Verzia: 25. júna 2002 Def: Nech U ⊂ ℝ^{d} je otvorená a nech f : U → ℝ. Funkcia f sa nazýva diferencovateľná triedy C^{k} (k ≥ 0 ∈ ℕ) na U (stručne f ∈ C^{k}(U)), ak f má na U spojité všetky možné parciálne derivácie až do rádu k (vrátane). Funkcia f, ktorá je na U triedy C^{k} pre každé k ∈ ℕ sa nazýva nekonečnediferencovateľná (hladká) funkcia na U. (f ∈C^{∞}(U)) Def: Nech U ⊂ ℝ^{d} je otvorená a nech f : U → ℝ^{k}. Potom hovoríme, že zobrazenie f je diferencovateľné triedy C^{k}(U), ak všetky parciálne funkcie zobrazenia f, t.j. všetky f_{i} = r_{i} ∘ f sú z C^{k}(U). Def: Lokálne euklidovský priestor dimenzie d je Hausdorffovský topologický priestor M, taký, že každý jeho bod má otvorené súvislé okolie homeomorfné s otvorenou podmnožinou v ℝ^{d}. Ak M je d-rozmerný lokálne euklidovský priestor x ∈ M a U ∋ x je otvorená a súvislá množina v M, ktorá je prostredníctvom homeomorfizmu φ : U → φ(U) homeomorfná s otvorenou podmnožinou φ(U) v ℝ^{d}, tak (U, φ) sa nazýva lokálny súradnicový systém okolo bodu x (so začiatkom v bode x). Funkcia r_{i} ∘ φ : U → ℝ sa nazýva i-ta súradnicová funkcia. U = súradnicové okolie φ = lokálne súradnicové zobrazenie Def: Nech M^{d} je d-rozmerný lokálne euklidovský priestor. Potom diferencovateľná štruktúra triedy C^{k} (k ≥ 1) na M^{d} je systém F = (U_{α}, φ_{α}); α ∈ A lokálnych súradnicových systémov na M taký, že:

1. ⋃_{α∈A} U_{α} = M^{d}

2. φ_{β} ∘ φ_{α}^{−1} ∈ C^{k} na φ_{α}(U_{α} ∩ U_{β}) ∀α, β ∈ A.

3. F je maximálny systém lokálnych súradnicových systémov s týmito vlastnosťami. Teda ak (U, φ) je lokálny súradnicový systém, taký, že φ ∘ φ_{α}^{−1}, φ_{α} ∘ φ^{−1} ∈ C^{k} pre ∀α ∈ A, tak (U, φ) ∈ F. Diferencovateľná štruktúra triedy C^{∞} sa nazýva aj C^{∞}-štruktúra (hladká štruktúra) na M^{d}. Tvrdenie: Nech M^{d} je d-rozmerný lokálne euklidovský priestor a nech F_{0} = {(U_{α}, φ_{α}); α ∈ A} ≠ ∅ je systém lokálnych súradnicových systémov na M^{d}, ktorý má vlastnosti 1 a 2. Potom existuje jednoznačne určený systém F, že F_{0} ⊂ F a F je už diferencovateľná štruktúra triedy C^{k} na M^{d}. (spĺňa 3) Def: Nech M^{d} je d-rozmerný lokálne euklidovský priestor so spočítateľnou bázou topológie a nech F je diferencovateľná štruktúra triedy C^{k} na M^{d}. Potom (M^{d}, F) sa nazýva d-rozmerná diferencovateľná varieta triedy C^{k}. Zadať štruktúru diferencovateľnej variety triedy C^{k} na lokálne euklidovskom priestore M so spočítateľnou bázou topológie znamená určiť na M nejakú diferencovateľnú štruktúru triedy C^{k}. Diferencovateľná varieta triedy C^{∞} sa nazýva aj hladká varieta. d-rozmerný lokálne euklidovský priestor so spočítateľnou bázou topológie sa nazýva aj topologická varieta. Def: Nech (M, F_{M}), (N, F_{N}) sú C^{k}-variety. Spojité zobrazenie f : M → N je v bode x ∈ M diferencovateľné triedy C^{k} (k ≥ 1), ak pre ľubovoľné (U, φ) ∈ F_{M}, (V, ψ) ∈ F_{N}, x ∈ U, f(x) ∈ V je ψ ∘ f ∘ φ^{−1} : φ(U) → ℝ^{k} triedy C^{k}. f sa nazýva diferencovateľné triedy C^{k} na M, ak je diferencovateľné triedy C^{k} v každom x ∈ M. Diferencovateľné zobrazenie triedy C^{∞} sa nazýva hladké. Def: Nech M, N sú C^{∞}-variety. Difeomorfizmus z M na N je C^{∞}-zobrazenie také, že f^{−1} : N → M existuje a je tiež C^{∞}. Def: C^{∞}-štruktúry F_{M}, F̃_{M} na C^{∞}-variete M sú ekvivalentné, ak existuje difeomorfizmus f : (M, F_{M}) → (M, F̃_{M}). Def: Nech X ≠ ∅ je topologický priestor a nech W ⊂ X. Pokrytie množiny W je systém {U_{α}; α ∈ A}, kde A je indexová množina, pričom platí, že ⋃_{α∈A}U_{α} ⊃ W.

Def: Jeho podpokrytie je systém {U_{α}; α ∈ A′} A′ ⊂ A. Def: Pokrytie nazývame otvorené, ak pre každé α ∈ A je U_{α} otvorená množina. Def: Zjemnenie pokrytia {U_{α}; α ∈ A} je pokrytie {V_{β}; β ∈ B} také, že pre každé β ∈ B ∃α ∈ A: V_{β} ⊂ U_{α}. Def: Pokrytie {U_{α}; α ∈ A} priestoru X sa nazýva lokálne konečné, ak pre každé x ∈ X existuje otvorené okolie U_{x} také, že U_{x} ⋂ U_{α} ≠ ∅ iba pre konečne veľa α. Def: Topologický priestor nazývame parakompaktný, ak je hausdorffovský a každé jeho otvorené pokrytie má lokálne konečné zjemnenie. Pr: 1. Každý kompaktný, hausdorffovský je parakompaktný.

Dohoda: V ďaľšom sa pod pojmom kompaktný priestor bude rozumieť kompaktný, T2. Pr: 2. Priestor, ktorý nie je kompaktný, ale je parakompaktný – ℝ^{n}. Def: Topologický priestor je lokálne kompaktný, ak každý jeho bod má otvorené okolie, ktorého uzáver je kompaktný. Pr: 1. ℝ^{n} n ≥ 1 je lokálne kompaktný priestor Pr: 2. Lokálne euklidovský priestor je lokálne kompaktný priestor, diferencovateľné variety triedy C^{k}(C^{∞}). Veta: Nech X ≠ ∅ je hausdorffovský lokálne kompaktný priestor so spočítateľnou bázou topológie. Potom X je parakompaktný. Špeciálne: Každá C^{∞}(C^{k}) varieta je parakompaktná. Platí aj silnejšie tvrdenie pre X: Každé jeho otvorené pokrytie má spočítateľné lokálne konečné zjemnenie také, že uzáver každej množiny toho zjemnenia je kompaktný. Lema: Nech X je priestor s vlastnosťami v predpokladoch vety. Potom existuje spočítateľný systém otvorených podmnožín G_{i} ⊂ X, i = 1, 2, ... taký, že G_{i} ⊂ G_{i+1} ∀i ∈ ℕ, \overline{G_{i}} je kompaktná množina a

⋃_{i∈ℕ}G_{i} = X.

Dôkaz:

• Existuje spočítateľná báza \{U_{α}; α ∈ A\} taká, že \overline{U}_{α} je kompaktná.

• Nech B = \{B_{j}; j ∈ ℕ\} je ľubovoľná spočítateľná báza topol. priestoru X. Potom B^{‘} = \{B_{j_{k}}; \overline{B_{j_{k}}} je kompakt } je neprázdny systém.

X je lokálne kompaktný priestor, teda pre každý bod x z X existuje otvorené okolie U také, že \overline{U} je kompaktná množina. Keďže systém B tvorí bázu topológie(spočítateľnú) ∃j ∈ ℕ: x ∈ B_{j} ⊆ U. Potom, ale \overline{B_{j}} ⊆ \overline{U} a \overline{B_{j}} je uzavretá podmnožina kompaktnej množiny U, teda tiež kompakt.

• B^{‘} je bázou rovnakej topológie ako systém B

Nech x ∈ X je ľubovoľný bod a nech x ∈ U je ľubovoľné jeho otvorené okolie a nech K je otvorené okolie, ktorého uzáver je kompakt. Potom K∩U je otvorené okolie bodu x, teda ∃j ∈ ℕ: B ∋ B_{j} ⊂ B∩U, B_{j} ∈ B‘, pretože \overline{B_{j}} ⊂ \overline{K}, čo je kompakt. Def: Nech M^{d} je d-rozmerná C^{∞}-varieta a nech f : M → R je reálna funkcia na M. Potom nosič funkcie f je supp(f) = \overline{\{x ∈ M; f(x) ≠ 0\}} . Def: Nech M^{d} je d-rozmerná C^{∞}-varieta. Potom hladký rozklad jednotky je systém hladkých funkcií φ_{i}; i ∈ I takých, že

1. φ_{i} ≥ 0

2. Systém nosičov φ_{i} je lokálne konečný

3. ∑ φ_{i}(x) = 1 ∀x ∈ M Ak U_{α}; α ∈ A je otvorené pokrytie variety M, tak hovoríme, že rozklad jednotky je podriadený tomuto pokrytiu, ak pre každé i ∈ I existuje α ∈ A také, že supp(φ_{i}) ⊂ U_{α}. Špeciálne hovoríme, že rozklad jednotky je podriadený pokrytiu U_{i}; i ∈ I s tou istou indexovou množinou, ak ∀i ∈ I supp(φ_{i}) ⊂ U_{i}. Lema: Existuje nezáporná hladká funkcia φ : R^{d} → R taká, že φ(x) = 1 ∀x ∈ \overline{C(1)} = \{(x_{1}, ...x_{d}) ∈ R^{d}; |x_{i}| ≤ 1\} a φ(x) = 0 ∀x ∈ R^{d} − C(2). Veta: Nech M^{d} je C^{∞}-varieta a nech U_{α}; α ∈ A je ľubovoľné otvorené pokrytie. Potom existuje spočítateľný hladký rozklad jednotky φ_{1}, φ_{2}, ... podriadený pokrytiu U_{α}; α ∈ A, pričom supp(φ_{i}) je kompaktný pre každé i ∈ I. Tvrdenie: Nech M^{d} je C^{∞}-varieta a nech A ≠ ∅, B ≠ ∅ sú uzavreté disjunktné podmnožiny v M. Potom existuje C^{∞}-funkcia f : M → R taká, že f|_{A} ≡ 0, f|_{B} ≡ 1. Def: Ak f, g sú reálne funkcie, definované a hladké na nejakom okolí bodu p ∈ M^{d}, tak f ∼ g, ak existuje také otvorené okolie U bodu p, že f|_{U} = g|_{U}. ∼ je relácia ekvivalencie na množine funkcií definovaných a hladkých na okoliach bodu p ∈ M^{d}. f^{∼} = trieda ekvivalencie reprezentovaná funkciou f definovanou a hladkou na nejakom okolí bodu p. F_{p}^{∼} = množina všetkých tried ekvivalencie

Prvky z F_{p}^{∼} sa nazývajú zárodky(germy) hladkých funkcií. F_{p}^{∼} je vektorový priestor nad R a je to aj

okruh s jednotkou - tzv. reálna algebra. Pre ľubovoľné f^{∼} ∈ F_{p}^{∼} je dobre definovaná hodnota f^{∼}(p) = f(p).

F_{p} = {f^{∼} ∈ F^{∼}_{p}, f^{∼}(p) = 0}

F_{p} je vektorový podpriestor F_{p}^{∼} a je to ideál v algebre F_{p}^{∼} F_{p}^{2} = množina všetkých konečných lineárnych kombinácií súčinov dvojíc prvkov F_{p}, je to ideál v F_{p}, a

teda aj v F_{p}.^{∼}

Def: Nech M je C^{∞}-varieta a p ∈ M. Dotykový vektor k M v bode p definujeme ako reálny lineárny operátor derivovania na algebre F_{p}.^{∼} Teda dotykový vektor \overrightarrow{v} k M v bode p je operátor:

\overrightarrow{v} : F^{∼}_{p} → R taký, že

1. je lineárny \overrightarrow{v}(αf^{∼} + βg^{∼}) = α\overrightarrow{v}(f^{∼}) + β\overrightarrow{v}(g^{∼})

2. \overrightarrow{v}(f^{∼} · g^{∼}) = \overrightarrow{v}(f^{∼}) · g(p) + \overrightarrow{v}(g^{∼}) · f(p).

Def: Označme M_{p} množinu všetkých dotykových vektorov k M v bode p. Potom M_{p} ≠ ∅, lebo \overrightarrow{0} ∈ M_{p}. Na M_{p} definujeme sčitovanie a násobenie:

(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})(f^{∼}) = \overrightarrow{v}(f^{∼}) + \overrightarrow{w}(f^{∼})

(α\overrightarrow{v})(f^{∼}) = α(\overrightarrow{v}(f^{∼}))

Potom M_{p} je reálny vektorový priestor. Vektorový priestor M_{p} sa nazýva dotykový (tangenciálny) vektorový priestor k hladkej variete M v bode p. Veta: dimM_{p} = dimM pre p ∈ P Tvrdenie: Ak M je C^{∞}-varieta a p ∈ M, tak dotykový priestor M_{p} ≅ (F_{p}/F_{p}^{2})^{∗}. Lema: Nech v^{∼} ∈ M_{p} a (c^{∼}) je germ konštantnej funkcie. Potom \overrightarrow{v}(c^{∼}) = 0. Tvrdenie: dim(F_{p}/F_{p}^{2}) = dim(M) Lema: Nech g : U → R je C^{∞}-funkcia, kde U je otvorená podmnožina v R^{d}. Nech p ∈ U. Potom pre každý bod q ∈ U máme:

g(q) = g(p) + ∑_{i=1}^{d} \frac{∂g}{∂x_{i}} (p)(q_{i} − p_{i}) + ∑_{i,j}(q_{i} − p_{i})(q_{j} − p_{j}) ∫_{0}^{1}(1 − t)\frac{∂^{2}g}{∂x_{i}∂x_{j}} (p + t(q − p))dt

Def: Nech (U, φ) je lokálny súradnicový systém okolo p ∈ M^{d}, označme X_{i} = r_{i} ∘ φ_{i}, i = 1, …, n.

Definujeme operátor \frac{∂}{∂X_{i}} |_{p} na F_{p}^{∼} takto:

\frac{∂f}{∂X_{i}} |_{p} = \frac{∂(f∘φ^{−1} )}{∂x_{i}} (φ(p)) ∈ R Tvrdenie: \frac{∂}{∂X_{i}} |_{p} ∈ M_{p} Tvrdenie: Dotykové vektory \frac{∂}{∂X_{1}} |_{p}, …, \frac{∂}{∂X_{d}} |_{p} ∈ M_{p} sú lineárne nezávislé (a teda v M_{p} tvoria bázu, keďže dim(M_{p}) = d). M_{p}^{∗} ≅ F_{p}/F_{p}^{2} - kodotykový(kotangenciálny) vektorový priestor k variete M v bode p [X_{i} − X_{i}(p)] je báza F_{p}/F_{p}^{2} Tvrdenie: Nech (U, φ) je lokálny súradnicový systém okolo p ∈ M^{d}, X_{i} = r_{i} ∘φ. Potom každý dotykový

vektor \overrightarrow{v} ∈ M_{p} sa dá jednoznačne vyjadriť ako \overrightarrow{v} = ∑_{i=1}^{d} \overrightarrow{v}(X_{i})\frac{∂}{∂X_{i}} |_{p}.

TODO: Závislosť bázy od voľby l.s.s.. Veta a definícia: Nech f : M^{d} → N^{k} je C^{∞}-zobrazenie medzi C^{∞}-varietami. Nech p ∈ M. Potom zobrazenie df_{p} : M_{p} → N_{f(p)} df_{p}(\overrightarrow{v})(g) := \overrightarrow{v}(g ∘ f) je dobre definované lineárne zobrazenie; nazýva sa diferenciál zobrazenia f v bode p. Def: Zobrazenie df_{p}^{∗} : N_{f(p)}^{∗} → M_{p}^{∗} medzi kodotykovými priestormi df_{p}^{∗}(l)(\overrightarrow{v}) = l(df_{p}(\overrightarrow{v})) sa nazýva kodiferenciál (kodotykové zobrazenie) hladkého zobrazenia f v bode p. Veta: (Reťazcové pravidlo pre diferenciál) Pre ľubovoľný bod p ∈ M máme: d(g ∘ f)_{p} = dg_{f(p)} ∘ df_{p} Tvrdenie: Ak M a N sú súvislé difeomorfné C^{∞}-variety, tak dim(M) = dim(N). Špeciálne, ak R^{d} a R^{k} sú difeomorfné, tak d = k. Def: C^{∞}-krivka na C^{∞}-variete je ľubovoľné C^{∞}-zobrazenie σ : (−ε, ε) → M. Dotykový vektor C^{∞}-krivky σ v bode t ∈ (−ε, ε) sa definuje ako σ̇(t) := dσ_{t}(\frac{d}{dx}|_{t}). Tvrdenie: Nech M^{d} je hladká varieta, p ∈ M, \overrightarrow{v} ∈ M_{p} − \{\overrightarrow{0}\}. Potom existuje krivka σ na M taká, že σ̇(0) = \overrightarrow{v}. Def: Nech M^{d} je C^{∞}-varieta.

T M := ∐_{p∈M} M_{p}

Definujeme: Π : T M → M Π(\overrightarrow{v}) = p, ak \overrightarrow{v} ∈ M_{p}. Π je surjekcia. Pre ľubovoľné (U, φ) ∈ F_{M} definujeme zobrazenie φ̃_{U} : Π^{−1}(U) → φ(U) × ℝ^{d} dané predpisom φ̃_{U}(v⃗) = (X_{1}(Π(v⃗)), …, X_{d}(Π(v⃗)), (dX_{1})_{Π(v⃗)} (v⃗), …, (dX_{d})_{Π(v⃗)} (v⃗)). Na Π^{−1}(U) prenesieme topológiu z φ(U) × ℝ^{d} cez bijekciu φ̃_{U}. Systém {(Π^{−1}(U), φ̃_{U}); (U, φ) ∈ F_{M}} definuje C^{∞}-štruktúru na T M. T M je (2d)-rozmerná hladká varieta a nazýva sa dotyková(tangenciálna) varieta variety M. (d = dim(M)) Def: Trojica (E, p, B) sa nazýva hladká vektorová fibrácia s totálnym priestorom E bázou B a projekciou p, ak

1. p : E → B je C^{∞}-zobrazenie C^{∞}-variet, surjekcia.

2. pre každé b ∈ B existuje na p^{−1}(b) štruktúra reálneho vektorového priestoru dimenzie k ∈ N ∪ {0}.

3. pre každé b ∈ B existuje otvorené okolie U ∋ b a difeomorfizmus h : U × R^{k} → p^{−1}(U) taký, že:

U × R^{k} −−→^{h} p^{−1}(U)
↘_{pr_{U}}  ↓  p|_{p^{−1} (U)}
U

komutuje, pričom h|{s} × R^{k} : {s} × R^{k} → p^{−1}(s) pre každé s ∈ U je lineárny izomorfizmus. h sa nazýva lokálna trivializácia p^{−1}(b)= fiber fibrácie ξ = (E, p, B) nad bodom b Ak B je súvislý topologický priestor, tak hodnota k z definície hladkej vektorovej fibrácie je na celom B rovnaká a nazývame ju dimenzia hladkej vektorovej fibrácie. Tvrdenie: Ak (E, p, B) je hladká vektorová fibrácia, tak p je otvorené zobrazenie. Def: Nech ξ = (E, p, B) a ξ′ = (E′, p′, B′) sú hladké vektorové fibrácie. Potom homomorfizmus (stručne morfizmus) z ξ do ξ′ je dvojica zobrazení (f̃, f), kde f : B → B′ a f̃ : E → E′ sú hladké zobrazenia také, že diagram

E ⟶^{f̃} E′
p↓  ↓^{p′}
B ⟶^{f} B′

komutuje a f̃|_{p^{−1} (b)} : p^{−1}(b) → p′^{−1}(f(b)) je lineárne zobrazenie pre všetky b ∈ B. Def: Nech ξ = (E, p, B) a ξ′ = (E′, p′, B) sú hladké vektorové fibrácie s tou istou bázou B. Potom B-homomorfizmus ξ → ξ′ je homomorfizmus (f̃, id) v zmysle predchádzajúcej definície. Teda vlastne B-homomorfizmus ξ → ξ′ môžeme chápať ako hladké zobrazenie f̃ : E → E′ také, že diagram

\begin{aligned}E & −−→^{f̃} & E′ \\ & ↘_{p} & ↓ & p′ \\ & & B \end{aligned}

komutuje a f̃|_{p^{−1} (b)} : p^{−1}(b) → p^{′−1}(b) je lineárne zobrazenie. Def: Nech u : ξ → ξ′ je homomorfizmus hladkých vektorových fibrácií nad tou istou bázou. u je Bizomorfizmus ξ na ξ′, ak existuje homomorfizmus v : E′ → E také, že v ∘ u = id_{E′} a u ∘ v = id_{E}. Veta: C^{∞}-zobrazenie u : E → E′ je B-izomorfizmus, ak u|_{p^{−1} (b)} : p^{−1}(b) → p′^{−1}(b) je lineárny izomorfizmus. Def: Hladká vektorová fibrácia nad B izomorfná so súčinovou fibráciou (B × R^{n}, pr_{1}, B) sa tiež nazýva triviálna fibrácia. Def: Rez hladkej vektorovej fibrácie (E, p, B) je hladké zobrazenie s : B → E také, že p ∘ s = id_{B}. Veta: n-rozmerná hladká vektorová fibrácia (E, p, B) (E-súvislý) je triviálna ⇔ existuje n rezov fibrácie s_{1}, …, s_{n} : B → E takých, že s_{1}(b), …, s_{n}(b) ∈ p^{−1}(b) sú lineárne nezávislé pre všetky b ∈ B. (Takéto rezy voláme lineárne nezávislé.) Def: Rez hladkej vektorovej fibrácie (T M, Π, M), kde M je C^{∞}-varieta sa nazýva vektorové pole na variete M. Def: Ak na C^{∞}-variete dimenzie d existuje d vektorových polí, ktorých hodnoty v každom x ∈ M sú lineárne nezávislé, hovoríme, že M je paralelizovateľná varieta.

Ekvivalentne - jej dotyková fibrácia (T M, Π, M) je triviálna. V ďalšom budeme uvažovať len súvislé variety. Def: Vnorenie C^{∞}-variety M do C^{∞}-variety N je C^{∞}-zobrazenie f : M → N, pre ktoré df_{x} : M_{x} → N_{f(x)} je injekcia pre každé x ∈ M. Def: Nech existuje hladké vnorenie f : M → N, ktoré je injektívne. Hovoríme, že (M, f) je podvarieta variety N (tiež M sa realizuje ako podvarieta N pomocou f.) Def: Injektívne vnorenie f : M → N sa nazýva vloženie M do N, ak f : M → f(M) je homeomorfizmus. Veta: (o inverznom zobrazení - euklidovská verzia) Nech f : U → R^{d} je hladké zobrazenie, U ⊆ ℝ^{d} je otvorená. Ak existuje r_{0} ∈ U také, že Jacobiho matica (\frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} (r_{0})) ∈ M_{d,d}(R) je regulárna, tak potom existuje otvorené okolie V ∋ r_{0}, V ⊂ U, že f|_{V} : V → f(V) je difeomorfizmus, pričom f(V) je otvorená podmnožina v R^{d}. Veta: (o inverznom zobrazení) Nech f : M → N je C^{∞}-zobrazenie a nech existuje p ∈ M také, že df_{p} : M_{p} → N_{f(p)} je lineárny izomorfizmus. Potom existuje otvorené okolie V ∋ p také, že f(V) ⊂ N je otvorená podmnožina a f|_{V} : V → f(V) je difeomorfizmus. Def: Nech M^{d} je C^{∞}-varieta a nech y_{1}, …, y_{k} sú reálne funkcie definované a hladké v nejakom okolí bodu p ∈ M. Hovoríme, že y_{1}, …, y_{k} sú nezávislé v bode p ak dy_{1}(p), …, dy_{k}(p) chápané ako prvky z M_{p}^{∗} sú lineárne nezávislé. Dôsledok 1: Nech y_{1}, …, y_{d} sú funkcie nezávislé v bode p ∈ M, kde M^{d} je d-rozmerná C^{∞}-varieta. Potom y_{1}, …, y_{d} tvoria lokálny súradnicový systém na nejakom okolí bodu p. Dôsledok 2: Nech p ∈ M^{d}, M je C^{∞}-varieta a nech reálne funkcie y_{1}, …, y_{k}, k ≤ d sú nezávislé v p. Potom funkcie y_{1}, …, y_{k} sa dajú doplniť d−k hladkými funkciami tak, že dostaneme lokálny súradnicový systém okolo bodu p. Dôsledok 3: Nech f : M^{c} → N^{d} je C^{∞}-zobrazenie a nech p ∈ M je bod taký, že df_{p} : M_{p} → N_{f(p)} je surjektívny (teda c ≥ d). Ak y_{1}, …, y_{d} sú lokálne súradnicové funkcie v okolí bodu f(p), tak y_{1} ∘ f, …, y_{d} ∘ f sa dajú (c − d) hladkými funkciami definovanými a hladkými na nejakom okolí bodu p doplniť tak, že dostanem lokálny súradnicový systém v bode p. Dôsledok 4: Nech p ∈ M^{d}, M je C^{∞}-varieta. Ak y_{1}, …, y_{k}(k ≥ d) sú funkcie definované a hladké na nejakom okolí bodu p, pričom [dy_{1}|_{p}, …, dy_{k}|_{p}] = M_{p}^{∗}, tak vhodná d-prvková podmnožina množiny y_{1}, …, y_{k} určuje lokálny súradnicový systém okolo bodu p. Dôsledok 5: Nech f : M^{c} → N^{d} je C^{∞}-zobrazenie C^{∞}-variet. Nech p ∈ M je bod taký, že diferenciál df_{p} : M_{p} → N_{f(p)} je injekcia. (Teda c ≤ d.) Potom ak y_{1}, …, y_{d} určuje lokálny súradnicový systém v bode f(p), tak vhodná podmnožina y_{1} ∘ f, …, y_{d} ∘ f určuje lokálny súradnicový systém v p. Navyše existuje otvorené okolie U ∋ p, že f|_{U} : U → f(U) je injekcia. Def: Nech (U, φ) ∈ F_{M^{d}}. Nech a = (a_{1}, …, a_{d}) ∈ φ(U), nech 0 ≤ c ≤ d. Označme S_{c} = {q ∈ U : X_{i}(q) = a_{i} pre i = c + 1, …, d}. Na S_{c} máme globálny súradnicový systém (X_{1}|_{S}, …, X_{c}|_{S}), teda S_{c} je C^{∞}-varieta dimenzie c. S_{c} sa nazýva c-rozmerný zrez lokálneho súradnicového systému (U, φ). Tvrdenie: Ak S je c-rozmerný zrez lokálneho súradnicového systému (U, φ) ∈ F_{M}, tak (S, incl) je c-rozmerná podvarieta v M. Veta: Nech f : M^{c} → N^{d} je C^{∞}-vnorenie. Potom pre ľubovoľný p ∈ M existuje otvorené okolie U ∋ p a lokálny súradnicový systém (V, φ) okolo f(p) také, že f(U) je c-rozmerným zrezom lokálneho súradnicového systému (V, φ). Veta: (o vzore bodu) Nech f : M^{c} → N^{d} je C^{∞}-zobrazenie a nech n ∈ N je taký bod, že P := f^{−1}(n) ≠ ∅, pričom nech df|_{x} : M_{x} → N_{n} je surjekcia pre ∀x ∈ P. Potom na P existuje štruktúra hladkej variety taká, že (P, incl) je hladká podvarieta v M, pričom dim(P) = c − d. Veta: (o vzore podvariety) Nech f : M^{b} → N^{d} je C^{∞}-zobrazenie C^{∞}-variet. Nech (A^{c}, g) je c-rozmerná podvarieta variety N. Nech P = f^{−1}(g(A)) ≠ ∅. Nech pre ∀m ∈ P je N_{f(m)} = df_{m}(M_{m}) + dg_{g^{−1} (f(m))} (A_{g^{−1} (f(m))} ). Potom na P existuje práve jedna štruktúra hladkej variety, pričom dim(M)−dim(P) = dim(N)−dim(A), t.j. codim_{M}(P) = codim_{N}(A). Def: Nech f : M^{b} → N^{d} je C^{∞}-zobrazenie a (A^{c}, g) je C^{∞}-podvarieta v N. Ak pre dáke m ∈ f^{−1}(g(A)) platí: N_{f(m)} = df_{m}(M_{m}) + dg_{g^{−1} (f(m))} (A_{g^{−1} (f(m))} ), tak hovoríme, že f je transverzálne k A v m, f ⋔_{m} A. Ak f ⋔_{m} A pre všetky m ∈ f^{−1}(g(A)), tak hovoríme, že f je transverzálne k A, f ⋔ A. Veta: (o vzore podvariety) Nech f : M^{b} → N^{d} je C^{∞}-zobrazenie, nech (A^{c}, g) je c-rozmerná hladká podvarieta variety N a nech f ⋔ A. Potom ak P = f^{−1}(g(A)) ≠ ∅, tak f^{−1}(g(A)) je hladká podvarieta v N, pričom codim_{M}(P) = codim_{N}(A). Def: Nech (M^{b}, i) je podvarieta v N; nech (A^{c}, i) je podvarieta v N. To, že i ⋔ A, znamená, že ∀x ∈ A ∩ M : N_{x} = M_{x} + A_{x}. Vtedy hovoríme, že M a A sú v generickej všeobecnej polohe, M ⋔ A. Veta: (Slabá Whitneyho veta o vnorení) Pre každú kompaktnú hladkú varietu M^{d} existuje q ∈ N také, že M sa dá vložiť do ℝ^{q}. Dá sa dokázať, že kompaktná varieta M^{d} sa vkladá do ℝ^{2d+1} a vnára do ℝ^{2d}, pričom každé hladké zobrazenie f : M^{d} → ℝ^{2d+1} (ℝ^{2d}) sa dá ţaproximovať� vložením (vnorením). Bez vlastnosti aproximácie: ℝ^{2d}, ℝ^{2d−1}. Def: Nech f : M^{d} → N^{d} je C^{∞}-zobrazenie C^{∞}-variet. Potom bod x ∈ M je regulárny bod, ak df_{x} je lineárny izomorfizmus. (Hovoríme, že df_{x} je regulárny.) y ∈ N je regulárna hodnota zobrazenia f, ak f^{−1} pozostáva iba z regulárnych bodov zobrazenia f. x ∈ M je kritický bod zobrazenia f, ak df_{x} nie je lineárny izomorfizmus (hodnosť Jacobiho matice je ≠ d.) x ∈ M je kritická hodnota zobrazenia f, ak f^{−1}(y) obsahuje aspoň 1 kritický bod zobrazenia f. Veta: Nech f : M^{d} → N^{d} je hladké zobrazenia a M je kompaktná. Potom ak y ∈ N je regulárna hodnota zobrazenia f, tak buď f^{−1}(y) = ∅ alebo f^{−1} má iba konečný počet bodov. Veta: Ak f : M^{d} → N^{d} je hladké zobrazenie a M je kompaktná množina, tak funkcia | · | : RH(f) → Z; | · |(y) = |f^{−1}(y)| je lokálne konštantná. (Pre každý bod existuje okolie, v ktorom je konštantná.) Veta: (Fundamentálna veta algebry) Nech P (z) = a_{0}z^{n} + a_{1}z^{n−1} + ⋯ + a_{n−1}z + a_{n} n ≥ 1, a_{0} ≠ 0 je komplexný polynóm. Potom existuje z_{0} ∈ C : P (z_{0}) = 0.

Otázky zo skúšky:

1. Definícia diferenciálu + reťazcové pravidlo

2. Dotykový vektor ku krivke + veta o nich

3. Definícia difeomorfizmu + dokázať vetu o inverznom zobrazení medzi varietami (bola sformulovaná v zadaní) 4.M_{p} ≅ (F_{p}/F_{p}^{2})^{∗} dimM_{p} = dimM

Doplňujúca ústna otázka:

1. vektorové pole

2. Difeomorfizmus - definícia. Prečo difeomorfizmus zachováva dimenzie?

3. S^{n} ako C^{∞}-varieta.