa nazýva deformačná retrakcia. (A je deformačný retrakt priestoru X). Ak i ∘ r ≃ id_{X}(relA), tak r je silná deformačná retrakcia. Def: Priestor X sa nazýva kontraktibilný (stiahnuteľný), ak pre dáke x ∈ X platí, že {x} je deformačným retraktom priestoru X. Tvrdenie: Priestor X je kontraktibilný ⇔ X je homotopicky ekvivalentný s jednobodovým priestorom. Tvrdenie: Priestor X je kontraktibilný ⇔ id_{X} ≃ const. Tvrdenie: Nech f : X → S^{n} , n ≥ 1 je spojité zobrazenie také, že f(X) ≠ S^{n}. Potom f ≃ const. Tvrdenie: CX = X × I/X × {1} je kontraktibilný.

Fundamentálna grupa topologického priestoru

Def: Ω(X, x_{0}) = množina všetkých ciest v X, ktoré začínajú aj končia v x_{0}. Prvky z Ω(X, x_{0}) sa nazývajú slučky. Veta: Nech c, d : I → X sú cesty také, že c(1) = d(0) a nech c′, d′ : I → X sú cesty také, že c′(1) = d′(0). Ak c ≃ c′(rel{0, 1}) a d ≃ d′(rel{0, 1}), tak c ∗ d ≃ c′ ∗ d′(rel{0, 1}). Okrem toho: c^{−} ≃ c′^{−}rel{0, 1} Dôsledok: Na množine homotopických tried rel{0, 1} slučiek priestoru X v bode x_{0} predpis [c] · [d] = [c ∗ d] dobre definuje binárnu operáciu. Lema: Nech c : I → X je cesta. Nech α : I → I je spojité zobrazenie také, že α(0) = 0, α(1) = 1. Potom c ∘ α ≃ c(rel{0, 1}). Def: Nech c, d : I → X sú 2 cesty v X také, že c(1) = d(0). Nech q ∈ (0, 1). Potom definujeme novú cestu c ∗_{q} d.

c ∗_{q} d(t) = \{ \begin{matrix}c(\frac{t}{q}) t ∈< 0, q > \\ d(\frac{t − q}{1 − q}) t ∈< q, 1 > \end{matrix}

Veta: Nech c, d : I → X sú 2 cesty v X také, že c(1) = d(0). Nech q ∈ (0, 1). Potom (c ∗_{q} d) ∘ α = c ∗ d pre vhodné α : I → I ; α(0) = 0, α(1) = 1. Čiže c ∗_{q} d ≃ c ∗ d(rel{0, 1}). Veta: Nech c, d, f sú také cesty v X, že sa dajú skladať. Potom: (c ∗ d) ∗ f ≃ c ∗ (d ∗ f)rel{0, 1}. Dôsledok: Operácia · na množine homotopických tried rel{0,1} slučiek v x_{0} ∈ X definovaná pomocou spájania ciest je asociatívna. ([c] · [d]) · [f] = [c] · ([d] · [f]) pre ľubovoľné c, d, f ∈ Ω(X, x_{0}). Veta: Nech c : I → X je cesta v X a nech c(0) resp. c(1) sú konštantné cesty v c(0) resp. c(1). Potom c(0) ∗ c ≃ c rel{0, 1}, c ∗ c(1) ≃ c rel{0, 1}. Dôsledok: Konštantná slučka v x_{0} ∈ X je neutrálnym prvkom operácie · na množine homotopických tried rel{0,1} slučiek v x_{0} ∈ X. Veta: Pre ľubovoľnú cestu c : I → X. c ∗ c^{−} ≃ c(0) rel{0, 1} c^{−} ∗ c ≃ c(1) rel{0, 1} Dôsledok: Pre c ∈ Ω(X, x_{0}) máme, že [c^{−}] = [c]^{−1} Veta: Nech X je topologický priestor, pevne zvoľme x_{0} ∈ X. Ak na množine homotopických tried rel{0,1} slučiek priestoru X v bode x_{0} definujeme operáciu · predpisom [c] · [d] = [c ∗ d], tak dostaneme z tejto množiny grupu; označme ju π(X, x_{0}).

Def: Grupa π(X, x_{0}) sa nazýva fundamentálna grupa priestoru X v bode x_{0} (s referenčným (bázovým) bodom x_{0}).

Závislosť π(X, x_{0}) od x_{0}

Def: Ak r : I → X je cesta v X, r(0) = x_{1}, r(1) = x_{0}, definujeme α_{r} : Ω(X, x_{0}) → Ω(X, x_{1}), α_{r}(c) = r ∗ c ∗ r^{−}. Toto zobrazenie indukuje zobrazenie fundamentálnych grúp: α_{r} : π(X, x_{0}) → π(X, x_{1}) α_{r}[c] = [r ∗ c ∗ r^{−}] Tvrdenie: α_{r} : π(X, x_{0}) → π(X, x_{1})

1. je homomorfizmus grúp

2. je izomorfizmus grúp

3. α_{r} závisí od homotopickej triedy rel{0, 1} cesty r.

4. Ak s : I → X je cesta z x_{1} do x_{0}, tak α_{r} a α_{s} sa líšia o vnútorný automorfizmus grupy π(X, x_{1}) (Teda ak π(X, x_{1}) je komutatívna, tak máme α_{r} = α_{s}, t.j. izomorfizmus π(X, x_{0}) ≅ π(X, x_{1}) nezávisí od výberu cesty z x_{0} do x_{1} (ak taká cesta existuje).) Dôsledok: Ak priestor X je lineárne súvislý, tak pre ľubovoľné x_{0}, x_{1} ∈ X máme π(X, x_{0}) ≅ π(X, x_{1}). (vo všeobecnosti tento izomorfizmus nie je kanonický - závisí od homotopickej triedy rel{0,1}) Potom π(X, x_{0}) označujeme π(X). Lema: Nech c, d : I → X sú uzavreté cesty a nech H : I × I → X je homotópia od c ku d taká, že H(0, s) = H(1, s) ∀s ∈ I (=t.j. cez uzavreté cesty). Nech h : I → X je cesta definovaná ako h(s) = H(0, s) pre s ∈ I. Potom α_{h}([d]) = [c]. Def: Pre spojité zobrazenie f : X → Y, definujeme π(f) : π(X, x_{0}) → π(Y, f(x_{0})) π(f)([c]) = [f ∘ c] Tvrdenie: π(f) : π(X, x_{0}) → π(Y, f(x_{0})) je homomorfizmus grúp.

Ak g : Y → Z je spojité, tak π(g ∘ f) = π(g) ∘ π(f). T.j. ak diagram \begin{aligned}X & −−→^{f} & Y \\ & ↘_{g∘f} & ↓ g \\ & & Z \end{aligned} komutuje, tak

komutuje aj \begin{aligned}π(X, x_{0}) & −−→^{π(f)} & π(Y, f(x_{0})) \\ & ↘_{π(g∘f)} & ↓ π(g) \\ & & π(Z, gf(x_{0})). \end{aligned}

Okrem toho π(id_{X}) = id_{π(X,x_{0} )} Veta: Nech f : X → Y, g : X → Y sú spojité zobrazenia, nech x_{0} ∈ X. Nech f ≃ g a H : X × I → Y je homotópia od f ku g. Definujme cestu h : I → Y, h(s) = H(x_{0}, s). (cesta z f(x_{0}) do g(x_{0})) Potom α_{h} ∘ π(g) = π(f) a α_{h} je izomorfizmus.

π(X, x_{0}) −−→^{π(g)} π(Y, g(x_{0}))
↘_{π(f)}  ↓ α_{h} ≅
π(Y, f(x_{0}))

Dôsledok: π(g) je izomorfizmus ⇔ π(f) je izomorfizmus. Veta: Nech X, Y majú ten istý homotopický typ. Potom ich fundamentálne grupy sú izomorfné. Dôsledok: Fundamentálna grupa ľubovoľného kontraktibilného priestoru je triviálna. Tvrdenie: Nech X, Y sú topologické priestory, nech x_{0} ∈ X, y_{0} ∈ Y. Potom π(X × Y, (x_{0}, y_{0})) ≅ π(X, x_{0}) × π(Y, y_{0}).

Fundamentálna grupa kružnice

Veta: π(S^{1}, 1) ≅ ℤ. Lema: Označme Φ : ℝ → S^{1}, Φ(t) = e^{2πit} Nech c : I → S^{1} je ľubovoľná slučka v 1. Potom existuje jediná cesta c̃: I → ℝ taká, že: c̃(0) = 0 a Φ ∘ c̃ = c. (c̃ sa nazýva zdvih cesty c do ℝ.) Tvrdenie: V situácii z predchádzajúcej lemy je c̃(1) ∈ Z. Veta: Nech c, d ∈ Ω(S^{1}, 1) sú homotopné rel{0, 1}. Nech H : I × I → S^{1} je homotópia rel{0, 1} od c ku d. Potom existuje jediná homotópia rel{0, 1} H̃ : I × I → ℝ od c̃ ku d̃ taká, že Φ ∘ H̃ = H.

Dôsledok: Ak [c] = [d] ∈ π(S^{1}, 1), tak c̃ ≃ d̃(rel{0, 1}), a preto c̃(1) = d̃(1). Teda predpis [c] ↦ c̃(1) dobre definuje zobrazenie χ : π(S^{1}) → ℤ. Tvrdenie: χ je izoomorfizmus grúp. Tvrdenie: S^{1} nie je retraktom gule D^{2}. Tvrdenie: Torus T má fundamentálnu grupu π(T) ≅ ℤ^{2}.

Obehové číslo uzavretej krivky v ℂ

Def: Nech a ∈ ℂ, nech c : I → ℂ−{a} je uzavretá krivka. Definujme spojité zobrazenie r_{a} : ℂ−{a} → S^{1} r_{a}(z) = \frac{z−a}{|z−a|} Potom r_{a} ∘ c : I → S^{1} je slučka v S^{1} v bode r_{a}(c(0)) = r_{a}(c(1)) a r_{a} ∘ c ∈ π(S^{1}, r_{a}(c(0)). S^{1} je lineárne súvislý a h : I → S^{1} je ľubovoľná cesta z 1 do r_{a} ∘ c(0). Pretože π(S^{1}, 1) je komutatívna existuje kanonický (nezávislý od voľby h) izomorfizmus α_{h} : π(S^{1}, r_{a} ∘ c(0)) → π(S^{1}, 1). Potom α_{h} ∘ π(r_{a})[c] ∈ π(S^{1}, 1), čiže pomocou χ možno priradiť jednoznačné číslo. Def: V situácii popísanej vyššie sa celé číslo χ ∘ α_{h} ∘ π(r_{a})[c] nazýva obehové číslo uzavretej krivky c vzhľadom na a. Označujeme ρ(c, a) Poznámka: ρ(c, a) znamená počet obehov okolo bodu a pri prejdení po krivke c z c(0) do c(1). Tvrdenie: ρ(e^{2πik}, 0) = k Veta: Nech c, d : I → ℂ − {a} sú 2 uzavreté cesty a nech H : I × I → ℂ − {a} je homotópia od c ku d cez uzavreté krivky, t.j. H(s, 0) = H(s, 1)∀s ∈ I Potom ρ(c, a) = ρ(d, a) Veta: (E.Rouché) Nech c, d : I → ℂ − {a} sú uzavreté cesty také, že |c(t) − d(t)| < |c(t) − a|. Potom ρ(c, a) = ρ(d, a). (a neleží medzi c(I) a d(I).) Veta: Nech f : D^{2} → ℂ je spojité zobrazenie. Definujme uzavretú cestu c : I → ℂ , c(t) = f(e^{2πit}). Potom ak ρ(c, a) ≠ 0, tak a ∈ f(D^{2}) Veta: (Základná veta algebry) Polynóm p(z) = z^{k} + a_{k−1}z^{k−1} + ⋯ + a_{1}z + a_{0} pre k ≥ 1, a_{0} ≠ 0,a_{i} ∈ ℂ má koreň v ℂ.

Seifert-Van Kampenova veta

Def: Nech A,B,C sú grupy a f : A → B, g : A → C sú homomorfizmy grúp. Potom hovoríme, že

diagram grúp a homomorfizmov medzi nimi \begin{matrix}A & ⟶^{f} & B \\ ^{g}↓ & & ^{u}↓ \\ C & ⟶^{v} & G \end{matrix} sa nazýva pushout dvojice (f, g), ak

1. komutuje, t.j. u ∘ f = v ∘ g

2. Pre ľubovoľnú grupu G′ a homomorfizmy u′ : B → G′, v′ : C → G′ také, že \begin{matrix}A & ⟶^{f} & B \\ ^{g}↓ & _{u′}↓ \\ C & ⟶^{v′} & G′ \end{matrix} komutuje,

existuje jediný homomorfizmus h : G → G′ taký, že h ∘ u = u′, h ∘ v = v′.

Tvrdenie: Ak diagram \begin{matrix}A & ⟶^{f} & B \\ ^{g}↓ & & ^{u}↓ \\ C & ⟶^{v} & G \end{matrix} je pushout dvojice homomorfizmov (f, g), tak G je určená jed-

noznačne odhliadnuc od izomorfizmu. (Preto sa tiež hovorí o G ako o pushoute dvojice (f, g).) Veta: (Seifert-Van Kampen) Nech X je lineárne súvislý priestor a nech X_{1}, X_{2} sú jeho otvorené podpriestory také, že X_{0} := X_{1} ∩ X_{2} ≠ ∅, X_{1} ∪ X_{2} = X. Nech X_{0}, X_{1}, X_{2} sú lineárne súvislé. Označme i_{1} : X_{0} ↪ X_{1}, i_{2} : X_{0} ↪ X_{2}, j_{1} : X_{1} ↪ X, j_{2} : X_{2} ↪ X inklúzie. Potom diagram

X_{0} ↪^{i_{1}} X_{1}
i_{2} ↓  ↓ j_{1}
X_{2} ↪^{j_{2}} X

komutuje. Pre x_{0} ∈ X je diagram indukovaný predchádzajúcom diagramom pushoutom t.j.

\begin{matrix}π(X_{0}, x_{0}) & ⟶^{π(i_{1} )} & π(X_{1}, x_{0}) \\ ^{π(i_{1} )}↓ & & ↓^{π(j_{1} )} \\ π(X_{2}, x_{0}) & ⟶^{π(j_{2} )} & π(X, x_{0})) \end{matrix} je pushout dvojice (π(i_{1}), π(i_{2})).

Veta: Nech X je lineárne súvislý priestor a nech f : S^{n−1} → X (n ≥ 2) je spojité. Označme Y = X ∪_{f} D^{n}. Potom (pre y_{0} ∈ Y): π(Y, y_{0}) ≅ π(X, f(1, 0, …, 0))/N(π(f)(π(S^{n−1}, (1, 0, …, 0)))) Lema: (Whitehead) Nech X a Y sú topologické priestory. Nech f : X → Y je surjektívne zobrazenie. Ak topológia Y je faktorová vzhľadom na f, tak potom pre každý lokálne kompaktný priestor A má priestor X × A faktorovú topológiu vzhľadom na zobrazenie f × id_{A} : X × A → Y × A. Dôsledok: Ak n ≥ 2, tak π(S^{n}) = 0. Def: Priestor, ktorý má triviálnu fundamentálnu grupu, sa nazýva jednoducho súvislý priestor. Dôsledok: Nech X je lineárne súvislý a Y = X ∪_{f} D^{n}, n ≥ 3. Potom π(X) ≅ π(Y). Veta: π(ℝP^{n}) ≅ ℤ/2ℤ (n ≥ 3). Pr: Príkladom priestoru, ktorý má nekomutatívnu fundamentálnu grupu je osmička, resp. homotopicky ekvivalentný priestor ℝ^{2} \ {(0, 1), (0, −1)}.

Kategórie

Def: Kategória C pozostáva z triedy objektov Obj(C) (prvky Obj(C) - objekty kategórie C) a pre každú dvojicu (X, Y) ∈ Obj(C) × Obj(C) z \underline{množiny} C(X, Y) (jej prvky sú morfizmy z X do Y) pričom, ak (X, Y) ≠ (X′, Y′), tak C(X, Y) ∩ C(X′, Y′) = ∅ a sú splnené tieto podmienky:

1. Pre (X, Y), (Y, Z) ∈ Obj(C) × Obj(C) je definované ∘ : C(X, Y) × C(Y, Z) → C(X, Z)

- tzv. skladanie morfizmov, pričom

a) Ak f ∈ C(X, Y), g ∈ C(Y, Z), h ∈ C(Z, W), tak

(h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f)

(axióma asociatívnosti).

b) Pre každé X ∈ Obj(C) existuje jediný morfizus id_{X} taký, že

f ∘ id_{X} = f

pre každé f ∈ C(X, Y) a

id_{Y} ∘ f = f

pre každé f ∈ C(X, Y). (axióma identity) Ak f ∈ C(X, Y), tak X sa nazýva definičný obor a Y obor hodnôt. Def: Ak g ∘ f = id_{X}, tak g je ľavý inverzný k f a f je pravý inverzný ku g. Morfizmus, ku ktorému existuje pravý aj ľavý inverzný sa nazýva izomorfizmus. Def: Kovariantný funktor z kategórie C do kategórie D je funkcia T : C → D , ktorá každému objektu X ∈ Obj(C) priradí T (X) ∈ Obj(D) a každému morfizmu f ∈ C(X, Y) priradí T (f) ∈ D(T (X), T (Y)), pričom:

1. T (g ∘ f) = T (g) ∘ T (f)

2. T (id_{X}) = id_{T (X)}. Def: Kontravariantný funktor z kategórie C do kategórie D je funkcia T : C → D , ktorá každému objektu X ∈ Obj(C) priradí T (X) ∈ Obj(D) a každému morfizmu f ∈ C(X, Y) priradí T (f) ∈ D(T (Y), T (X)), pričom:

1. T (g ∘ f) = T (f) ∘ T (g)

2. T (id_{X}) = id_{T (X)}. Def: Direktný súčin grúp ∏_{α∈A} G_{α} = karteziánsky súčin s operáciami definovanými po zložkách.

Direktný súčet grúp - ako direktný súčin, ale len konečný počet indexov je nenulový. Ak máme G_{α} podgrupy G a G_{α} ∪ ⨁_{β≠α} G_{β} = {0}, tak direktný súčet ⨁_{α∈A} tvoria súčty prvkov z G_{α}.

Def: Voľná abelovská grupa generovaná množinou M - ozn. ℤ < M >. Báza=taká množina, že každý prvok v grupe je celočíselnou kombináciou prvkov z bázy.

Ak existuje báza v grupe G, tak G sa nazýva voľná. rang grupy G (voľná abelovská grupa generovaná konečnou množinou) = počet prvkov bázy. Def: ℤ-graduovaná abelovská grupa je systém G = {G_{α}}_{α∈ℤ}, kde G_{α} sú abelovské grupy. Ak G,H sú graduované abelovské grupy, tak homomorfizmus graduovaných grúp f : G → H je systém {f_{α} : G_{α} → H_{α}}_{α∈ℤ}, kde každé f_{α} : G_{α} → H_{α} je homomorfizmus abelovských grúp. Def: Torzná podgrupa = podgrupa prvkov konečného rádu abelovskej grupy A. Konečne generovanú grupu môžeme zapísať v tvare: A ≅ ℤ ⨁ ⋯ ⨁ ℤ ⨁ ℤ_{k_{1}} ⨁ ⋯ ⨁ ℤ_{k_{s}}, čiže ako súčet voľnej časti a torzie. rang(A) = počet sčítancov vo voľnej časti.

Exaktné postupnosti homomorfizmov abelovských grúp

Def: Postupnosť G′ ⟶^{α} G ⟶^{β} G′′ abelovských grúp a homomorfizmov medzi nimi je exaktná v G, ak Ker(β) = Im(α). Def: Postupnosť … G_{−1} ⟶^{α_{−1}} G_{0} ⟶^{α_{0}} G_{1} ⟶^{α_{1}} G_{2} … abelovských grúp a homomorfizmov medzi nimi je exaktná, ak každá postupnosť G_{n} ⟶^{α_{n}} G_{n+1} ⟶^{α_{n+1}} G_{n+2} je exaktná v G_{n+1} . (∀n ∈ ℤ). Def: Exaktná postupnosť 0 → G′ ⟶^{α} G ⟶^{β} G′′ → 0 abelovských grúp a homomorfizmov medzi nimi sa nazýva krátka exaktná postupnosť. Tvrdenie: a) Postupnosť 0 → A ⟶^{α} B je exaktná ⇔ α je monomorfizmus grúp.

b) Postupnosť A ⟶^{α} B → 0 je exaktná ⇔ α je epimorfizmus grúp.

c) Postupnosť 0 → A ⟶^{α} B → 0 je exaktná ⇔ α je izomorfizmus grúp. Veta: Nech 0 → G′ ⟶^{α} G ⟶^{β} G′′ → 0 je krátka exaktná postupnosť. Potom nasledujúce 2 podmienky sú ekvivalentné:

i) existuje homomorfizmus λ : G′′ → G taký, že β ∘ λ = id_{G′′}. ii) existuje homomorfizmus μ : G → G′ taký, že μ ∘ α = id_{G′}. Navyše, ak platí hociktorá z podmienok i,ii, tak G ≅ G′ ⊕ G′′. Def: V situácii z vety, ak platí hociktorá z podmienok i,ii, tak hovoríme, že daná krátka exaktná postupnosť sa štiepi (je rozštiepená). λ, μ - štiepiace zobrazenia Lema: (5-Lema) Nech je daný komutatívny diagram grúp a homomorfizmov medzi nimi

\xymatrix{A \ar[r] \ar[d]^{f} & B \ar[r] \ar[d]^{g} & C \ar[r] \ar[d]^{h} & D \ar[r] \ar[d]^{k} & E \ar[d]^{l} \\ A′ \ar[r] & B′ \ar[r] & C′ \ar[r] & D′ \ar[r] & E′}

s exaktnými riadkami. Ak f, g, k, l sú izomorfizmy, tak aj h je izomorfizmus.

Reťazcové komplexy

Def: Δ_{q} = q-rozmerný štandardný simplex = konvexný obal koncových bodov bázových vektorov

e_{0}, … e_{q} v ℝ^{q+1} = {(t_{0}, …, t_{q}); t_{i} ≥ 0, ∑_{i=0}^{q} t_{i} = 1}.

Body e_{0}, …, e_{q} sa volajú vrcholy Δ_{q}. Množina {(t_{0}, …, t_{q}) ∈ Δ_{q}; t_{i} = 0} pre dáke i sa nazýva i-ta stena simplexu Δ_{q}, leží oproti vrcholu e_{i}. Definujeme zobrazenie d_{q}^{i} : Δ_{q−1} → Δ_{q} d_{q}^{i}(t_{0}, …, t_{q−1}) = (t_{0}, …, t_{i−1}, 0, t_{i+1} , …, t_{q−1}) pre každé i = 0, …, q. (tzv. stenové zobrazenie) Lema: i, j ∈ {0, 1, …, q} také, že j < i máme d_{q}^{i} ∘ d_{q−1}^{j} = d_{q}^{j} ∘ d_{q−1}^{i−1}. Def: Singulárny q-rozmerný simplex topologického priestoru X je spojité zobrazenie f : Δ_{q} → X. S_{q}(X):= voľná abelovská grupa generovaná množinou všetkých q-simplexov priestoru X pre q ≥ 0 a S_{q}(X) := 0 pre q < 0. Definujme homomorfizmus ∂_{q}^{i} : S_{q}(X) → S_{q−1}(X) ∂_{q}^{i}(f) = f ∘ d_{q}^{i} pre i = 0, …, q Definujeme hraničný operátor: ∂_{q} : S_{q}(X) → S_{q−1}(X)

∂_{q} = ∑_{i=0}^{q}(−1)^{i}∂_{q}^{i}, ak q ≥ 0, inak ∂_{q} = 0.

Veta: ∂_{q} ∘ ∂_{q+1} ≡ 0 pre všetky q ∈ ℤ. Def: Prvky z S_{q}(X) sa volajú q-rozmerné singulárne reťazce priestoru X. Def: Postupnosť S(X) = (S_{q}(X), ∂_{q})_{q∈ℤ} sa nazýva singulárny reťazcový komplex topologického priestoru X. Pre spojité zobrazenie f : X → Y definujeme S_{q}(f) : S_{q}(X) → S_{q}(Y), S_{q}(f)(T) = f ∘ T pre q ≥ 0, pre q < 0 je S_{q}(f) nulové zobrazenie. Veta: Ak f : X → Y je spojité, tak diagram

[figure: S_{q}(X); S_{q}(f); ∂_{q}; S_{q−1}(X); S_{q−1} (f); ∂_{q−1}; S_{q−2}(X); S_{q−2} (f); S_{q}(Y); ∂_{q}; S_{q−1}(Y); ∂_{q−1}; S_{q−2}(Y)]

komutuje, t.j. ∀q ∈ ℤ máme S_{q−1}(f) ∘ ∂_{q} = ∂_{q} ∘ S_{q}(f). Tvrdenie: Ak f : X → Y , g : Y → Z sú spojité, tak S_{q}(g ∘ f) = S_{q}(g) ∘ S_{q}(f) a S_{q}(id_{X}) = id_{S_{q}(X)}. Def: Reťazcový komplex je postupnosť K = (K_{q}, ∂_{q})_{q∈ℤ}, kde K_{q} sú abelovské grupy a ∂_{q} : K_{q} → K_{q−1} je homomorfizmus grúp (pre všetky q ∈ ℤ) taký, že ∂_{q−1} ∘ ∂_{q} = 0. Ak K = (K_{q}, ∂_{q})_{q∈ℤ}, L = (L_{q}, ∂_{q})_{q∈ℤ} sú dva reťazcové komplexy, tak homomorfizmom reťazcových komplexov z K do L rozumieme postupnosť f = (f_{q})_{q∈ℤ} homomorfizmov f_{q} : K_{q} → L_{q} takých, že ∂_{q} ∘ f_{q} = f_{q−1} ∘ ∂_{q} pre ∀q ∈ ℤ. Stručne hovoríme o homomorfizme reťazcových komplexov f : K → L. (∂_{q} sa aj tu volá hraničný operátor). Tvrdenie: Je jasné, že ak f : K → L, g : L → M sú homomorfizmy reťazcových komplexov, tak aj g ∘ f : K → M je homomorfizmus reťazcových komplexov, id_{K} : K → K je tiež homomorfizmus reťazcových komplexov. Def: K=kategória všetkých reťazcových komplexov a homomorfizmov medzi nimi. Def: Reťazcový komplex E taký, že E_{0} = ℤ a E_{q} = 0 pre q ≠ 0 sa nazýva augmentačný komplex. ”Máme reťazcový komplex, ktorý vyzerá neškodný, a škodný vcelku nie je, ale je užitočný.” (J.K.) Def: Nech K = (K_{q}, ∂_{q})_{q∈ℤ} je reťazcový komplex. Potom označme Z_{q}(K) := Ker(∂_{q}), B_{q}(K) := Im(∂_{q+1} ). Tvrdenie: B_{q}(K) je podgrupa grupy Z_{q}(K). Def: Z_{q}(K)=grupa q-cyklov reťazcového komplexu K. B_{q}(K)=grupa q-hraníc reťazcového komplexu K. Def: Ak K = (K_{q}, ∂_{q}) je reťazcový komplex, tak faktorová grupa H_{q}(K) = Z_{q}(K)/B_{q}(K) sa nazýva q-ta grupa homológií (q-ta homologická grupa) komplexu K. Jej prvky označujeme [c] ∈ H_{q}(K). Def: Relácia ekvivalencie na grupe Z_{q}(K) určená podrupou B_{q}(K) sa nazýva homológia. c, d ∈ Z_{q}(K) : c ≃ d ⇔ c − d ∈ B_{q}(K) ⇔ c − d = ∂_{q+1} (a) pre dáke a ∈ K_{q+1} . Hovorí sa vtedy, že c a d sú homologické. Tvrdenie: Nech K = (K_{q}, ∂_{q})_{q∈Z}, L = (L_{q}, ∂_{q})_{q∈Z} sú reťazcové komplexy, nech f : K → L je homomorfizmus reťazcových komplexov. Potom: f_{q}(Z_{q}(K)) ⊆ Z_{q}(L) f_{q}(B_{q}(K)) ⊆ B_{q}(L) Veta: Ak f : K → L je homomorfizmus reťazcových komplexov, tak predpis [c] ↦ [f_{q}(c)] dobre definuje homomorfizmus grúp H_{q}(f) : H_{q}(K) → H_{q}(L). Def: Homomorfizmus H_{q}(f) : H_{q}(K) → H_{q}(L) z predchádzajúcej vety sa nazýva homomorfizmus homologických grúp indukovaný homomorfizmom reťazcových komplexov f : K → L. Tvrdenie: Ak f : K → L, g : L → M sú homomorfizmy reťazcových komplexov, tak pre každé q ∈ ℤ máme: H_{q}(g ∘ f) = H_{q}(g) ∘ H_{q}(f) H_{q}(id_{K}) = id_{H_{q}(K)} Máme teda kovariantný funktor H : K → GradAb.

Singulárne homologické grupy topologických priestorov

Def: Nech X je topologický priestor. Potom q-ta singulárna grupa homológií priestoru X sa definuje ako H_{q}(X) := H_{q}(S(X)) pre ∀q ∈ ℤ. Ak f : X → Y je spojité zobrazenie, tak máme homomorfizmus singulárnych reťazcových komplexov S(f) : S(X) → S(Y); definujeme homomorfizmus singulárnych grúp homológií ako H_{q}(f) := H_{q}(S(f)) : H_{q}(X) → H_{q}(Y). H_{q}(f) sa nazýva homomorfizmus singulárnych grúp homológií indukovaný spojitým zobrazením f : X → Y. Samozrejme H_{q}(f ∘ g) = H_{q}(f) ∘ H_{q}(g), H_{q}(id_{X}) = id_{H_{q}(X)}, teda H_{q} : T op → Ab a H : T op → GradAb. Tvrdenie: Ak P je jednobodový priestor, tak

H_{q}(P) = \{ \begin{matrix}ℤ, ak q = 0 \\ 0, ak q ≠ 0 \end{matrix}

Veta: Nech X je lineárne súvislý priestor. Potom H_{0}(X) ≅ ℤ. Dôsledok: Nech {X_{α}}_{α∈A} je systém komponentov lineárnej súvislosti priestoru X. Potom H_{q}(X) ≅

∏_{α∈A} H_{q}(X_{α}).

Dôsledok: H_{0}(X) ≅ ⨁_{α∈A} ℤ

Dôsledok: X je lineárne súvislý ⇔ H_{0}(X) ≅ ℤ

Singulárne homologické grupy párov priestorov

Def: Nech K = (K_{q}, ∂_{q})_{q∈ℤ} je reťazcový komplex. Jeho reťazcový podkomplex je reťazcový komplex K′ = (K′_{q}, ∂′_{q})_{q∈ℤ} taký, že pre každé q je K′_{q} ⊂ K_{q} podgrupa a ∂′_{q} = ∂_{q}|_{K′_{q}}. (Definícia hovorí aj to, že ∂_{q}(K′_{q}) ⊆ K′_{q−1}.) Veta a definícia: Nech K′ = (K′_{q}, ∂′_{q})_{q∈ℤ} je podkomplex reťazcového komplexu K = (K_{q}, ∂_{q})_{q∈ℤ}. Potom predpis [x] ↦ [∂_{q}(x)] dobre definuje operátor \overline{∂_{q}} : K_{q}/K′_{q} → K_{q−1}/K′_{q−1}. Platí \overline{∂_{q−1}} ∘ \overline{∂_{q}} ≡ 0 pre všetky q ∈ ℤ a K/K′ := (K_{q}/K′_{q}, \overline{∂_{q}})_{q∈ℤ} je reťazcový komplex, je to tzv. faktorový komplex komplexu K podľa K′. Def: Špeciálne, ak X je topologický priestor a A jeho topologický podpriestor, tak (S_{q}(X)/S_{q}(A), \overline{∂_{q}})_{q∈ℤ} je reťazcový komplex, tzv. relatívny reťazcový komplex páru (X, A). Def: Postupnosť reťazcových komplexov a homomorfizmov medzi nimi sa nazýva exaktná, ak pre každé q ∈ ℤ dáva exaktnú postupnosť grúp a abelovských homomorfizmov medzi nimi. Veta: Nech 0 → K′ ⟶^{α} K ⟶^{β} K′′ → 0 je krátka exaktná postupnosť reťazcových komplexov. Potom

v homologických grupách máme exaktnú postupnosť H_{q}(K′) ⟶^{H_{q}(α)} H_{q}(K) ⟶^{H_{q}(β)} H_{q}(K′′) pre každé q ∈ ℤ. Najskôr definujeme homomorfizmus δ_{q} : Z_{q}(K′′) → H_{q−1}(K′). Nech x ∈ Z_{q}(K′′) je ľubovoľný cyklus. β_{q} : K_{q} → K′′_{q} je epimorfizmus, teda existuje y ∈ K_{q}, pre ktoré β_{q}(y) = x. Ďalej sa ukáže, že ∂_{q}(y) ∈ Kerβ_{q−1} = Imα_{q−1}. Teda existuje jediné u ∈ K′_{q−1}, že α_{q−1}(u) = ∂_{q}(y). Ukáže sa, že u je cyklus, že definícia δ_{q}(x) = [u] je dobrá, že δ_{q}(B_{q}(K′′)) = 0. Potom sa definuje ∂_{∗q} : H_{q}(K′′) → H_{q−1}(K′) ako ∂_{∗q}([x]) = δ_{q}(x).

Veta: Nech 0 → K′ ⟶^{α} K ⟶^{β} K′′ → 0 je exaktná postupnosť. Potom postupnosť → H_{q+1} (K′′) ⟶^{∂_{∗(q+1)}}

H_{q}(K′) ⟶^{H_{q}(α)} H_{q}(K) ⟶^{H_{q}(β)} H_{q}(K′′) ⟶^{∂_{∗q}} H_{q−1}(K′) ⟶^{H_{q−1} (α)} je exaktná.

Def: Postupnosť z predchádzajúcej vety = dlhá exaktná postupnosť indukovaná krátkou exaktnou postupnosťou reťazcových komplexov 0 → K′ ⟶^{α} K ⟶^{β} K′′ → 0. ∂_{∗q} - spájajúci homomorfizmus

Veta: Nech 0 → K′ ⟶^{α} K ⟶^{β} K′′ → 0 a 0 → L′ ⟶^{α} L ⟶^{β} L′′ → 0 sú krátke exaktné postupnosti reťazcových komplexov. Nech γ′ : K′ → L′, γ : K → L, γ′′ : K′′ → L′′ sú homomorfizmy reťazcových komplexov také, že diagram

0 ⟶ K′ ⟶^{α} K ⟶^{β} K′′ ⟶ 0
γ′↓  ^{γ}↓  ^{γ′′}↓
0 ⟶ L′ ⟶^{κ} L ⟶^{λ} L′′ ⟶ 0

(=krátky komutatívny rebrík s exaktnými riadkami) komutuje. Potom diagram (dlhý komutatívny rebrík s exaktnými riadkami)

… ⟶ H_{q+1} (K′′) ⟶^{∂_{∗(q+1)}} H_{q}(K′) ⟶^{H_{q}(α)} H_{q}(K) ⟶^{H_{q}(β)} H_{q}(K′′) ⟶^{∂_{∗q}} H_{q−1}(K′) ⟶ …
H_{q+1} (γ′′)↓  ^{H_{q}(γ′)}↓  ^{H_{q}(γ)}↓  ^{H_{q}(γ′′)}↓  ^{H_{q−1} (γ′)}↓
… ⟶ H_{q+1} (L′′) ⟶^{∂_{∗(q+1)}} H_{q}(L′) ⟶^{H_{q}(κ)} H_{q}(L) ⟶^{H_{q}(λ)} H_{q}(L′′) ⟶^{∂_{∗q}} H_{q−1}(L′) ⟶ …

komutuje.

Tvrdenie: Ak X je topologický priestor, A ⊂ X je topologický podpriestor X, tak postupnosť

⟶ H_{q}(A) ⟶^{H_{q}(i)} H_{q}(X) ⟶^{H_{q}(j)} H_{q}(X, A) ⟶^{∂_{∗q}} H_{q−1}(A) ⟶^{H_{q−1} (i)} H_{q−1}(X) ⟶ …

je exaktná. Def: Je to tzv. dlhá exaktná postupnosť topologického páru (X, A). Def: H_{q}(S(X, A)) =: H_{q}(X, A) je q-ta singulárna (relatívna) homologická grupa topologického páru X, A. Veta: Ak f : (X, A) → (Y, B) je zobrazenie párov, tak máme komutatívny rebrík s exaktnými riadkami

… ⟶ H_{q}(A) ⟶^{H_{q}(i)} H_{q}(X) ⟶^{H_{q}(j)} H_{q}(X, A) ⟶^{∂_{∗q}} H_{q−1}(A)
↓^{H_{q}(f|_{A})}  ↓^{H_{q}(f)}  ↓^{H_{q}(f)}  ↓^{H_{q−1} (f|_{A})}
… ⟶ H_{q}(B) ⟶^{H_{q}(i)} H_{q}(Y) ⟶^{H_{q}(j)} H_{q}(Y, B) ⟶^{∂_{∗q}} H_{q−1}(B)

Okrem toho: ak f : (X, A) → (Y, B), g : (Y, B) → (S, C), tak H_{q}(g ∘ f) = H_{q}(g) ∘ H_{q}(f) H_{q}(id_{(X,A)}) = id_{H_{q}(X,A)}, pre q ∈ ℤ. Teda vlastne máme kovariantný funktor H_{q} z kategórie párov priestorov a spojitých zobrazení medzi nimi do kategórie GradAb. Def: Trojicou priestorov budeme rozumieť trojicu (X, A, B), kde X je topologický priestor, A a B sú jeho topologické podpriestory a B ⊂ A.

⟶ H_{q}(A, B) ⟶^{H_{q}(i)} H_{q}(X, B) ⟶^{H_{q}(j)} H_{q}(X, A) ⟶^{∂_{∗q}} H_{q−1}(A, B) ⟶ … je dlhá exaktná postupnosť

trojice (X, A, B). Tvrdenie: Nech (X, A) je topologický pár, nech {X_{α}}_{α∈A} je systém komponentov lineárnej súvislosti X. Označme A_{α} := X_{α} ∩ A. Potom:

H_{q}(X, A) ≅ ⨁_{α∈A} H_{q}(X_{α}, A_{α})

Vlastnosti singulárnej homologickej teórie

Veta: Singulárnou homologickou teóriou rozumieme dvojicu (H, ∂_{∗}), kde H je kovariantný funktor z kategórie párov topologických priestorov a spojitých zobrazení medzi nimi do kategórie GradAb, a ∂_{∗} je pre každé q ∈ ℤ homomorfizmus ∂_{∗q} : H_{q}(X, A) → H_{q−1}(A), pričom sú splnené nasledovné podmienky:

1. prirodzenosť ∂_{∗}: Pre každé f : (X, A) → (Y, B) diagram

H_{q}(X, A) ⟶^{∂_{∗q}} H_{q−1}(A)
H_{q}(f)↓  ↓^{H_{q−1} (f|_{A})}
H_{q}(Y, B) ⟶^{∂_{∗q}} H_{q−1}(B)

komutuje (pre každé q ∈ ℤ)

2. Pre každý pár (X, A) máme exaktnú postupnosť

… ⟶ H_{q}(A) ⟶^{H_{q}(i)} H_{q}(X) ⟶^{H_{q}(j)} H_{q}(X, A) ⟶^{∂_{∗q}} H_{q−1}(A) ⟶ …

3. Homotopická vlastnosť Ak f, g : (X, A) → (Y, B) sú homotopné (t.j. existuje H : (X × I, A × I) → (Y, B) spojité, také, že H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x), x ∈ X), tak H_{q}(f) = H_{q}(g) pre všetky q ∈ ℤ.

4. Excízia - výrez Nech (X, A) je pár priestorov a nech U ⊂ A je taká, že \overline{U} ⊂ Å. Potom inklúzia j : (X − U, A − U) → (X, A) indukuje izomorfizmus H_{q}(j) : H_{q}(X − U, A − U) → H_{q}(X, A) pre všetky q ∈ ℤ.

5. Vlastnosť dimenzie Ak P je jednobodový priestor, tak

H_{q}(P) = \{ \begin{matrix}ℤ, ak q = 0 \\ 0, ak q ≠ 0 \end{matrix}

6. Aditívnosť: Nech (X, A) je pár priestorov, nech {X_{α}}_{α∈A} je systém otvorených podmnožín v X takých, že ⋃_{α∈A} X_{α} = X. Označme A_{α} = A ∩ X_{α}. Potom

H_{q}(X, A) ≅ ⨁_{α∈A} H_{q}(X_{α}, A_{α})

Dôsledok: Ak X je kontraktibilný, tak

H_{q}(X) = \{ \begin{matrix}ℤ, ak q = 0 \\ 0, ak q ≠ 0 \end{matrix}

Redukované singulárne homologické grupy

Def: Nech P je jednobodový priestor a nech X je ľubovoľný priestor. Označme k_{X} : X → P. Označme H̃_{q}(X) = Ker(H_{q}(k_{X})). Potom podgrupa H̃_{q}(X) grupy H_{q}(X) sa nazýva q-ta redukovaná singulárna homologická grupa priestoru X. Veta: Pre q ≠ 0 máme H̃_{q}(X) = H_{q}(X) a H̃_{0}(X) ⨁ ℤ ≅ H_{0}(X). Teda špeciálne: Ak X je lineárne súvislý, tak H̃_{0}(X) = 0. (aj obrátene)

Veta: Ak (X, A), kde A ≠ ∅, je pár priestorov, tak máme exaktnú postupnosť … ⟶ H̃_{q}(X, A) ⟶^{H̃_{q}(i)}

H̃_{q}(X) ⟶^{H̃_{q}(j)} H_{q}(X, A) ⟶^{˜∂_{∗q}} H̃_{q−1}(A).

Veta: Nech n ≥ 0. Potom

H̃_{q}(S^{n}) ≅ \{ \begin{matrix}ℤ q = n \\ 0 q ≠ n \end{matrix}

Lema: H_{q}(i_{+} ) : H_{q}(D_{+}^{n}, S^{n−1}) → H_{q}(S^{n}, D_{−}^{n}) je pre ∀q ∈ ℤ izomorfizmus. Dôsledok:

H_{q}(D^{n}, S^{n−1}) ≅ \{ \begin{matrix}ℤ, q = n \\ 0, q ≠ n \end{matrix}

Dôsledok:

H_{q}(ℝ^{n}, ℝ^{n} − \{0\}) ≅ \{ \begin{matrix}ℤ, q = n \\ 0, q ≠ n \end{matrix}

Veta: Ak sféry S^{m}, S^{n} sú homotopicky ekvivalentné, tak m = n. Veta: Ak ℝ^{m}, ℝ^{k} sú homeomorfné, tak m = n. Lema: Pre pár (X, A) máme H̃_{q}(X) ≅ H̃_{q}(A) ⨁ H_{q}(X, A), ak existuje retrakcia X na A. Dôsledok: Sféra S^{n−1} nemôže byť retrakciou gule D^{n}. Veta: (Brouwerova veta o pevnom bode) Pre každé spojité zobrazenie f : D^{n} → D^{n} existuje x_{0} ∈ D^{n} : f(x_{0}) = x_{0}. Def: Nech X je topologický priestor taký, že všetky homologické grupy H_{q}(X) sú konečne generované, pričom iba konečne veľa z nich je nenulových. Potom b_{q} = rang(H_{q}(ℤX)) (počet kópií ℤ vo voľnej časti).

Potom Eulerova-Poincarého charakteristika X je celé číslo χ(X) = ∑_{i=0}^{∞}(−1)^{i}b_{i} = b_{0}−b_{1}+b_{2}−b_{3}+. . ..

Veta: Nech X je lineárne súvislý priestor, nech x_{0} ∈ X. Potom platí:

H_{1}(X) ≅ π(X, x_{0})/[π(X, x_{0}), π(X, x_{0})]

Špeciálne, ak π(X) je komutatívna, tak H_{1}(X) ≅ π(X).

Singulárne kohomologické grupy

Def: Nech X je topologický priestor. S_{n}(X) - grupa n-rozmerných singulárnych reťazcov topologického priestoru X (grupa generovaná n-rozmernými simplexami) Definujeme: S^{n}(X) := Hom(S_{n}(X), ℤ) S^{n}(X) je duálny modul k modulu S_{n}(X) S^{n}(X) sa nazýva grupa n-rozmerných koreťazcov. Hodnotu singulárneho koreťazca c ∈ S^{n}(X) na reťazci α ∈ S_{n}(X) označujeme < c, α >∈ ℤ. <, >: S^{n}(X) × S_{n}(X) → ℤ je tzv. párovacie zobrazenie Definujeme homomorfizmus δ_{n} : S^{n}(X) → S^{n+1} (X) predpisom < δ_{n}c, τ >:=< c, ∂_{n+1} τ > pre ľubovoľné c ∈ S^{n}(X), τ ∈ S_{n+1} (X). δ_{n} je kohraničný operátor (S^{n}(X), δ_{n}) je koreťazcový komplex Z^{n}(X) = Kerδ_{n} B^{n}(X) = Imδ_{n−1} Tvrdenie: δ_{n+1} ∘ δ_{n} = 0 Dôsledok: Pre každé n ∈ ℤ je Imδ_{n} ⊆ Kerδ_{n+1} Def: Faktorová grupa Z^{n}(X)/B^{n}(X) =: H^{n}(X) sa nazýva n-tá singulárna kohomologická grupa priestoru X (grupa singulárnych kohomológií). Def: Ak f : X → Y je spojité a S_{n}(f) je singulárny reťazec indukovaný zobrazením f, tak definujeme zobrazenie S^{n}(f) : S^{n}(Y) → S^{n}(X) predpisom < S^{n}(f)(d), β >:=< d, S_{n}(f)(β) > pre d ∈ S^{n}(f), S^{n}(f)(d) ∈ S^{n}(X), β ∈ S_{n}(X). Ináč povedané: S^{n}(f)(d) = d ∘ S_{n}(f). Def: Homomorfizmus h_{n} : S^{n}(X) → S^{n}(Y) sa nazýva koreťazcový homomorfizmus, ak diagram

S^{n}(X) ⟶^{h_{n}} S^{n}(Y)
δ_{n}↓  ^{δ_{n}}↓
S^{n+1} (X) ⟶^{h_{n+1}} S^{n+1} (Y)

komutuje. Tvrdenie: f : X → Y je spojité ⇒ homomorfizmus S^{n}(f) : S^{n}(Y) → S^{n}(X) definovaný vyššie je koreťazcový homomorfizmus. Dôsledok: Ak f : X → Y je spojité zobrazenie, tak koreťazcový homomorfizmus S^{n}(f) : S^{n}(Y) → S^{n}(X) zobrazuje kocykly do kocyklov a kohranice do kohraníc. Def: Ak f : X → Y je spojité, tak homomorfizmus H^{n}(f) : H^{n}(Y) → H^{n}(X), n ∈ ℤ daný predpisom [c] ↦ [S^{n}(f)(c)] sa nazýva homomorfizmus singulárnych kohomologických grúp indukovaný spojitým zobrazením f. Ľahko sa overí, že ak f : X → Y, g : Y → S sú spojité, tak H^{n}(g ∘ f) = H^{n}(f) ∘ H^{n}(g) a H^{n}(id_{X}) = id_{H^{n}(X)}, čiže je to kontravariantný funktor z kategórie Top do kategórie GradAb. Exaktnosť: Pre každý pár (X, A) máme exaktnú postupnosť

… ⟶ H^{q−1}(A) ⟶^{δ_{q−1}^{∗}} H^{q}(X, A) ⟶^{H_{q}(j)} H^{q}(X) ⟶^{H_{q}(i)} H^{q}(A) ⟶^{δ_{q}^{∗}} …

kde i : A ↪ X, j : (X, ∅) ↪ (X, A) sú vloženia a δ_{q−1}^{∗} : H^{q−1}(A) → H^{q}(X, A) Homotopická vlastnosť Ak (X, A),(Y, B) sú homotopicky ekvivalentné H^{q}(X, A) ≅ H^{q}(Y, B) Prirodzenosť: Ak f : (X, A) → (Y, B) je spojité zobrazenie, tak máme komutatívny rebrík s exaktnými

riadkami: \begin{aligned}⟶ & H^{q−1}(A) & ⟶^{δ_{q−1}^{∗}} & H^{q}(X, A) & ⟶^{H^{q}(j)} & H^{q}(X) & ⟶^{H^{q}(i)} & H^{q}(A) & ⟶^{δ_{q}^{∗}} \\ & ↓^{H^{q−1} (f|_{A})} & ↓^{H^{q}(f)} & & ↓^{H^{q}(f)} & ↓^{H^{q}(f|_{A})} \\ ⟶ & H^{q−1}(B) & ⟶^{δ_{q−1}^{∗}} & H^{q}(Y, B) & ⟶^{H^{q}(j)} & H^{q}(Y) & ⟶^{H^{q}(i)} & H^{q}(B) & ⟶^{δ_{q}^{∗}} \end{aligned}

Vlastnosť dimenzie: Ak P je jednobodový priestor, tak

H^{q}(P) = \{ \begin{matrix}ℤ, ak q = 0 \\ 0, ak q ≠ 0 \end{matrix}

Aditívnosť: Nech (X, A) je pár priestorov, nech {X_{α}}_{α∈A} je systém otvorených podmnožín v X takých, že ⋃_{α∈A} X_{α} = X. Označme A_{α} = A ∩ X_{α}. Potom

H^{q}(X, A) ≅ ∏_{α∈A} H^{q}(X_{α}, A_{α})

Excízia: Nech (X, A) je pár priestorov a nech U ⊂ A je taká, že \overline{U} ⊂ Å. Potom inklúzia j : X − U, A − U → (X, A) indukuje izomorfizmus H^{q}(j) : H^{q}(X, A) → H^{q}(X − U, A − U) pre všetky q ∈ ℤ. Vlastnosť singulárnych kohomológií, ktorá ich podstatne odlišuje od homológií: v singulárnych kohomologických grupách sa dá zaviesť pohárový súčin. Def: Najskôr definujme súčin koreťazcov ∪ : S^{m}(X) × S^{n}(X) → S^{m+n} (X). Nech c ∈ S^{m}(X), c′ ∈ S^{n}(X). Definujme singulárne komplexy: α_{m} : Δ_{m} → Δ_{m+n} α_{m}(t_{0}, …, t_{n}) = (t_{0}, …, t_{n}, 0, …, 0) β_{n} : Δ_{n} → Δ_{m+n} β_{n}(t_{0}, …, t_{n}) = (0, …, 0, t_{m}, …, t_{m+n} ) Definujme koreťazec c ∪ c′ ∈ S^{m+n} < c ∪ c′, φ >:=< c, φ ∘ α_{m} >< c′, φ ∘ β_{n} > pre φ ∈ S_{n+m} (X). Dá sa ukázať δ_{m+n} (c ∪ c′) = δ_{m}(c) ∪ c′ ± c ∪ δ_{n}(c′). Z toho vyplýva, že predpis ([c], [c′]) ↦ [c∪c′] dobre definuje zobrazenie ∪ : H^{m}(X)×H^{n}(X) → H^{m+n} (X), je to tzv. pohárový súčin v graduovanej grupe (H^{0}(X), H^{1}(X), …) (tiež: kohomologický súčin).

Ľjusternikova-Šnireľmanova kategória topologického priestoru

Def: Nech X ≠ ∅ je topologický priestor a A jeho topologický podpriestor. Hovoríme, že topologický podpriestor A je kontraktibilný v X, ak existuje homotópia v X medzi konštantným zobrazením c : A → X, c(x) = a pre ľubovoľné x ∈ A (pre dáke a ∈ X) a inklúziou i : A ↪ X, t.j. vlastne ak existuje homotópia H : A × I → X; H(x, 0) = c(x) = a ∀x ∈ A H(x, 1) = x ∀x ∈ A Def: Nech X je topologický priestor. Potom najmenší počet otvorených kontraktibilných v X podmnožín X, ktoré pokrývajú X, sa nazýva Ľjusternikova-Šnireľmanova kategória topologického priestoru X, cat(X). Horné odhady: Nech M je kompaktná hladká varieta (bez okraja). Potom platí: cat(M) ≤ počet kritických bodov ľubovoľnej hladkej reálnej funkcie na M. Ak M je n-rozmerná varieta, tak cat(M) ≤ n. Dolné odhady: Def: Kohomologickou dĺžkou topologického priestoruX rozumieme najväčšie p také, že existujú nenulové a_{i_{1}} ∈ H^{i_{1}}(X; ℤ_{2}), …, a_{i_{p}} ∈ H^{i_{p}}(X; ℤ_{2}), i_{k} > 0 také, že a_{i_{1}} ∪ a_{i_{2}} ∪ ⋯ ∪ a_{i_{p}} ≠ 0, značíme ju cup(X). Tvrdenie: cat(X) ≥ cup(X) + 1

Intuitívny prístup k H_{1}(P), P je komp. plocha

Def: Kompaktná plocha = kompaktná 2-rozmerná topologická varieta. (t.j. haussdorfovský so spočítateľnou bázou, kde každý bod má okolie homeomorfné s D^{2}). Def: Cyklus v ℝ^{2} je dvojvrcholový graf s orientovanými hranami taký, že počet hrán vchádzajúcich do každého (z tých dvoch) vrcholov je rovnaký ako počet vychádzajúcich hrán. Def: Cyklus na kompaktnej ploche P = homeomorfný obraz cyklu v ℝ^{2}, pričom homeomorfizmus zachováva orientácie hrán.

Rozlišovanie spojitých zobrazení S^{n} → S^{n} pomocou stupňa zobrazenia

Def: Nech f : S^{n} → S^{n} je spojité. Potom H̃_{n}(f) : H̃_{n}(S^{n}) → H̃_{n}(S^{n}) je homomorfizmus grúp, a teda H̃_{n}(f)(s_{n}) = ks_{n}. Číslo k ∈ ℤ sa nazýva stupeň zobrazenia f, k = deg(f). Veta: 1.deg(id_{X}) = 1 2.Ak f, g : S^{n} → S^{n} sú homotopné, tak deg(f) = deg(g). 3.f, g : S^{n} → S^{n} sú 2 zobrazenia, tak deg(g ∘ f) = deg(g) deg(f) 4.f : S^{n} → S^{n} je konštantné ⟹ deg(f) = 0. Veta: Ak f : S^{n} → S^{n} je spojité zobrazenie také, že deg(f) ≠ 0, potom f je surjektívne. Def: a : S^{n} → S^{n} a(x) = −x je tzv. antipodálne zobrazenie. Tvrdenie: deg(a) = (−1)^{n+1} Def: Antipodálny bod zobrazenia f : S^{n} → S^{n} je x_{0} ∈ S^{n} : f(x_{0}) = −x_{0} Veta: Nech f : S^{n} → S^{n} je spojité zobrazenie.

a) Ak f nemá pevný bod, tak f je homotopné s antipodálnym zobrazením.

b) Ak f nemá antipodálny bod, tak f je homotopné s id_{S^{n}}. Veta: Ak f je homotopická ekvivalencia, tak deg(f) ∈ {−1, 1} Veta: Ak f : S^{n} → S^{n} je spojité také, že | deg(f)| ≠ 1, tak f má aspoň 1 pevný bod a aspoň 1 antipodálny bod. Veta: Ak n ≥ 2 je párne, tak každé spojité zobrazenie f : S^{n} → S^{n} má pevný bod, alebo má antipodálny bod.

Def: Vektorové pole na sfére S^{n} môžeme chápať ako také zobrazenie s : S^{n} → ℝ^{n+1} také, že < x, s(x) >= 0. Veta: Na sfére párnej dimenzie neexistuje vektorové pole, ktoré by bolo v každom bode nenulové.

Súvislosť existencie všade nenulového vekt. poľa na S^{2k+1} s tokom na S^{2k+1} Def: Tok vektorového poľa v : S^{2k+1} → ℝ^{2k+2} je spojité zobrazenie Φ : ℝ × S^{2k+1} → S^{2k+1} také, že Φ(0, x) = x \frac{dΦ(t,x)}{dt} = v(Φ(t, x)) pre všetky (t, x). Pre každé t ∈ ℝ je Φ(t, ·) = Φ_{t} : S^{n} → S^{n} homeomorfizmus.

Otázky na skúške

Cesta v topologickom priestore. Výpočet fundamentálnej grupy kružnice. (Doplňujúce otázky: Musí byť π(X, x) komutatívna? Ako súvisí π(X, x) s homológiami?) Vlastnosti homológií. Definícia H_{q}(f). (H_{q}(S^{n}) =?, H_{0}(X) =?) Homomorfizmy reťazcových komplexov. Brouwerova veta o pevnom bode. Definovať faktorový reťazcový komplex. Odvoďte dlhú exaktnú homologickú postupnosť pre páry priestorov.